数列极限及其应用

高中数学中的数列极限定义及其应用数列极限出现在高中数学中，是一个重要的概念。

它是指随着自变量趋近于某个数的时候，函数值无限接近于某个数的现象。

在数学中，极限的概念是非常重要的，它广泛应用于计算、物理等科学领域。

下面我们将深入探讨高中数学中的数列极限定义及其应用。

一、数列极限定义数列极限是一个数学概念，它是指在数列中，当数列的每一项都无限接近一个常数时，这个常数就是该数列的极限。

正式的定义如下：设$\{a_n\}$为一个数列，$A$为一个实数，若对于任意一个$\epsilon>0$，都存在自然数$N$，使得当$n>N$时，都有$|a_n-A|<\epsilon$成立，那么称$A$是数列$\{a_n\}$的极限。

在这个定义中，$A$被称为数列$\{a_n\}$的极限，$\epsilon$是一个任意小的正数，$N$则是自然数中的一个整数。

这个定义说明了一个数列极限的核心概念：无限接近。

二、数列极限的概念在数学中的应用1.极限的运用数列极限的概念在证明极限的时候是非常常见的。

在数学中，极限是一种非常常见的概念。

当我们求解一个极限的时候，需要使用到数列极限的概念。

比如说，在分析某个函数的性质时，我们需要求解这个函数值在某个点附近的极限。

在数学中，数列极限的概念是非常重要的工具之一。

2.应用于微积分和数学分析数列极限的概念在微积分和数学分析中也得到了广泛的应用。

比如说，我们在求导的时候，需要求解函数在某个点附近的极限值。

在这种情况下，我们需要使用到数列极限的概念来求解函数的极限值。

3.应用于统计学数列极限的概念在统计学中也发挥着巨大的作用。

在统计学中，我们需要对样本数据进行相应的分析。

在这种情况下，我们可以使用数列极限的概念来判断样本数据是否具有显著性，从而得出更加准确的统计结论。

4.应用于物理学数列极限的概念还在物理学中得到了广泛应用。

比如说，在物理学中，我们需要对某个物理量进行相应的分析。

数列与数列极限的应用知识点总结数列是离散的数值按一定规律排列形成的序列。

数列的极限是指数列中的数值随着项数的增加趋于某个常数或无穷大的概念。

在数学中，数列与数列极限有着重要的应用，涉及到许多知识点和概念。

本文将对数列与数列极限的应用进行总结。

一、等差数列与等差数列极限的应用等差数列是一种数列，其中每一项与前一项的差都是相等的。

等差数列的极限很容易得出，根据等差数列的递推关系式可以得到等差数列的通项公式，从而求得极限。

等差数列在实际生活中的应用非常广泛，例如用于计算等差数列中的数值，预测未来的数值等。

在等差数列中，有一个重要的知识点是公差的概念。

公差是等差数列中相邻两项之间的差值，可以通过已知的数列前几项求得。

公差在等差数列的求和公式中起着重要的作用，通过公差可以确定数列的和。

等差数列的和在实际应用中有着重要的意义，例如利用等差数列的求和公式可以计算人口年增长等。

二、等比数列与等比数列极限的应用等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值都是相等的。

等比数列的极限也可以通过等比数列的递推关系式得出。

等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，例如用于计算复利的增长，物质的衰变等。

在等比数列中，有一个重要的知识点是公比的概念。

公比是等比数列中相邻两项之间的比值，可以通过已知的数列前几项求得。

公比在等比数列的求和公式中起着重要的作用，通过公比可以确定等比数列的和。

等比数列的和也在实际应用中扮演着重要的角色，例如计算连续投资的收益等。

三、数列极限的应用除了等差数列和等比数列，数列极限在其他数列中也存在广泛的应用。

数列极限可以用于判断数列的收敛性和发散性，进而推断数列的性质和变化趋势。

数列极限在微积分、物理学等领域都有着重要的应用。

数列极限的应用还涉及到一些重要的概念，如无穷大和无穷小。

无穷大是指数列中随着项数的增加，数值趋于无限大的情况。

无穷小则是指数列中随着项数的增加，数值趋于零的情况。

这些概念在数列极限的推导和证明中具有重要意义。

数列极限的求法及应用摘要数列极限是高等数学中的重要概念，它是描述数列中元素趋向的一个性质。

数列极限的求法主要有一般法、夹逼法和单调有界数列的收敛性质等方法。

数列极限的应用非常广泛，包括在微积分、实分析、概率论等数学领域，以及在物理、工程、经济等应用科学中都有重要应用。

一般法是求解数列极限的一种常用方法。

根据极限的定义，对于给定的数列{an}，如果存在一个常数L，对于任意给定的ε（ε>0），都存在一个正整数N，当n>N 时，有an-L <ε成立，则称L是数列{an}的极限。

在使用一般法求解数列极限时，常常使用一些常见的极限性质，例如有理数列、等差数列、等比数列等常见数列的极限都可以利用极限性质进行求解。

通过一般法求解数列极限时需要观察数列的性质，利用已知的极限性质进行计算，是一种常见的求解方法。

夹逼法也是一种常用的求解数列极限的方法。

夹逼法是利用已知的两个数列的极限来求解目标数列的极限。

假设数列{an}总是位于两个已知的数列{bn}和{cn}之间，且{bn}和{cn}的极限都为L，那么当数列{an}的极限存在时，其极限也必然为L。

通过夹逼法求解数列极限时，通常需要找到一个适当的数列{bn}和{cn}，使得数列{an}恒大于等于{bn}且恒小于等于{cn}，从而可以利用已知的{bn}和{cn}的极限性质来求解目标数列{an}的极限。

另外，对于单调有界的数列，存在一个重要的性质——单调有界数列的极限存在。

具体来说，如果数列{an}是单调递增或者单调递减的，并且数列{an}有界，那么数列{an}的极限一定存在。

这是因为单调有界数列具有单调性和有界性，使得数列的极限一定存在，并且可以通过已知的单调性和有界性求解出极限的值。

数列极限的应用非常广泛，其中包括微积分、实分析、概率论等数学领域。

在微积分中，数列极限是无穷级数收敛性的基础，通过研究数列极限的性质可以进一步推导出级数的收敛性。

同时，数列极限还可以用于研究函数的收敛性，例如利用数列极限可以证明函数在某一点的极限存在，从而进一步展开对函数极限的研究。

序列极限和数列极限的基本概念及其应用作为数学学科的重要分支，更新迭代的发展让人们在了解自然世界和现实生活中问题的本质时有了更为清晰的认识。

数列是数学中一个非常重要的概念，而其中的两个重要概念——序列极限和数列极限——则在很多领域都有着广泛的应用，接下来让我们一起来探讨一下它们的基本概念以及应用。

一、序列极限与数列极限的定义1. 序列极限序列，是指按照一定规律排列成的一些数的集合。

比如说，一个序列可以由某个公式给出：$a_n=\dfrac{n+2}{2n+3}$，其中$n$为一个大于等于$1$的整数。

这个序列为：$a_1=\dfrac{3}{5}$，$a_2=\dfrac{4}{7}$，$a_3=\dfrac{5}{9}$……等等。

那么，序列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，$a_n$的极限值，记作$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$。

在上述序列中，$\lim\limits_{n \to \infty} a_n$等于$\dfrac{1}{2}$，也就是说，当$n$趋近于正无穷时，序列$a_n$越来越靠近$\dfrac{1}{2}$。

2. 数列极限数列，指的是按照一定规律排列成的数字的集合。

比如，$1,\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{4},\dots$就是一个数列。

数列极限就是指当$n$趋近于正无穷时，数列的某一项的极限值。

与序列不同，数列极限只考虑数列中某一项的极限值，而不是整个数列在极限情况下的值。

比如，数列$\{a_1=\dfrac{1}{2},a_2=\dfrac{1}{4},a_3=\dfrac{1}{8},\dots,a_n=\d frac{1}{2^n},\dots\}$的第$n$项就是$a_n=\dfrac{1}{2^n}$。

那么，该序列的数列极限为$0$。

二、序列极限与数列极限的性质序列极限和数列极限都有以下几个基本性质：1. 极限唯一序列极限和数列极限都是唯一的。

数列极限的求法及其应用内容提要数列极限可用Nε-语言和A N-语言进行准确定义，本文主要讲述数列极限的不同求法，例如：极限定义求法、极限运算法则法、夹逼准则求法、单调有界定理求法、函数极限法、定积分定义法、Stoltz 公式法、几何算术平均收敛公式法、级数法、收缩法等等.我们还会发现同一数列极限可用不同方法来求.最后我们还简要介绍了数列极限在现实生活中的应用，如几何中推算圆面积，求方程的数值解，研究市场经营的稳定性及购房按揭贷款分期偿还问题.通过这些应用使我们对数列极限有一个更系统立体的了解.关键词ε-定义；夹逼准则；Stoltz公式；函数极限NOn the Solutions and the Applications as to the Sequence LimitAbstractThe limit of a sequence can be accurately defined by Nε-language and A N-language. This paper mainly describes different solutions to finding sequence limit, for example, definition of sequence limit method, fundamental operations of sequence limit method, squeezing law method, the monotone convergence theorem method, function limits method, definite integrals definition method, Stoltz formula method, geomeric and arithmetic convergence formula method, series method, contraction method, etc. We'll also find that different methods can be used to solve the same limit.Finally, we also briefly introduce the applications of sequence limit in real life, such as, infering the area of a circle in geometry, finding the numerial solution of equations, studying the stability of the market operation and the amortization problems of purchase mortgage loans.Key Wordsε-definition; Squeezing law; Stoltz formula; Function limits N目录第一章数列极限的概念 (1)1.1 数列极限的定义及分类 (1)1.2 数列极限求法的常用定理 (2)第二章数列极限的求法 (4)2.1 极限定义求法 (4)2.2 极限运算法则法 (6)2.3 夹逼准则求法 (7)2.4 单调有界定理求法 (8)2.5 函数极限法 (9)2.6 定积分定义法 (10)2.7 Stoltz公式法 (11)2.8 几何算术平均收敛公式法 (12)2.9 级数法 (13)2.10 其它方法 (15)第三章数列极限在现实生活中的应用 (17)3.1 几何应用-计算面积 (17)3.2 求方程的数值解 (18)3.3 市场经营中的稳定性问题 (19)3.3.1 零增长模型 (19)3.3.2 不变增长模型 (20)3.4 购房按揭贷款分期偿还 (21)第四章结论 (23)致谢 (24)参考文献 (24)数列极限的求法及其应用学号：071106132 作者：杨少鲜 指导老师：董建伟 职称：讲师第一章 数列极限的概念在研究数列极限解法之前，首先我们要清楚数列极限的定义.这是对数列极限做进一步深入研究的先决基础. 1.1 数列极限的定义及分类数列极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术.因一系列圆内接正多边形的面积n A 在n 无限增大（n →∞）时，内接正多边形无限接近于圆，同时n A 也无限接近于某一确定的数，此时这一数值可精确表达圆的面积.在解决类似的实际问题中逐步的引出了数列极限.针对不同的数列极限我们对其定义将会有细微的不同，下面主要介绍两种定义：N ε-定义，A N -定义.定义1（N ε-语言）：设{}n a 是个数列，a 是一个常数，若0ε∀>，∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a a ε-<，则称a 是数列{}n a 当n 无限增大时的极限，或称{}n a 收敛于a ，记作lim n n a a →+∞=，或()n a a n →→+∞.这时，也称{}n a 的极限存在.定义2（A N -语言）：若0A >,∃正整数N ，使得当n N >时，都有n a A >,则称+∞是数列{}n a 当n 无限增大时的非正常极限，或称{}n a 发散于+∞，记作lim n n a →+∞=+∞或()n a n →+∞→+∞，这时，称{}n a 有非正常极限.对于,-∞∞的定义类似，就不作介绍了.为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理. 1.2 数列极限求法的常用定理定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{}n a 和{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都是收敛数列，且有 ()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅若再假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是收敛数列，且有 lim lim /lim n n n n n n n a a b b →∞→∞→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭. 定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.定理1.2.3（∞Stoltz 公式） 设有数列{}n x ，{}n y ，其中{}n x 严格增，且lim n n x →+∞=+∞（注意：不必lim n n y →+∞=+∞）.如果11lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），则 11lim lim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==- 定理1.2.3'（00Stoltz 公式） 设{}n x 严格减，且lim 0n n x →+∞=，lim 0n n y →+∞=.若11lim n n n n n y y a x x -→+∞--=-（实数，,+∞-∞），则11limlim n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-.定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim n n a a →∞=，则 （1）12 (i)nn a a a a n→∞+++=， （2）若()01,2,...n a n >=，则n a =. 定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时，有 n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且limn n c a →∞=. 定理1.2.6（归结原则）设f 在()0;U x δ'内有定义.()0lim x xf x →存在的充要条件是：对任何含于()0;U x δ'且以0x 为极限的数列{}n x ，极限()lim n n f x →∞都存在且相等.第二章 数列极限的求法2.1 极限定义求法在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N .我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子.例2.1.1 求n ，其中0a >. 解：1n =. 事实上，当1a =时，结论显然成立.现设1a >.记11na α=-，则0α>. 由 ()11111nn a n n a αα⎛⎫=+≥+=+- ⎪⎝⎭,得 111na a n--≤. （5） 任给0ε>，由（5）式可见，当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<.即11na ε-<.所以1n =.对于01a <<的情况，因11a >，由上述结论知1n =，故 111n n ===. 综合得0a >时，1n =. 例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.证明：由lim n n a a →∞=，则0ε∀>，存在10N >，使当1n N >时，有 /2n a a ε-<,则()111211 (1)......n N N n a a a a a a a a a a a a n n++++-≤-++-+-++-. 令11...N c a a a a =-++-，那么121 (2)n a a a n N c a n n n ε+++--≤+⋅. 由lim0n cn→∞=，知存在20N >，使当2n N >时，有2c nε<. 再令{}12max ,N N N =,故当n N >时，由上述不等式知121 (2222)n a a a n N a n n εεεεε+++--≤+⋅<+=. 所以 12...lim nn a a a a n→∞+++=. 例 2.1.3 求7lim !nn n →∞.解：7lim 0!nn n →∞=. 事实上，7777777777771......!127817!6!n n n n n n=⋅⋅⋅≤⋅=⋅-. 即77710!6!n n n-≤⋅. 对0ε∀>，存在7716!N ε⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，便有77710!6!n n nε-≤⋅<，所以7lim 0!n n n →∞=. 注：上述例题中的7可用c 替换，即()lim 00!nn c c n →∞=>.2.2 极限运算法则法我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大.若已知某些极限的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法.例2.2.1 求11101110...lim ...m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++,其中00m k m k a b ≤≠≠，，.解：分子分母同乘k n -，所求极限式化为1111011110...lim ...m k m k k km m k kn k k a n a n a n a n b b n b n b n ---------→∞-++++++++.由()lim 00n n αα-→∞=>，知， 当m k =时，所求极限等于mma b ；当m k <时，由于()00m k n n -→→，故此时所求极限等于0.综上所述，得到11101110,...lim ....0,mmm m m m k k n k k a k ma n a n a n ab b n b n b n b k m---→∞-⎧=++++⎪=⎨++++⎪>⎩例2.2.2 求lim 1n n n a a →∞+，其中1a ≠-. 解: 若1a =，则显然有1lim 12n n n a a →∞=+； 若1a <，则由lim0n n a →∞=得 ()lim lim /lim 101nn n n n n n a a a a →∞→∞→∞=+=+； 若1a >，则11lim lim 111101n n n n n a a a→∞→∞===+++.2.3 夹逼准则求法定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限()()1321lim242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅.解：因为21n n =>=-= 所以()()13210242n n ⋅⋅⋅⋅-<<=⋅⋅⋅⋅. 因 limn =，再由迫敛性知 ()()1321lim0242n n n →∞⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅.例2.3.2 求数列的极限.解： 记1n n a h ==+，这里()01n h n >>，则 ()()2112n nn n n n h h -=+>,由上式得 )01n h n <<>，从而有111n n a h ≤=+≤ , （2）数列1⎧⎪⎨⎪⎩是收敛于1的，因对任给的0ε>，取221N ε=+，则当n N >时有11ε+<.于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性得1n=.例2.3.3设1a>及*k N∈，求limknnna→∞.解：lim0knnna→∞=.事实上，先令1k=，把a写作1η+，其中0η>.我们有()()()2221111...2nnn n nn na nnηηηη<==<--++++.由于()()22lim021nnnη→∞=≥-，可见nna⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷小.据等式()1/kknn kn na a⎛⎫⎪=⎪⎝⎭，注意到1/1ka>，由方才所述的结果()1/n kna⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是无穷小.最后的等式表明，knna⎧⎫⎨⎬⎩⎭可表为有限个（k个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即lim0knnna→∞=.2.4 单调有界定理求法有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会对我们有很大帮助，我们来看几个例子.例2.4.1求例2.1.3注解中的()lim00!nnccn→∞=>.解：()lim00!nnccn→∞=>.事实上，令*!nn c x n N n =∈，.当n c ≥时，()11n nn cx x x n +=≤+. 因此{}n x 从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0.因此，由单调有界原理知极限lim n n x x →∞=存在，在等式()11n ncx x n +=+的等号两边令n →∞，得到00x x =⋅=,所以{}n x 为无穷小.从而()lim 00!nn c c n →∞=>.例2.4.2 求极限n n 个根号）.解：设1n a =>，又由13a =<，设3n a <，则13n a +=<=. 因1n n a a +=>，故{}n a 单调递增. 综上知{}n a 单增有上界，所以{}n a 收敛. 令lim 13n n a a a →∞=≤≤，，由1n a += 对两边求极限得a =3a =.2.5 函数极限法有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,即求n 解：先求x 因ln ln lim1/0lim lim 1x aa xxx x x x a e ee →∞→∞→∞=====,再由归结原则知1n =.例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,即求n 解：先求x .因ln ln lim0lim 1x xx xx x x e ee →∞→∞====，再由归结原则知1n =. 例2.5.3 用函数极限求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求lim k n n na→∞.解：先求lim kx x x a→∞.因()1!lim lim .....lim 0ln ln k k k x x xx x x x kx k a a a a a -→∞→∞→∞====（由洛比达法则），再由归结原则知lim 0knn n a →∞=. 2.6 定积分定义法通项中含有!n 的数列极限，由于!n 的特殊性，直接求非常困难，若转化成定积分来求就相对容易多了. 例2.6.1求n →∞解：令y =11ln ln n i iy n n==∑.而()++1100011lim ln lim ln ln lim ln lim 1ln 1n n n i iy xdx xdx n n εεεεεε→∞→∞→→=====---=-⎡⎤⎣⎦∑⎰⎰, 也即ln lim 1n y →∞=-，所以1lim n n y e -→∞→∞==. 例2.6.2 求极限2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭. 解：因为22sinsin...sin sin sin sin ...11112nn n n n n n n nππππππ+++<+++++++2sinsin...sin 1nn n nπππ+++<+ ， 2sin sin...sin 12limlim sin sin ...sin 1112lim sin sin ...sin n n n n nn n n n n n n n n πππππππππππππ→∞→∞→∞+++⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦12sin xdx πππ==⎰，类似地2sinsin...sin lim 1n nn n nπππ→∞++++ 22122lim sin sin ...sin 1n n n n n n ππππππ→∞⎡⎤⎛⎫=⋅⋅+++= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦， 由夹逼准则知2sin sin sin 2lim ...1112n n n n n n n ππππ→∞⎛⎫⎪+++= ⎪+ ⎪++⎝⎭ . 注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz 公式法 Stoltz 公式，11limlim .n n n n n n n n y y y a x x x -→+∞→+∞--==-在求某些极限时非常方便，尤其是当1nn k k y a ==∑时特别有效.例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明. 证明：前面用N ε-定义法证明，现用Stoltz 公式证明.令12...,n n n y a a a x n =+++=，则由Stoltz 公式得到()()()1212121 (i)......lim 1n n n n n a a a na a a a a a n n →∞-→∞++++++-+++=--lim lim 1nn n n a a a →∞→∞===. 例2.7.2 求112...lim k k kk n n n +→+∞+++. 解： ()11112...lim lim 1k k k kk k k n n n n n n n +++→+∞→+∞+++=-- （Stoltz 公式） ＝()112111lim ...1kk k k n k k n C n C n+-→+∞++-+-- （二项式定理）＝11111k C k +=+. 2.8 几何算术平均收敛公式法上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,下面我们通过例子会发*n，类型的数列极限可以用此方法来简化其求法.例2.8.1 同例2.1.1一样求n 其中0a >. 解：令123,...1n a a a a a =====,由定理1.2.4（2）知lim 1n n n a →∞==. 例2.8.2 同例2.3.2一样求n 解：令()112,3, (1)n na a n n ===-，,由定理1.2.4（2）知lim lim 11n n n n n a n →∞→∞===-. 例2.8.3 同例2.6.1相似求n .解：令()111nnn nnan n+⎛⎫=+=⎪⎝⎭,则()12312231234123nn nna a an+⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅＝()()11!!n nnnn nnn n n++=⋅.所以1nn+=，1nn=+，而由定理1.2.4（2）知1lim lim1nnn n na en→∞→∞⎛⎫==+=⎪⎝⎭.故lim11n n nn ne en n→∞==⋅=++.例2.8.3求n→∞.解：令()1,2,3...na n==，则由定理1.2.4（1）知1...lim lim lim1nn n nan→∞→∞→∞++===.2.9 级数法若一个级数收敛，其通项趋于0（0n→）,我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想.例2.9.1用级数法求例2.1.3注()lim0!nnccn→∞>.解：考虑级数!nc n ∑，由正项级数的比式判别法，因()1lim /lim 011!!1n n n n c c cn n n +→∞→∞==<++， 故级数!nc n ∑收敛，从而()lim 00!n n c c n →∞=>. 例2.9.2 用级数法求例2.3.3,即设1a >及*k N ∈，求lim kn n n a→∞.解：考虑正项级数kn n a∑，由正项级数的比式判别法，因()11111lim/lim 1kkk n n n n n n n a a a n a+→∞→∞++⎛⎫=⋅=< ⎪⎝⎭， 故正项级数kn n a∑收敛，所以lim 0k n n n a →∞=. 例2.9.3 求极限()()222111lim ...12n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 解： 因级数211n n ∞=∑收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0ε∀>，存在0N >, 使得当n N >时，21221111nn k k k kε-==-<∑∑，此即()()222111...12n n n ε+++<+， 所以()()222111lim ...012n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 例2.9.4 求极限()212lim ...1n n n a aa a →∞⎛⎫+++> ⎪⎝⎭.解：令1x a=，所以1x <.考虑级数1n n nx ∞=∑， 因为()111lim lim1n n n n n nn x ax a nx ++→∞→∞+==<，所以此级数收敛.令 ()1nn s x nx ∞==∑，则()11n n s x x nx∞-==⋅∑.再令()11n n f x nx ∞-==∑，()1111xxn n n n xf t dt ntdt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰. 所以()()2111x f x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-. 而 ()()()()122111xa s x x f x x a --=⋅==--,所以()()122112lim ...1n n n a s x a a a a -→∞-⎛⎫+++== ⎪⎝⎭-. 2.10 其它方法除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们可以再看几个例子. 例2.10.1求(2limsin n →∞.解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性.(()22limsin limsin n n n π→∞→∞=＝22lim sin lim sin n n →∞→∞=＝2sin 12π=.例2.10.2 设21101222nn a c c c a a +<<==+，，,证明：{}n a 收敛，并求其极限.解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 ()0,1,2...n a c n <<=. 事实上,102c a c <=<.假设01n a c <<<，则2210222222n n a c c c c ca c +<=+<+<+=.令()222c x f x =+，则()f x x '=.()()()111n n n n n n a a f a f a f a a ξ+--'-=-=⋅-＝11n n n n a a c a a ξ--⋅-<-， （1）其中ξ介于n a 和1n a -之间.由于01c <<,再由（1）式知{}n a 为压缩数列，故收敛.设lim n n a l →∞=,则2c l c ≤≤. 由于2122nn a c a +=+，所以22,2022c l l l l c =+-+=.解得1l =+，1l =综上知lim1n n a →∞=注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.第三章 数列极限在现实生活中的应用3.1 几何应用-计算面积在论文开始时，我们已经简要介绍了利用极限求圆的面积，现在我们再来介绍如何求抛物线2x y =与两直线0y =和1x =所围的面积.先将区间[]0,1等分为n 个小区间11210,,...,1n n n n n-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，，，以这些小区间为底边，分别以2221210...n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，为高，作n 个小矩形. 这n 个小矩形的面积之和是()223111111nnn i i i A i n n n ==-⎛⎫=⋅=⋅- ⎪⎝⎭∑∑ ＝()()12331121116n i n n n i n n -=--⋅=∑＝1111323n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 这样我们就定义一个数列{}n A ，对每个n A 而言，它都小于欲求的“面积”，但是这两者之间的差别不会大于长为1,宽为1n的矩形面积，即1n，所以，当n 越来越大时，n A 将越来越接近于欲求的“面积”，因此，我们可以定义此面积为1lim 3n n A →∞=.这种定义面积并求面积的方法简单又朴素，它同时孕育出了数学分析的一个重要组成部分：积分学. 3.2 求方程的数值解.目前的问题是如何用有理数来逼近220x -=的正根，所以我们的问题可以说成是求方程的“数值解”.把问题提得更一般一些.设0a >似值.00x >，在两个正数00,ax x 中，一定有一个大0x有理由指望这两个数的算术平均值10012a x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.事实上((22100000011120222a x x x a x x x x x ⎛⎫=+=+-=≥ ⎪⎝⎭.这表明：不论初值0x 如何，得出的第一次近似值1x 是过剩近似值.不妨设初值0x本身就是过剩近似值，因此000x x >>.由此得出((0100011022x x x x x ≤=-≤-. 这个不等式告诉我们：第一次近似值1x0x到.重复施行上述的步骤，便产生数列01...,...n x x x ，，，，其中 *1112n n n a x x n N x--⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，，由(((12021110 (222)n n n n x x x x --≤≤≤≤≤-，可见limn n x →∞=对于充分大的n ，数n x..取初值02x =（这是相当粗糙的近似值），反复迭代的结果是012345 2.0, 1.5, 1.41661.41425661.414213561.41421356x x x x x x ===⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，，，，这已是相当精确的近似值. 3.3 市场经营中的稳定性问题投资者的交易行为是影响市场稳定性的重要因素，以股票为例，为尽量避免出现羊群行为，减少非理性投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）有较清晰的认识，从而决定是该购买还是该售出，作出理性选择.现在我们来针对不同的模型确定股票相应的内在价值. 3.3.1 零增长模型假定股利增长率为0,因其内在价值如下()()()122112......1111t t t ti t t D D D D V i i i i ∞==++++=++++∑ . （1） （V -内在价值，D -股息(红利)，i -贴现率）， 现由假定知 1212......t n D D D D i i i i ========，，所以此时股票内在价值为()()()21......1+1+1+1+t tt D D D DV i i i i ∞==++++=∑ ＝1111lim111tt D i i D i i→∞⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭=-+. （2） 知道股票的内在价值后，可求出其净现值()NPV ，即内在价值减去市场价格，也即：NVP V P =-.当0NVP >，该股票被低估，可买入；当0NVP <，被高估，不益购买. 例：某公司在未来无限期支付每股股利为8元，现价65元，必要收益率10%，评价该股票.解：利用（2）式结论可求得该股票的内在价值为： 880806515010%D V NVP V P i ====-=-=>，. 故该股票被低估，可以购买. 3.3.2 不变增长模型假定股利永远按不变增长率()g 增长，即 ()()101...1tt t D D g D g -=+==+，代入（1）式得此时内在价值为()()()()()0001111111111lim 11+1+11tttttt t t t D g g i i D g D g D D V gi g i gi i i∞∞→∞==⎛⎫++⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎝⎭=====+---+∑∑.（3）例：去年某公司支付每股股利1.80元.预计未来公司股票的股利按每年5%增长，假设必要收益率为11%，当每股股票价格为40元，评价该股票.解：利用（3）式的结论，由于()1 1.8015% 1.89D =⨯+=，可知股票内在价值 ()1.8015%31.5011%5%V ⨯+==-，故31.50400NVP V P =-=-<， 该股票被高估，建议出售. 3.4 购房按揭贷款分期偿还消费贷款的还款（即按揭）大多为年金方式，故存在一些年金计算问题.下面主要对购房分期付款的基本计算问题做一些简单分析.设P 表示总的房款金额，k 表示首次付款比例，i 表示年利率，n 表示分期付款（贷款）的总年数，R 表示每月底的还款金额，则有如下的价值方程()()12112n k P Ra -=，进一步有 ()()()()1212111212nnk P k i P R ia a --== . （4） 其中 21...nnn i n v a a v v v i-==+++=.上述是针对有限期限付清的情况，如果考虑永久期末年金：在每个付款期末付款1m上货币单位，直至永远.若将该年金的现值记为()m a ∞，则有计算公式()()()1211...lim m mm m m n n a v v a m i ∞→∞⎛⎫=++== ⎪⎝⎭. 代入（4）式即可.通过上述公式即可求出按不同还款方式每月底应还金额.第四章结论通过上述章节我们探讨了数列极限的求法并简要介绍了它在现实生活中的应用.我们知道极限是数学分析的基石，是微积分学的基础，可见数列极限是一种重要的极限类型.掌握数列极限的概念、性质和计算是学好函数极限和微积分的前提和基础，灵活巧妙的应用它，也可以使一些较为困难的实际问题迎刃而解.通过前面的例子我们知道求数列极限的方法灵活多样，给一些数学问题的讨论和计算带来极大的方便.对它的研究也使数学分析在经济领域和数学领域中发挥更大的作用.这在数学分析关于函数极限和微积分学的研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值.所以，国内外学者对数列极限的求法及其在实际应用的研究一直未中断，同时仍存在很多内容等待我们新时期的学术爱好者去探讨,去解决，去突破.※※※※※致谢经过几个月的忙碌和工作，毕业论文的写作已经接近尾声，作为一个本科生，由于经验的匮乏，在写作过程中难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的耐心指导，以及同学们的不断支持，想要完成这个论文是很难的.这里我尤其要感谢老师，因为在论文写作过程中，多亏了老师的亲切关怀和耐心的指导.从论文题目的选择到毕业论文的最终完成，老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.我除了敬佩老师的专业水平外，他的治学态度和科研精神更是我永远学习的榜样.老师在修改我的论文期间，就连每处细小的错字、符号、字体格式等都能一一指出.我们都知道要学好数学关键是要有这种“追求准确”的精神，老师就是这种精神的成功践行者.老师的这种做学问的态度必将积极影响我今后的学习和工作.在此谨向老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意，也祝老师身体健康，工作顺利，天天开心.在论文即将完成之际，我的心情很激动.从开始选题到论文的顺利完成，师长、同学、朋友给了我太多太多的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！我还要感谢含辛茹苦养育我长大的父母，谢谢您们!参考文献1. 《数学分析题解精粹（第二版）》/钱吉林等主编—崇文书局，2009.2. 《数学分析教程（上册）》/常庚哲，史济怀编—高等教育出版社，2003.3. 《数学分析（上册第三版）》/华东师范大学数学系编—高等教育出版社，2007.4. 《数学分析第一册》/徐森林，薛春华编—清华大学出版社，2005.5. 《求数列极限的方法探讨》/郑允利—高等函数学报（自然科学版），2010年06期.6. 《两类数列极限的求法》/陈凌—科技创新导报，2010年第28期.7. 《谈谈极限的求法》/林瀚斌—大众商务，2009年第12期.8. 《高等数学中数列极限的几种求法》/周林—湖北广播电视大学学报，2008年第11期.9. 《求数列极限的几种方法》/李素峰—邢台学院学报，2007年02期.。

序列极限和数列极限的应用序列极限和数列极限是数学中非常重要的概念，它们既是数学基础知识，也是高等数学中的重要工具。

本文将从基本概念出发，探讨一些与序列极限和数列极限相关的应用。

一. 序列极限和数列极限的基本概念序列极限是一个数学序列（数项的无限序列）的极限值，如果序列的后续项越来越接近该极限值，那么该极限值称为该序列的极限。

对于一个实数序列${a_n}$，它的极限是指当$n$趋近于无穷大时，$a_n$的取值越来越接近一个常数$L$，如果这个常数$L$是唯一的，则称序列${a_n}$的极限为$L$。

因此，$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=L$称为当$n$趋近于正无穷时，数列${a_n}$以$L$为极限。

二. 序列极限在数学中的应用微积分中的导数、偏导数等概念都依赖于数列极限。

例如，设函数$f(x)$在点$x_0$处取得极限$L$，则这个极限可以表示为：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=L$如果在$x_0$处$f(x)$可导，则导数$f'(x)$可以表示为序列的极限：$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$类似地，对于偏导数，可以写成：$\frac{\partial f}{\partial x}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$\frac{\partial f}{\partial y}=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$在数学分析中，数列极限是一个非常重要的概念。

比如，如果一个函数$f(x)$在某个点处连续，则当$x$接近该点时，$f(x)$的取值趋近于$f(x_0)$。

这个性质可以用序列极限来表示：$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$类似地，序列极限也在其他数学分析问题中发挥着重要作用。

初中数学知识归纳数列的极限和应用初中数学知识归纳：数列的极限和应用数列是初中数学中的重要概念，它是按照一定规律排列的一组数。

数列的极限是数列中数值逐渐趋于确定值的概念，它在数学和实际问题的解决中起着重要的作用。

本文将对数列的极限和应用进行归纳总结。

一、数列极限的定义和性质数列极限的定义是指当数列的项随着项数的增加而无限地逼近某个常数时，我们称该常数为数列的极限。

数列极限的定义可以用数学符号表示为：对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的前n项与极限之差的绝对值小于ε。

数列极限具有以下性质：1. 数列极限存在唯一性：即一个数列的极限如果存在，那么它是唯一的。

2. 若数列的极限存在，那么它一定是有界的。

3. 收敛数列的任意子数列也收敛于同一个极限。

4. 数列极限与四则运算的关系：设有两个收敛数列{an}和{bn}，如果它们的极限分别为A和B，则和数列{an+bn}的极限为A+B，差数列{an-bn}的极限为A-B，积数列{an*bn}的极限为A*B，商数列{an/bn}的极限为A/B（其中B≠0）。

二、常见数列的极限1. 等差数列的极限：对于公差为d的等差数列{an}，其极限为：lim(n→∞)an = a1（其中a1为首项）。

2. 等比数列的极限：对于公比为q（|q|<1）的等比数列{an}，其极限为：lim(n→∞)an = 0。

3. 斐波那契数列的极限：斐波那契数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前两项的和。

当n趋近于无穷大时，斐波那契数列的极限存在且为黄金分割比例φ≈1.618。

三、数列极限的应用数列极限在实际问题中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用：1. 求和问题：通过对数列中的项求和，可以解决许多有关累加的问题，如等差数列求和、等比数列求和等。

2. 函数极限：利用数列极限的概念，可以推导出函数极限的定义和性质，进而解决函数相关的问题。

3. 近似计算：利用数列的极限性质，可以通过有限的项数计算出数列的近似值，从而减小计算的复杂度。

数列与数列极限的计算与应用数列是数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。

数列的极限则是数列理论的重要组成部分，其使用极为广泛。

本文将探讨数列与数列极限的计算方法和应用。

一、数列的定义与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的。

通常用{an}或an表示，其中n为序号，an表示第n个数。

数列的性质包括趋势、周期、增减等。

例如，等差数列具有公差相等的特点，等比数列则是每项与前一项之比相等。

二、数列的计算方法1. 等差数列的计算等差数列{an}的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为任意项数。

通过这个公式，我们可以轻松计算出等差数列中任意一项的值。

2. 等比数列的计算等比数列{an}的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为任意项数。

利用这个公式，我们可以计算等比数列中任意一项的值。

3. 斐波那契数列的计算斐波那契数列是一个特殊的数列，其中的每一项都等于前两项之和。

例如，斐波那契数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13等。

通过递推公式fn = fn-1 + fn-2，我们可以计算出斐波那契数列中任意一项的值。

三、数列极限的定义与计算数列极限描述了数列在无穷项时的趋势。

数列{an}收敛于A，即极限为A，表示为lim(n→∞)an = A。

如果数列在无穷项时趋向于某个常数A，则称该数列收敛于A；如果数列无法趋向于某个常数，即趋向于无穷大或无穷小，则称该数列发散。

数列极限的计算方法有多种，常见的有极限定义法、夹逼定理、洛必达法则等。

这些方法可根据具体数列的特点来选择合适的计算方法。

四、数列与应用领域1. 数学的数列应用数列在数学中有着广泛的应用，例如在微积分中，数列的极限与函数的极限紧密相关，通过研究数列的收敛性可以推导出函数的连续性、可导性等重要性质。

2. 经济学的数列应用数列在经济学中也有着重要的应用。

例如，经济增长率可以通过对经济数据的数列进行分析得出，利用数列的趋势和周期性，可以预测未来的经济发展。