概率论与数理统计教程习题
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习题10(切比雪夫不等式)
一.填空题
1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ,方差2
)(σ=X D ,则由切比雪夫不等式,得
≤≥-)3(σμX P .
2. 随机掷6枚骰子,用X 表示6枚骰子点数之和,则由切比雪夫不等式,得
≥<<)2715(X P .
3. 若二维随机变量),(Y X 满足,2)(-=X E ,2)(=Y E ,1)(=X D ,4)(=Y D ,
5.0),(-=Y X R ,则由切比雪夫不等式,得≤≥+)6(Y X P .
4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列,且0)(=i X E ,)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =,则=<∑=∞
→)(
lim 1
n X
P n
i i
n .
二.选择题
1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在,对b a <,在以下概率中,( )可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。
① )(b X a P <<; ② ))((b X E X a P <-<;
③ )(a X a P <<-; ④ ))((a b X E X P -≥-.
2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ,用切比雪夫不等式估计≤≥
-)1
(λ
λX P ( ).
① λ; ② 2
λ ③ 4
λ; ④
λ
1
.
三.解答题
1. 已知正常男性成年人的血液里,每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量,若7300)(=X E ,
2700)(=X D ,利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。
2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列,μ=)(i X E ,
8)(=i X D ),,2,1(n i Λ=.记∑==n
i i X n X 1
1,由切比雪夫不等式估计概率)4(<-μX p .
3. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列,0)(=i X E ,2
)(σ=i X D ,
)(4i X E 存在,且一致有界),,,2,1(ΛΛn i =.对任意实数0>ε,证明
1)1(lim 1
22
=<-∑=∞→εσn i i n X n P .
11(特征函数)
一.填空题
1. 若随机变量X 服从正态分布)4,2(N ,则=≥)3(X P . =<<)40(X P ,=≤)1(X P .
2. 若随机变量~X ),(2
σμN ,且)()(c X P c X P ≥=≤,则=c .
3. 若随机变量~X ),2(2
σN ,且3.0)42(=< σμN ,记ασμσμ=+<<-)(k X k P . 当9.0=α时,=k ,当95.0=α时,=k . 5. 随机变量21,X X 相互独立,且都服从标准正态分布,记21432X X Y -+=, 则Y 概率密度=)(y f Y . 二.选择题 6. 若随机变量n X X X ,,,21Λ相互独立,且),(~2 σμN X i ),,2,1(n i Λ=,则= ∑=)1(1 n i i X n D ( ) ① 2σ; ② 2σn ; ③ n /2σ; ④ 2 2/n σ. 7. 若随机变量Y X ,相互独立,且都服从正态分布),(2 σμN .设Y X +=ξ,Y X -=η,则 =),cov(ηξ( ). ① 2 2σ; ② 1; ③ 1-; ④ 0. 8. 若随机变量Y X ,满足)3,1(~2 N X ,)4,0(~2 N Y ,2/1),(-=Y X R ,则=+)2 3(Y X D ( ). ① 5; ② 4; ③ 3; ④ 2. 三.解答题 1. 某种电池的寿命X (单位:h )服从正态分布)35,300(2N .(1)求寿命大于250小时的概率,(2)求x ,使寿命在x ±300之间的概率不小于. 2. 测量某一目标的距离时,随机误差)40,0(~2N X (单位:m ). (1)求)30(≤X P , (2)若作三次独立测量,求至少有一次测量误差的绝对值不超过30米的概率。 3. 一商店对某种家电采用先使用后付款的方式销售,使用寿命X (单位:年)与销售单价Y (单位:元)关系如下: 若X~N 4. 若随机变量)1,0(~N X ,设X e Y =,求随机变量Y 的概率密度)(y f Y . 12(中心极限定理) 一.填空题 1. 若随机变量X 与Y 相互独立,且都服从标准正态分布,则),(Y X 的联合概率密度为 =),(y x f . 2. 若二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为 ),(,31),(]3)2(3 )2)(1()1[(3222∞+<-∞+∞<<-∞= -+--+--y x e y x f y y x x π 则=)(X D ,=)(Y D ,=),(Y X R . 3. 若随机变量X 服从二项分布)8.0,10000(B ,由中心极限定理,有 ≈<-)408000(X P . 二.选择题 1. 若二维随机变量),(Y X 服从二元正态分布),,,,(2 2r N y x y x σσμμ,则X 与Y 不相关是X 与Y 不相互独立的( )条件。 ① 充分且必要; ② 充分但不必要; ③ 必要但不充分; ④ 即不充分也不必要. 2. 若随即变量序列ΛΛ,,,,21n X X X 相互独立,且都服从参数为λ的泊松分布)(λP ,当=X ( )时.)()(lim x x X P n Φ=≤∞ →.(其中)(x Φ为标准正态分布的分布函数). ① n n X n i i ∑=-1 λ; ② λ λ n n X n i i ∑=-1 ; ③ λ λ n n X n i i ∑=-1 ; ④ λ λ n n X n i i ∑=-1 . 三.解答题