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第1章随机事件与概率一、随机事件及其运算1．写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币；（2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个．解：（1），共含有个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意．（2），共含有个样本点．（3），共含有可列个样本点．（4）黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红（5）黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白2．先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间Ω是什么？解：3．设A，B，C为三事件，试表示下列事件：（1）A，B，C都发生或都不发生：（2）A，B，C中不多于一个发生；（3）A，B，C中不多于两个发生；（4）A，B，C中至少有两个发生．解：（1）（2）（3）（4）4．指出下列事件等式成立的条件．（1）（2）解：（1）（2）5．设X为随机变量，其样本空间为，记事件，写出下列各事件：解：的图示如图1-1：图1-1（1）（2）（3）由于，所以，故（4）由于，所以，故6．检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：解：7．试问下列命题是否成立？（1）（2）若且，则（3）（4）解：（1）不成立是因为由（1）的左端可得（2）成立的理由是：互不相容两个集合的子集当然也互不相容，（1）（3）（4）不成立，为了说明理由，我们利用减法的一个性质：来简化事件．（3）不成立是因为由（3）的左端可得（4）不成立的理由是8．若事件，是否一定有解：不能，因为发生有多种情况，如（1）A，B，C中两两不相容（见图1-2（a））；（2）A，B，C中有两个相容，但与第三个都不相容（见图1-2b））；（3）A与B相容，A与C相容，但B与C不相容（见图1-2（c））；（4）A，B，C中两两相容，但其交不含任一样本点（见图1-2（d））．图1-29．请叙述下列事件的对立事件：（1）A＝“掷两枚硬币，皆为正面”；（2）B＝“射击三次，皆命中目标”；（3）C＝“加工四个零件，至少有一个合格品”．解：（1）“掷两枚硬币，至少有一反面”．（2）“射击三次，至少有一次不命中目标”．（3）“加工四个零件，全为不合格品”．10．证明下列事件的运算公式：（1）（2）证：（1）右边＝左边．（2）利用（1）有，所以11．设为一事件域，若试证：（1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算证：（1）因为为一事件域，所以，故其对立事件（2）构造一个事件序列，其中由此得（3）因为．所以，由，得（4）因为，所以，由，得（5）因为，所以，由（3）（有限交）得二、概率的定义及其确定方法1．对于组合数，证明：（1）（2）（3）（4）（5）（6）证：（1）等式两边用组合数公式展开即可得证．（2）因为右边左边．（3）因为右边左边．（4）因为所以左边＝右边．（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a＋b个，其中a个是不合格品，b个是合格品，从中随机取出n个，则事件“取出的n个产品中有k个不合格。
第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ． 10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ， 故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576， 事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为dcb a m E m E P π)()()(++=Ω=． 方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球， 则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。
习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05， 故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ， 事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ， 故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ． 4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5， 故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ， 样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ， 故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ， 事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ， 故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ． 8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )． 解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)2)1)(()1(21)1)((222)1)(()1(++×−++−++++×−++++++×−++−=m n n b a b a b b m n n b a b a ab m n n b a b a a a )2)(1)(()1()1(2)2)(1(++−++−++++−=m n b a b a n b b n ab n a a ． 14．有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球．从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n − 1个口袋中任取一球放入第n 个口袋，最后再从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率．解：设A k 表示“从第k 个口袋取出的是白球”，当k = 1时，有ba a A P +=)(1， 设对于k − 1，有b a a A P k +=−)(1， 则111)|()()|()()(1111++⋅+++++⋅+=+=−−−−b a a b a b b a a b a a A A P A P A A P A P A P k k k k k k k ba ab a b a b a a b a b a ab a a +=+++++=+++++=)1)(()1()1)(()1(， 故由数学归纳法可知，对任意自然数k ，b a a A P k +=)(，即ba a A P n +=)(． 15．钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1．试求找到钥匙的概率．解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上”，B 表示“找到钥匙”，故所求概率为P (B ) = P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2) + P (A 3)P (B | A 3)= 0.5 × 0.8 + 0.3 × 0.3 + 0.2 × 0.1 = 0.51．16．两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．解：设A 1, A 2分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件”，B 表示“取出的是合格品”，（1）所求概率为96.094.03197.032)|()()|()()(2211=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ； （2）所求概率为5.004.006.031)()|()()()()|(2222=×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 17．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率．解：设A 1 , A 2分别表示“挑出第一箱、第二箱”，B 1 , B 2分别表示“第一次、第二次取出的是一等品”，（1）所求概率为5.0301821502021)|()()|()()(2121111=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ； （2）因14210360129173018214919502021)|()()|()()(2212121121=××+××=+=A B B P A P A B B P A P B B P ， 故所求概率为5068.0710536015.0142103601)()()|(12112====B P B B P B B P ．18．学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2；（2）学生知道正确答案的概率是0.2．解：设A 1 , A 2分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测”，B 表示“题答对了”，（1）因P (A 1) = 0.5，P (A 2) = 0.5， 故所求概率为8.0625.05.025.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ， （2）因P (A 1) = 0.2，P (A 2) = 0.8， 故所求概率为5.04.02.025.08.012.012.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 19．已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A 1 , A 2分别表示“此人是男性、女性”，B 表示“此人是色盲患者”， 故所求概率为9544.00025.0432105.0432205.04322)|()()|()()|()()|(2211111=×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 20．口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的．现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？解：设A 1 , A 2分别表示“原来那个球是白球、黑球”，B 表示“取出的是白球”， 故所求概率为3275.05.05.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 21．将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率．解：样本点总数为N = (2n − 1) (2n − 3)…3 ⋅ 1 = (2n − 1)!!，事件A =“恰好结成n 个圈”所含样本点个数K = 1， 故所求概率为!)!12(1)(−=n A P ． 22．m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m − 1个人中的任何一个．求第n 次传球时仍由甲传出的概率．解：设A k 表示“第k 次传球时由甲传出”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1， 则)(111111)](1[0)|()()|()()(111111−−−−−−−−−=−⋅−+=+=k k k k k k k k k A P m m m A P A A P A P A A P A P A P ， 故⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=−−−=−−)(11111111)(1111)(11n n n A P m m m m A P m m A P )(111111122−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=n A P m m m )(11)1(11)1(11)1(111111112232A P m m m m m n n n n n n −−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=L⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−−−−2223211111111111111)1(1111n n n n m m m m m m m m L ． 23．甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷．每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求第n 次由甲掷的概率．解：设A k 表示“第k 次由甲掷骰子”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1， 则)(326161)](1[65)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ， 故)(32613261)(32613261)(3261)(2221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P 1111123221213232132161)(326132613261−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⋅+=n n n n n A P L ． 24．甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球．每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋．求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率．解：设A k 表示“交换k 次后黑球在甲口袋中”，k = 1, 2, ……，有P (A 0) = 1， 则)(313131)](1[32)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ， 故)(313131)(31313131)(3131)(22221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P n n n n n A P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=3121213131131131)(3131313102L ． 25．假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨．若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1 − p ．设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率．解：设A k 表示“第k 天也无雨”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1， 则)1()](1[)()|()()|()()(111111p A P p A P A A P A P A A P A P A P k k k k k k k k k −⋅−+⋅=+=−−−−−−= 1 − p + (2p − 1) P (A k − 1)，故P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1) P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1)[1 − p + (2p − 1) P (A n − 2)]= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + (2p − 1)2 P (A n − 2)= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + … + (2p − 1)n − 2 (1 − p ) + (2p − 1)n − 1P (A 1)111)12(2121)12()12(1])12(1)[1(−−−−+=−+−−−−−=n n n p p p p p ． 26．设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入c （c > 0）个同色的球．试证：第k 次取到黑球的概率为b /(b + r )，k = 1, 2, …．证：设B k (b , r ) 表示“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第k 次取到黑球”，k = 1, 2, …，用数学归纳法证明r b b r b B P k +=)),((， 当k = 1时，rb b r b B P +=)),((1，结论成立， 设对于k − 1，结论成立，即rb b r b B P k +=−)),((1， 对于k ，设A 1 , A 2分别表示“第一次取到黑球、红球”，有P (B k (b , r ) | A 1) = P (B k − 1 (b + c , r ))，P (B k (b , r ) | A 2) = P (B k − 1 (b , r + c ))，则P (B k (b , r )) = P (A 1) P (B k (b , r ) | A 1) + P (A 2) P (B k (b , r ) | A 2)= P (A 1) P (B k − 1 (b + c , r )) + P (A 2) P (B k − 1 (b , r + c ))rb bc r b r b br c b b c r b b r b r c r b c b r b b +=+++++=++⋅+++++⋅+=))(()(， 故对于k ，结论成立，rb b r b B P k +=)),((． 27．口袋中a 个白球，b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球．试证白球比黑球出现得早的概率为a /(a + b )，与n 无关．证：设B n 表示“口袋中有n 个红球时白球比黑球出现得早”，n = 0, 1, 2, …， 用数学归纳法证明ba a B P n +=)(，与n 无关， 当n = 0时，显然有ba a B P +=)(0，结论成立， 设对于n − 1，结论成立，即ba a B P n +=−)(1， 对于B n ，设A 1 , A 2 , A 3分别表示“第一次取球时取到白球、黑球、红球”，有P (B n | A 3) = P (B n −1)， 则P (B n ) = P (A 1) P (B n | A 1) + P (A 2) P (B n | A 2) + P (A 3) P (B n | A 3) = P (A 1) ⋅ 1 + P (A 2) ⋅ 0 + P (A 3) P (B n −1) ba ab a n b a an b a a b a a n b a n n b a a +=+++++=+⋅+++++=))(()(， 故对于n ，结论成立，b a a B P n +=)(，与n 无关． 28．设P (A ) > 0，试证)()(1)|(A P B P A B P −≥． 证：)()(1)()(1)()()()()()|(A P B P A P B A P A P B A P A P A P AB P A B P −≥−=−==． 29．若事件A 与B 互不相容，且0)(≠B P ，证明：)(1)()|(B P A P B A P −=． 证：因事件A 与B 互不相容，有B A ⊂，故)(1)()()()()()|(B P A P B P A P B P B A P B A P −===． 30．设A , B 为任意两个事件，且A ⊂ B ，P (B ) > 0，则成立P (A ) ≤ P (A | B )． 证：)()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==．31．若)|()|(B A P B A P >，试证)|()|(A B P A B P >． 证：因)(1)()()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P B A P B P AB P B A P −−==>=，有P (AB )[1 − P (B )] > P (B )[P (A ) − P (AB )]， 则P (AB ) > P (A ) P (B )，得P (AB )[1 − P (A )] > P (A )[P (B ) − P (AB )]， 故)|()()()(1)()()()()|(A B P A P B A P A P AB P B P A P AB P A B P ==−−>=． 32．设P (A ) = p ，P (B ) = 1 − ε ，证明：εεε−≤≤−−1)|(1p B A P p ． 证：因P (AB ) ≤ P (A ) = p ，且P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = p + 1 − ε − 1 = p − ε ， 故p − ε ≤ P (AB ) ≤ p ，即εεεε−≤−==≤−−11)()()()|(1p AB P B P AB P B A P p ． 33．若P (A | B ) = 1，证明：1|(=A B P ． 证：因1)()()|(==B P AB P B A P ，有P (AB ) = P (B )， 则P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = P (A )，即()()(1)(1)(B A P B A P B A P A P A P ==−=−=U U ， 故1)()()|(==A P B A P A B P ．。
2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。
习题1.51． 三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4，求此密码被译出的概率． 解：设A , B , C 分别表示“第一、第二、第三人能单独译出”，有A , B , C 相互独立，即C B A ,,相互独立， 故所求概率为535214332541)()()(1)(1)(=−=××−=−=−=C P B P A P C B A P C B A P U U ． 2． 有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：（1）两粒种子都能发芽的概率；（2）至少有一粒种子能发芽的概率；（3）恰好有一粒种子能发芽的概率．解：设A , B 分别表示“甲批、乙批的种子能发芽”，有A , B 相互独立，（1）所求概率为P (AB ) = P (A ) P (B ) = 0.8 × 0.9 = 0.72；（2）所求概率为P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.8 + 0.9 − 0.72 = 0.98；（3）所求概率为P (A ∪B − AB ) = P (A ∪B ) − P (AB ) = 0.98 − 0.72 = 0.26．3． 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率．解：设A , B 分别表示“甲、乙射击命中目标”，有A , B 相互独立， 故所求概率为)()()()()()()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P B P A P A P B A P A P B A A P −+=−+==U U 8511.0474094.08.07.08.07.08.08.0===×−+=． 4． 设电路由A , B , C 三个元件组成，若元件A , B , C 发生故障的概率分别是0.3, 0.2, 0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：（1）A , B , C 三个元件串联；（2）A , B , C 三个元件并联；（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成．解：设A , B , C 分别表示“元件A , B , C 发生故障”，有A , B , C 相互独立， （1）所求概率为552.08.08.07.01()((1)(1)(=××−=−=−=P P P P C B A P U U ；（2）所求概率为P (ABC ) = P (A ) P (B ) P (C ) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012；（3）所求概率为P (A ∪BC ) = P (A ) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A ) + P (B ) P (C ) − P (A ) P (B ) P (C )= 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328．5． 在一小时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9、0.8和0.85，求一小时内（1）没有一台机床需要维修的概率；（2）至少有一台机床不需要维修的概率；（3）至多只有一台机床需要维修的概率．解：设A , B , C 分别表示“甲、乙、丙三台机床不需要维修”，有A , B , C 相互独立，（1）所求概率为P (ABC ) = P (A ) P (B ) P (C ) = 0.1 × 0.2 × 0.15 = 0.003；（2）所求概率为388.085.08.09.01()()(1)(1)(=××−=−=−=C P B P A P C B A P C B A P U U ；（3）所求概率为)()()()()(BC A P C B A P C AB P ABC P BC A C B A C AB ABC P +++=U U U)()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++== 0.1 × 0.2 × 0.15 + 0.1 × 0.2 × 0.85 + 0.1 × 0.8 × 0.15 + 0.9 × 0.2 × 0.15 = 0.059．6． 设A 1 , A 2 , A 3相互独立，且P (A i ) = 2/3，i = 1, 2, 3．试求A 1 , A 2 , A 3中（1）至少出现一个的概率；（2）恰好出现一个的概率；（3）最多出现一个的概率．解：（1）所求概率为27263131311)()()(1)(1)(321321321=××−=−=−=A P A P A P A A A P A A A P U U ； （2）所求概率为)(321321321A A A A A A A A A P U U)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=92323131313231313132=××+××+××=； （3）所求概率为)(321321321321A A A A A A A A A A A A P U U U)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=277313131323131313231313132=××+××+××+××=． 7． 若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求min{P (A ), P (B )}．解：因事件A 与B 相互独立且互不相容，有P (AB ) = P (A ) P (B ) 且AB = ∅，即P (AB ) = 0，则P (A ) P (B ) = 0，即P (A ) = 0或P (B ) = 0，故min{P (A ), P (B )} = 0．8． 假设P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.9，在以下情况下求P (B )：（1）A , B 不相容；（2）A , B 独立；（3）A ⊂ B ．解：（1）因A , B 不相容，有P (A ∪B ) = P (A ) + P (B )，故P (B ) = P (A ∪B ) − P (A ) = 0.9 − 0.4 = 0.5；（2）因A , B 独立，有P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ) P (B )， 故8333.06.05.04.014.09.0)(1)()()(==−−=−−=A P A P B A P B P U ； （3）因A ⊂ B ，有P (B ) = P (A ∪B ) = 0.9．9． 设A , B , C 两两独立，且ABC = ∅．（1）如果P (A ) = P (B ) = P (C ) = x ，试求x 的最大值；（2）如果P (A ) = P (B ) = P (C ) < 1/2，且P (A ∪B ∪C ) = 9/16，求P (A )．解：（1）因ABC = ∅，有P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (A ) P (B ) + P (A ) P (C ) = 2 x 2，则2 x 2 = P (AB ∪AC ) ≤ P (A ) = x ，得x ≤ 0.5， 另一方面，x 可以取到0.5，若取P (A ) = P (B ) = 0.5，P (AB ) = 0.25，B A B A C U =， 则5.0)()()()()()()()(=−+−=+==AB P B P AB P A P B P A P A P C P U ，且P (AB ) = 0.25 = P (A ) P (B )，A , B 独立，)()(25.0)()()()(C P A P AB P A P B A P AC P ==−==，有A , C 独立，)()(25.0)()()()(C P B P AB P B P A P BC P ==−==，有B , C 独立，即P (A ) = P (B ) = P (C ) = 0.5，A , B , C 两两独立，且ABC = ∅，得x 可以取到0.5，故x 的最大值等于0.5；注：掷两次硬币，设A 表示“第一次出现正面”，B 表示“第二次出现正面”，C 表示“恰好出现一次正面”，有P (A ) = P (B ) = P (C ) = 0.5，ABC = ∅，且AB 表示“两次都出现正面”，P (AB ) = 0.25 = P (A )P (B )，有A , B 独立；AC 表示“第一次出现正面，第二次反面”，P (AC ) = 0.25 = P (A )P (C )，有A , C 独立；BC 表示“第一次出现反面，第二次正面”，P (BC ) = 0.25 = P (B )P (C )，有B , C 独立．（2）设P (A ) = P (B ) = P (C ) = x ，有21<x ， 因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (A ) P (B ) − P (A ) P (C ) − P (B ) P (C ) = 3x − 3x 2， 则233169x x −=，即0)43)(41(1632=−−=+−x x x x ，得41=x 或43=x ，但21<x ， 故41=x ． 10．事件A , B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P (A ) 及P (B )．解：因A , B 独立，且41)()(==B A P B A P ，有)()](1[)()()](1)[()()(B P A P B P A P B P A P B P A P −==−=， 则P (A ) = P (B )，得41)](1)[(=−A P A P ，即0]21)([41)()]([22=−=+−A P A P A P ， 故21)(=A P ，21)(=B P ． 11．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为p i = 1/(i + 1)，i = 1, 2, 3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求P {X ≤ 2}．解：设A i 表示“第i 个零件是不合格品”，i = 1, 2, 3，有A 1 , A 2 , A 3相互独立， 故)1)(1)(1(1)()()(1)(1}3{1}2{321321321p p p A P A P A P A A A P X P X P −−−−=−=−==−=≤434332211=××−=． 12．每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？ 解：设X n 表示n 门高射炮击中飞机的次数，且每门高射炮击中飞机的概率为p = 0.3，则至少命中一次的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.7 n ≥ 0.99，即0.7 n ≤ 0.01， 故9114.127.0ln 01.0ln =≥n ，即需要13门高射炮就能以99%的把握击中飞机． 13．投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2？解：设X n 表示投掷n 次骰子出现点数为6的次数，且每次投掷骰子出现点数为6的概率p = 1/6，则至少有一次出现点数为6的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (5/6) n ≥ 1/2，即(5/6) n ≤ 1/2， 故8018.3)6/5ln()2/1ln(=≥n ，即需要投掷4次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2． 14．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，试求该射手进行一次射击的命中率．解：设X 表示该射手四次射击的命中次数，且射手进行一次射击的命中率为p ， 则至少命中一次的概率为8180)1(1}0{1}1{4=−−==−=≥p X P X P ，即811)1(4=−p ， 故射手进行一次射击的命中率为32=p ． 15．每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设X n 表示n 次射击的命中次数，且每次射击命中率为p = 0.2，则至少命中一次的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.8 n ≥ 0.9，即0.8 n ≤ 0.1， 故3189.108.0ln 1.0ln =≥n ，即射击至少11次才能使至少击中一次的概率不小于0.9． 16．设猎人在猎物100米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5．若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150米．若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200米．若第三枪仍未命中，则猎物逃逸．假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率．解：设A i 表示“第i 枪命中猎物”，i = 1, 2, 3，有A 1 , A 2 , A 3相互独立，则P (A 1) = 0.5，31)(150100)(12==A P A P ，41)(200100)(13==A P A P ， 故所求概率为)()()()(321211321211A A A P A A P A P A A A A A A P ++=U U43129413221312121)()()()()()(321211==××+×+=++=A P A P A P A P A P A P ． 17．某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得，根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的；（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率；（2）若要以95%的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者．解：设X n 表示n 名身体合格的献血者中AB 型血的人数，且每名献血者是AB 型血的概率为p = 0.02，（1）P {X 20 ≥ 1} = 1 − P {X 20 = 0} = 1 − (1 − p )20 = 1 − 0.9820 = 0.3324；（2）因P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.98 n ≥ 0.95，即0.98 n ≤ 0.05， 故2837.14898.0ln 05.0ln =≥n ，即需要149位献血者才能以95%的把握至少能获得一份AB 型血． 18．一个人的血型为A , B , AB , O 型的概率分别为0.37, 0.21, 0.08, 0.34．现任意挑选四个人，试求：（1）此四人的血型全不相同的概率；（2）此四人的血型全部相同的概率．解：（1）所求概率为P (A 1) = 4! × 0.37 × 0.21 × 0.08 × 0.34 = 0.0507；（2）所求概率为P (A 2) = 0.374 + 0.214 + 0.084 + 0.344 = 0.0341．19．甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？解：三局两胜制，甲2∶0胜乙的概率为0.6 2 = 0.36，甲2∶1胜乙的概率为2 × 0.6 2 × 0.4 = 0.288，则三局两胜制时，甲获胜的概率为P (A 1) = 0.36 + 0.288 = 0.648；五局三胜制，甲3∶0胜乙的概率为0.6 3 = 0.216，甲3∶1胜乙的概率为3 × 0.63 × 0.4 = 0.2592， 且甲3∶2胜乙的概率为20736.04.06.02423=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛，则五局三胜制时，甲获胜的概率为P (A 2) = 0.216 + 0.2592 + 0.20736 = 0.68256；故P (A 1) < P (A 2)，五局三胜制时对甲更有利．20．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两场为止，此人即为冠军．而每次比赛双方取胜的概率都是1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率．解：设每局比赛中，甲胜乙、乙胜甲、甲胜丙、丙胜甲、乙胜丙、丙胜乙分别记为A b , B a , A c , C a , B c , C b ，则甲得冠军的情况有两类：① A b A c ，A b C a B c A b A c ，A b C a B c A b C a B c A b A c ，……，(A b C a B c )k A b A c ，……，② B a C b A c A b ，B a C b A c B a C b A c A b ，B a C b A c B a C b A c B a C b A c A b ，……，(B a C b A c )k A b ，……，故甲得冠军的概率为P (A ) = (0.5 2 + 0.5 5 + 0.5 8 + ……) + (0.5 4 + 0.5 7 + 0.5 10 + ……)145141725.015.05.015.03432=+=−+−=； 由对称性知乙得冠军的概率145)()(==A P B P ； 而丙得冠军的情况也有两类：① A b C a C b ，A b C a B c A b C a C b ，A b C a B c A b C a B c A b C a C b ，……，(A b C a B c )k A b C a C b ，……，② B a C b C a ，B a C b A c B a C b C a ，B a C b A c B a C b A c B a C b C a ，……，(B a C b A c )k B a C b C a ，……，故丙得冠军的概率为P (C ) = (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……) + (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……)725.015.0233=−×=． 21．甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2．两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜；（3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜．解：记每一局中甲赢的概率为p = 0.5，假设赌博继续下去，按甲、乙最终获胜的概率分配赌本，（1）由对称性知，甲、乙获胜的概率相等，则P (A 1) = P (B 1) = 0.5，故甲、乙应各得赌本的一半；（2）因甲获胜的概率为P (A 2) = p 2 + 2 (1 − p ) p 2 + 3 (1 − p ) 2 p 2 = 0.5 2 + 2 × 0.5 3 + 3 × 0.5 4 = 0.6875，则乙获胜的概率P (B 2) = 1 − P (A 2) = 0.3125，故甲应得赌本的68.75%，乙应得赌本的31.25%；（3）因甲获胜的概率为n m n n np p m m n p p n p p n p A P 123)1(12)1(21)1(1)(−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=L 1215.0125.0215.015.0−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=m n n n n m m n n n L ， 则乙获胜的概率为P (B 3) = 1 − P (A 3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−+++1215.0125.0215.015.01m n n n n m m n n n L ， 故甲应得赌本的1215.0125.0215.015.0−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+m n n n n m m n n n L ， 乙应得赌本的⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+++1215.0125.0215.015.01m n n n n m m n n n L ． 注：也可假设无论结果如何，都要进行n + m 局比赛，甲获胜的条件是前n + m − 1局比赛中，甲至少赢得n 局比赛，故甲获胜的概率为1211311)1(11)1(1)(−+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m n m n m n p m n m n p p n m n p p n m n A P L 15.011111−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m n m n m n n m n n m n L ． 22．一辆重型货车去边远山区送货．修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2．你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？解：设X 与Y 分别表示在途中损坏的前胎个数与后胎个数，A 与B 分别表示至少有一个前胎与后胎损坏，且每个前胎损坏的概率为p 1 = 0.1，每个后胎损坏的概率为p 2 = 0.2，A 与B 相互独立，则P (A ) = P {X ≥ 1} = 1 − P {X = 0} = 1 − (1 − p 1)2 = 1 − 0.92 = 0.19，P (B ) = P {Y ≥ 1} = 1 − P {Y = 0} = 1 − (1 − p 2)4 = 1 − 0.84 = 0.5904，故P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.19 + 0.5904 − 0.19 × 0.5904 = 0.6682．23．设0 < P (B ) < 1，试证事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(B A P B A P =．证：必要性，若事件A 与B 独立， 则)()()()()()()|(A P B P B P A P B P AB P B A P ===，)(()()(()()|(A P P B P A P P B A P B A P === 故)|()|(B A P B A P =； 充分性，若)|()|(B A P B A P =，有)(1)()()()()()(B P AB P A P P B A P B P AB P −−==， 则P (AB )[1 − P (B )] = P (B )[P (A ) − P (AB )]，即P (AB ) − P (AB )P (B ) = P (A )P (B ) − P (B )P (AB )，故P (AB ) = P (A ) P (B )，即事件A 与B 独立．24．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，1)|()|(=+B A P B A P ，试证A 与B 独立． 证：因)(1)(1)()(()()()()|()|(B P B A P B P AB P P B A P B P AB P B A P B A P −−+=+=+U ， )(1)()()(1)()(B P AB P B P A P B P AB P −+−−+= )](1)[()]()()(1)[()](1)[(B P B P AB P B P A P B P B P AB P −+−−+−= )](1)[()()()]([)()()()()()(2B P B P B P AB P B P B P A P B P B P AB P AB P −+−−+−= 1)](1)[()()()()](1)[()]([)()()()(2+−−=−−+−=B P B P B P A P AB P B P B P B P B P B P A P AB P ， 且1|()|(=+B A P B A P ， 则0)](1)[()()()(=−−B P B P B P A P AB P ， 故P (AB ) = P (A ) P (B )，即事件A 与B 独立．25．若P (A ) > 0，P (B ) > 0，如果A , B 相互独立，试证A , B 相容．证：因A , B 相互独立，有P (AB ) = P (A ) P (B ) > 0，故AB ≠ ∅，即A , B 相容．。
