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A B 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线； （2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O 的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB 的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
专题十与几何图形有关的探究题 图形变化问题 【例1】(2016·沈阳)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE. (1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F. ①求证：△ABD是等边三角形； ②求证：BF⊥AD，AF＝DF； ③请直接写出BE的长； (2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接写出BE＋CE的值．
分析：(1)①由旋转性质知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°即可得证；②由BA ＝BD ，EA ＝ED 根据垂直平分线的性质即可得证；③分别求出BF ，EF 的长即可得答案；(2)由等量代换可证∠BAE ＝∠BAC ，根据三线合一可得CE ⊥AB ，从而可得CE ＝2CH ＝8，BE ＝5，即可得答案． 解：(1)①∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形 ②由①得△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AC ＝AE ，BC ＝DE ，又∵AC ＝BC ，∴EA ＝ED ，∴点B ，E 在AD 的垂直平分线上，∴BE 是AD 的垂直平分线，∵点F 在BE 的延长线上，∴BF ⊥AD ，AF ＝DF ③由②知BF ⊥AD ，AF ＝DF ，∴AF ＝DF ＝3，∵AE ＝AC ＝5，∴EF ＝4，∵在等边三 角形ABD 中，BF ＝AB ·sin ∠BAF ＝6×32＝33，∴BE ＝BF －EF ＝33－4 (2)如图，∵∠DAG ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠BAC ，∴∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝∠DAG ＋∠DAE ＋∠ABC ＝180°，又∵∠DAG ＋∠DAE ＋∠BAE ＝180°，∴∠BAE ＝∠ABC ， ∵AC ＝BC ＝AE ，∴∠BAC ＝∠ABC ，∴∠BAE ＝∠BAC ，∴AB ⊥CE ，且CH ＝HE ＝12 CE ，∵AC ＝BC ，∴AH ＝BH ＝12 AB ＝3，则CE ＝2CH ＝8，BE ＝AE ＝5，∴BE ＋CE ＝13
相交线与平行线证明题专题训练 一、两组平行线 1、已知：如图，∠A=∠ACE，∠B=∠BDF，且∠A=∠B，求证：EC∥DF。 2、如图∠A=∠1，∠C=∠2，求证：AB 3、已知CD证：AB C D F E B A 1 2 G F E D C B A 2 1
7、如图，BD丄AC 于D，EF丄AC 于F．∠AMD=∠AGF．∠1=∠2=35°。求证：DM∥BC． 8、已知:如图,EF⊥AB,∠1=∠2,∠3=∠B.求证:CD⊥AB. 6 9 3
D G A E B H C F 10、已知：如图，DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，EF ⊥AB ，∠1=∠2 求证：CD ⊥AB 。 二、求特殊角 1、、已知，如图，AB ∥CD ∥GH ，EG 平分∠BEF ，FG 平分∠EFD 求证：∠EGF=90° 2、如图，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB ．求证：（1）CD ⊥CB ；（2）CD 平分∠ACE ．
求证： AB 7、如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，DB、EC分别交AF于点G、H，若∠AGB=∠EHF， 2 1 F E D C B A 3、
∠C=∠D，请你判断∠A和∠F的大小关系，并说明你的理由． 8、如图，已知AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，试证明AD//BE。 9、如图，∠1+∠2=180°，∠A=∠C，DA平分∠BDF．证明： （1）AE//FC （2）BC平分∠DBE 四、寻找角之间的关系
1、将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F． （1）求证：CF∥AB； （2）求∠DFC的度数。 2、如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，求证：AD//BC。 3、如图，BCE、AFE是直线，AB//CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AD//BE。 4、如图，∠ABD和∠BDC的平分线交于一点E，BE交CD于点F，∠1+∠2=90°。求证：（1）AB//CD； (2)∠2+∠3=90°
1.3菱形的判定 九年级数学备课组 学习目标：1、使学生能够掌握菱形的判定定理的证明并会灵活运用。 2、经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想 进行证明的必要性，不断感受和情推理是人们正确认识事物的重要途径。 3、逐步学会分析和综合的思考方法，培养学生演绎推理的能力。 学习重点：菱形的判定定理的证明及应用。 学习重点：菱形判定定理的综合应用。 教学过程： 一、创设情境： 引导学生回顾探索四边形是菱形的条件的过程，同时引导学生从四边形、平行四边形、菱形之间的从属关系来思考和表述菱形的判定条件。 二、新知探索 1引入新课 具备什么的平行四边形是菱形？具备什么的四边形是菱形？请与同学交流。 2菱形的判定方法 定理1、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、四条边都相等的四边形是菱形。 （1）菱形判定方法，填写下表。 你能用直尺和圆规画一个菱形吗？能说说你作图的理由吗？与同学进行交流。 三、典型例题： 例1、已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边CD 、BA 分别相交于点E 、F 。 求证：四边形AFCE 是菱形。 例2．如图所示，将宽度为1的两张纸条交叉重叠在 一起，得到重叠部分为四边形ABCD ，四边形ABCD 为菱形吗？为什么？ 例3．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. F E C B A D O
求证：AE ⊥ BF 四、练习 1、如图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架，已知其中每个菱形的边长为20cm ，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉之间的距203cm ，则∠1等于（ ） A ．90° B.60° C.45° D.30° 2、下列条件中，能判断四边形是菱形的是 （ ）A 、两条对角线相等。 B 、两条对角线互相垂直。 C 、两条对角线相等且互相垂直。 D 、两条对角线互相垂直平分。 3、下列图形既是轴对称，又是中心对称的是 （ ） A 、平行四边形 B 、三角形 C 、菱形 D 、等腰梯形 4、从四边形内能找到一点，使该点到各边的距离都相等的图形是 （ ）A 、平行四边形、矩形、菱形 B 、菱形、矩形、正方形 C 、矩形、正方形 D 、菱形、 正方形 5、画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm 、8cm ． 6、如图，O 是矩形ABCD 的对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ， DE 和CE 相交于E ， 求证：四边 形OCED 是菱形。 7、如图AD 是△ABC 的角平分线，DE//AC,交AB 于点E ，DF//AB ，交AC 于点F ， 证明：AD ⊥EF C B A B
如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。求证：DE ＝DF C F B A E D 图1 例 2. 已知：如图 2 所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠ F D B C F E A 图2 2、证明直线平行或垂直：在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，
七年级数学期末复习专题(平面图形的认识及证明) 一、选择题。(每题3分，共21分) 1．下列生活现象中，属于平移的是 ( ) A ．足球在草地上滚动 B ．拉开抽屉 C ．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D ．钟摆的摆动 2．若一个三角形三个内角度数的比为2：7：1．，那么这个三角形是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 3．下面有3个命题：①同旁内角互补；②两直线平行，内错角相等；③在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题为 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．②③ 4．若一个多边形的内角和等于它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为 ( ) A ．6 B ．7 C. 8 D ．9 5．如图，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC 交AB 于点E ，∠1=25 ，则∠BED 等于 ( ) A ．40 B ．50 C ．60 。 D ．25 6．如图，面积为6 2cm 的△ABC 纸片沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是BC 长的2倍，则△ABC 纸片扫过的面积为 ( ) A ．18 2cm B ．212cm C ．272cm D ．302cm 7．如图，∠ABC=∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF ．以下结论：①AD ∥BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③∠ADC =90 一∠ABD ；④BD 平分∠ADC ；⑤∠BDC=12 ∠BAC 其中正确的结论有 ( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题。(每空3分，共21分) 8．直角三角形的两条直角边分别为6、8，斜边长为10，则斜边上的高是 ． 9．如图，直线a ∥b ，把三角板的直角顶点放在直线b 上，若、∠1=60 。则∠2的度数为 ．
中考数学专题6：图形与证明 第I卷\ 一、选择题 1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】 A．B． C．D． 2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【 】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【 】 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 4．如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【 】 A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG 5．如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且
AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90° , ②OC=OE， ③tan∠OCD = ，④ 中，正确的有【 】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形 A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作内接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作内接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n的边长是【 】 （A） （B） （C） （D） 7．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为【 】 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 8．一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为【 】 A．30πcm2 B．25πcm2 C．50πcm2 D．100πcm2 9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【 】
图形的折叠问题 【专题思路剖析】 图形的折叠实际就是反射变换或者说是对称变换，或者说是翻折。这类问题大都联系实际，内容丰富，解法灵活，具有开放性，有利于考查解题者的动手能力，空间观念和几何变换的思想。 折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系． 图形折叠问题既考查学生的动手能力,又考查了想象能力,涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题,它与代数、几何均有联系。折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来。在折叠过程中,通过观察图形中的变与不变,灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。近年来,折叠问题（对称问题）是中考出现频率较高的一类题型,学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻,导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几类典型的折叠问题的剖析,从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。 【典型例题赏析】 类型1：三角形中的折叠问题 折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角形，利用勾股定理求解． 例题1： 4．（2015?乌鲁木齐,第7题4分）如图，△ABC的面积等于6，边AC=3，现将△ABC沿AB 所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是（） A．3 B．4 C．5 D．6
考点：翻折变换（折叠问题）． 分析：过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可． 解答：解：如图： 过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M， ∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处， ∴∠C′AB=∠CAB， ∴BN=BM， ∵△ABC的面积等于6，边AC=3， ∴1 2 ×AC×BN=6， ∴BN=4， ∴BM=4， 即点B到AD的最短距离是4， ∴BP的长不小于4， 即只有选项A的3不正确， 故选A． 点评：本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式练习】 (2014?黑龙江牡丹江, 第7题3分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A的度数是（）
专题 勾股定理证明中几种基本图形的拓展应用 一、勾股数 1.如图，已知所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5，则,,,A B C D 四个小正方形的面积之和等于 . 2.如图，已知在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?， 4AB =，分别以,AC BC 为直径作半圆，面积分别记为12,S S ，则12S S +等于 . 3.如图，已知ABC ?为直角三角形，分别以直角边 ,AC BC 为直径作半圆AmC 和BnC ，以AB 为直径作半圆ACB ，记两个月牙形阴影部分的面积之和为1S ，ABC ?的面积为2S ，则1S 与2S 的大小 关系为 . 4.如图，以Rt ABC ?的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边 3AB =，则图中阴影部分的面积 为 . 5.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 ABCD ，正方形CEFG ，正方形KHIJ ，正方形JLMN 的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形ROPQ 的面积是 . 二、弦图 6.如图是“赵爽弦图”，其中ABH ?，BCG ?，CDF ?和DAE ?是四个全等的直角三角形， 四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设,,AD c AE a DE b ===，取10,2c a b =-=. (1)求正方形EFGH 的面积以及四个直角三角形的面积和; (2)求2()a b +的值.
7. (1)如图①是《赵爽弦图》.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积. (2)现有一张长为6.5 cm ，宽为2 cm 的纸片，如图②，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形. (要求:先在图②中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据) 8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”后人称其为“赵爽弦图”(如图①).图②是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形 ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123,,S S S ，若12310S S S ++=，求2S 的值. 第8题图 9. 如图①，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形. ① ② ③ 第9题图 (1)拼成的正方形的面积是多少? (2)在如图②的33?方格图中，画出一个面积为5的正方形; (3)如图③，请你把十个小正方形组成的图形纸，剪开并拼成一个大正方形，在原图上用虚线画出剪拼示意图.
微专题五与四边形有关的证明和计算 一、选择题 1、（2019?哈尔滨）如图，在?ABCD中，点E在对角线BD上，EM∥AD，交AB于点M， EN∥AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是（） A．＝B．＝C．＝D．＝ 2、（2019?襄阳）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧， 两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是（） A．正方形B．矩形C．梯形D．菱形 3、（2019?龙东）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝3：2，过点B 作BE∥AC，过点C作CE∥DB，BE、CE交于点E，连接DE，则tan∠EDC＝（） A．B．C．D． 4、（2019?大庆）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝1，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1，则线段CD扫过的面积为（） A．B．C．πD．2π 5、（2019?龙东）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC
的垂线AF交DC的延长线于点E，点F是垂足，连接BE、DF，DF交AC于点O．则下列结论：①四边形ABEC是正方形；②CO：BE＝1：3；③DE＝BC；④S四边形OCEF ＝S△AOD，正确的个数是（） A．1B．2C．3D．4 二、填空题 6、（2019?达州）如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD的周长为． 7、【2019?重庆】如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，AB长 为半径画弧，交CD于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是． 8、（2019?梧州）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆 时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是． 9、（2019?龙东）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且 S△P AB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为．
图形与证明专题训练 一、填空题：（每题 3 分，共 36 分） １、命题“互余的两个角一定是锐角”是＿＿＿＿命题（填“真”或“假”）。 ２、命题：“相等的角是对顶角”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿。３、“等腰三角形的底角相等”的逆命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。４、用反证法证明：“直角三角形的两个锐角互余”时，应先假设＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。５、在△ABC中，a＝3，b＝4，c＝5，则∠C＝＿＿＿＿。 ６、等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 7cm，则其周长为＿＿＿＿。 ７、如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，且∠1＝50°，则∠B＝＿＿＿＿。 ８、在□ ABCD 中，∠A＋∠C＝200°，则∠B＝＿＿＿＿。 ９、矩形的面积为 48cm2，其中一边长为 6cm，则对角线长为＿＿＿＿。 10、梯形中位线长 10，一对角线把它分成 2∶3，则梯形较长的底边为 ＿＿＿＿。 11、如图，已知AB∥CD，则∠α＝＿＿＿＿。 12、如图，已知∠1＝∠2，若再加一个条件就能使结论“AB·DE＝ FE·BC”成立，则这个条件可以是＿＿＿＿＿＿＿＿。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、若∠1 和∠2 是同旁内角，是∠1＝30°，则∠2 为（） A、30° B、150° C、30°或 150° D、无法确定 ２、下列命题中，是其命题的有（） A、两锐角之和是锐角 B、钝角减去锐角得锐角 C、钝角大于它的补角 D、锐角小于它的余角 ３、下列判断正确的是（） A、对角线相等的四边形是矩形 B、四边都相等的四边形是正方形 C、对角线互相垂直的四边形是菱形 D、对角线互相平分的四边形是平行四边形 ４、直角三角形中，两条直角边长分别是 5 和 12，则斜边上的中线长是（） A、26 B、6.5 C、8.5 D、13 ５、一个菱形的两条对角线长分别是 6cm、8cm，则它的面积是（） A、48cm2 B、38cm2 C、24cm2 D、12cm2 ６、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为 8cm，则它的高为（） A、4cm B、8cm C、4cm D、8cm
图形与变换 玉门油田第二中学任晓玲 一.教学目标 （一）知识与技能 1.理解平移、轴对称、旋转、相似这些图形变换的基本性质，掌握变换与坐标的关系，能运用图形变换解决相关问题的计算和证明。 2.通过对各种类型题目的探索，提高学生观察分析问题的能力，培养学生思维的灵活性、敏捷性及准确性，从而有效地解决相关问题。 （二）数学思考 1.经历观察、实验、猜想、比较、分析、证明等数学活动，发展学生的合情推理能力，提高和完善逻辑思维能力和运用知识解决问题的能力。 2.灵活运用基础知识，在解决图形与变换的问题中进一步体会数形结合思想、转化思想、方程与函数思想、分类讨论思想等数学思想。 3.多角度、多侧面、多层次的思考问题，优化学生的思维品质，培养学生的创新意识。 （三）解决问题 1.通过复习，让学生熟练掌握图形与变换的基本知识、基本方法和基本技能。 2.提高学生分解、组合图形的能力，重视在平移、轴对称、旋转、相似变换过程中学生思维连贯性的训练，减少思维的盲目性、间断性。 3.加强图形变换知识与方程（方程组）知识、函数知识、面积知识、网格知识、图形设计知识及其它学科间知识的联系，提高学生综合运用数学知识的水平。 4.学会与人合作，并能交流思维的过程和结果。 （四）情感态度 1.通过本节知识的学习，体验一般与特殊之间的关系、图形之间运动变化的关系，从而树立辩证唯物主义世界观。 2.在解决问题过程中获得成功体验，培养自己克服困难、勇于探索、勇于创新的意识和能力，建立自信心。二．教学重点、难点 教学重点：四种图形变换的有关性质及其应用 教学难点：在图形变换问题的探究过程中，发现其中的内在联系，并自觉运用运动变化的观点思考问题 三．教学媒体多媒体课件 四．教学过程 ［活动一］课题引入，了解目标 图形与变换自始至终贯穿于我们初中数学教材之中，是我们学习数学的一条线索，它把我们带入了一个充满变化的数学世界。它涉及的知识广泛，考查方法灵活多样，越来越受到中考命题的青睐，成为中考命题的热点之一。我市2008年中考数学试卷中这方面的相关知识考查达到了20分左右，占据了较大的比重。 这节课我将和大家来复习这方面的知识。 师生行为：教师简要介绍本节课的内容以及在中考中的位置，让学生对本节课的目标有一个初步的了解，激发学生的学习欲望。 教师重点关注：学生的精神状态是否饱满，是否对这节课表现出强烈的求知欲。 ［活动二］专题训练，夯实基础 专题训练一：平移 （1）平移的概念及性质 （2）典型习题 1.如图，四边形ABCD平移到四边形A'B'C'D' 的位置，这时可把四边形A'B'C'D' 看作先将四边形ABCD向右平移格，再向下平移 2格。 2.在平面直角坐标系中, △ABC的三个顶点的位置如图所示，点A'的坐标是（－2,2）, 现将△ABC平
A 图 A A 图3 A 图2 2016中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析 几何图形线段长度计算三大方法： “勾股定理” “相似比例计算” “直角三角形中的三角函数计算” 1.（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O 中，点C 为劣弧AB 上的中点，连接AC 并延长至D ，使CD ＝CA ，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，连接AE 。 （1）求证：AE 是⊙O 的直径； （2）如图10，连接EC ，⊙O 半径为5，AC 的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号） （1）证明：如图2，连接AB 、BC ， ∵点C 是劣弧AB 上的中点 ∴??CA CB = ∴CA＝CB ，又∵CD＝CA ∴CB＝ CD ＝CA ，∴在△ABD 中，1 2 CB AD = ∴∠ABD＝90° ，∴∠ABE＝90° ∴AE 是⊙O 的直径. （2）解：如图3，由（1）可知，AE 是⊙O 的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵⊙O 的半径为5，AC ＝ 4， ∴AE＝ 10，⊙O 的面积为25π， 在Rt△ACE 中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得： CE = = ∴S △ACE ＝11 422 AC CE ??=??=∴S 阴影 ＝1 2S ⊙O －S △ACE ＝1252522 ππ?-=- 2.（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′ 的位置，BC ′交AD 于点G 。 （1）求证：AG ＝C ′G ； （2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长。 （1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知， CD ＝C ′D ，∠C＝∠C′＝90° 在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A＝∠C＝90° ∴AB＝ C ′D ，∠A＝∠C′ 在△ABG 和△C′DG 中，∵AB＝ C ′D ，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′G D ∴△ABG≌△C′DG （AAS ） ∴AG＝C ′G （2）解：如图5，设EM ＝x ，AG ＝y ，则有：C ′G ＝y ，DG ＝8－y ，1 42 DM AD cm ==， 在Rt△C′DG 中，∠DC′G ＝90°，C ′D ＝CD ＝6， ∴ C ′G 2＋C ′D 2＝DG 2 即：y 2＋62＝（8－y ）2 解得： 74y = ∴C′G ＝74cm ，DG ＝25 4 cm 又∵△DME∽△DC′G ∴ DM ME DC C G = ''， 即：476() 4 x =解得：76x =， 即：EM ＝76（cm ） ∴所求的EM 长为7 6 cm 。 【典型例题分析】 图11 A B D C C G 图12 A B D 图4 A B D C C G 图5 A B D
专题五图形与证明 一、考点综述 考点内容： 1.了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义； 2.掌握平行线的性质定理和判定定理； 3.全等和相似三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等相似的判定定理； 4.掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、 三角形中位线定理； 5.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理； 6.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理； 7.与圆有关的性质和定理 考纲要求： 1.基本概念、三角形、四边形与特殊四边形等知识是推理论证的对象，要求能进行 较严格的推理证明；题目以“证明”形式存在； 2.圆中的切线要求会证明； 4.会用相似形或全等的知识证明或求解线段与角度的计算问题. 5.会用解直角三角形的知识求解实际问题. 6.能用圆心角、圆周角换算与计算，能求解弧长与扇形面积；会求圆柱与圆锥的表 面积；能解决圆与解直角三角形的结合问题. 7.能用反证法证明简单的文字问题. 考查方式及分值： 本部分的内容多以解答或证明说理的形式出现，中考压轴的题目往往是这部分多种知识的综合，所占分值比重比较高约占30%左右。 备考策略： 本部分知识是中考的重点，在复习时必须首先要掌握好各种定理和性质，能熟练记住，再进一步强化训练，立足于课本，要一题多解、举一反三。 二、例题精析
例1．如图1，已知点D 在ABC △的BC △边上，DE AC ∥交AB 于E ，DF AB ∥交AC 于F ． （1）求证：AE DF =； （2）若AD 平分BAC ∠，试判断四边形AEDF 的形状，并说明理由． 解题思路：本题主要考查同学们对平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法的把握． 证明：（1）∵DE AC ∥， ∴ADE DAF ∠=∠，同理DAE FDA ∠=∠． ∵AD DA =， ∴ADE DAF △≌△，∴AE DF =． （2）若AD 平分BAC ∠，四边形AEDF 是菱形． ∵DE AC ∥，DF AB ∥， ∴四边形AEDF 是平行四边形， ∵FAD EAD ∠=∠，∴AF DF =， ∴平行四边形AEDF 为菱形． 规律总结：三角形全等及平行四边形的性质都可以证明两线段相等，此类题起点低，注重基础知识及基本技能的考查，考查了同学们最基本的几何推理证明能力． 例2．如图2，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过圆心O 作 OD AC ⊥，D 为垂足，E 是BC 上一点，G 是DE 的中点，OG 的延长 线交BC 于F ． （1）图中线段OD 、BC 所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程； （2）猜想线段BE EF FC ，，三者之间有怎样的数量关系？ 写出你的结论，并给出证明过程． 解题思路：平面内两直线的位置关系只有平行和相交两种，先通过观察图形可猜想OD ∥BC ，再利用圆的有关概念及性质得证． 解：（1）结论：OD BC ∥． 证明：∵AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点， ∴90ACB ∠=，即BC ⊥AC ． 又OD ⊥AC ，∴OD ∥BC ．
微专题十五巧用旋转进行证明与计算 [见学用《高分作业》PB60] 【经典母题】 已知等边三角形ABC(如图Z15－1)． (1)以点A为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转30°，作出旋转后的图形； (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的 判断． 图Z15－1 经典母题答图 解：(1)如答图所示； (2)AD⊥BC，DE⊥AC，AB⊥AE.证明略． 【思想方法】旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，找到解题突破口． 【中考变形】 1．[2018·淄博]如图Z15－2，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为(A) A．9＋253 4B．9＋ 253 2 C．18＋25 3 D．18＋253 2
图Z15－2 中考变形1答图 【解析】 ∵△ABC 为等边三角形，∴BA ＝BC ， 如答图，可将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°得△BEA ，连结EP ，且延长BP ，作AF ⊥BP 于点F . ∴BE ＝BP ＝4，AE ＝PC ＝5，∠PBE ＝60°， ∴△BPE 为等边三角形， ∴PE ＝PB ＝4，∠BPE ＝60°， 在△AEP 中，AE ＝5，AP ＝3，PE ＝4， ∴AE 2＝PE 2＋P A 2， ∴△APE 为直角三角形，且∠APE ＝90°， ∴∠APB ＝90°＋60°＝150°，∴∠APF ＝30°， ∴在Rt △APF 中，AF ＝12AP ＝32， PF ＝32AP ＝323， ∴在Rt △ABF 中，AB 2＝BF 2＋AF 2 ＝? ????4＋3232＋? ????322＝25＋123， 则△ABC 的面积是34AB 2＝34·(25＋123)＝9＋2534. 2．[2018·枣庄]如图Z15－3，在正方形ABCD 中，AD ＝23，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP ，连结AP 并延长交CD 于点E ，连结PC ，则△PCE 的面积为．
2020年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（江苏专用） 专题05 图形的计算与证明问题 【真题再现】 1．（2019年苏州中考第24题）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF 的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数． 2．（2019年无锡中考第21题）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O． （1）求证：△DBC≌△ECB； （2）求证：OB＝OC．
3．（2019年扬州中考第24题）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE ＝10． （1）求证：∠BEC＝90°； （2）求cos∠DAE． 4．（2019年徐州中考第23题）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证： （1）∠ECB＝∠FCG； （2）△EBC≌△FGC． 5．（2019年常州中考第21题）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E． （1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是； （2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
6．（2019年连云港中考第22题）如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O． （1）求证：△OEC为等腰三角形； （2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由． 7．（2019年宿迁中考第22题）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE ＝DF=3 2． （1）求证：四边形AECF是菱形； （2）求线段EF的长． 8．（2019年镇江中考第20题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由． 【专项突破】 【题组一】 1．（2020?崇川区校级模拟）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点
考复习专题六 图形与证明 【考点聚焦】 图形与证明是空间与图形的核心内容之一，它贯穿在整个几何知识的学习及运用之中． 内容主要有：了解定义、命题、定理、互逆命题、反证法的含义；掌握平行线的性质定理和判定定理、全等三角形的性质定理和判定定理、直角三角形全等的判定定理；掌握三角形的内角和定理和推论、角平分线和垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理；掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形性质与判定定理；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理． 【热点透视】 热点1：把握三角形全等的性质，考查线段相等的证明． 例1 （2008郴州）如图１，菱形ABCD 中，E F ，分别为BC 、 CD 上的点，且CE CF =．求证：AE AF =． 分析：本题中灵活运用菱形的性质：四边相等，两组对角分别相 等．找到全等三角形的对应元素是解本题的关键． 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB BC CD AD ===，B D ∠=∠． ∵CE CF =，∴BE DF =． 在ABE △与ADF △中，AB AD =，B D ∠=∠，BE DF =． ∴ABE ADF △≌△，∴AE AF =． 点评：掌握全等三角形的概念和性质，还要能准确辨认全等三角形中的对应元素，通过证明全等来证明线段相等或者角相等． 热点2：紧扣三角形全等的判定，考查三角形全等的开放型问题． 例2 （2008湘潭）如图2，在正五边形ABCDE 中，连结对角线AC 、 AD 和CE ，AD 交CE 于F ． （1）请列出图中两对全等三角形_________________（不另外添加辅 助线）； （2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明． 分析：由正多边形的性质可知：正多边形的各边相等，各角相等．这是一类结论不惟一的试题．解决此类问题的关键是依据图形，通过准确辨认全等三角形的对应元素，证明三角
八年级数学暑假专题图形与证明同步练习上科版 （答题时间：30分钟） 一、精心选一选 1、下列问题你不能肯定的是（） A. 一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小关系 B. 三角形的内角和 C. n边形的外角和 D. 三角形与矩形的面积关系 2、下列问题用到推理的是（） A. 根据x=1,y=1 得x=y B. 观察得到四边形有四个内角 C. 老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘 D. 由公理知道过两点有且只有一条直线 3、下列句子中,不是命题的是（） A. 三角形的内角和等于180度 B. 对顶角相等 C. 过一点作已知直线的垂线 D. 两点确定一条直线 4、已知下列命题：①相等的角是对顶角；②互补的角就是平角；③互补的两个角一定是一个为锐角，另一个为钝角；④平行于同一直线的两条直线平行；⑤邻补角的平分线互相垂直。其中，真命题的个数为（） A. 0 B. 1个 C. 2个 D. 3个 5、下列命题的逆命题不正确的是（） A. 两直线平行，同位角相等 B. 直角三角形的两个锐角互余； C. 平行四边形的对角线互相平分 D. 菱形的对角线互相垂直。 6、如下图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（） A. 180o B. 360o C. 540o D. 720o 二、耐心填一填 7、命题“矩形的对角线相等”的逆命题是。 这个逆命题是命题（填“真”或“假”） 8、举反例说明命题是假命题：同旁内角互补。 9、某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： （1）如果去A地，那么也必须去B地； （2）D、E两地至少去一处； （3）B、C两地只去一处； （4）C、D两地都去或都不去； （5）如果去E地，那么A、D两地也必须去 依据上述条件，你认为参观团只能去_________