第1章随机事件与概率概率论与数理统计是研究随机现象规律性的学科.概率论侧重于对随机现象出现的可能性大小做出数量上的描述，形成一整套数学理论和方法；数理统计是以概率论为基础研究收集数据、分析数据并据以对所研究的问题作出一定结论的科学和艺术.概率论与数理统计是既有理论基础又有应用潜力的学科，其理论与方法已广泛应用于林业、农业、工程、社会学、经济学等领域中，还在不断向新兴学科渗透并相互促进发展.§1.1 随机现象及其统计规律性客观世界的各种现象大体可分为两类：一类称为决定性现象，即在一定的条件下，只出现一个结果.例如，在标准大气压下，水升温至100摄氏度时沸腾；每天清晨，太阳总从东方升起；向空中抛一物体必然下落等.另一类称为非决定性现象，即在一定的条件下，并不总是出现相同结果，在概率论中称为随机现象. 比如，播种一粒银杏种子，可能发芽可能不发芽；掷一颗骰子，可能出现1至6点等.该类现象有以下两个特点：①结果不止一个；②人们事先不能确定出现的结果.随机现象是概率论与数理统计的研究对象.1.1.1 随机试验对随机现象进行的试验和观察称为随机试验.例1．1随机现象的例子（1）播种一粒银杏种子，观察银杏种子发芽；（2）掷一颗骰子，观察出现的点数；（3）单位时间内，某手机被呼叫的次数；（4）某种型号冰箱的使用寿命；（5）测量课本的长度，观测其误差.在一定条件下，对自然与社会现象进行的观察或实验称为试验.在概率论中，将满足下述条件的试验称为随机试验：（1）试验在相同条件下是可以重复进行的；（2）试验的结果不至一个，但全部可能结果事先是知道的；（3）每一次试验都会出现上述全部可能结果中的某一个结果，至于是哪一个结果则事先无法预知.1.1.2随机现象的统计规律性对一个随机试验来说，每次试验结果具有不确定性，规律性不强，但大量重复性试验的结果就存在一定的规律性.例如，若抛掷一枚均匀硬币，一次抛掷，出现正面还是出现反面很难确定，但重复大量次抛掷，出现正面次数占抛掷总次数的1/2. 历史上有许多科学家做过抛掷硬币的试验. 抛掷均匀硬币，其结果见表1—1.表1—1 历史上抛掷硬币试验可以看出,试验中出现正面次数与抛硬币次数的比值,当试验次数较小时,随机波动较大；当试验次数较大时,随机波动较小. 随着试验次数的增大, 出现正面次数与抛硬币次数的比值逐渐稳定于固定值0.5，出现很强的规律性.随机现象在大量次试验中所呈现出的规律性，称为随机现象的统计规律性.由于概率论和数理统计所研究的试验都是随机试验，所以随机试验简称为试验.§1.2 随机事件及其关系1.2.1样本空间与随机事件1. 样本空间随机现象一切可能的基本结果组成的集合称为样本空间，用}{ω=Ω表示，其中ω表示基本结果，又称为样本点.例1.2 给出例1.1中随机现象的样本空间：(1) 播种一粒银杏种子的样本空间：},{211ωω=Ω，其中1ω表示银杏种子发芽，2ω表示银杏种子不发芽.(2) 掷一颗骰子的样本空间：},,,{6212ωωω =Ω，其中i ω表示出现i 点，6,,2,1 =i .也可更直接地记此样本空间为：}6,,2,1{2 =Ω.(3) 单位时间内某手机被呼叫的次数的样本空间：},2,1,0{3 =Ω.(4)某种型号冰箱使用寿命的样本空间：}0{4≥=Ωt t .(5) 测量课本的长度，测量误差的样本空间：}{5+∞<<∞-=Ωx x .2. 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，一般用大写字母,,,A B C 表示.例如，掷一颗骰子，=A “出现奇数点”是一个事件，即}5,3,1{=A .关于事件的定义，有以下几个说明.（1）任一事件A 是样本空间Ω的子集.在概率论中我们可用维恩（Venn ）图表示（见图1—1）.（2）当A 中某个样本点出现了，就说事件A 发生了.（3）事件既可以用语言描述，也可以用集合表示.（4）由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件.样本空间的最大子集，即其本身称为必然事件，记作Ω.样本空间的子集之一，空集称为不可能事件，记作φ.例1.3 掷一颗骰子的样本空间为：}6,,2,1{ =Ω.事件=A “出现2点”，即}2{=A ，它是一个基本事件.事件=B “出现的点数不超过6”，即Ω==}6,5,4,3,2,1{B ，它就是必然事件.事件=C “出现的点数小于1”，即φ=C ，它就是不可能事件.1.2.2 事件的关系及运算假设以下讨论是在同一个样本空间Ω中进行的.1.事件间的关系图1—11）包含关系如果A 中的样本点都是B 中的样本点，则称A 包含于B （见图1—2），或称B 包含A ，也称A 为B 的子事件，记为B A ⊂或A B ⊃.用概率论语言描述为：事件A 发生必然导致事件B 发生.例如，冰箱的使用寿命T 超过30000h ，记为事件}30000{>=T A ，使用寿命T 超过35000h ，记为事件}35000{>=T B ，则B A ⊃.对任一事件A ，必有Ω⊂⊂A φ.2）相等关系如果事件A 与事件B 满足：A 中的样本点都是B 中的样本点，同时B 中的样本点又都是A 中的样本点，即B A ⊂且A B ⊂，则称事件A 与事件B 相等，记为B A =.例如，抛掷两颗骰子，记事件A =“两颗骰子的点数之和为奇数”，事件B =“两颗骰子的点数为一奇一偶”，显然，B A =.3）互不相容关系如果A 与B 没有相同的样本点（见图1—3），则称A 与B 互不相容.用概率论语言描述为：事件A 与事件B 不能同时发生.例如，掷一颗骰子，事件=A “出现偶数点”，B =“出现奇数点”，显然A 与B 互不相容.例1.4 掷一颗骰子的样本空间为：}6,,2,1{ =Ω.图1—3图1—2事件=A “出现2点”，即}2{=A ,=B “出现偶数点”，即}6,4,2{=B ，显然B A ⊂;=C “出现非奇数点”，即}6,4,2{=C ，显然C B =;=D “出现奇数点”，即}5,3,1{=C ，显然C ，，与B A D 都互不相容.2.事件间的运算事件的运算与集合的运算类似，有和、积、差等运算.（1）事件A 与B 的和，记为B A .其含义为“由事件A 与B 中所有样本点组成的新事件”（见图1—4）.用概率论语言描述为：事件A 与B 中至少有一个发生.事件的和运算可推广至有限个或可列个的情形： n i i A 1=或∞=1i i A . （2）事件A 与B 的积，记为B A 或简记为AB .其含义为“由事件A 与B 中公共的样本点组成的新事件”（见图1—5） .用概率论语言描述为：事件A 与B同时发生.事件的积运算可推广至有限个或可列个的情形： n i i A 1=或 ∞=1i i A .（3）事件A 与B 的差，记为B A -.其含义为“由事件A 中而不在B 中的样本点组成的新事件”（见图1—6）.用概率论语言描述为：事件A 发生而B 不发生.图1—4图1—5（4）对立事件事件A 的对立事件，记为A ，即“由在Ω中而不在A 中的样本点组成的新事件”（见图1—7）. 用概率论语言描述：A 不发生，即A A -Ω=.注意 （1）A A =，φ=Ω，Ω=φ.（2）A 与B 为对立事件的充分必要条件是φ=B A ，且Ω=B A . 例1.5 掷一颗骰子的样本空间为}6,,2,1{ =Ω.设}4,2,1{=A ， }5,4,1{=B . 则=B A }5,4,2,1{；}4,1{=B A ；}2{=-B A ；}6,5,3{=A .例1.6 设C B A ,,是某个随机现象的三个事件，则(1) “A 发生，C B ,都不发生”的事件可表示为：C B A C B A --=；(2) “B A ,都发生，C 不发生”的事件可表示为：C AB C AB -=；(3) “C B A ,,都发生”的事件可表示为：ABC ；(4) “C B A ,,中至少有一个出现”的事件可表示为：C B A C B A = .图1—6（1）图1—6（2）图1—73.事件的运算性质（1）交换律A B B A =，BA AB =.（2）结合律)()(C B A C B A =，)()(BC A C AB =.（3）分配律BC AC C B A =)(,)()()(C B C A C B A =.（4）对偶律(德莫根公式)B A B A = ，B A AB =. 对偶律可推广至有限个及可列个的情形： n i i n i i A A 11===， ni i n i i A A 11===， ∞=∞==11i i i i A A ， ∞=∞==11i i i i A A .§1.3 事件的概率及其性质1.2.1 概率的定义1.概率的频率定义定义1.1 设在n 次随机试验中，事件A 出现的次数为)(A n ，这里的)(A n 也称为事件A 出现的频数.称事件A 出现的频数与随机试验总数之比，即nA n A f n )()(= 为事件A 出现的频率.容易验证频率满足：(1)非负性 0)(≥A f n ；(2)规范性 1)(=Ωn f ；(3)有限可加性 若m A A A ,21 ，，，两两互不相容，则)()(11i mi n m i i n A f A f ∑=== .随机现象的统计规律性表明：随着试验重复次数n 的增加，事件A 出现的频率)(A f n 会稳定在某一常数p 附近，即频率的稳定值，这个频率的稳定值就是事件A 发生的概率，因此我们可以用事件A 频率来定义事件A 的概率，即)()(A f A P n ≈（n 足够大）.下面用例子进一步说明频率的稳定性.例1．7 考虑某树种发芽率试验. 从一大批树种中随机抽取7批树种做发芽试验,其结果见表1—2.表1—2 树种发芽试验的频率表可以看出，树种发芽的频率也具有随机波动性.当树种粒数较小时,随机波动较大；当树种粒数较大时,随机波动较小.最后,随着树种粒数的增大,发芽率逐渐稳定于固定值0.9. 用概率频率的定义可以描述为：该树种发芽的概率为0.9.2.概率的古典定义古典概型满足：（1）样本空间Ω中只有有限个样本点，即},,,{21n ωωω =Ω；（2）每个样本点发生可能性相等，即nP P P n 1)()()(21====ωωω ， 若事件A 含有k 个样本点，则事件A 的概率为nk A A P =Ω=中所有样本点的个数所含样本点的个数事件)(. 例1．8 掷两枚硬币，记事件=A “一个正面朝上，一个反面朝上”， =B “两个正面朝上”， =C “至少一个正面朝上”，求)(A P ，)(B P ，)(C P .解 此试验的样本空间为=Ω{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，即样本空间为Ω有4个样本点.由于=A {（正，反），（反，正）}，即A 含有2个样本点，所以21)(=A P ；由于=B {（正，正）}，即B 含有1个样本点，所以41)(=B P ；由于=C {（正，正），（正，反），（反，正）}，即C 含有3个样本点，所以43)(=C P .例1．9 设有两种树苗栽成一排，每种树苗都是4棵，为了美观，树苗必须交叉排列栽植，求其栽植概率.解 利用排列组合知识，有351!8!4!412=⋅⋅=A P .例1．10 今年有12名同学进行暑期社会实践，其中有3名同学是女生，现将它们随机地平均分配到三个小组中去，问： ⑴每个小组都分配到一名女同学的概率是多少？ ⑵3名女同学分配在同一小组的概率是多少？ 解 12同学平均分配到三个小组中的分法总数为 !4!4!4!124448412=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛.⑴ 每个小组分配到一名女同学的分法有!3. 对应每种分法，其余9名同学平均分配到三个小组的分法共有!3!3!3!9333639=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，故所求的概率为 5516!4!4!4!12!3!3!3!9!31==P . ⑵ 将3名女同学分配在同一小组的分法有3种，对应每种分法，其余9名同学的分法共有!4!4!1!9444819=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，故所求的概率是 553!4!4!4!12!4!4!1!932=⋅=P . 例1．11 设袋中有白球a 只，黑球b 只.每次从中任取一只，取后放回袋中，共取n 次，试求=k A “n 次取球中有k 次取到白球”的概率.解 利用排列组合知识，有kn k k b a b b a a k n A P -++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()(，n k ,,1,0 =.若记p ba a=+，则 kn k k p p k n A P --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)1()(，n k ,,1,0 =.例1．12 设有n 个球，每个球都等可能地被放到N 个不同盒子中的任一个，每个盒子所放球数不限.试求（1）指定的)(N n n ≤个盒子中各有一球的概率1p ； （2）恰好有)(N n n ≤个盒子中各有一球的概率2p . 解 利用排列组合知识，有 （1） nN n p !1=； （2） )!(!!2n N N N N n n N p nn -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=. 例1．13 n 个人生日全不相同的概率是n p 多少？解 把n 个人看成是n 球，将一年365天看成是N =365个盒子，则“n 个人生日全不相同”就相当于“恰好有)(N n n ≤个盒子中各有一球”， 所以n 个人生日全不相同的概率为365!365(365)!n np n =-. 当60n =时，10.9922n p -=，表明在60个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过99%.3.概率的几何定义 几何概型满足：（1）样本空间Ω充满某个区域，其度量（长度、面积或体积等）大小可用ΩS 表示；（2）任意一点落在度量相同的 子区域内是等可能的，与子区域的形 状及子区域在Ω中位置无关，若事件 A 为Ω中的某个子区域（见图1—8）， 图 ? 1 — 8其度量大小可用A S 表示，则事件A 的概率为Ω=S S A P A)(. 例1.14 甲、乙两人约定上午8点到9点之间在茶馆会面，并约定先到者应等候另一人20分钟，过时即可离去.求两人会面的概率.解 以x 和y 分别表示甲、乙两人到达 约会地点的时间，则两人能够会面的充要 条件为20≤-y x . 在平面上建立直角坐标 系，如图1—9，则95604060222=-==ΩS S P A .4.概率的公理化定义定义1.2 设Ω为一个样本空间，对Ω中的任一随机事件A ，定义一个实数值)(A P 满足：(1)非负性 0)(≥A P ； (2)规范性 1)(=ΩP ；(3)可列可加性 若 ，，21A A ，两两互不相容，有 ∑∞=∞==11)(i i i i A P A P ）（ ，则称)(A P 为事件A 的概率.由概率的公理化定义知，概率是事件（集合）的映射，当这个映射能满足上述公理的三条，就被称为概率.1.3.2 概率的性质 性质1 0)(=φP._ 图 1 — 9_x因为1)(=ΩP ，则0)(1)(=Ω-=P P φ.性质2 （有限可加性）若有限个事件n A A A ,21 ，，互不相容，则 ∑===ni i n i i A P A P 11)(）（ . 性质3 对任一事件A 有 )(1)(A P A P -=.例1.15 设袋中有5只白球，7只黑球.从中任取3只，求至少取到1只白球的概率.解 记=A “取出的3只中至少有1只白球”，则A 包括三种情况：取到白球1只黑球2只，或取到白球2只黑球1只，或取到白球3只黑球0只, 如此计算较为复杂.而A 只包括一种情况，即“取到的3只全是黑球”，从而159.044731237)(==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A P ， 所以841.04437)(1)(==-=A P A P . 性质4 若B A ⊃,则)()()(B P A P B A P -=-.证明 因为B A ⊃，所以)(B A B A -= ,且B A -与B 互不相容，则 )()()(B A P B P A P -+=, 即)()()(B P A P B A P -=-.推论（单调性）若B A ⊃,则)()(B P A P ≥.性质5 对任意两个事件B A ,,有)()()(AB P A P B A P -=-. 例16 从1，2，…，100中任取一数，求它能被2整除但不能被3整除的概率.解 记=A “取到的数能被2整除”，=B “取到的数能被3整除”，AB =“取到的数能被2和3整除”，则 “能被2整除但不能被3整除”的事件可表示为B A -.由性质5，有)()()(AB P A P B A P -=-50171001610050=-=. 性质6（加法公式）对任意两个事件B A ,,有)()()()(AB P B P A P B A P -+= .对任意n 个事件n A A A ,21 ，，，有 ∑∑∑≤<<≤≤<≤==+-=nk j i kjinj i jini i n i i A A A P A A P A P A P 1111)()()()()()1(211n n A A A P --++. 推论（半可加性） 对任意两个事件B A ,,有)()()(B P A P B A P +≤ . 例17 从1~1000中随机取一整数，问取到的整数能被4或6整除的概率是多少？解 设A 为“取到的整数能被4整除”，B 为“取到的整数能被6整除”，则所求概率为)()()()(AB P B P A P B A P -+= 由于25041000=，16761000166<<，8412100083<<， 则 1000250)(=A P ，1000166)(=B P ，100083)(=AB P ，所以 )()()()(AB P B P A P B A P -+=100033310008310001661000250=-+=.例18已知41)()()(===C P B P A P ，12/1)()(==BC P AB P ,0)(=AC P .则C B A ,,中至少有一个发生概率是多少？C B A ,,都不发生概率是多少？解 因为0)(=AC P ，AC ABC ⊂,所以由概率的单调性知0)(=ABC P .再由加法公式，得C B A ,,中至少有一个发生概率为)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++=12712243=-=. C B A ,,都不发生概率是)(1)(C B A P C B A P -==125. 1.4 条件概率和乘法公式在实际问题中，除了要考虑某事件A 的概率外，有时还需要考虑在“事件B 已经发生”的条件下，某事件A 发生的概率.一般情况下，前后两者的概率不同.为了有所区别，常称后者的概率为条件概率，记为)(B A P 或)(A P B ,读作“在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率”.1.4.1 条件概率例1．19 从标有号为1，2，3，4，5，6的6个同型同质的球中等可能地任取一球，事件A =“取得标号为4”，事件B =“取得标号为偶数”，求“在取得标号为偶数条件下，取得标号为4”的概率.解 由于6个球中有3个标号为偶数，按古典概型计算，得31)(=B A P ，而61)(=A P ，由此可见)()(A P B A P ≠.还可以得到“很巧合”的结论，可以计算得61)(=AB P ，21)(=B P ，从而，)()(21/6131)(B P AB P B A P ===. 受此启发，可以给出条件概率的定义.定义1.3 设B A ,是两个随机事件，且0)(>A P ,称 )()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生条件下事件B 发生的条件概率.不难验证，条件概率)(A P ⋅满足概率定义中的三条公理，即 （1）非负性 对于任一事件B ，有0)(≥A B P ； （2）规范性 1)(=ΩA P ；（3）可列可加性 若 ，，21B B ，两两互不相容，则∑∞=∞==11)(i i i i A B P A B P ）（ .因为条件概率符合上述三则公理，所以关于概率的一些重要结果都适用于条件概率.例如，)(1)(A B P A B P -=；对于任意事件21,B B ,有)()()()(212121A B B P A B P A B P A B B P -+= .例1．20 某种动物出生后活到20岁的概率为0.8，活到30岁的概率为0.72，求现年为20岁的这种动物活到30岁的概率.解 记A =“动物出生后活到20岁”，B =“动物出生后活到30岁”，则)(A P =0.7，)()(AB P B P ==0.72，由条件概率计算公式，得9.08.072.0)()()()()(====A PB P A P AB P A B P . 例1．21 掷两颗骰子，已知有一个出现6点，求点数之和不小于9的概率.解 方法一 该试验的样本空间为)}6,6(,),2,6(),1,6(,),6,1(,),2,1(),1,1{( =Ω 共36个样本点.记=A “至少有一个6点”，则)}6,6(),5,6(),6,5(),,4,6(),6,4(),3,6(),6,3(),2,6(),6,2(),1,6(),6,1{(=A ,含有11个样本点；记=B “点数之和不小于9”，则)}6,6(),5,6(),6,5(),5,5(),4,6(),6,4(),4,5(),5,4(),3,6(),6,3{(=B ,含有10个样本点. 而)}6,6(),5,6(),6,5(),4,6(),6,4(),3,6(),6,3{(=AB ，含有7个样本点.由条件概率计算公式，得1173611367)()()(===A P AB P A B P . 方法二 可先将样本空间缩小为)}6,6(),5,6(),6,5(),,4,6(),6,4(),3,6(),6,3(),2,6(),6,2(),1,6(),6,1{(=ΩA ，共有11个样本点.样本空间A Ω中，事件A B )}6,6(),5,6(),6,5(),4,6(),6,4(),3,6(),6,3{(=，含有7个样本点，直接计算得117)(=A B P .1.4.2 乘法公式 （1）若0)(>A P ，则)()()(A B P A P AB P =. （2）若0)(121>-n A A A P ，则)()()()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P .例1.22 某单位100人进行年欢游戏活动，共有1号,2号,…,100号共100支签, 其中有10支中奖签，依次轮流进行抽签，求恰好第三人抽中奖签的概率.解 记=i A “第i 人抽中奖签”，100,,2,1 =i .则所求概率为)()()()(213121321A A A P A A P A P A A A P ==083.09810998910090≈⨯⨯. 1.5 全概率公式和贝叶斯公式1.5.1 全概率公式设n B B B ,,,21 是样本空间Ω的事件，满足： （1）n B B B ,,,21 互不相容； （2） ni i B 2=Ω=；（3）n i B P i ,,2,1,0)( =>则称n B B B ,,,21 是样本空间Ω的一个完备事件组.如果n B B B ,,,21 是样本空间Ω的一个完备事件组，则对样本空间Ω的任一事件A ，有)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==.这就是全概率公式. 证明 因为)()(11ni i n i i AB B A A A ====Ω=，且n AB AB AB ,,,21 互不相容，则由可加性可得)())(()(11i ni ni i AB P AB P A P ∑==== ,再将)()()(i i i B A P B P AB P =，n i ,,2,1 =，代入式(1.21)即得)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==.关于全概率公式的几点说明：（1）全概率公式的最简单的形式，若1)(0<<B P ，则)()()()()(B A P B P B A P B P A P +=； （2）条件n B B B ,,,21 为样本空间Ω的一个完备事件组，可改成n B B B ,,,21 互不相容，且 ni i A B 2=⊃，)()()(1i ni i B A P B P A P ∑==仍成立.1.5.2 贝叶斯公式设n B B B ,,,21 是样本空间Ω的一个完备事件组，如果0)(>A P ，则)()()()()(1jnj ji i i B A P B P B A P B P A B P ∑==，n i ,,2,1 =.例1.23 设某县有A 、B 、C 、D 、E 共5个片区种植杨树，各个片区种植面积分别占总面积的15%，20%，25%，30%，10%，各个片区杨树中“79杨”的百分比分别为80%，70%，60%，75%，90%，如从该县杨树中任抽取一颗，求：（1）任取一颗为“79杨”的概率；（2）若取到的是“79杨”，求它依次是A 、E 片区种植的概率. 解 记事件Y =“取到“79杨””.（1）由全概率公式，有)()()()()()()()()()()(E Y p E p D Y p D p YC p C p B Y P B p A Y p A p Y p ++++= =90.010.075.030.060.025.070.020.080.015.0⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.725.（2）由贝叶斯公式，有()2912725.080.015.0)()()(=⨯==Y p A Y p A p Y A p ， ()14518725.090.010.0)()()(=⨯==Y p E Y p E p Y E p .1.6 事件的独立性与伯努利概型1.6.1事件的独立性1.两个事件的独立性两个事件之间的独立性是指：一个事件的发生不影响另一个事件的发生.例如，在掷两枚硬币的试验中，记事件=A “第一枚硬币出现正面”，记事件=B “第二枚硬币出现正面”.显然A 与B 的发生是相互不影响的.从概率的角度看，如果事件B 的发生不影响事件A 的发生，即)()(A P B A P =，由此又可推出)()(B P A B P =，即事件A 的发生也不影响事件B 的发生.可见独立性是相互的，它们等价于)()()(B P A P AB P =.另外，对于0)(=B P ，或0)(=A P ，式(1.24)仍然成立.由此，我们给出两个事件相互独立的定义.定义1.4 如果)()()(B P A P AB P =成立，则称事件A 与B 相互独立，简称A 与B 独立.否则称A 与B 不独立或相依.性质1 若事件A 与B 独立，则A 与B 独立；A 与B 独立；A 与B 独立.证明 这里只证事件A 与B 独立，其余类似.因为B A AB A =从而)()()(B A P AB P A P +=由此得 )()()](1)[()()()()()()(B P A P B P A P B P A P A P AB P A P B A P =-=-=-=所以事件A 与B 独立.2.多个事件的相互独立性定义1.5 设C B A ,,是3个事件，如果有⎪⎩⎪⎨⎧===)()()()()()()()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ， 则称C B A ,,两两独立.若还有)()()()(C P B P A P ABC P =，则称C B A ,,相互独立.进一步地，给出3个以上事件的相互独立性.定义1.6 设有个n 事件n A A A ,,,21 ，若)(21k i i i A A A P )()()(21k i i i A P A P A P = )1(n i k ≤≤成立，则称n 事件n A A A ,,,21 相互独立.性质2 n 个相互独立的事件中，任意一部分与另一部分独立.性质3 将n 个相互独立的事件中的任一部分换为对立事件，所得的诸事件仍为相互独立的.例1.24 设三事件C B A ,,相互独立，试证B A -与C 相互独立. 证明 因为)()()()())(())((C P B P A P C B A P C B A P C B A P ===-)()()()(C P B A P C P B A P -==.可以推得：B A 与C 独立；AB 与C 独立.例1.25 甲、乙两射手彼此独立地向同一目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率为0.9，求目标被击中的概率.解 记=A “甲射中目标”，=B “乙射中目标”，则“目标被击中”B A =，故)()()()()(B P A P B P A P B A P -+==98.09.08.09.08.0=⨯-+.1.6.2 伯努利概型将随机试验E 重复进行n 次，各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，这样的试验称为n 重独立试验.特别地，若在n 重独立试验中，每次试验的结果只有两个：A 与A ，且q A P p A P ==)(,)( )1,10(=+<<q p p ，则这样的试验称为伯努利（Bernoulli ）试验或伯努利概型.对于伯努利概型，我们需要计算事件A 在n 次独立试验中恰好发生k 次的概率.性质4 在伯努利概型中，设事件A 在各次试验中发生的概率)10()(<<=p p A P ，则在n 次独立试验中恰好发生k 次的概率k n k n k n qp k P -=)()(， 其中n k q p ,,2,1,0,1 ==+.证明 设事件i A 表示“事件A 在第i 次试验中发生”，则有),,2,1(1)(,)(n i q p A P p A P i i ==-== .因为各次试验是相互独立的，所以事件n A A A ,,,21 是相互独立的.由此可见，n 次独立试验中事件A 在指定的k 次（如在前面k 次）试验中发生而在其余k n -次试验中不发生的概率)()()()()(1111n k k n k k A P A P A P A P A A A A P ++=k n k k n n q p q q p p --=⋅=个个)( 由于事件A 在n 次独立试验中恰好发生k 次共有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 种不同的方式，每一种方式对应一个事件，易知这⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 个事件是互不相容的，所以根据概率的可加性得k n k n q p k n k P -⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)( ，n k ,,2,1,0 =. 由于上式右端正好是二项式n q p )(+的展开式中的第1+k 项，所以通常把这个公式称为二项概率公式.例1．26 某种植物移栽成活率为0.8，现移栽10颗，求有8颗成活的概率。
