数列的极限
1．数列的极限
【知识点的知识】
1、数列极限的定义：
一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n}的项a n 无限趋近于某个常数a（即|a n﹣a|无限地接近于 0），
那么就说数列{a n}以a 为极限，记作푙푖푚a n＝a．（注：a 不一定是{a n}中的项）
푛→∞
2、几个重要极限：
3、数列极限的运算法则：
4、无穷等比数列的各项和：
（1）公比的绝对值小于 1 的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做S =푙푖푚S n．
푛→∞
（2）
1/ 3
【典型例题分析】
典例 1：已知数列{a n}的各项均为正数，满足：对于所有n∈N*，有4푆푛=(푎푛+1)2，其中S n 表示数列{a n}的前n 项푛
和．则푙푖푚
푎
푛
=（）
푛→∞
1
A．0 B．1 C．
2D．2
解：∵4S1＝4a1＝（a1+1）2，
∴a1＝1．当n≥2 时，4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝（a n+1）2﹣（a n﹣1+1）2，
∴2（a n+a n﹣1）＝a n2﹣a n﹣12，又{a n}各项均为正数，
∴a n﹣a n﹣1＝2．数列{a n}是等差数列，
∴a n＝2n﹣1．
푛푛1∴푙푖푚2푛―1=
푙푖푚2―1
푎
푛
=푙푖푚
푛→∞푛→∞푛→∞
푛=
1
2
．
故选：C．
典例 2：已知点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*）．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；
（2）设 c n =
1
푛|푃1푃푛|(푛≥2)，求푙푖푚(푐2+푐3+⋯+
푐
푛
)的值；
푛→∞
（3）若d n＝2d n﹣1+a n﹣1（n≥2），且d1＝1，求证：数列{d n+n}为等比数列，并求{d n}的通项公式．解：（1）∵点P n（a n，b n）在直线l：y＝2x+1 上，P1 为直线l 与y 轴的交点，
∴b n＝2a n+1，a1＝0，
∵等差数列{a n}的公差为 1（n∈N*），
∴a n＝0+（n﹣1）＝n﹣1．
b n＝2（n﹣1）+1＝2n﹣1．
（2）解：由（1）可得a n﹣a1＝n﹣1，b n﹣b1＝2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∴|P1P n| =(푎푛―푎1)2+(푏푛―푏1)2=(푛―1)2+4(푛―1)2=5(푛―1)（n≥2）．
2/ 3
∴c n =
1
푛|푃1푃푛|=
1
5푛⋅(푛―1)
=
1
1
5(푛―
1―
1
푛)，
∴c2+c3+…+c n =1
5[(1―
11
2)+(2―
11
3)+⋯+(푛―
1―
1
푛)]=
1
5(1―
1
푛)，
∴푙푖푚(푐2+푐3+⋯+푐푛)=푙푖푚
푛→∞
푛→∞1
5(1―
1
푛)=
5
；
5
（3）证明：n≥2，d n＝2d n﹣1+a n﹣1，＝2d n﹣1+n﹣2，
∴d n+n＝2（d n﹣1+n﹣1），
∴数列{d n+n}为等比数列，
首项为d1+1＝2，公比为 2，
∴푑
푛
+푛=2푛，
∴푑
푛
=2푛―푛．
【解题方法点拨】
（1）只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限．
（2）运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件．（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形）
1
（3）求数列极限最后往往转化为푛푚（m∈N）或q
n（|q|＜1）型的极限．
（4）求极限的常用方法：
①分子、分母同时除以n m 或a n．
②求和（或积）的极限一般先求和（或积）再求极限．
③利用已知数列极限（如等）．
④含参数问题应对参数进行分类讨论求极限．
∞
⑤∞﹣∞，
∞，0﹣0，等形式，必须先化简成可求极限的类型再用四则运算求极限．
3/ 3
