概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

第二章 随机变量及其分布1.[一] 一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：106,103,101 3.[三] 设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3522)0(315313===C C X P 3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表X ： 0， 1， 2 P ：351,3512,3522 4.[四] 进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。

）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。

（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。

）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (X=k )=q k －1pk=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 6.[六] 一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻t 每个设备使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？0729.0)9.0()1.0()2(322525225=⨯⨯===-C q p C X P（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？00856.0)1.0()9.0()1.0()9.0()1.0()3(5554452335=⨯+⨯⨯+⨯⨯=≥C C C X P（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？3225415505)9.0()1.0()9.0(1.0)9.0()3(⨯⨯+⨯⨯+=≤C C C X P99954.0)9.0()1.0(2335=⨯⨯+C（4）至少有一个设备被使用的概率是多少？40951.059049.01)0(1)1(=-==-=≥X P X P[五] 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

概率论与数理统计第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。

2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。

3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率 为 。

4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。

5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。

6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。

7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。

8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。

9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率 为 。

10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A {}Y X B >=，则=)|(A B P 。

11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。

12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。

13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。

14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。

15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。

16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。

17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。

第二章 随机变量及其分布基础训练Ⅰ一、选择题1、下列表中（ A ）可以作为离散型随机变量的分布律。

A) X 1 －1 0 1 B) X 2 0 1 2P 1/4 1/2 1/4 P －1/4 3/4 1/2C) X 3 0 1 2 D) X 4 1 2 1P 1/5 2/5 3/5 P 1/4 1/4 1/2 2、常数b ＝（ B ）时，),2,1()1( =+=k k k bp k 为离散型随机变量的概率分布。

A ）2B ）1C ）1/2D ）33、设⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=1,110,2/0,0)(x x x x x F ，则（ D ）A ）是随机变量的密度函数 B) 不是随机变量的分布函数 C ）是离散型随机变量的分布函数 D ）是连续型随机变量的分布函数4、设)(1x F 和)(2x F 分别为随机变量21,X X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）A ）a ＝3/5，b ＝－2/5 B) a ＝2/3，b ＝2/3 C ）a ＝－1/2，b ＝3/2 D ）a ＝1/2，b ＝－3/25、设随机变量),(~2σμN X ,且}{}{c X P c X P >=≤，则=c （ B ）A) 0 B)μ C) μ- D) σ二、填空题1、连续型随机变量取任何给定值的概率为 0 。

2、设离散型随机变量X 分布律为⎪⎪⎭⎫⎝⎛5.03.02.0210，则P (X ≤1.5) = 0.5 。

3、设连续型随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F ，则A = 1 ，X 落在（－1,1/2）内的概率为 1 / 4 。

4、设K 在（0, 5）上服从均匀分布，则方程02442=+++K Kx x 有实根的概率为0.6 。

5、随机变量X 的分布函数)(x F 是事件}{x X ≤的概率。

第二章 随机变量及其分布一. 填空题1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =95, 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 94951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2=-p , 31=p 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为cc c c 162,85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++=c cc c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率:P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________.P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________.解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1)4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442=+++k kx x 有实根的概率为_____.解. k 的分布密度为⎪⎩⎪⎨⎧=051)(k f 其它50≤≤kP{02442=+++k kx x 有实根} = P{03216162≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =535152=⎰dk 5. 已知2}{,}{kbk Y P k a k X P =-===(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++a a a a . 4936,194==++b b b b (X, Y)P24α 66α 251α 126α 72αab = 216α, 5391=α 6. 已知(X, Y)联合密度为⎩⎨⎧+=0)sin(),(y x c y x ϕ 其它4,0π≤≤y x , 则c = ______, Y 的边缘概率密度=)(y Y ϕ______.解.12,1)sin(4/04/0+==+⎰⎰c dxdy y x c ππ所以⎩⎨⎧++=0)sin()12(),(y x y x ϕ 其它4,0π≤≤y x当 40π≤≤y 时所以⎪⎩⎪⎨⎧+-+=0))4cos()(cos 12()(y y y Y πϕ 其它40π≤≤y7. 设平面区域D 由曲线2,1,01e x x y xy ====及直线围成, 二维随机变量(X, Y)在D 上服从均匀分布, 则(X, Y)关于X 的边缘密度在x = 2处的值为_______. 解. D 的面积 =2121=⎰e dx x. 所以二维随机变量(X, Y)的密度为: 下面求X 的边沿密度: 当x < 1或x > e 2时 当1 ≤ x ≤ e 2时 ⎰⎰===∞+∞-x X x dy dy y x x 102121),()(ϕϕ, 所以41)2(=X ϕ. 8. 若X 1, X 2, …, X n 是正态总体N(μ, σ2)的一组简单随机样本, 则)(121n X X X nX +++=Λ服从______. 解. 独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.μ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i i n i i X E n X n E 11)(11, nX D nX n D ni in i i 2121)(11σ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==所以 ),(~2nN X σμ9. 如果(X, Y)的联合分布用下列表格给出,且X 与Y 相互独立, 则α = ______, β = _______.解.两式相除得βαβα=++18191, 解得 βα2=, 92,91==αβ.10. 设(X, Y)则 i. Z = X + Y iii. U= X 2 + Y －2的分布律_______. 解.二. 单项选择题1. 如下四个函数哪个是随机变量X 的分布函数(A)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=221)(x F 0022≥<≤--<x x x , (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F ππ≥<≤<x x x 00(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=1sin 0)(x x F 2/2/00ππ≥<≤<x x x , (D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=1310)(x x F 212100≥<≤<x x x解. (A)不满足F(+∞) = 1, 排除(A); (B)不满足单增, 排除(B); (D)不满足F(1/2 + 0) = F(1/2), 排除(D); (C)是答案. 2. ),4,2,0(!/)(Λ===-k k ec k X P kλλ是随机变量X 的概率分布, 则λ, c 一定满足(A) λ > 0 (B) c > 0 (C) c λ > 0 (D) c > 0, 且 λ > 0 解. 因为),4,2,0(!/)(Λ===-k k ec k X P kλλ, 所以c > 0. 而k 为偶数, 所以λ可以为负.所以(B)是答案.3. X ～N(1, 1), 概率密度为ϕ(x), 则(A)5.0)0()0(=≥=≤X P X p (B)),(),()(+∞-∞∈-=x x x ϕϕ (C) 5.0)1()1(=≥=≤X P X p (D) ),(),(1)(+∞-∞∈--=x x F x F 解. 因为E(X) = μ = 1, 所以5.0)1()1(=≥=≤X P X p . (C)是答案.4. X, Y 相互独立, 且都服从区间[0, 1]上的均匀分布, 则服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A) (X, Y) (B) X + Y (C) X 2 (D) X －Y解. X ～⎩⎨⎧=01)(x ϕ 其它10≤≤x , Y ～⎩⎨⎧=01)(y ϕ 其它10≤≤y . 所以(X, Y)～⎩⎨⎧=01),(y x ϕ其它1,0≤≤y x .所以(A)是答案.5. 设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=120)(xx F 1100>≤<≤x x x 则(A) F(x)是随机变量X 的分布函数. (B) 不是分布函数.(C) 离散型分布函数. (D)连续型分布函数.解. 因为不满足F(1 + 0) = F(1), 所以F(x)不是分布函数, (B)是答案.6. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 它们的分布函数为)(),(y F x F Y X , 则Z = max(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = max{)(),(z F z F Y X } (B) )(z F Z = max{|)(||,)(|z F z F Y X } (C) )(z F Z = )()(z F z F Y X (D) 都不是解. }{}),{m ax ()()(z Y z X P z Y X P z Z P z F Z ≤≤=≤=≤=且 )()()()(z F z F z Y P z X P Y X =≤≤因为独立. (C)是答案.7. 设X, Y 是相互独立的两个随机变量, 其分布函数分别为)(),(y F x F Y X , 则Z = min(X, Y)的分布函数是(A) )(z F Z = )(z F X (B) )(z F Z = )(z F Y(C) )(z F Z = min{)(),(z F z F Y X } (D) )(z F Z = 1－[1－)(z F X ][1－)(z F Y ] 解. }{1}),{m in(1)(1)()(z Y z X P z Y X P z Z P z Z P z F Z >>-=>-=>-=≤=且 (D)是答案.8. 设X 的密度函数为)(x ϕ, 而,)1(1)(2x x +=πϕ 则Y = 2X 的概率密度是(A))41(12y +π (B) )4(22y +π (C) )1(12y +π (D) y arctan 1π解. )2()2(}2{)()(yF y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= (B)是答案.9. 设随机变量(X, Y)的联合分布函数为⎩⎨⎧=+-0),()(y x e y x ϕ 其它0,0>>y x , 则2YX Z +=的分布密度是(A) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-021)()(y x Z e Z ϕ 其它0,0>>y x (B) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-0)(2y x Z e z ϕ 其它0,0>>y x(C) ⎩⎨⎧=-04)(2z Z ze Z ϕ 00≤>z z (D) ⎪⎩⎪⎨⎧=-021)(zZ eZ ϕ 00≤>z z解. 2YX Z +=是一维随机变量, 密度函数是一元函数, 排除(A), (B). 21210=⎰∞+-dz e z , 所以(D)不是答案. (C)是答案.注: 排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法. 该题也可直接计算Z 的密度: 当z < 0时 当z ≥ 0时 =12222020+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----⎰⎰z z z x z y x e ze dx dy e e ==)()('z F z ZZ ϕ⎩⎨⎧-042z ze 00≤>z z , (C)是答案.10. 设两个相互独立的随机变量X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 则下列结论正确的是(A) P{X + Y ≤ 0} = 1/2 (B) P{X + Y ≤ 1} = 1/2 (C) P{X －Y ≤ 0} = 1/2 (D) P{X －Y ≤ 1} = 1/2解. 因为X 和 Y 分别服从正态分布N(0, 1)和N(1, 1), 且X 和 Y 相互独立, 所以 X + Y ～ N(1, 2), X －Y ～ N(－1, 2) 于是P{X + Y ≤ 1} = 1/2, (B)是答案.11. 设随机变量X 服从指数分布, 则Y = min{X, 2}的分布函数是(A) 是连续函数 (B) 至少有两个间断点 (C) 是阶梯函数 (D) 恰好有一个间断点 解. 分布函数: 当y ≥ 2时 当0 ≤ y < 2时 当y < 0时于是 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-011)(yY e y F λ 0202<<≤≥y y y 只有y = 2一个间断点, (D)是答案.三. 计算题1. 某射手有5发子弹, 射击一次的命中率为0.9, 如果他命中目标就停止射击, 不命中就一直到用完5发子弹, 求所用子弹数X 的分布密度. 解. 假设X 表示所用子弹数. X = 1, 2, 3, 4, 5.P(X = i) = P(前i －1次不中, 第i 次命中) = 9.0)1.0(1⋅-i , i = 1, 2, 3, 4.当i = 5时, 只要前四次不中, 无论第五次中与不中, 都要结束射击(因为只有五发子弹). 所以 P(X = 5) = 4)1.0(. 于是分布律为2. 设一批产品中有10件正品, 3件次品, 现一件一件地随机取出, 分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数X 的分布密度.i. 每次取出的产品不放回; ii. 每次取出的产品经检验后放回, 再抽取; iii. 每次取出一件产品后总以一件正品放回, 再抽取.解. 假设A i 表示第i 次取出正品(i = 1, 2, 3,…) i. ii.1310133)()()()()(11111---⎪⎭⎫⎝⎛====k k k k k A P A P A P A A A p k X P ΛΛ, (k = 1, 2, …) iii. 每次抽取后总以一个正品放回3. 随机变量X 的密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(2x cx ϕ 其它1||<x , 求: i. 常数c; ii. X 落在)21,21(-内的概率. 解. πππϕ1,22|arcsin 21)(110112====-==⎰⎰-∞+∞-c c cx c dx xc dx x4. 随机变量X 分布密度为i. 2102)(x x -⎪⎩⎪⎨⎧=πϕ 其它1||<x , ii. ⎪⎩⎪⎨⎧-=02)(x x x ϕ 其它2110≤≤<≤x x求i., ii 的分布函数F(x).解. i. 当x ≤ 1时 当－1< x < 1时 当x ≥ 1时所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=121arcsin 110)(2x x xx F ππ 1111≥<<--≤x x xii. 当x < 0时当0 ≤ x < 1时 当1 ≤ x < 2时 当2 ≤ x 时所以 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+-=112220)(22x x x x F 221100≥<≤<≤<x x x x 5. 设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差X 具有分布密度函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞ 试求: i. 测量误差的绝对值不超过30的概率;ii. 接连独立测量三次, 至少有一次误差的绝对值不超过30的概率.解. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3200)20(exp 2401)(2x x πϕ, －∞ < x < +∞, 所以X ～N(20, 402).i. {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-<-=<<-=<25.0402025.13030)30|(|X P X P X P 18944.05987.0-+== 0.4931.(其中Φ(x)为N(0, 1)的分布函数)ii. P(至少有一次误差的绝对值不超过30) = 1－P(三次误差的绝对值都超过30) =88.012.01)4931.0(13=-=-6. 设电子元件的寿命X 具有密度为问在150小时内, i. 三只元件中没有一只损坏的概率是多少? ii. 三只电子元件全损坏的概率是多少? iii. 只有一个电子元件损坏的概率是多少?解. X 的密度⎪⎩⎪⎨⎧=0100)(2x x ϕ 100100≤<x x . 所以31100)150(1501002==<⎰dx x X P . 令p = P(X ≥ 150) = 1－31= 32.i. P(150小时内三只元件没有一只损坏) =2783=p ii. P(150小时内三只元件全部损坏) =271)1(3=-piii. P(150小时内三只元件只有一只损坏) =943231213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛c 7. 对圆片直径进行测量, 其值在[5, 6]上服从均匀分布, 求圆片面积的概率分布. 解. 直径D 的分布密度为⎩⎨⎧=01)(d ϕ其它65≤≤d假设42D X π=, X 的分布函数为F(x).当x ≤ 0时, F(x) = 0 当x > 0时当时即425,54ππ<<x xF(x) = 0 当时即πππ925,645≤≤≤≤x x=54145-=⎰ππxdt x当 x > 9π时所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=1540)(πxx Fππππ99425425>≤≤<x x x 密度⎪⎩⎪⎨⎧==01)(')(x x F x πϕ 其它ππ9425≤≤x8. 已知X 服从参数 p = 0.6的0－1分布在X = 0, X = 1下, 关于Y 的条件分布分别为表1、表2所示表1 表2Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X = 0)41 21 41 P(Y|X = 1) 21 61 31 求(X, Y)的联合概率分布, 以及在Y ≠ 1时, 关于X 的条件分布.解. X 的分布律为(X, Y)所以Y 的分布律为所以9. 设随机变量X 与Y 相互独立, 并在区间[0, 9]上服从均匀分布, 求随机变量YXZ =的分布密度.解. X ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x X ϕ 其它90≤≤x , Y ～⎪⎩⎪⎨⎧=091)(x Y ϕ 其它90≤≤y因为X, Y 相互独立, 所以(X, Y)联合密度为(X, Y)～⎪⎩⎪⎨⎧=0811),(y x ϕ 其它9,0≤≤y x , )()()(z X Y P z Z P z F Z ≤=≤=当 z ≤ 0时0)(=z F Z 当 0 < z < 1时 y = xz (z < 1)D 1当z ≥ 1时zz 211)992181(811-=⋅-⋅=所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2'21210)()(zz F z Z Z ϕ 1100≥<<≤z z z 10. 设(X, Y)的密度为 求: i.)21|(),|(),(=x y x y x X ϕϕϕ, ii. )21|(),|(),(=y x y x y Y ϕϕϕ 解. i.⎰∞+∞-=dy y x x X ),()(ϕϕ当x ≤ 0 或 x ≥ 1时当0 < x < 1时所以 ⎩⎨⎧-=0)1(4)(3x x X ϕ 其它10<<x所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(6)(),()|(3x y x y x y x x y X ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x 所以 ⎩⎨⎧-==0)21(24)21|(y y x y ϕ 其它210<<yii.⎰∞+∞-=dx y x y Y ),()(ϕϕ当y ≤ 0 或 y ≥ 1时当0 < y < 1时所以 ⎩⎨⎧-=0)1(12)(2y y y Y ϕ 其它10<<y所以 ⎪⎩⎪⎨⎧---==0)1()1(2)(),()|(2y y x y y x y x Y ϕϕϕ 其它1,0,0<+>>y x y x页眉内容所以 ⎩⎨⎧-==0)21(4)21|(x y x ϕ 其它210<<x。

第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0X0 P2、一袋中有55，在其中同时取三只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为1061)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(1011)2,1,3()3(352435233522=⨯====⨯====⨯===C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。

解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。

3522)0(315313===C C X P3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1) （1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。

（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。

）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。

（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。

） x1 2 O P（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。

解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = k － k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。

第2章 随机变量及其分布1，解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k 表明第k 个人是A 型血而前1-k 个人都不是A 型血，因此有116.04.0)4.01(4.0}{--⨯=-⨯==k k k Y P ， （Λ,3,2,1=k ）上式就是随机变量Y 的分布律（这是一个几何分布）。

2，解：X 只能取值0，1，2。

设以)3,2,1(=i A i 记第i 个阀门没有打开这一事件。

则)}(){()}({}0{3121321A A A A P A A A P X P ⋃=⋃==)()()()()()()(}{}{}{32131213213121A P A P A P A P A P A P A P A A A P A A P A A P -+=-+= 072.0)8.01()8.01()8.01(322=---+-=，类似有512.08.0)()}({}2{3321321=====A A A P A A A P X P ，416.0}2{}0{1}1{==-=-==X P X P X P ,综上所述，可得分布律为3,解：根据题意，随机变量X 服从二项分布B(15, 0.2)，分布律为15,2,1,0,8.02.0)(1515Λ=⨯⨯==-k C k X P k k k 。

（1）,2501.08.02.0)3(123315=⨯⨯==C X P（2）8329.0)0()1(1)2(==-=-=≥X P X P X P ；（3）6129.0)3()2()1()31(==+=+==≤≤X P X P X P X P ；（4）)2()3()4()5(1)5(=-=-=-=-=>X P X P X P X P X P0611.0)0()1(==-=-X P X P4，解：对于][5/3G 系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。

而系统中正常工作的元件个数X 服从二项分布B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553=⨯⨯==∑∑=-=k k k k k Ck X P5，解：根据题意，次品数X 服从二项分布B(8000, 0.001)，所以∑=-⨯=≤=<6080008000999.0001.0)6()7(k k k kC X P X P3134.0!8!)001.08000(6860001.08000==⨯≈∑∑=-=⨯-k k k k k e k e （查表得）。

习题2.11.设随机变量X 的分布律为P{X=k}=,k=1, 2,N,求常数a.aN 解:由分布律的性质=1得∑∞k =1p kP(X=1) + P(X=2) +…..+ P(X=N) =1N*=1,即a=1aN 2.设随机变量X 只能取-1,0,1,2这4个值,且取这4个值相应的概率依次为,,求常数c.12c 34c ,58c ,716c 解:12c +34c +58c +716c =1C=37163.将一枚骰子连掷两次,以X 表示两次所得的点数之和,以Y 表示两次出现的最小点数,分别求X,Y 的分布律.注: 可知X 为从2到12的所有整数值．可以知道每次投完都会出现一种组合情况，其概率皆为(1/6)*(1/6)=1/36，故P(X=2)=(1/6)*(1/6)=1/36(第一次和第二次都是1)P(X=3)=2*(1/36）＝1/18(两种组合(1,2)(2,1))P(X=4)=3*(1/36）＝1/12(三种组合(1,3)(3,1)(2,2))P(X=5)=4*(1/36）＝1/9(四种组合(1,4)(4,1)(2,3)(3,2))P(X=6)=5*(1/36＝5/36(五种组合(1,5)(5,1)(2,4)(4,2)(3,3))P(X=7)=6*(1/36)＝1/6(这里就不写了,应该明白吧)P(X=8)=5*(1/36)＝5/36P(X=9)=4*(1/36)＝1/9P(X=10)=3*(1/36)＝1/12P(X=11)=2*(1/36)＝1/18P(X=12)=1*(1/36)＝1/36以上是X 的分布律投两次最小的点数可以是1到6里任意一个整数,即Y 的取值了.P(Y=1)=(1/6)*1=1/6 一个要是1,另一个可以是任何值P(Y=2)=(1/6)*(5/6)=5/36 一个是2,另一个是大于等于2的5个值P(Y=3)=(1/6)*(4/6)=1/9 一个是3,另一个是大于等于3的4个值P(Y=4)=(1/6)*(3/6)=1/12一个是4,另一个是大于等于4的3个值P(Y=5)=(1/6)*(2/6)=1/18一个是5,另一个是大于等于5的2个值P(Y=6)=(1/6)*(1/6)=1/36一个是6,另一个只能是6以上是Y 的分布律了.4.设在15个同类型的零件中有2个是次品,从中任取3次,每次取一个,取后不放回.以X 表示取出的次品的个数,求X 的分布律.解:X=0,1,2X=0时,P=C 313C 315=2235X=1时,P=C 213∗C 12C 315=1235X=2时,P=C 013∗C 22C 315=1355.抛掷一枚质地不均匀的硬币,每次出现正面的概率为,连续抛掷8次,以X 表示出现正面的次数,求23X 的分布律.解:P{X=k}=, k=1, 2, 3, 8C k 8(23)k (13)8‒k 6.设离散型随机变量X 的分布律为X -123P141214解:求P {X ≤12}, P {23<X ≤52}, P {2≤X ≤3}, P {2≤X <3}P {X ≤12}=14P {23<X ≤52}=12P {2≤X ≤3}=12+14=34P {2≤X <3}=127.设事件A 在每一次试验中发生的概率分别为0.3.当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号,求:(1)进行5次独立试验,求指示灯发出信号的概率;(2)进行7次独立试验,求指示灯发出信号的概率.解:设X 为事件A 发生的次数,(1)P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=C 35(0.3)3(0.7)2+C 45(0.3)4(0.7)1+C 55(0.3)5(0.7)0=0.1323+0.02835+0.00243=0.163(2) P{X≥3}=1‒P{X=0}‒P{X=1}‒P{X=2}=1‒C07(0.3)0(0.7)7‒C17(0.3)1(0.7)6‒C27(0.3)2(0.7)5=1‒0.0824‒0.2471‒0.3177=0.3538.甲乙两人投篮,投中的概率分别为0.6,0.7.现各投3次,求两人投中次数相等的概率.解:设X表示各自投中的次数P{X=0}=C03(0.6)0(0.4)3∗C03(0.7)0(0.3)3=0.064∗0.027=0.002P{X=1}=C13(0.6)1(0.4)2∗C13(0.7)1(0.3)2=0.288∗0.189=0.054P{X=2}=C23(0.6)2(0.4)1∗C23(0.7)2(0.3)1=0.432∗0.441=0.191P{X=3}=C33(0.6)3(0.4)0∗C33(0.7)3(0.3)0=0.216∗0.343=0.074投中次数相等的概率= P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=0.3219.有一繁忙的汽车站,每天有大量的汽车经过,设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001.在某天的该段时间内有1000辆汽车经过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?(利用泊松分布定理计算)解:设X表示该段时间出事故的次数,则X~B(1000,0.0001),用泊松定理近似计算=1000*0.0001=0.1λP{X≥2}=1‒P{X=0}‒P{X=1}=1‒C01000(0.0001)0(0.9999)1000‒C11000(0.0001)1(0.9999)999=1‒e‒0.1‒0.1e‒0.1=1‒0.9048‒0.0905=0.004710.一电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分别,求:(1)每分钟恰有8次呼唤的概率;(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率.解: (1) P{X=8}=P{X≥8}‒P{X≥9}=0.051134‒0.021363=0.029771(2) P{X>10}=P{X≥11}=0.002840习题2.21.求0-1分布的分布函数.解:F(x)={0, x<0q, 0≤x<11,x≥12.设离散型随机变量X的分布律为:3 OF 18X -123P0.250.50.25求X 的分布函数,以及概率,.P {1.5<X ≤2.5} P {X ≥0.5}解:當x <‒1時,F (x )=P {X ≤x }=0;當‒1≤x <2時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}=0.25;當2≤x <3時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}+P {X =2}=0.25+0.5=0.75;當x ≥3時,F (x )=P {X ≤x }=P {X =‒1}+P {X =2}+P {X =3}=0.25+0.5+0.25=1;则X 的分布函数F(x)为:F (x )={0, x <‒10.25, ‒1≤x <20.75, 2≤x <31, x ≥3P {1.5<X ≤2.5}=F (2.5)‒F (1.5)=0.75‒0.25=0.5 P {X ≥0.5}=1‒F (0.5)=1‒0.25=0.753.设F 1(x),F 2(x)分别为随机变量X 1和X 2的分布函数,且F(x)=a F 1(x)-bF 2(x)也是某一随机变量的分布函数,证明a-b=1.证: F (+∞)=aF (+∞)‒bF (+∞)=1,即a ‒b =14.如下4个函数,哪个是随机变量的分布函数:(1)F 1(x )={0, x <‒212, ‒2≤x <02, x ≥0(2)F 2(x )={0, x <0sinx, 0≤x <π1, x ≥π(3)F 3(x )={0, x <0sinx, 0≤x <π21, x ≥π2(4)F 4(x )={0, x <0x +13, 0<x <121, x ≥125.设随机变量X 的分布函数为F(x) =a+b arctanx ,‒∞<x <+∞,求(1)常数a,b;(2) P {‒1<X ≤1}解: (1)由分布函数的基本性质 得:F (‒∞)=0,F (+∞)=1{a +b ∗(‒π2)=0a +b ∗(π2)=1of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy5 OF 18解之a=, b=121π(2)P {‒1<X ≤1}=F (1)‒F (‒1)=a +b ∗π4‒(a +b ∗‒π4)=b ∗π2=12(将x=1带入F(x) =a+b arctanx )注: arctan 为反正切函数,值域(), arctan1=‒π2,π2 π46.设随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <1lnx, 1≤x <e1, x ≥e求P {X ≤2},P {0<X ≤3},P {2<X ≤2.5}解: 注: P {X ≤2}=F(2)=ln2 F(x)=P {X ≤x }P {0<X ≤3}=F (3)‒F (0)=1‒0=1;P {2<X ≤2.5}=F (2.5)‒F (2)=ln2.5‒ln2=ln2.52=ln1.25习题2.31.设随机变量X 的概率密度为:f (x )={acosx, |x |≤π20, 其他.求: (1)常数a; (2);(3)X 的分布函数F(x).P {0<X <π4}解:(1)由概率密度的性质∫+∞‒∞f (x )dx =1,∫π2‒π2acosxdx =a sinx |π2‒π2=asin π2‒asin (‒π2)=asin π2+asin π2=a +a =1A =12(2)P {0<X <π4}=(12)sin(π4)‒(12)sin (0)=12∗22+12∗0=24一些常用特殊角的三角函数值正弦余弦正切余切0010不存在π/61/2√3/2√3/3√3π/4√2/2√2/211of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, full of humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy(3)X 的概率分布为:F (x )={0, x <‒π212(1+sinx ), ‒π2≤x <π21, x ≥π2 2.设随机变量X 的概率密度为f (x )=ae ‒|x |, ‒∞<x <+∞,求: (1)常数a; (2); (3)X 的分布函数. P {0≤X ≤1}解:(1),即a=∫+∞‒∞f(x)dx =∫0‒∞ae x dx +∫+∞ae ‒x dx =a +a =112(2)P {0≤X ≤1}=F (1)‒F (0)=12(1‒e ‒1)(3)X 的分布函数F (x )={12e x, x ≤01‒12e ‒x, x >03.求下列分布函数所对应的概率密度:(1)F 1(x )=12+1πarctanx , ‒∞<x <+∞;解:(柯西分布)f 1(x )=1π(1+x 2)(2)F 2(x )={1‒e ‒x 22, x >00, x ≤0π/3√3/21/2√3√3/3π/210不存在0π-1不存在7 OF 18解:(指数分布) f 2(x )={x e ‒x 22, x >00, x ≤0(3)F 3(x )={0, x <0sinx , 0≤ x ≤π21, x >π2解: (均匀分布)f 3(x )={cosx , 0≤ x ≤π20, 其他4.设随机变量X 的概率密度为f (x )={x, 0≤x <12‒x, 1≤ x <20, 其他.求: (1); (2)P {X ≥12} P {12<X <32}.解:(1)P {X ≥12}=1‒F (12)=1‒1222=1‒18=78(2)(2)P {12<X <32}=F(32)‒F(12)=(2∗32‒1‒3222)‒(3222)=345.设K 在(0,5)上服从均匀分布,求方程(利用二次式的判别式)4x 2+4Kx +K +2=0有实根的概率.解: K~U(0,5)f (K )={15 , 0≤x ≤50, 其他方程式有实数根,则Δ≥0,即(4K)2‒4∗4∗(K +2)=16K 2‒16(K +2)≥02≤K ≤‒1故方程有实根的概率为:P {K ≤‒1}+P {K ≥2}=∫5215dx =0.66.设X ~ U(2,5),现在对X 进行3次独立观测,求至少有两次观测值大于3的概率.解:P {K >3}=1‒F (3)=1‒3‒25‒2=23至少有两次观测值大于3的概率为:C 23(23)2(13)1+C 33(23)3(13)0=20277.设修理某机器所用的时间X 服从参数为λ=0.5(小时)指数分布,求在机器出现故障时,在一小时内可以修好的概率.解: P {X ≤1}=F (1)=1‒e‒0.58.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从参数为λ=的指数分布,某顾客在窗口等待159 OF 18服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y 的分布律,并求P {Y ≥1}.解:“未等到服务而离开的概率”为P {X ≥10}=1‒F (10)=1‒(1‒e‒15∗10)=e ‒2P {Y =k }=C k 5(e ‒2)k(1‒e ‒2)5‒k , (k =0,1,2,3,4,5)Y 的分布律:Y 012345P0.4840.3780.1180.0180.0010.00004P {Y ≥1}=1‒P {Y =0}=1‒0.484=0.5169.设X ~ N(3,),求:22(1);P {2<X ≤5}, P {‒4<X ≤10}, P {|X |>2}, P {X >3}(2).常数c,使P {X >c }=P {X ≤c }解: (1)P {2<X ≤5}=Φ(5‒32)‒Φ(2‒32)=Φ(1)‒[1‒Φ(12)]=0.8413‒(1‒0.6915)=0.5328P {‒4<X ≤10}=Φ(10‒32)‒Φ(‒4‒32)=Φ(3.5)‒[1‒Φ(3.5)]=0.9998‒0.0002=0.9996 P {|X |>2}= 1‒P {‒2≤X ≤2}=1‒[Φ(2‒32)‒Φ(‒2‒32)]=1‒(0.3085‒0.0062)=0.6977P {X >3}= P {X ≥3}=1‒Φ(3‒32)=1‒Φ(0)=1‒0.5=0.5(2)P {X >c }=P {X ≤c }P {X >c }=1‒P {X ≥c }P {X >c }+P {X ≥c }=1Φ(c ‒32)+Φ(c ‒32)=1Φ(c ‒32)=0.5经查表,即C=3c ‒32=010.设X ~ N(0,1),设x 满足P {|X |>x }<0.1.求x 的取值范围.解:P {|X |>x }<0.12[1‒Φ(x )]<0.1‒Φ(x )<‒1920Φ(x )≥1920Φ(x )≥0.95经查表当 1.65时x ≥Φ(x )≥0.95即 1.65时x ≥P {|X |>x }<0.111.X ~ N(10,),求:22(1)P {7<X ≤15};(2)常数d,使P {|X ‒10|<d }<0.9.解: (1)P {7<X ≤15}=Φ(15‒102)‒Φ(7‒102)=Φ(2.5)‒[1‒Φ(1.5)]=0.9938‒0.0668=0.927(2)P {|X ‒10|<d }=P {10‒d <X <10+d }<0.9=Φ(10+d ‒102)‒Φ(10‒d ‒102)<0.9=Φ(d2)<0.95经查表,即d=3.3d2=1.6512.某机器生产的螺栓长度X(单位:cm)服从正态分布N(10.05,),规定长度在范围10.050.12内 0.062±为合格,求一螺栓不合格的概率.解:螺栓合格的概率为:P {10.05‒0.12<X <10.05+0.12}=P {9.93<X <10.17}=Φ(10.17‒10.050.06)‒Φ(9.93‒10.050.06)=Φ(2)‒[1‒Φ(2)]=0.9772∗2‒1=0.9544螺栓不合格的概率为1-0.9544=0.045613.测量距离时产生的随机误差X(单位:m)服从正态分布N(20,).进行3次独立测量.求:402(1)至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率;(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率.解:(1)绝对值不超过30m的概率为:P{‒30<X<30}=Φ(30‒2040)‒Φ(‒30‒2040)=Φ(0.25)‒[1‒Φ(1.25)]=0.4931至少有一次误差绝对值不超过30m的概率为:1−C 03(0.4931)0(1‒0.4931)3=1‒0.1302=0.8698(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率为:C13(0.4931)1(1‒0.4931)2=0.3801习题2.41.设X的分布律为X-2023P0.20.20.30.3求(1)的分布律.Y1=‒2X+1的分布律; (2)Y2=|X|解: (1)的可能取值为5,1,-3,-5.Y1由于P{Y1=5}=P{‒2X+1=5}=P{X=‒2}=0.2P{Y1=1}=P{‒2X+1=1}=P{X=‒2}=0.2P{Y1=‒3}=P{‒2X+1=‒3}=P{X=2}=0.3P{Y1=‒5}=P{‒2X+1=‒5}=P{X=3}=0.3从而的分布律为:Y1X-5-315Y10.30.30.20.2(2)的可能取值为0,2,3.Y2由于P{Y2=0}=P{|X|=0}=P{X=0}=0.2P{Y2=2}=P{|X|=0}=P{X=‒2}+P{X=2}=0.2+0.3=0.5P{Y2=3}=P{|X|=3}=P{X=3}=0.3从而的分布律为:Y2X023Y20.20.50.32.设X的分布律为X-1012P0.20.30.10.411 OF 18求Y=(X‒1)2的分布律.解:Y的可能取值为0,1,4.由于P{Y=0}=P{(X‒1)2=0}=P{X=1}=0.1P{Y=1}=P{(X‒1)2=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.7P{Y=4}=P{(X‒1)2=4}=P{X=‒1}=0.2从而的分布律为:YX014Y0.10.70.23.X~U(0,1),求以下Y的概率密度:(1)Y=‒2lnX; (2)Y=3X+1; (3)Y=e x.解: (1) Y=g(x)=‒2lnX, 值域為(0,+∞),X=ℎ(y)=e‒Y2, ℎ'(y)=12e‒Y2 f Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗12e‒Y2=12e‒Y2.即f Y(y)={12e‒Y2, y>0,0, y≤0(2) Y=g(x)=3X+1,值域為(‒∞,+∞), X=ℎ(y)=Y‒13, ℎ'(y)=13f Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗13=13即f Y(y)={13, 1< y<4,0, 其他注: 由X~U(0,1),,当X=0时,Y=3*0+1=1; ,当X=1时,Y=3*1+1=4 Y=3X+1(3) Y=g(x)=e x, X=ℎ(y)=lny, ℎ'(y)=1yf Y(y)=f x(ℎ(y))| ℎ'(y)|=1∗1y=1y即f Y(y)={1y, 0< y<e,0, 其他注: ,当X=0时,; ,当X=1时,Y=e0=0 Y=e1=e4.设随机变量X的概率密度为f X(x)={32x2, ‒1<x<00, 其他.of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy13 OF 18求以下Y 的概率密度:(1)Y=3X; (2) Y=3-X; (3)Y =X 2.解: (1) Y=g(x)=3X,X =ℎ(y )=Y 3, ℎ'(y)=13f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=Y 26∗13=Y218即f Y (y )={Y 218, ‒3< y <0,0, 其他(2)Y=g(x) =3-X, X=h(y) =3-Y,-1ℎ'(y)=f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=32∗(3‒Y)2+1=3(3‒Y)22即f Y (y )={3(3‒Y)22, 3< y <4,0, 其他(3), X=h(y)=,Y =g(x)=X 2Y ℎ'(y)=12Y,即f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=3Y 22∗1 2Y=3Y4f Y (y )={3Y4, 0< y <1,0, 其他5.设X 服从参数为λ=1的指数分布,求以下Y 的概率密度:(1)Y=2X+1; (2)(3) Y =e x; Y =X 2.解: (1) Y=g(x)=2X+1,X =ℎ(y )=Y ‒12, ℎ'(y )=12X 的概率密度为:f X (x )={λe ‒λx, x >0,0, x ≤0f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=λe ‒λ∗Y ‒12∗12=12e ‒Y ‒12即f Y (y )={12e ‒Y ‒12, y >00, 其他(2)Y =g (x )=e x , X =ℎ(y )=lnY,ℎ'(y )= 1Y注意是绝对值 ℎ'(y)of backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, full of humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happyf Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=e‒lnY∗1Y =1e lnY ∗1Y =1Y ∗1Y =1Y 2即f Y (y )={1Y2, y >10, 其他(3)Y =g (x )=X 2,X =ℎ(y )=Y , ℎ'(y )=12Y,,f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=e ‒Y∗12Y=12Ye ‒Y即f Y (y )={12Ye ‒Y, y >00, 其他6.X~N(0,1),求以下Y 的概率密度:(1) Y =|X |; (2)Y =2X 2+1解: (1) Y =g (x )=|X |, X =ℎ(y )=±Y, ℎ'(y )=1f X (x )=12πσe‒(x ‒μ)22σ2‒∞<x <+∞当X=+Y 时:f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe‒y 22当X=-Y 时: f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe ‒y 22故f Y (y )=12πe ‒y 22+12πe‒y 22=22πe ‒y 22=42πe‒y 22=2πe ‒y 22f Y (y )={2πe ‒y 22, y >00, y ≤0(2)Y =g (x )=2X 2+1, X =ℎ(y )=Y ‒12,ℎ'(y )=12Y ‒12永远大于0.e x 当x>0是,>1e xof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. 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B.F 1(x )=11+x 2, ‒∞<x <+∞F 2(x )={0, x ≤0x 1+x , x >0C.D.F 3(x )=e ‒x, ‒∞<x <+∞F 4(x )=34+12πarctanx, ‒∞<x <+∞5.设随机变量X 的概率密度为 则常数a= A .f (x )={a x 2, x >100, x ≤10A. -10B.C.D. 10解: F(x) =‒15001500∫+∞‒∞a x2dx =‒ax =16.如果函数是某连续型随机变量X 的概率密度,则区间[a,b]可以是 C f (x )={x, a<x <b0, 其他A. [0, 1]B. [0, 2]C. D. [1, 2][0,2]不晓得为何课后答案为Dof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy7.设随机变量X 的取值范围是[-1,1],以下函数可以作为X 的概率密度的是 A A. B. {12, ‒1< x <10, 其他{2, ‒1< x <10, 其他C.D. {x, ‒1< x <10, 其他{x 2, ‒1< x <10, 其他8.设连续型随机变量X 的概率密度为 则= B .f (x )={x2, 0< x <20, 其他P{‒1≤ X ≤1}A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 1解:P {‒1≤ X ≤1}=∫1‒1x2dx =x 24|1‒1=149.设随机变量X~U(2,4),则= A . (需在区间2,4内)P{3< x <4}A. B. P{2.25< x <3.25}P{1.5< x <2.5}C. D. P{3.5< x <4.5}P{4.5< x <5.5}10. 设随机变量X 的概率密度为 则X~ A .f (x )=122πe ‒(x ‒1)28A. N (-1, 2)B. N (-1, 4)C. N (-1, 8)D. N (-1, 16)11.已知随机变量X 的概率密度为fx(x),令Y=-2X,则Y 的概率密度fy(y)为 D .A.B.C.D. 2f X (‒2y)f X (‒y2)12f X(‒y2)12f X (y 2)二,填空题1.已知随机变量X 的分布律为X 12345P2a0.10.3a0.3则常数a= 0.1 .解:2a+0.1+0.3+a+0.3=12.设随机变量X 的分布律为X 123P162636记X 的分布函数为F(x)则F(2)=.解: 1216+263.抛硬币5次,记其中正面向上的次数为X,则=.P{ X ≤4}3132解:P { X ≤4}=1‒P { X =5}=1‒C 55(12)5(12)自己算的结果是12f X(‒y2)17 OF 184.设X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布,且,则λ= 2 .P { X =0}=12P { X =2}解:分别将.P { X =0},P { X =2}帶入P k =P { X =k }=λk k!e ‒λ5.设随机变量X 的分布函数为F (x )={0, x <a0.4, a ≤x <b1, x ≥b其中0<a<b,则= 0.4.P {a2<X <a +b 2}解:P { a 2<X <a +b 2}=F (a +b 2)‒F (a 2)=0.4‒0=0.46.设X 为连续型随机变量,c 是一个常数,则= 0.P { X =c }7. 设连续型随机变量X 的分布函数为F (x )={13e x, x <013(x +1), 0≤x <21, x ≥2则X 的概率密度为f(x),则当x<0是f(x)=.13e x 8. 设连续型随机变量X 的分布函数为其中概率密度为f(x),F (x )={1‒e ‒2x , x >00, x ≤0则f(1)= .2e ‒29. 设连续型随机变量X 的概率密度为其中a>0.要使,则常数a=f (x )={12a, ‒a < x <a 0, 其他P { X >1}=13 3 .解:P { X >1}=1‒P { X ≤1}=13,P { X ≤1}=23=12a10.设随机变量X~N(0,1),为其分布函数,则= 1 .Φ(x)Φ(x )+Φ(‒x)11.设X~N ,其分布函数为为标准正态分布函数,则F(x)与之间的关系是(μ,σ2)F (x ),Φ(x)Φ(x)=.F (x )Φ(x ‒μσ)12.设X~N(2,4),则= 0.5 .P { X ≤2}13.设X~N(5,9),已知标准正态分布函数值,为使,则Φ(0.5)=0.6915P { X <a }<0.6915常数a< 6.5. 解:, F (a )=Φ(a ‒μσ)=a ‒53a ‒53<0.514. 设X~N(0,1),则Y=2X+1的概率密度= .f Y (y )122πe‒(Y ‒1)28解:Y =g (x )=2X +1, X =ℎ(y )=Y ‒12,ℎ'(y )=12f Y (y )=f x (ℎ(y ))| ℎ'(y)|=12πe‒(Y ‒12)22∗12=122πe‒(Y ‒1)28三.袋中有2个白球3个红球,现从袋中随机地抽取2个球,以X 表示取到红球的数,求X 的分布律.解: X=0,1,2当X=0时,P { X =0}=C 03∗C 22C 25=110当X=1时,P { X =1}=C 13∗C 12C 25=610当X=2时,P { X =2}=C 23∗C 02C 25=310X 的分布律为:X 012P110610310四.设X 的概率密度为求: (1)X 的分布函数F(x);(2).f (x )={|x|, ‒1≤ x ≤10, 其他 P { X <0.5},P { X >‒0.5}解: (1)当x <-1时. F(x)=0;;当‒1≤x <0时,F(x)=∫x‒1‒x dx =‒x 22|x ‒1=12‒x 22当0≤x <1时,F (x )=1‒ 1∫xx dx =1‒x 22|1x =12+x 22当x ≥1时. F(x)=1F (X )={0, X <‒112‒x22, ‒1≤X <012+x22, 0≤X <11, X ≥1(2)P { X <0.5}=F (0.5)=12+0.522=58;P { X >‒0.5}=1‒F (‒0.5)=1‒(12‒0.522)=58五.已知某种类型电子组件的寿命X(单位:小时)服从指数分布,它的概率密度为f (x )={12000e ‒x 2000, x >00, x ≤0We will continue to improve the company's internal control system, and steady improvement in ability to manage and control, optimize business processes, to ensure smooth processes, responsibilities in place; to further strengthen internal controls, play a control post independent oversight role of evaluation complying with third-party responsibility; to actively make use of internal audit tools detect potential management, streamline, standardize related transactions, strengthening operations in accordance with law. Deepening the information management to ensure full communication "zero resistance". To constantly perfect ERP, and BFS++, and PI, and MIS, and SCM, information system based construction, full integration information system, achieved information resources shared; to expand Portal system application of breadth and depth, play information system on enterprise of Assistant role; to perfect daily run maintenance operation of records, promote problem reasons analysis and system handover; to strengthening BFS++, and ERP, and SCM, technology application of training, improve employees application information system of capacity and level. Humanistic care to ensure "zero." To strengthening Humanities care,continues to foster company wind clear, and gas are, and heart Shun of culture atmosphere; strengthening love helped trapped, care difficult employees; carried out style activities, rich employees life; strengthening health and labour protection, organization career health medical, control career against; continues to implementation psychological warning prevention system, training employees health of character, and stable of mood and enterprising of attitude, created friendly fraternity of Humanities environment. To strengthen risk management, ensure that the business of "zero risk". To strengthened business plans management, will business business plans cover to all level, ensure the business can control in control; to close concern financial, and coal electric linkage, and energy-saving scheduling, national policy trends, strengthening track, active should; to implementation State-owned assets method, further specification business financial management; to perfect risk tube control system, achieved risk recognition, and measure, and assessment, and report, and control feedback of closed ring management, improve risk prevention capacity. To further standardize trading, and strive to achieve "according to law, standardize and fair." Innovation of performance management, to ensure that potential employees "zero fly". To strengthen performance management, process control, enhance employee evaluation and levels of effective communication to improve performance management. To further quantify and refine employee standards ... Work, full play party, and branch, and members in "five type Enterprise" construction in the of core role, and fighting fortress role and pioneer model role; to continues to strengthening "four good" leadership construction, full play levels cadres in enterprise development in theof backbone backbone role; to full strengthening members youth work, full play youth employees in company development in the of force role; to improve independent Commission against corruption work level, strengthening on enterprise business key link of effectiveness monitored. , And maintain stability. To further strengthen publicity and education, improve the overall legal system. We must strengthen safety management, establish and improve the education, supervision, and evaluation as one of the traffic safety management mechanism. To conscientiously sum up the Olympic security controls, promoting integrated management to a higher level, higher standards, a higher level of development. Employees, today is lunar calendar on December 24, the ox Bell is about to ring, at this time of year, we clearly feel the pulse of the XX power generation company to flourish, to more clearly hear XX power generation companies mature and symmetry breathing. Recalling past one another across a railing, we are enthusiastic and full of confidence. Future development opportunities, we more exciting fight more spirited. Employees, let us together across 2013 full of challenges and opportunities, to create a green, low-cost operation, fullof humane care of a world-class power generation company and work hard! The occasion of the Spring Festival, my sincere wish that you and the families of the staff in the new year, good health, happy, happy19 OF 18一台仪器装有4个此种类型的电子组件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设4个电子组件损坏与否相互独立.试求: (1)一个此种类型电子组件能工作2000小时以上的概率;(2)一台仪器能正p 1常工作2000小时以上的概率.p 2解: (1)P 1=P {X ≥2000}=∫+∞200012000e‒x 2000dx=12000∗‒2000∗e‒x2000|+∞2000=‒e‒x 2000|+∞2000=0‒(‒e ‒1)=e ‒1(2)因4个电子组件损坏与否相互独立,故:P 2=P 14=(e ‒1)4=e ‒4当+∞带入‒x2000时变成负无穷大,e ‒∞=0。

滨州学院《概率论与数理统计》（公共课）练习题第二章 随机变量及其分布一、填空题 10.712设一本书的各页的印刷错误个数X 服从泊松分布律．已知有一个和两个印刷错误的页数相同，则随意抽查的4页中无印刷错误的概率p = 0.0003 ．3⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=≤=．若，；，若；，若；，若 3 1 324544 21 51 1 0 }{)(x x x x x X x F P 4{}12525.032)05.0()02(25.0=-=---=<≤F F X P ． 例2.11设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它06310)(9231x x x f ;若k 使得32)(=≥k X P ，则k 的取值范围是 . 【[1,3]】例2.13 设X 服从二项分布),(p n B ，且已知)2()1(===X P X P ，)3(2)2(===X P X P ，则)4(=X P ＝ . 【24310】 例2.14若随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程042=++X y y 无实根的概率是21，则=μ . 【4】2.22 （1）24310；（2）4；（3）2922；（4）649；（5）)0(2)1(ln 221)(+∞<<--=y y Y I e y y f π〖选择题〗1 [ C ]2 [ C ]3 [ C ]例2.1 【C 】例2.2 【A 】 例2.3 【B 】例2.5 【A 】例2.16设随机变量X ,Y 相互独立均服从正态分布)4,1(N , 若概率21)1(=<-bY aX P ,则(A)1,2==b a(B) 2,1==b a(C) 1,2=-=b a(D) 2,1-==b a 【A 】例2.18 设X 为随机变量, 若矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=01020232X A 的特征根全为实数的概率为0.5, 则(A)X 服从区间[0,2]上的均匀分布 (B) X 服从二项分布B(2, 0.5) (C) X 服从参数为1的指数分布 (D) X 服从标准正态分布 【A 】2.23 （1）A ；（2）B ；（3）C ；（4）C ；（5）B 解答题〗 〖解答题〗例2.30解 不妨假设正立方体容器的边长为１．引进事件：{}0==X A ，即事件A 表示“小孔出现在容器的下底面”．由于小孔出现在正立方体的6个侧面是等可能的，易见 61)(=A P ．从而，{}61===)(0A X P P．对于任意x ＜0，显然()=x F ０；而()610=F ．由于小孔出现的部位是随机性，可见对于任意)75.0,0(∈x ，有(){}{}．641646100xx x X X x F +=+=≤<+≤=P P 该式中4x 表示容器的四个侧面x 以下的总面积，而容器6个侧面的总面积为６．对于任意x ≥0.75，显然()1=x F．于是，最后得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=．若若若 75.0 , 1 , 75.00 , 641, 0 , 0 x x x x x F例2.31（分布函数）解 因X 服从指数分布，且21==λX E (百小时)，故分布参数λ=0.5，故X的分布函数为()⎩⎨⎧≤>-=-．，若；，若0 0 0 e 15.0x x x G x 易见，{}1.0min ，X Y=．设)(y F 是Y 的分布函数，则对于y <0，)(y F =0；对于y >0.1，)(y F =1；对于1.00≤≤y ,有{}{}．，y y G y X y X y Y y F 5.0e 1)(}1.0 min{}{)(--==≤=≤=≤=P P P 于是，{}.10 min ，X Y=的分布函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<=-．，若，若，，若 1.0 1 , 1.00 e 1 0 0 5.0y y y y F y例2.33解 试验次数X 是一随机变量．为求X 的概率分布，引进事件：j B ={第j 次试验成功}（j =1,2,…,n ）．显然P(j B ) = p ．而由于试验的独立性，知事件n B B B ,,,21 …相互独立．设试验进行到成功或n 次为止，则X 的可能值为1,2,…,n 且1}1{B X==；对于2≤k ≤n－1，．；；；，111111112111)(}{ )(}1{)12()(}{}{ }{------======-≤≤=======k n k k k n k k q B B n X p B X n k pq B B B k X B B B n X B B B k X P P P P P P于是，X 的概率分布为有限几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1121321~n n q pq pq pq pn n X ． 例2.35解 以ν表示抽到的30件产品中不合格品的件数，则ν服从参数为（30，0.02）的二项分布：．；；4545.0}0{1}1{3340.002.098.030}1{5455.098.0}0{2930==-=≥=⨯⨯=====ννννP P P P1) 不合格品不少于两件的概率．1205.002.098.03098.01}1{}0{1}2{2930=⨯⨯--==-=-=≥=ννναP P P2) 在已经发现一件不合格品的条件下，不合格品不少于两件的条件概率{}．2652.0}1{}2{}1{}2,1{12≈≥≥=≥≥≥=≥≥=νννννννβP P P P P 例2.36解 由条件知每台设备出现故障的概率为0.08．以ν表示10台设备中同时出现故障的台数，则ν服从参数为（10，0.08）的二项分布．需要安排的值班人数k 应满足条件：95.0}{≥≤k νP ．需要对不同的k 进行试算．首先，设k =１和k ＝２，相应得{}{}{}{}{}{}．，95.09599.008.092.008.092.01092.021281.008.092.01092.010128210910910≥≈⨯⨯+⨯⨯+==+≤=≤≈⨯⨯+==+==≤C ννννννP P P P P P因此，至少需要安排2个人值班．例2.37解 设X ——一周5个工作日停用的天数；Y ——一周所创利润．X 服从参数为(5,0.2)的二项分布．因此，有．，，，057.0205.0410.0328.01}3{205.08.02.010}2{410.08.02.05}1{328.08.0}0{3245=---=≥=⨯⨯===⨯⨯=====X X X X P P P P一周所创利润Y 是X 的函数：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-====３．，若２，，若１，，若，，若X X X X Y 2 2 7 0 10 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-328.0410.0205.0057.010722~Y ． 例2.38(二项分布)解 设n ——至少出现一件不合格品所要生产产品的件数，则n 件产品中不合格品的件数n ν服从参数为（n ，0.01）的二项分布；按题意，n 应满足条件．， 0729.29899.0ln 05.0ln 95.099.01}0{1}1{≈≥≥-==-=≥n nn n ννP P 于是，为至少出现一件不合格品的概率超过95%，最少需要298.0729×3≈895分，将近14小时55分．例3.41解 由条件知X +Y 是一日内到过该商店的顾客的人数，服从参数为λ的泊松分布．设X ——一日内到过该商店的顾客中购货的人数．由条件知，在一日内有n 个顾客到过该商店的条件下，购货人数的条件概率分布为{}()．；),2,1,0(1m n m p p C n Y X m X mn m m n ≥=-==+=- P由全概率公式可见，对于m =0,1,2,…，有{}{}{}()[]()()()()[]()()[]()()()．p mp mk km m n mn m mn nmn mm nmn n mn mm nmn m p m p p k m p p m n m p n p p C n p p Cn Y X n Y X m Xm X λλλλλλλλλλλλλλλ---∞=-∞=--∞=--∞=--∞===-=--=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==+=+===∑∑∑∑∑e ! e e ! 1!1e!1!1e!!1ee ! 110P P P于是，一日内到过该商店的顾客中购货的人数X 服从参数为p λ的泊松分布．同理，Y 服从参数为)1(p -λ的泊松分布．例2.44 解 以()t ν表示t =90天内售出的电冰箱台数．可以假设()t ν服从参数为t λ的泊松分布．由条件知()λν77E ==56，从而λ=8（台）．这样，()t ν服从参数为t λ=8t 的泊松分布： (){}()() ,2,1,0 e !88===-k k t k t tkνP ．随机变量X 的可能值为自然数m =0,1,2,…．记t a λ=．由全概率公式，有{}(){}(){}()()()()()()()()，　pa m pa a a m k k a m m n mn ammn a n m n m m nmn m pa m pa k qa m pa m n qa m pan a q p C n a n a m X m X ---∞=-∞=--∞=--∞====-=======∑∑∑∑e !e e ! ! e!! e ! e ! 0ννP P P 其中6.390805.0=⨯⨯==t p pa λ．因此返修件数X 服从参数为3.6的泊松分布：{}() ,2,1,0 e !6.36.3===-m m m X m P ．例2.47解 由条件知{}{}{}{}，⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤--=≤≤-=≤-≤--=≤--=>-=310821)36(310821310823108310812011 1 025.0a a a X a X a a X a a a X a a X ΦΦΦP P P P P其中()x Φ是标准正态分布函数．由熟知的事实()975.096.1=Φ，可见．；；94.5696.131082 0.975031082≈≈-≈⎪⎭⎫⎝⎛-a a a Φ 例2.48 解 由条件知()210,0~N X．设ν为100次独立重复测量中事件{}6.19 >X 出现的次数，则{}05.096.1106.19 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>=X X p P P ．易见ν服从参数为(100 , 0.05)的二项分布，近似服从参数为5的泊松分布．因此{}{}{}{}{}()．87.05.125115.125105.095.0299100 05.095.010095.012101313555529899100≈++-=---≈⨯⨯⨯-⨯⨯--==-=-=-=<-=≥=----e e e e ννννναP P P P P 〖证明题〗例2.52（分布函数）证明 只需验证)()()(21x bF x aF x F +=满足分布函数的三条基本性质．由条件知a 和b 非负且a +b =1．由于)(1x F 和)(2x F 都是分布函数，可见对于任意，有1)()()(021=+≤+=≤b a x bF x aF x F对于任意实数21x x <，由于)2,1)(()(21=≤i x F x F i i ，可见，)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=即)(x F 单调不减．由)(1x F 和)(2x F 的右连续性，可见)(x F 也右连续．最后，．；1)(lim )(lim )(lim 0)(lim )(lim )(lim 2121=+==+=+∞→+∞→+∞→-∞→-∞→-∞→x F b x F a x F x F b x F a x F x x x x x x于是)()()(21x bF x aF x F +=也是分布函数．例2.53（分布函数） 证明 指数分布函数为)0(e 1)(≥-=-x x F x λ设}{P )(y Y y G ≤=为Y=)(X F 的分布函数．由于分布函数)(x F 的值域为(0,1)，可见当0≤y时0)(=y G ；当1≥y 时1)(=y G ．设10<<y ，有．y y F y X y y Y y G X =⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≤-=≤=-)1ln(1)1ln(1}e 1{}{)(λλλP P P 于是，)(y G 是区间(0,1)上的均匀分布函数，从而Y=例2.4 【π2=C ；5)arctan 2(πe】例2.6 连续型随机变量X 的分布函数为：x B A x F arctan )(+=，∞<<∞-x试求：（1）常数A 、B ；（2）)11(<<-X P ；（3）随机变量X 的概率密度.【（1）π1,21==B A ；（2）21；（3）)1(12x +π】 例2.7 设随机变量X 具有对称的密度函数，即)()(x f x f =-，证明对任意的0>a ，有（1）⎰-=-=-adx x f a F a F 0)(21)(1)(（2）1)(2)|(|-=<a F a X P (3) ))(1(2)|(|a F a X P -=>问题3: 已知实际背景, 求随机变量的分布律与分布函数(或密度函数)例2.8 一袋中装有4个球，球上分别记有号码1,2,3,4。