1 / 136 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 第7章 假设检验
7.1 复习笔记
一、假设检验的基本思想与概念
1．假设检验的基本思想
（1）通过样本对一个假设作出“对”或“不对”的具体判断，检验的结果若是否定该
命题，则称拒绝这个假设，否则就称为接受该假设．
（2）若假设可用一个参数的集合表示，该假设检验问题称为参数假设检验问题，否则
称为非参数假设检验问题．
2．假设检验的基本步骤
（1）建立假设；
（2）选择检验统计量，给出拒绝域形式；
注意：一个拒绝域W唯一确定一个检验法则，一个检验法则也唯一确定一个拒绝域．
（3）选择显著性水平
第一类错误：命题本为真，却由于随机性落入了拒绝域，而否定了命题．（弃真）
第二类错误：命题本为假，由于随机性落入了接受域，而接受了命题．（取伪）
犯第一类错误概率：α＝pθ{（X∈W）}，θ∈Θ0，也记为p{X∈W|H0}；
犯第二类错误概率：β＝pθ{（X∈W＿）}，θ∈Θ1，也记为p{X∈W＿|H1}． 注意：α，β的控制是相反的，即减小α，会加大β．
①势函数：设检验问题H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1的拒绝域为W，则样本观测值X落
2 / 136 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 圣才电子书 在拒绝域W内的概率称为该检验的势函数，记为
g（θ）＝pθ（X∈W），θ∈Θ＝Θ0∪Θ1
②显著性检验：对检验问题H0：θ∈Θ0 vs H1：θ∈Θ1，如果一个检验满足对任意的θ
∈Θ0，都有g（θ）≤α，则称该检验是显著性水平为α的显著性检验，简称水平为α的检
验．
（4）给出拒绝域
依据题意分析，确定统计量来给出拒绝域．
（5）做出判断
有了明确的拒绝域W后，根据样本观测值我们可以作出判断，决定假设是否成立．
3．检验的p值
定义：在一个假设检验问题中，利用样本观测值能够作出拒绝原假设的最小显著性水平，
1第四章 大数定律与中心极限定理
习题4.1
1． 如果XXP
n→
，且YXP
n→
．试证：P{X = Y
} = 1．
证：因
|
X − Y
| = | −(X
n − X
) + (X
n − Y
)| ≤ |
X
n − X
| + |
X
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−≤≥−≤
2||
2||}|{|0εε
ε
YXPXXPYXP
nn，
又因XXP
n→
，且YXP
n→，有0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
XXP
n
n，0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
YXP
n
n，
则P{|
X − Y
| ≥ ε
} = 0，取
k1
=ε，有01
||=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
kYXP，即11
||=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−
kYXP
， 故11
||lim1
||}{
1=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<−==
+∞→+∞
=kYXP
kYXPYXP
k
kI
．
2． 如果XXP
n→
，YYP
n→
．试证：
（1）YXYXP
nn+→+
；
（2）XYYXP
nn→
．
证：（1）因
|
(X
n + Y
n) − (X + Y
)
| = | (X
n − X
) + (Y
n − Y
)| ≤ |
X
n − X
| + |
Y
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−≤≥+−+≤
2||
2||}|)()({|0εε
ε
YYPXXPYXYXP
nnnn，
又因XXP
n→
，YYP
n→，有0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
XXP
n
n，0
2||lim=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≥−
+∞→ε
YYP
n
n，
故0}|)()({|lim=≥+−+
+∞→ε
YXYXP
nn
n，即YXYXP
nn+→+
；
（2）因
|
X
nY
n − XY | = | (X
n − X
)Y
n + X
(Y
n − Y
) | ≤ |
X
n − X
| ⋅ | Y
n | + | X | ⋅ |
Y
n − Y
|，对任意的ε
> 0，有
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
1习题3.2
1． 设二维离散随机变量(X, Y
)
的可能值为
(0, 0)，(−1, 1)，(−1, 2)，(1, 0)，
且取这些值的概率依次为1/6, 1/3, 1/12, 5/12，试求X与Y各自的边际分布列．
解：因X的全部可能值为−1, 0, 1，且
125
121
31
}1{=+=−=XP
，
61
}0{==XP
，
125
}1{==XP
，
故X的边际分布列为
125
61
125101
PX−
因Y的全部可能值为0, 1, 2，且
127
125
61
}0{=+==XP
，
31
}1{==XP
，
121
}2{==XP
，
故Y的边际分布列为
121
31
127210
PY
2． 设二维随机变量(X, Y
)
的联合密度函数为
⎩⎨⎧
>>−−−
=−−−−−
.,0,0,0,eee1
),(},max{
122121
其他yx
yxFyxyxyxλλλλλ
试求X与Y各自的边际分布函数．
解：当x ≤ 0时，F
(x, y) = 0，有F
X (x) = F
(x, +
∞) = 0，
当x > 0时，
⎩⎨⎧
≤>−−−
=−−−−−
.0,0,0,eee1
),(},max{
122121
yy
yxFyxyxyxλλλλλ
有
xyxyxyx
yXxFxF
1122121e1]eee1[lim),()(},max{λλλλλλ
−−−−−−
+∞→−=−−−=∞+=
，
故
⎩⎨⎧
≤>−
=−
.0,0,0,e1
)(1
xx
xFx
Xλ
当y ≤ 0时，F
(x, y) = 0，有F
Y (
y) = F
(+ ∞, y) = 0，
当y > 0时，
⎩⎨⎧
≤>−−−
=−−−−−
.0,0,0,eee1
),(},max{
122121
xx
yxFyxyxyxλλλλλ
有
yyxyxyx
xYyFyF
2122121e1]eee1[lim),()(},max{λλλλλλ
−−−−−−
+∞→−=−−−=+∞=
，
故
⎩⎨⎧
≤>−
=−
.0,0,0,e1
)(2
yy
yFy
Yλ
3． 试求以下二维均匀分布的边际分布：
27习题1.5
1． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4，求此密码被译出的概率．
解：设A, B, C分别表示“第一、第二、第三人能单独译出”，有A, B, C
相互独立，即CBA,,
相互独立，
故所求概率为
53
52
1
43
32
54
1)()()(1)(1)(=−=××−=−=−=CPBPAPCBAPCBAPUU
．
2． 有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：
（1）两粒种子都能发芽的概率；
（2）至少有一粒种子能发芽的概率；
（3）恰好有一粒种子能发芽的概率．
解：设A, B分别表示“甲批、乙批的种子能发芽”，有A, B相互独立，
（1）所求概率为P
(AB) = P
(A)
P
(B) = 0.8 × 0.9 = 0.72；
（2）所求概率为P
(A∪B) = P
(A) + P
(B) − P
(AB) = 0.8 + 0.9 − 0.72 = 0.98；
（3）所求概率为P
(A∪B − AB) = P
(A∪B) − P
(AB) = 0.98 − 0.72 = 0.26．
3． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射
中的概率．
解：设A, B分别表示“甲、乙射击命中目标”，有A, B相互独立， 故所求概率为
)()()()()(
)()()()(
)()(
)|(
BPAPBPAPAP
ABPBPAPAP
BAPAP
BAAP
−+=
−+==
UU
8511.0
4740
94.08.0
7.08.07.08.08.0
===
×−+=
．
4． 设电路由A, B, C三个元件组成，若元件A, B, C发生故障的概率分别是0.3, 0.2, 0.2，且各元件独立工
作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：
（1）A, B, C三个元件串联；
（2）A, B, C三个元件并联；
（3）元件A与两个并联的元件B及C串联而成．
