概率论与数理统计教程茆诗松版

第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ；（5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ．6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ． 10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ， 故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ，故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576， 事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为dcb a m E m E P π)()()(++=Ω=． 方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球， 则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =，故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

第一章 随机事件与概率习题1.11． 写出下列随机试验的样本空间：（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，放回后再取出一个； （5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球，先从中取出一个，不放回后再取出一个． 解：（1）Ω = {(0, 0, 0)，(0, 0, 1)，(0, 1, 0)，(1, 0, 0)，(0, 1, 1)，(1, 0, 1)，(1, 1, 1)，(1, 1, 1)}，其中出现正面记为1，出现反面记为0； （2）Ω = {(x 1 , x 2 , x 3)：x 1 , x 2 , x 3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6}；（3）Ω = {(1)，(0, 1)，(0, 0, 1)，(0, 0, 0, 1)，…，(0, 0, …, 0, 1)，…}，其中出现正面记为1，出现反面记为0；（4）Ω = {BB ，BW ，BR ，WW ，WB ，WR ，RR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ； （5）Ω = {BW ，BR ，WB ，WR ，RB ，RW}，其中黑球记为B ，白球记为W ，红球记为R ．2． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一枚硬币，试验停止．那么该试验的样本空间Ω是什么？ 解：Ω = {Z1，Z2，Z3，Z4，Z5，Z6，FZ ，FF}． 3． 设A , B , C 为三事件，试表示下列事件：（1）A , B , C 都发生或都不发生； （2）A , B , C 中不多于一个发生； （3）A , B , C 中不多于两个发生； （4）A , B , C 中至少有两个发生． 解：（1）C B A ABC U ；（2）C B A C B A C B A C B A U U U ；（3）ABC 或C B A C B A C B A C B A BC A C B A C AB U U U U U U ； （4）ABC BC A C B A C AB U U U ． 4． 指出下列事件等式成立的条件：（1）A ∪B = A ； （2）AB = A ． 解：（1）当A ⊃ B 时，A ∪B = A ；（2）当A ⊂ B 时，AB = A ．5． 设X 为随机变量，其样本空间为Ω = {0 ≤ X ≤ 2}，记事件A = {0.5 < X ≤ 1}，B = {0.25 ≤ X < 1.5}，写出下列各事件：（1）B A ； （2）B A U ；（3）AB ； （4）B A U ．解：（1）}5.11{}5.025.0{<<≤≤=X X B A U ；（2）Ω=≤≤=}20{X B A U ；（3）A X X AB =≤<≤≤=}21{}5.00{U ； （4）B X X B A =≤≤<≤=}25.1{}25.00{U U ．6． 检查三件产品，只区分每件产品是合格品（记为0）与不合格品（记为1），设X 为三件产品中的不合格品数，指出下列事件所含的样本点：A =“X = 1”，B =“X > 2”，C =“X = 0”，D =“X = 4”．解：A = {(1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)}，B = {(1, 1, 1)}，C = {(0, 0, 0)}，D = ∅． 7． 试问下列命题是否成立？（1）A − (B − C ) = (A − B )∪C ；（2）若AB = ∅且C ⊂ A ，则BC = ∅； （3）(A ∪B ) − B = A ； （4）(A − B )∪B = A ．解：（1）不成立，C B A AC B A AC B A C B A C B A C B A C B A U U U U )()()()(−≠−====−=−−；（2）成立，因C ⊂ A ，有BC ⊂ AB = ∅，故BC = ∅；（3）不成立，因A B A B A B B B A B B A B B A ≠−====−U U U )()(； （4）不成立，因A B A B B B A B B A B B A ≠===−U U U U U ))(()(． 8． 若事件ABC = ∅，是否一定有AB = ∅？解：不能得出此结论，如当C = ∅时，无论AB 为任何事件，都有ABC = ∅． 9． 请叙述下列事件的对立事件：（1）A =“掷两枚硬币，皆为正面”； （2）B =“射击三次，皆命中目标”；（3）C =“加工四个零件，至少有一个合格品”． 解：（1）=A “掷两枚硬币，至少有一个反面”；（2）=B “射击三次，至少有一次没有命中目标”； （3）=C “加工四个零件，皆为不合格品”． 10．证明下列事件的运算公式：（1）B A AB A U =； （2）B A A B A U U =．证：（1）A A B B A B A AB =Ω==)(U U ；（2）B A B A B A A A B A A U U U U U =Ω==)())((． 11．设F 为一事件域，若A n ∈F ，n = 1, 2, …，试证：（1）∅ ∈F ；（2）有限并∈=U ni i A 1F ，n ≥ 1；（3）有限交∈=I ni i A 1F ，n ≥ 1；（4）可列交∈+∞=I 1i i A F ；（5）差运算A 1 − A 2 ∈ F ．证：（1）由事件域定义条件1，知 Ω ∈F ，再由定义条件2，可得∅∈Ω=F ；（2）在定义条件3中，取A n + 1 = A n + 2 = … = ∅，可得∈=∞==U U 11i i ni i A A F ；（3）由定义条件2，知∈n A A A ,,,21L F ，根据（2）小题结论，可得∈=U ni i A 1F ，再由定义条件2，知∈=U ni i A 1F ，即∈=I ni i A 1F ；（4）由定义条件2，知∈L L ,,,,21n A A A F ，根据定义条件3，可得∈∞=U 1i i A F ，再由定义条件2，知∈∞=U 1i i A F ，即∈∞=I 1i i A F ；（5）由定义条件2，知∈2A F ，根据（3）小题结论，可得∈21A A F ，即A 1 − A 2 ∈ F ．习题1.21． 对于组合数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n ，证明：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n r n r n 111； （3）nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）12221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n L ； （5）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ，n = min{a , b }； （6）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 证：（1）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−r n r r n n r n n r n n r n n !)!(!)]!([)!(!； （2）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−=−+−−=−−−+−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−r n r n r n r n r r n r n r n r n r n r n r n r n )!(!!)]([)!(!)!1()!1(!)!1()!()!1()!1(111； （3）由二项式展开定理nn n n y n n y x n x n y x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−L 110)(，令x = y = 1，得 nn n n n 210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛L ； （4）当1 ≤ r ≤ n 时，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−⋅−−=−⋅−=−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)!()!1()!1()!()!1(!)!(!!r n n r n r n n r n r n r n r n rr n r ， 故12111101221−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n n n n L L ； （5）因a ax a a x a a x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(，b b x b b x b b x ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+L 10)1(， 两式相乘，其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛0110b n a n b a n b a L ，另一方面ba b a b a x a b a x b a b a x x x ++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=++L 10)1()1()1(， 其中x n 的系数为⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+n b a ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n b a b n a n b a n b a 0110L ； （6）在（5）小题结论中，取a = b = n ，有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n n n n 20110L ， 再由（1）小题结论，知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛r n n r n ，即⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n n n n n n 210222L ． 2． 抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率．解：样本点总数n = 23 = 8，事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”，其所含样本点个数为1， 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k = 8 − 1 = 7，故所求概率为87)(=A P ． 3． 任取两个正整数，求它们的和为偶数的概率． 解：将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”，样本点总数n = 22 = 4，事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1，事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1， 即事件A =“它们的和为偶数”所含样本点个数k = 2，故所求概率为2142)(==A P ．4． 掷两枚骰子，求下列事件的概率：（1）点数之和为6； （2）点数之和不超过6； （3）至少有一个6点． 解：样本点总数n = 62 = 36．（1）事件A 1 =“点数之和为6”的样本点有 (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)，即个数k 1 = 5，故所求概率为365)(1=A P ；（2）事件A 2 =“点数之和不超过6”的样本点有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)， 即个数k 2 = 15，故所求概率为1253615)(2==A P ；（3）事件A 3 =“至少有一个6点”的样本点有(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6)， 即个数k 3 = 11，故所求概率为3611)(3=A P ．5． 考虑一元二次方程x 2 + Bx + C = 0，其中B , C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q ． 解：样本点总数n = 62 = 36，事件A 1 =“该方程有实根”，即B 2 − 4C ≥ 0，样本点有(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)，即个数k 1 = 19，故36191==n k p ． 事件A 2 =“该方程有重根”，即B 2 − 4C = 0，样本点有(2, 1)，(4, 4)，即个数k 2 = 2，故1813622===n k q ． 6． 从一副52张的扑克牌中任取4张，求下列事件的概率：（1）全是黑桃； （2）同花；（3）没有两张同一花色； （4）同色．解：样本点总数270725123449505152452=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1 =“全是黑桃”所含样本点个数7151234101112134131=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为0026.0270725715)(1==A P ；（2）事件A 2 =“同花”所含样本点个数2860123410111213441342=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为0106.02707252860)(2==A P ；（3）事件A 3 =“没有两张同一花色”所含样本点个数k 3 = 13 × 13 × 13 × 13 = 28561，故所求概率为1055.027072528561)(3==A P ；（4）事件A 4 =“同色”所含样本点个数29900123423242526242624=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=k ， 故所求概率为1104.027072529900)(4==A P ．7． 设9件产品中有2件不合格品．从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？解：样本点总数36128929=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 1 =“全是合格品”所含样本点个数211267271=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1273621)(1==A P ； 事件A 2 =“仅有一个合格品”所含样本点个数142712171=×=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为1873614)(2==A P ；事件A 3 =“没有合格品”所含样本点个数1223=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为361)(3=A P ． 8． 口袋中有7个白球、3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．解：样本点总数4512910210=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数24122312672327=××+××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为1584524)(==A P ． 9． 甲口袋有5个白球、3个黑球，乙口袋有4个白球、6个黑球．从两个口袋中各任取一球，求取到的两个球颜色相同的概率． 解：样本点总数n = 8 × 10 = 80，事件A =“两个球颜色相同”所含样本点个数k = 5 × 4 + 3 × 6 = 38，故所求概率为40198038)(==A P ．10．从n 个数1, 2, …, n 中任取2个，问其中一个小于k （1 < k < n ），另一个大于k 的概率是多少？解：样本点总数)1(212−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A = “其中一个小于k ，另一个大于k ”所含样本点个数K = (k − 1)(n − k )， 故所求概率为)1())(1(2)(−−−=n n k n k A P ．11．口袋中有10个球，分别标有号码1到10，现从中不返回地任取4个，记下取出球的号码，试求：（1）最小号码为5的概率； （2）最大号码为5的概率．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， （1）事件A 1 =“最小号码为5”所含样本点个数10123345351=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为21121010)(1==A P ； （2）事件A 2 =“最大号码为5”所含样本点个数4123234342=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为10522104)(2==A P ． 12．掷三颗骰子，求以下事件的概率：（1）所得的最大点数小于等于5； （2）所得的最大点数等于5． 解：样本点总数n = 63 = 216，（1）事件A 1 =“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k 1 = 53 = 125，故所求概率为216125)(1=A P ； （2）事件A 2 =“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k 2 = 53 − 43 = 61，故所求概率为21661)(2=A P ．13．把10本书任意地放在书架上，求其中指定的四本书放在一起的概率． 解：样本点总数n = 10!，事件A =“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k = 4! × 7!，故所求概率为30189101234!10!7!4)(=×××××=×=A P ． 14．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲乙两人相邻而坐的概率． 解：样本点总数N = (n − 1)!，事件A =“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k = 2! × (n − 2)!，故所求概率为12)!1()!2(!2)(−=−−×=n n n A P ． 15．同时掷5枚骰子，试证明：（1）P {每枚都不一样} = 0.0926； （2）P {一对} = 0.4630； （3）P {两对} = 0.2315；（4）P {三枚一样} = 0.1543（此题有误）； （5）P {四枚一样} = 0.0193； （6）P {五枚一样} = 0.0008． 解：样本点总数n = 65 = 7776，（1）事件“每枚都不一样”所含样本点个数72023456561=××××==A k ，故P {每枚都不一样}0926.07776720==； （2）事件“一对”所含样本点个数3600345124563525162=××××××=⋅⋅=A C A k ， 故P {一对}4630.077763600==； （3）事件“两对”所含样本点个数18004122312451256142325263=×××××××××=⋅⋅⋅=A C C C k ，故P {两对}2315.077761800==； （4）事件“三枚一样”所含样本点个数15005123345652235164=××××××=⋅⋅=C A k ，故P {三枚一样}1929.077761500==； 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数12004512334562535164=×××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {三枚一样且另两枚不一样}1543.077761200==； （5）事件“四枚一样”所含样本点个数15051234234561545165=××××××××=⋅⋅=A C A k ，故P {四枚一样}0193.07776150==； （6）事件“五枚一样”所含样本点个数6161555166=×=⋅⋅=A C A k ，故P {五枚一样}0008.077766==． 16．一个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾．然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接．求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率．解：在同一种六个头两两相接情况下，只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n = 5 × 3 = 15，事件A =“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k = 4 × 2 = 8，故所求概率为158)(=A P ．17．把n 个“0”与n 个“1”随机地排列，求没有两个“1”连在一起的概率．解：样本点总数!!)!2(2n n n n n N ⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=，事件A =“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数11+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=n n n k ， 故所求概率为)!2()!1(!)(n n n A P +⋅=．18．设10件产品中有2件不合格品，从中任取4件，设其中不合格品数为X ，求X 的概率分布．解：样本点总数210123478910410=××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件X = 0所含样本点个数7011234567802480=×××××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为3121070}0{===X P ； 事件X = 1所含样本点个数112212367812381=×××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为158210112}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数281127822282=×××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故所求概率为15221028}2{===X P ． 19．n 个男孩，m 个女孩（m ≤ n + 1）随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率．解：样本点总数!!)!(m n m n n m n N ⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=，事件A =“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数)!1(!)!1(1m n m n m n k −+⋅+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=， 故所求概率为)2()1)(()2()1()!1()!()!1(!)(+−++−+−=−+⋅++⋅=n m n m n m n n n m n m n n n A P L L ．20．将3个球随机放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数X 的概率分布． 解：样本点总数n = 43 = 64，事件X = 1所含样本点个数24234341=××==A k ，故所求概率为836424}1{===X P ； 事件X = 2所含样本点个数363341323142=××==A C A k ，故所求概率为1696436}2{===X P ； 事件X = 3所含样本点个数4143==A k ，故所求概率为161644}3{===X P ． 21．将12只球随意地放入3个盒子中，试求第一个盒子中有3只球的概率． 解：样本点总数n = 312 = 531441，事件A =“第一个盒子中有3只球”所含样本点个数11264051212310111223129=×××××=×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ， 故所求概率为2120.0531441112640)(==A P ．22．将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率．解：样本点总数为N 取n 次的重复组合，即)!1(!)!1(1−⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=N n n N n n N M ， （1）事件A 1 =“某个指定的盒子中恰好有k 个球”所含样本点个数为N − 1取n − k 次的重复组合，即)!2()!()!2(21)(11−⋅−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−=N k n k n N k n k n N k n k n N K ， 故所求概率为)1()2)(1()1()1()1()!2()!()!1()!1(!)!2()(1−−+−+−+−⋅+−−=−⋅−⋅−+−⋅⋅−−+=k n N n N n N N k n n n N k n n N N n k n N A P L L ；（2）事件A 2 =“恰好有m 个空盒”所含样本点个数可分两步考虑：首先N 选m 次的组合，选出m 个空盒，而其余N − m 个盒中每一个都分别至少有一个球， 其次剩下的n − (N − m )个球任意放入这N − m 个盒中，即N − m 取n − (N − m )次的重复组合，则)!1()!()!(!)!1(!)(12−−⋅−+⋅−⋅−⋅=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m N N m n m N m n N m N n n m N K ，故所求概率为)!1()!1()!()!(!)!1(!)!1(!)(2−+⋅−−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅−⋅=n N m N N m n m N m N n n N A P ；（3）事件A 3 =“某指定的m 个盒子中恰好有j 个球”所含样本点个数为m 取j 次的重复组合乘以N − m 取n − j 次的重复组合，则)!1()!()!1(!)!1()!1(1)()(13−−⋅−⋅−⋅−−−+⋅−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m N j n m j j m n N j m j n j n m N j j m K ， 故所求概率为)!1()!1()!()!1(!)!1(!)!1()!1()(3−+⋅−−⋅−⋅−⋅−⋅⋅−−−+⋅−+=n N m N j n m j N n j m n N j m A P ．23．在区间(0, 1)中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率．解：设这两个数分别为x 和y ，有Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1}，得m (Ω) = 1，事件A =“两数之和小于7/5”，有A = {(x , y ) | 0 < x +y < 7/5}， 得504153211)(2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=A m ， 故所求概率为5041)()()(=Ω=m A m A P ． 24．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少？解：设甲乙两艘轮船到达码头的时间分别为x 和y 小时，有Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24}，得m (Ω) = 242 = 576， 事件A =“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”， 若甲先到，有x + 1 ≤ y ≤ 24；若乙先到，有y + 2 ≤ x ≤ 24；即A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 24, 0 ≤ y ≤ 24, x + 1 ≤ y ≤ 24或y + 2 ≤ x ≤ 24}，得2101322212321)(22=×+×=A m ， 故所求概率为11521013)()()(=Ω=m A m A P ． 25．在平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一个边长为a , b , c （均小于d ）的三角形，求三角形与平行线相交的概率．解：不妨设a ≥ b ≥ c ，三角形的三个顶点分别为A , B , C ，其对边分别为a , b , c ，相应三个角也记为A , B , C ，设O 为BC 的中点，点O 与最近的一条平行线的距离为x ， 从点O 向三角形外作与平行线平行的射线OD ， 若B , C 中点C 更靠近某条平行线，则记α = ∠COD ，否则记α = −∠BOD ， 有π}π,20|),{(<<−≤≤=Ωααdx x ，得m (Ω) = π d ，事件E =“三角形与平行线相交”，当α ≥ 0时，如果C ≤ α < π，事件E 就是OC 与平行线相交； 如果0 ≤ α < C ，事件E 就是OC 或AC 与平行线相交； 当α < 0时，如果−π < α ≤ −B ，事件E 就是OB 与平行线相交；如果−B < α < 0，事件E 就是OB 或AB 与平行线相交．记}sin 2,|),{(1αααax C x E ≤≥=， )}sin(sin 2,0|),{(2αααα−+≤<≤=C b ax C x E ，}sin 2,|),{(3αααax B x E −≤−≤=，)}sin(sin 2,0|),{(4αααα++−≤<<−=B c ax B x E ，有E = E 1∪E 2∪E 3∪E 4，得∫∫−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0π)sin(sin 2sin 2)(BB d B c a d a E m ααααα∫∫+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−++π0sin 2)sin(sin 2C C d a d C b a ααααα∫∫∫∫+−++++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−π0000πsin 2)sin()sin(sin 2ααααααααd a d C b d B c d a C B π0000πcos 2)cos()cos(cos 2ααααa C b B c aCB −−++−=−− 22cos cos 22a a C b b c B c a a +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−++−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=c b a a a c b a abc b a b ac b c a c c b a ++=−++=−+⋅−−+⋅−++=2222222222222，故所求概率为d cb a m E m E P π)()()(++=Ω=．方法二：设事件A , B , C 分别表示“边长为a , b , c 三条边与平行线相交”，事件E 表示“三角形与平行线相交”， 由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交，即E = AB ∪AC ∪BC ，则由三个事件的加法公式得P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 2 P (ABC )， 因ABC 表示“三条边都与平行线相交”，有P (ABC ) = 0， 则P (E ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC )，另一方面，由于三角形与平行线相交时，将至少有两条边与平行线相交， 有A = AB ∪AC ，B = AB ∪BC ，C = AC ∪BC ，则P (A ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (AB ) + P (AC )， P (B ) = P (AC ) + P (BC )，P (C ) = P (AC ) + P (BC )，可得P (A ) + P (B ) + P (C ) = [P (AB ) + P (AC )] + [P (AC ) + P (BC )] + [P (AC ) + P (BC )]= 2[P (AB ) + P (AC ) + P (BC )]，根据蒲丰投针问题知d a A P π2)(=，d b B P π2)(=，dc C P π2)(=， 故dcb a C P B P A P BC P AC P AB P E P π)]()()([21)()()()(++=++=++=．26．在半径为R 的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在直径上一个区间内的可能性与这区间的长度成比例，求任意画弦的长度大于R 的概率．1A解：设弦与垂直于弦的直径的交点与圆心的距离为x ，有Ω = {x | 0 ≤ x < R }，得m (Ω) = R ，事件A =“弦的长度大于R ”，有2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛>−R x R ，2243R x <，即}230|{R x x A <≤=，得R A m 23)(=，故所求概率为23)()()(=Ω=m A m A P ． 27．设一个质点落在xOy 平面上由x 轴、y 轴及直线x + y = 1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，即落在这三角形内任何区域上的概率与区域的面积成正比，试求此质点还满足y < 2x 的概率是多少？解：Ω = {(x , y ) | 0 < x < 1, 0 < y < 1, 0 < x + y < 1}，得21)(=Ωm ， 事件A =“满足y < 2x ”，有A = {(x , y ) | 0 < y < 1, y /2 ≤ x ≤ 1 − y }，得3132121)(=××=A m ， 故所求概率为32)()()(=Ω=m A m A P ． 28．设a > 0，有任意两数x , y ，且0 < x < a ，0 < y < a ，试求xy < a 2/4的概率． 解：Ω = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a }，得m (Ω) = a 2，事件A =“xy < a 2/4”，有A = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ y ≤ a , xy < a 2/4}，即4ln 44ln 44)(22422422a a x a ax a dx x a a a A m aa aa +=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=∫， 故所求概率为5966.04ln 4141)()()(=+=Ω=m A m A P ． 29．用主观方法确定：大学生中戴眼镜的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）30．用主观方法确定：学生中考试作弊的概率是多少？ （自己通过调查，作出主观判断）x习题1.31． 设事件A 和B 互不相容，且P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5，求以下事件的概率：（1）A 与B 中至少有一个发生； （2）A 和B 都发生； （3）A 发生但B 不发生． 解：（1）P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) = 0.3 + 0.5 = 0.8；（2）P (AB ) = 0；（3）P (A − B ) = P (A ) = 0.3．2． 设P (AB ) = 0，则下列说法哪些是正确的？（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容；（3）AB 是不可能事件；（4）AB 不一定是不可能事件； （5）P (A ) = 0或P (B ) = 0； （6）P (A − B ) = P (A )． 解：（1）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（2）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容；（3）错误，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （4）正确，当P (AB ) = 0时，A 和B 可能相容也可能不相容，即AB 不一定是不可能事件； （5）错误，当P (A ) > 0，P (B ) > 0时，只要A 和B 不相容，就有P (AB ) = 0； （6）正确，P (A − B ) = P (A ) − P (AB ) = P (A )．3． 一批产品分一、二、三级，其中一级品是二级品的三倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机地抽取一个，试求取到二级品的概率． 解：设A , B , C 分别表示“取到一、二、三级品”，有P (A ) + P (B ) + P (C ) = 1，P (A ) = 3P (B )，)(21)(B P C P =， 则1)(29)(21)()(3==++B P B P B P B P ，即92)(=B P ， 故取到二级品的概率92)(=B P ．4． 从0, 1, 2, …, 9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：（1）A 1 = {三个数字中不含0和5}； （2）A 2 = {三个数字中不含0或5}； （3）A 3 = {三个数字中含0但不含5}．解：样本点总数1201238910310=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，（1）事件A 1所含样本点个数56123678381=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故15712056)(1==A P ； （2）事件=2A “三个数字中含0和5”所含样本点个数8182=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故1514120112)(1)(22==−=A P A P ； （3）事件A 3所含样本点个数281278283=××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=k ，故30712028)(3==A P ．5． 某城市中共发行3种报纸A , B , C ．在这城市的居民中有45%订阅A 报、35%订阅B 报、25%订阅C 报，10%同时订阅A 报B 报、8%同时订阅A 报C 报、5%同时订阅B 报C 报、3%同时订阅A , B , C 报．求以下事件的概率： （1）只订阅A 报；（2）只订阅一种报纸的； （3）至少订阅一种报纸的； （4）不订阅任何一种报纸的．解：设A , B , C 分别表示“订阅报纸A , B , C ”，则P (A ) = 0.45，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.30，P (AB ) = 0.10，P (AC ) = 0.08，P (BC ) = 0.05，P (ABC ) = 0.03，（1）)()()()()()())(()(ABC P AC P AB P A P AC AB P A P C B A P C B A P +−−=−=−=U U= 0.45 − 0.10 − 0.08 + 0.03 = 0.30；（2）)()()()(B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P ++=U U ，因)()()()()()())(()(ABC P BC P AB P B P BC AB P B P C A B P C B A P +−−=−=−=U U= 0.35 − 0.10 − 0.05 + 0.03 = 0.23，)()()()()()())(()(ABC P BC P AC P C P BC AC P C P B A C P C B A P +−−=−=−=U U= 0.30 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.20，故73.020.023.030.0)()()()(=++=++=C B A P C B A P C B A P C B A C B A C B A P U U ； （3）P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= 0.45 + 0.35 + 0.30 − 0.10 − 0.08 − 0.05 + 0.03 = 0.90；（4）10.090.01)(1(=−=−=C B A P C B A P U U ．6． 某工厂一个班组共有男工9人、女工5人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？解：样本点总数364123121314314=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件=A “选的3个代表中没有女工”所含样本点个数8412378939=××××=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，故所求概率为1310364280364841)(1)(==−=−=A P A P ． 7． 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？ 解：“掷一颗骰子4次”的样本点总数n 1 = 64 = 1296，事件=1A “没有出现6点”所含样本点个数为625541==A k ，则5177.0129667112966251)(1)(11==−=−=A P A P ； “掷两颗骰子24次”的样本点总数n 2 = (62 )24 = 36 24，事件=2A “没有出现双6点”所含样本点个数为2424235)16(2=−=A k ，则4914.036353636351)(1)(242424242422=−=−=−=A P A P ；故掷一颗骰子4次至少出现一次6点的机会比掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会更大． 8． 从数字1, 2, …, 9中可重复地任取n 次，求n 次所取数字的乘积能被10整除的概率． 解：样本点总数N = 9 n ，因事件A =“n 次所取数字的乘积能被10整除”就是“至少取到一次数字5并且至少取到一次偶数”， 则事件=A “没有取到数字5或没有取到偶数”， 设事件B =“没有取到数字5”，C =“没有取到偶数”，则事件B 所含样本点个数为K B = 8 n ，事件C 所含样本点个数为K C = 5 n ， 且事件BC =“没有取到数字5和偶数”所含样本点个数为K BC = 4 n ，故nnn n n n n n n n n BC P C P B P C B P A P A P 945899495981)()()(1)(1)(1)(+−−=+−−=+−−=−=−=U ． 9． 口袋中有n − 1个黑球和1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球．问第k 次摸球时，摸到黑球的概率是多少？ 解：样本点总数N = n k ，事件=A “第k 次摸球时摸到白球”，此时前n − 1次摸球时都必须是摸到黑球，则A 中所含样本点个数1)1(−−=k A n K ，故所求概率为kk nn A P A P 1)1(1)(1)(−−−=−=． 10．若P(A ) = 1，证明：对任一事件B ，有P (AB ) = P (B )．证：因P (A ) = 1，且A B A ⊂，有0)(1)()(=−=≤A P A P B A P ，则0)()()()(=−=−=AB P B P A B P A P ，故P (AB ) = P (B )．11．掷2n + 1次硬币，求出现的正面数多于反面数的概率． 解：设A =“出现的正面数多于反面数”，因掷奇数次硬币，出现的正面数与反面数不可能相等，事件=A “出现的反面数多于正面数”，由于掷一枚硬币出现正面与出现反面的可能性相同，则“出现的正面数多于反面数”与“出现的反面数多于正面数” 的可能性相同， 可得)()(A P A P =，又1()(=+A P A P ，故P (A ) = 0.5．12．有三个人，每个人都以同样的概率1/5被分配到5个房间中的任一间中，试求：（1）三个人都分配到同一个房间的概率； （2）三个人分配到不同房间的概率． 解：样本点总数n = 53 = 125，（1）事件A 1 =“三个人都分配到同一个房间”所含样本点个数为k 1 = 5，故所求概率为2511255)(1==A P ； （2）事件A 2 =“三个人分配到不同房间”所含样本点个数为60345352=××==A k ，故所求概率为251212560)(2==A P ． 13．一间宿舍住有5位同学，求他们之中至少有2个人生日在同一个月份的概率．解：首先假设一个人的生日在每一个月份的可能性相同，样本点总数n = 125，事件=A “每个人生日都在不同月份”所含样本点个数为512A k A =， 故所求概率为6181.014489121)(1)(5512==−=−=A A P A P ． 14．某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率．解：设A i =“第i 个战士拿到自己的枪”，n i ,,2,1L =，有==i ni A 1U “至少有1人拿到自己的枪”，因)()1()()()()(2111111n n nk j i kjinj i jini i i ni A A A P A A A P A A P A P A P L L U ⋅−+++−=−≤<<≤≤<≤==∑∑∑，且n n n A P i 1!)!1()(=−=，)1(1!)!2()(−=−=n n n n A A P j i ，)2)(1(1)(−−=n n n A A A P k j i ，……， 故!)1(!31!211!1)1()2)(1(1)1(11)(11321n n C n n n C n n C n n A P n nn n n n i ni −−=−+−+−=⋅−+−−−⋅+−⋅−×=L L U ． 15．设A , B 是两事件，且P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.8，问： （1）在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：（1）因P (AB ) ≤ min{P (A ), P (B )} = P (A ) = 0.6，故当P (AB ) = P (A ) 时，P (AB )取到最大值0.6；（2）因P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = 0.4，故当P (A ∪B ) = 1时，P (AB )取到最小值0.4． 注：若A ⊂ B ，有AB = A ，可得P (AB ) = P (A )，但不能反过来，由P (AB ) = P (A )，得出A ⊂ B ；若A ∪B = Ω，可得P (A ∪B ) = 1，但不能反过来，由P (A ∪B ) = 1，得出A ∪B = Ω． 16．已知事件A , B 满足)()(B A P AB P I =，记P (A ) = p ，试求P (B )．解：因)()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +−−=−===U U I ，有1 − P (A ) − P (B ) = 0，故P (B ) = 1 − P (A ) = 1 − p ．17．已知P (A ) = 0.7，P (A − B ) = 0.4，试求)(AB P ．解：因P (A − B ) = P (A ) − P (AB )，有P (AB ) = P (A ) − P (A − B ) = 0.7 − 0.4 = 0.3，故7.0)(1(=−=AB P AB P ． 18．设P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.4，试证)()(B A P AB P I =．证：)()(4.06.01)()()(1)(1)()(AB P AB P AB P B P A P B A P B A P B A P =+−−=+−−=−==U U I ． 19．对任意的事件A , B , C ，证明：（1）P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) ≤ P (A )；（2）P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1． 证：（1）因P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC )，且 (AB ∪AC ) ⊂ A ，ABC ⊂ BC ，有P (AB ∪AC ) ≤ P (A )，P (ABC ) ≤ P (BC )，故P (AB ) + P (AC ) − P (BC ) = P (AB ∪AC ) + P (ABC ) − P (BC ) ≤ P (AB ∪AC ) ≤ P (A )． （2）因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )，故P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − P (A ∪B ∪C )≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) + P (ABC ) − 1 ≥ P (A ) + P (B ) + P (C ) − 1．20．设A , B , C 为三个事件，且P (A ) = a ，P (B ) = 2a ，P (C ) = 3a ，P (AB ) = P (AC ) = P (BC ) = b ，证明：a ≤ 1/4，b ≤ 1/4．证：因P (B ∪C ) = P (B ) + P (C ) − P (BC ) = 5a − b ，且a = P (A ) ≥ P (AB ) = b ，则P (B ∪C ) = 5a − b ≥ 4a ，即4a ≤ 1，故a ≤ 1/4且b ≤ a ≤ 1/4．21．设事件A , B , C 的概率都是1/2，且)()(C B A P ABC P I I =，证明：2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2．证：因)(1)()()(C B A P C B A P C B A P ABC P U U U U I I −==== 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) + P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − P (ABC )，故2 P (ABC ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) + 1 − P (A ) − P (B ) − P (C ) = P (AB ) + P (AC ) + P (BC ) − 1/2． 22．证明：（1）P (AB ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 证：（1）因P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB )，故P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1；（2）用数学归纳法证明，当n = 2时，由（1）小题知结论成立，设当n = k 时，结论成立，即P (A 1 A 2 …A k ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1)， 则P (A 1 A 2 …A k A k + 1) ≥ P (A 1 A 2 …A k ) + P (A k + 1) − 1≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) − (k − 1) + P (A k + 1) − 1 = P (A 1) + P (A 2) + … + P (A k ) + P (A k + 1) − k ，即当n = k + 1时，结论成立，故由数学归纳法知P (A 1 A 2 …A n ) ≥ P (A 1) + P (A 2) + … + P (A n ) − (n − 1)． 23．证明：41|)()()(|≤−B P A P AB P ． 证：因)()()](1)[()]()()[()()()()(A P A P A P AB P B A P AB P A P AB P B P A P AB P −−=+−=−，且0 ≤ P (AB )[1 − P (A )] ≤ P (A )[1 − P (A )]，)](1)[(()()()(0A P A P A P A P B A P A P −=≤≤， 故)}()()],(1)[(max{|)()()](1)[(||)()()(|A P A P A P AB P B A P A P A P AB P B P A P AB P −≤−−=−4121)(41)]([)()](1)[(22≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−=−≤A P A P A P A P A P ．习题1.41． 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？ （2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？ 解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ； （2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2． 设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3． 掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ， 故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ．4． 以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ．5． 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ， 事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ， 事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6． 设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ， 事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ， 得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ， 得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7． 掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )． 解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ， 事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ．8． 已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ， 故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9． 已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ． 解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ， 故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ． 解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ， 则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ， 故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ； （2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”， 故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ； （2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)。

2004年7月第1版2008年4月第10次印刷第一章随机事件与概率1.1 随机事件及其运算1.1.1 随机现象在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验.1.1.2 样本空间随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为，其中表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元.1.1.3 随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件.1.1.4 随机变量用来表示随机现象结果的变量称为随机变量.1.1.7 事件域定义1.1.1 设为一样本空间，为的某些子集所组成的集合类.如果满足：(1)；(2)若，则对立事件；(3)若，则可列并.则称为一个事件域，又称为代数.在概率论中，又称为可测空间.1.2 概率的定义及其确定方法1.2.1 概率的公理化定义定义1.2.1设为一样本空间，为的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件，定义在上的一个实值函数满足：(1)非负性公理若，则；(2)正则性公理；(3)可列可加性公理若互不相容，有则称为事件的概率，称三元素为概率空间.第二章随机变量及其分布2.1 随机变量及其分布2.1.1 随机变量的概念定义2.1.1 定义在样本空间上的实值函数称为随机变量.2.1.2 随机变量的分布函数定义2.1.2 设是一个随机变量，对任意实数，称为随机变量的分布函数.且称服从，记为.2.1.4 连续随机变量的概率密度函数定义2.1.4 设随机变量的分布函数为，如果存在实数轴上的一个非负可积函数，使得对任意实数有则称为连续随机变量，称为的概率密度函数，简称为密度函数.密度函数的基本性质(1)非负性；(2)正则性.第三章多维随机变量及其分布3.1 多维随机变量及其联合分布3.1.1 多维随机变量定义3.1.1 如果定义在同一个样本空间上的个随机变量，则称为维(或元)随机变量或随机向量.3.1.2 联合分布函数定义3.1.2 对任意的个实数，则个事件同时发生的概率称为维随机变量的联合分布函数.3.4 多维随机变量的特征数3.4.5 随机向量的数学期望与协方差阵定义3.4.3 记维随机向量为，若其每个分量的数学期望都存在，则称为维随机向量的数学期望向量，简称为的数学期望，而称为该随机向量的方差—协方差阵，简称协方差阵，记为.例3.4.12(元正态分布) 设维随机变量的协方差阵为，数学期望向量为.又记，则由密度函数定义的分布称为元正态分布，记为.第四章大数定律与中心极限定理4.1 特征函数4.1.1 特征函数的定义定义4.1.1 设是一个随机变量，称为的特征函数.设是随机变量的密度函数，则4.2 大数定律4.2.1伯努利大数定律定理 4.2.1(伯努利大数定律) 设为重伯努利试验中事件发生的次数，为每次试验中出现的概率，则对任意的，有4.2.2 常用的几个大数定律4.3 随机变量序列的两种收敛性4.3.1 依概率收敛定义4.3.1(依概率收敛) 设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有则称依概率收敛于，记作.4.4 中心极限定理4.4.2 独立同分布下的中心极限定理定理 4.4.1(林德贝格—勒维中心极限定理) 设是独立同分布的随机变量序列，且.记则对任意实数有第五章统计量及其分布第六章参数估计第七章假设检验第八章方差分析与回归分析。

第二章随机变量及其分布上一章研究内容：事件（集合A）→ 概率（数）．本章将用函数研究概率，函数是数与数的关系，即需要用数反映事件——随机变量．事件（数）→ 概率（数）．§2.1 随机变量及其分布2.1.1. 随机变量的概念随机试验的样本点有些是定量的：如掷骰子掷出的点数，电子元件使用寿命的小时数．有些是定性的：如掷硬币正面或反面，检查产品合格或不合格．对于定性的结果也可以规定其数量性质：如掷硬币，正面记为1，反面记为0；检查产品，合格记为1，不合格记为0．随机试验中，可将每一个样本点ω 都对应于一个实数X (ω)，称为随机变量（Random Variable），常用大写英文字母X, Y, Z 等表示随机变量，而随机变量的具体取值通常记为小写英文字母x, y, z．对于随机变量首先应掌握它的全部可能取值：⎧1,正面如掷硬币，X=⎨，X的全部可能取值为0, 1； 0,反面⎩掷两枚骰子，X表示掷出的点数之和，X的全部可能取值为2, 3, 4, … , 12 ；观察某商店一小时内的进店人数X，X的全部可能取值为0, 1, 2, … ；电子元件使用寿命，用X表示使用的小时数，X的全部可能取值为[0,+∞)；一场足球比赛（90分钟），用X表示首次进球时间（分钟），若为0:0，记X = 100，X的全部可能取值为 (0, 90 )∪{100}；注意：1. 每个样本点都必须对应于一个实数，2．不同样本点可以对应于同一个实数，3．随机变量的每一取值或取值范围都表示一个事件．应掌握将随机变量的取值或取值范围描述为事件，又能将事件用随机变量表达的方法．例掷一枚骰子，用X表示出现的点数，则 X = 1表示出现1点；X > 4表示点数大于4，即出现5点或6点；X ≤ 0为不可能事件．又出现奇数点，即X = 1, 3, 5；点数不超过3，即X ≤ 3．例 X 表示商店一天中某商品的销售件数（顾客的需求件数），则 X = 0表示没有销售；X ≤ 10表示销售不超过10件．又销售5件以上（不含5件）即X > 5；若该商店准备了a件该商品，事件“能满足顾客需要”，即X ≤ a．例 X 表示一只电子元件的使用寿命（小时），则 X = 1000表示该元件恰好使用了1000小时，X ≥ 800表示该元件使用寿命在800小时以上．例 90分钟足球比赛，X 表示首次进球时间（分钟），且0:0时，记X = 100，则 X = 10表示上半场第10分钟首次进球．又上半场不进球即X > 45；开场1分钟内进球即X ≤ 1．如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．（注：可列个即可以排成一列，一个一个往下数，如非负整数0, 1, 2,3, … ）离散型随机变量的全部可能取值是实数轴上一些离散的点，而连续型随机变量的全部可能取值是实数轴上一个区间或多个区间的并，如电子元件使用寿命X（小时），全部可能取值是[0,+∞)．下面按离散型和连续型分别进行讨论．2.1.2. 离散随机变量的概率分布列对于随机变量还应该掌握它的每一取值或取值范围表示事件的概率．定义如果随机变量X的全部可能取值是有限个或可列个，则称为离散型随机变量．设离散型随机变量X的全部可能取值为x1, x2, …, x k , …，则X取值x k的概率pk = p (xk) = P{X = xk }, k = 1, 2, …… 称为离散型随机变量的概率分布函数（Probability Distribution Function，PDF），简称概率分布或概率函数．直观上，又写为XPx1p(x1)x2Lp(x2)L⎛x1 或 X~⎜⎜p(x)p(xk)L1⎝xkLx2Lp(x2)LxkL⎞⎟，⎟p(xk)L⎠称为X的概率分布列．如掷一枚骰子，X表示出现的点数，X的分布列为P66666． 6概率函数基本性质：（1）非负性p(xk) ≥ 0 , k = 1, 2, ……；（2）正则性∑p(xk=1∞k)=1．这是因为事件X = x1 , X = x2 , … , X = x k , … 是一个完备事件组，故P{X = x1} + P{X = x2} + … + P{X = x k} + … = P (Ω) = 1，即p (x1) + p (x2) + … + p (xk) + … = 1．例设盒中有2个红球3个白球，从中任取3球，以X表示取得的红球数．求X的分布列．解：X 的全部可能取值0, 1, 2 ，样本点总数为n=⎜⎜⎟⎟=10，⎛5⎞⎝3⎠⎛3⎞1⎟X = 0表示“取到3个白球”，所含样本点个数为k0=⎜=1，有p(0)==0.1，⎜3⎟10⎝⎠⎛3⎞⎛2⎞6⎟⎜⎟X = 1表示“取到1个红球2个白球”，所含样本点个数为k1=⎜=6，有p(1)==0.6，⎜2⎟⎜1⎟10⎝⎠⎝⎠⎛3⎞⎛2⎞3⎟⎜⎟X = 2表示“取到2个红球1个白球”，所含样本点个数为k2=⎜=3，有p(2)==0.3．⎜1⎟⎜2⎟10⎝⎠⎝⎠故X的分布列为XP012． 0.10.60.3求离散型随机变量X的概率分布步骤：（1）找出X的全部可能取值，（2）将X的每一取值表示为事件，（3）求出X的每一取值的概率．例现有10件产品，其中有3件不合格．若不放回抽取，每次取一件，直到取得合格品为止．用X表示抽取次数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值1, 2, 3, 4 ，X = 1表示“第1次就取得合格品”，有p(1)=7， 10377，⋅=109303277X = 3表示“第3次取得合格品且前两次是不合格品”，有p(3)=，⋅⋅=109812032171X = 4表示“第4次取得合格品且前三次是不合格品”，有p(4)=，⋅⋅⋅=10987120故X 的分布列为 X = 2表示“第2次取得合格品且第1次是不合格品”，有p(2)= P1030120． 120例上例若改为有放回地抽取，又如何？解：X的全部可能取值1 , 2 , … , n , … ，p(1)=737=0.7，p(2)=⋅=0.21，p(3)=0.32×0.7，…，p(k)=0.3k−1×0.7，…， 101010 k=1,2,L；故X的概率函数为p(k)=0.3k−1×0.7,X的分布列为XPk．0.70.210.32×0.7L0.3k−1×0.7L123C，k = 1, 2, 3, 4，且C为常数． k求：（1）C的值，（2）P{X = 3}，（3）P{X < 3}．CCC解：（1）由正则性知：p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=C+++=1，即C=1，故C=． 1225234例若离散型随机变量的概率函数为p(k)=（2）P{X=3}=p(3)=4， 2512618+=． 252525（3）P{X<3}=p(1)+p(2)=2.1.3. 随机变量的分布函数连续型随机变量在单个点取值概率为零，如电子元件使用寿命恰好为1000小时这个事件的概率就等于零，因此连续型随机变量不能考虑概率函数．为了用单独一个变量表示一个区间，特别地取区间(−∞, x]．定义随机变量X与任意实数x，称F(x) = P{X ≤ x}，−∞< x < +∞为X的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF），简称分布函数．P{a < X ≤ b} = P{X ≤ b} − P{X ≤ a} = F(b) − F(a)，P{X > a} = 1 − P{X ≤ a} = 1 −F(a)，由概率的连续性知P{X<a}=lim−P{X≤x}=lim−F(x)=F(a−0)，且P{X = a} = P{X ≤ a} − P{X < a} = F(a) − F(a – 0)，x→ax→a可见X在任一区间上或任一点取值的概率都可用分布函数表示．例已知随机变量X的分布列为XP0120.20.50.3，求X的分布函数．解：X的全部可能取值为0, 1, 2，当x < 0时，F(x) = P{X ≤ x} = P (∅) = 0，当0 ≤ x < 1时，F(x) = P{X ≤ x} = p(0) = 0.2，当1 ≤ x < 2时，F(x) = P{X ≤ x} = p(0) + p(1) = 0.7，当x ≥ 2时，F(x) = P{X ≤ x} = P (Ω ) = 1，⎧0,⎪0.2,⎪故F(x)=⎨⎪0.7,⎪⎩1,F(x)=P{X≤x}=x<0,0≤x<1,1≤x<2,x≥2.若离散型随机变量的全部可能取值为x1, x2, ……，概率函数p (xk ) = pk，k = 1, 2, ……，则分布函数xk≤x∑p(xk)．且离散型随机变量的分布函数F(x)是单调不减的阶梯形函数，X的每一可能取值xk 是F(x)的跳跃点，跳跃高度是相应概率p (xk )．⎧0,⎪0.3,⎪⎪例已知某离散型随机变量X的分布函数为F(x)=⎨0.4,⎪0.6,⎪⎪⎩1,x<−1−1≤x<0,0≤x<2, 求X的分布列．2≤x<5,x≥5,解：X的全部可能取值是F(x)的跳跃点，即−1, 0, 2, 5，跳跃高度依次为：p(−1) = 0.3 − 0 = 0.3；p(0) = 0.4 − 0.3 = 0.1；p(2) = 0.6 − 0.4 = 0.2；p(5) = 1 − 0.6 = 0.4．故X的分布列为XP−10250.30.10.20.4．分布函数的基本性质：（1）单调性，F(x) 单调不减，即x1 < x2时，F(x1) ≤ F(x2)；（2）正则性，F(−∞) = 0，F(+∞) = 1；（3）连续性，F(x) 右连续，即limF(x)=F(x0)． +x→x0证：（1）当x1 < x2时，{X ≤ x1} ⊂ {X ≤ x2}，有F(x1) ≤ F(x2)；（2）F(−∞) = P{X < −∞} = P (∅) = 0，F(+∞) = P{X < +∞} = P (Ω ) = 1；（3）任取单调下降且趋于x0的数列{xn}，有lim{X≤xn}=I{X≤xn}={X≤x0}，n→∞n=1∞⎛∞⎞根据概率的连续性知limP{X≤xn}=P⎜{X≤x}F(x)=F(x0)． n⎟⎜I⎟=P{X≤x0}，即xlim+n→∞→x0⎝n=1⎠但F(x)不一定左连续，任取单调增加且趋于x0的数列{xn}，⎛∞⎞⎟有lim{X≤xn}=U{X≤xn}={X<x0}，得limP{X≤xn}=P⎜{X≤x}Un⎜⎟=P{X<x0}，n→∞n→∞n=1⎝n=1⎠故lim−F(x)=P{X<x0}=F(x0)−P{X=x0}．x→x0∞2.1.4. 连续随机变量的概率密度函数离散型随机变量的全部可能取值是有限或可列个点，连续型随机变量的全部可能取值是实数区间．但连续型随机变量在单独一个点取值的概率为0，其概率函数无实际意义，对于连续随机变量通常考虑其在某个区间上取值的概率，这就需要讨论分布函数．连续型随机变量的分布函数是连续函数．注意：概率为0的事件不一定是不可能事件．定义随机变量X的分布函数F(x)，若存在函数p(x)，使F(x)=∫x−∞p(u)du，则称X为连续型随机变量，p(x)为X的概率密度函数（可以理解为：p(u)为概率密度，p(u)du为X在该小区间内取值的概率，∫x−∞为从−∞到x无限求和．几何意义：在平面上作出密度函数p(x)的图形，则阴影部分的面积即为F(x)的值．密度函数基本性质：（1）非负性p(x) ≥ 0；+∞（2）正则性∫p(x)dx=1．−∞因∫x−∞p(u)du=F(x)，有∫+∞−∞p(x)dx=F(+∞)=1．连续型随机变量的性质：设连续型随机变量X的概率密度函数为p (x)，分布函数为F(x)，则有（1）P{x1<X≤x2}=F(x2)−F(x1)=∫（2）当p(x) 连续时，p(x) = F ′(x)；因F(x)=∫x−∞x2x1p(x)dx；p(u)du，当p(x) 连续时，有F′(x)=[∫x−∞p(u)du]′=p(x)（3）X在单独一个点取值的概率为0，其分布函数为连续函数；随机变量在某区间内的（4）P{x1 < X ≤ x2} = P{x1 ≤ X ≤ x2} = P{x1 < X < x2} = P{x1 ≤ X < x2}，即连续型．．．概率与区间开闭无关，离散型则不成立；（5）只在有限个点上取值不相同的密度函数对应于同一个分布函数，一般，只在概率为0的数集上取值不相同的密度函数都对应于同一个分布函数．例设F (x) = A + B arctan x为某连续型随机变量X的分布函数．求：（1）A, B；（2）P{−1≤X≤}；（3）密度函数p (x)．解：（1）由正则性F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，得：lim(A+Barctanx)=A−x→−∞ππB=0，lim(A+Barctanx)=A+B=1，x→+∞221故A=1，B=；π（2）F(x)=11⎛11π⎞⎡11⎛π⎞⎤7+arctanx，得P{−1≤X≤}=F(3)−F(−1)=⎜+⋅⎟−⎢+⋅⎜−⎟⎥=．2π⎝2π3⎠⎣2π⎝4⎠⎦121．π(1+x2)（3）密度函数p(x)=F′(x)=例已知⎧C(x2−x3),0<x<1,p(x)=⎨其它,⎩0,是某连续型随机变量X的密度函数，1求：（1）C，（2）P{−1<X<，（3）分布函数F (x)．2解：（1）由正则性：∫1+∞−∞p(x)dx=1，111x3x4C23得∫C(x−x)dx=C(−=C(−−0==1，03403412故C = 12；12xx1115（2）P{−1<X<=∫p(x)dx=∫12(x2−x3)dx=12(−=12(−)=；2340246416（3）X的全部可能取值为 [0, 1]，分段点0, 1，当x < 0时，F(x)=∫x12−112034−∞p(u)du=0，xxxu3u423当0 ≤ x < 1时，F(x)=∫p(u)du=∫12(u−u)du=12(−=4x3−3x4，0−∞340当x ≥ 1时，F(x)=∫x−∞p(u)du=∫12(u2−u3)du=1，1x<0,⎧0,⎪故F(x)=⎨4x3−3x4,0≤x<1,⎪1,x≥1.⎩例已知⎧|x|,−1<x<1,p(x)=⎨0,,其它⎩是某连续型随机变量X的密度函数，求分布函数F (x)．解：分段点−1, 0, 1，当x < −1时，F(x)=∫x−∞p(u)du=0；xxx当−1 ≤ x < 0时，F(x)=∫x−∞u2p(u)du=∫(−u)du=−−12x−1x211−x2；=−+=222u2当0 ≤ x < 1时，F(x)=∫p(u)du=∫(−u)du+∫udu=−0−∞−12当x ≥ 1时，F(x)=∫x−1u2+2x1x21+x2=0++=；222−∞p(u)du=∫(−u)du+∫udu=1．−101x<0,⎧0,2⎪1−x,−1≤x<0,⎪⎪2故F(x)=⎨ 2+1x⎪,0≤x<1,⎪2⎪x≥1.⎩1,§2.2 随机变量的数学期望对于随机变量，还应当掌握反映其平均值、分散程度等的指标，这就需要引入数学期望和方差等概念．2.2.1. 数学期望的概念例甲、乙两个射击选手，在射击训练中甲射了10次，其中3次10环，1次9环，4次8环，2次7环；乙射了15次，其中2次10环，9次9环，2次8环，2次7环．问谁的表现更好？分析：比较他们射中的平均环数85=8.5环； 10131乙共射中2 × 10 + 9 × 9 + 2 × 8 + 2 × 7 = 131环，平均每次射中=&8.73环．故乙的表现更好． 15一般地，若在n次试验中，出现了m1次x1，m2次x2，…，mk次xk ，（其中m1 + m2 + … + mk = n），甲共射中3 × 10 + 1 × 9 + 4 × 8 + 2 × 7 = 85环，平均每次射中km1x1+m2x2++mkxkm则平均值为=∑xii，即平均值等于取值与频率乘积之和． nni=1因n很大时，频率稳定在概率附近，即平均值将稳定在取值与概率乘积之和附近．2.2.2. 数学期望的定义定义设离散型随机变量X的分布列是⎛x1X~⎜⎜p(x)1⎝∞Lx2p(x2)LL⎞xk⎟， p(xk)L⎟⎠，记为E (X )．如果级数∑xkp(xk)绝对收敛，则称之为X的数学期望（Expectation）k=1数学期望的实际意义是反映随机变量的平均取值，是其全部可能取值以相应概率为权数的加权平均．14⎞⎛−20 如X的分布列为⎜⎟，则E(X) = (−2) × 0.3 + 0 × 0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.2 = 0.6．⎜0.30.10.40.2⎟⎠⎝例某人有4发子弹，现在他向某一目标射击，若命中目标就停止射击，否则直到子弹用完为止．设每发子弹命中率为0.4，以X表示射击次数，求E (X )．解：先求X的分布列，X的全部可能取值为1, 2, 3, 4，X = 1，第一枪就命中， p (1) = 0.4；X = 2，第一枪没有命中，第二枪命中，p (2) = 0.6 × 0.4 = 0.24；X = 3，前两枪没有命中，第三枪命中，p (3) = 0.6 2 × 0.4 = 0.144；X = 4，前三枪没有命中， p (4) = 0.6 3 = 0.216．234⎞⎛1则X的分布列为⎜⎜0.40.240.1440.216⎟⎟，⎝⎠故E (X ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.24 + 3 × 0.144 + 4 × 0.216 = 2.176．⎛(−2)k例若X的概率函数为p⎜⎜k⎝∞⎞1 ⎟⎟=2k,k=1,2,L，求E(X)．⎠∞(−2)k1(−1)k收敛但不是绝对收敛，故E (X ) 不存在．解：因∑⋅k=∑kk2k=1k=1离散型随机变量的数学期望是取值乘概率求和：∑xkp(xk)，类似可定义连续型随机变量的数学期望k=1∞是取值乘密度积分：∫xp(x)dx．−∞+∞定义设连续型随机变量X的密度函数为p(x)．如果广义积分∫xp(x)dx绝对收敛，则称之为X的数学期−∞+∞望，记为E (X )．例已知连续型随机变量X 的密度函数为⎧2x,0<x<1, p(x)=⎨0,其它.⎩求E (X )． x3解：E(X)=∫xp(x)dx=∫x⋅2xdx=2⋅−∞03+∞11=02． 3例已知X 的密度函数为⎧a+bx,0<x<2, p(x)=⎨0,其它.⎩且E(X)=2，求a, b． 3+∞x2解：由正则性得∫p(x)dx=∫(a+bx)dx=(ax+b⋅=2a+2b=1，−∞02022又E(X)=∫xp(x)dx=∫−∞+∞2082x2x3x(a+bx)dx=(a⋅+b⋅)=2a+b=， 2303321． 2例已知X 的密度函数为故a=1,b=−p(x)=求E (X )．1,−∞<x<+∞，π(1+x2)解：因∫xp(x)dx=∫−∞+∞+∞+∞x11122dx=⋅d(x)=ln(1+x)发散，∫−∞π(1+x2)2−∞−∞π(1+x2)2π+∞故E (X )不存在．2.2.3. 数学期望的性质设X为随机变量，g (x) 为函数，则称Y = g (X ) 为随机变量函数，Y也是一个随机变量．下面不加证明地给出随机变量函数的数学期望计算公式．定理设X为随机变量，Y = g (X ) 为随机变量函数，则（1）若X为离散型随机变量，概率函数为p(xk ), k = 1, 2, …，则E(Y)=E[g(X)]=∑g(xk)p(xk)；k=1∞（2）若X为连续型随机变量，密度函数为p (x)，则E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)p(x)dx．−∞+∞数学期望具有以下性质：（1）常数的期望等于其自身，即E (c) = c；（2）常数因子可移到期望符号外，即E (aX ) = a E (X )；（3）随机变量和的期望等于期望的和，即E [g1 (X ) + g2 (X )] = E [g1 (X )] + E [g2 (X )]．证明：（1）将常数c看作是单点分布p (c) = 1，故E (c) = c p (c) = c；（2）以连续型为例加以证明，E(aX)=∫axp(x)dx=a∫xp(x)dx=aE(X)；−∞−∞+∞+∞（3）以连续型为例加以证明，E[g1(X)+g2(X)]=∫[g1(x)+g2(x)]p(x)dx=∫g1(x)p(x)dx+∫g2(x)p(x)dx −∞−∞−∞+∞+∞+∞= E [g1 (X )] + E [g2 (X )]．由性质（2）、（3）知随机变量线性组合的期望等于期望的线性组合，可见数学期望具有线性性质．例设X的分布列为12⎞⎛−10⎜⎜0.20.10.40.3⎟⎟，⎝⎠求E (2X +1)，E (X 2)．解：E (2X +1) = −1 × 0.2 + 1 × 0.1 + 3 × 0.4 + 5 × 0.3 = 2.6；E (X 2) = 1 × 0.2 + 0 ×0.1 + 1 × 0.4 + 4 × 0.3 = 1.8．例已知圆的半径X是一个随机变量，密度函数为⎧1⎪,1<x<3, p(x)=⎨2⎪⎩0,其他.求圆面积Y的数学期望．解：圆面积Y = π X 2，1πx故E(Y)=∫πx2p(x)dx=∫πx2⋅=⋅−∞1223+∞333=113π． 3例设国际市场对我国某种出口商品的需求量X（吨）的密度函数为⎧1⎪,2000<x<4000, p(x)=⎨2000⎪其他.⎩0,设每售出一吨，可获利3万美元，但若销售不出，每积压一吨将亏损1万美元，问如何计划年出口量，能使国家获利的期望最大．解：设计划年出口量为a吨，每年获利Y万美元．当X ≥ a时，销售a吨，获利3a万美元；当X < a时，销售X吨，积压a − X吨，获利3X − (a − X) = 4X − a万美元；a≤X≤4000,⎧3a,即Y=g(X)=⎨ 4X−a,2000≤X<a.⎩则E(Y)=∫g(x)p(x)dx=∫−∞+∞a2000(4x−a)⋅a40001113a4000dx+∫3a⋅dx=+x(2x2−ax)a20002000200020002000a11a2+7a−4000=−(a−3500)2+8250， 10001000故计划年出口量为3500吨时，使国家获利的期望最大．=−§2.3 随机变量的方差与标准差数学期望反映平均值，方差反映波动程度．如甲、乙两台包装机，要求包装重量为每袋500克，现各取5袋，重量为甲：498，499，500，501，502；乙：490，495，500，505，510．二者平均值相同都是500克，但显然甲比乙好．此时比较的是它们的偏差（即取值与平均值之差）．偏差：甲：−2，−1，0，1，2；乙：−10，−5，0，5，10．2.3.1. 方差的定义定义随机变量X与其数学期望E (X ) 之差X − E (X ) 称为偏差．偏差有大有小，可正可负，比较时需要去掉符号，但绝对值函数进行微积分处理不方便，因此考虑偏差平方的数学期望．定义随机变量X，若E [X − E (X )]2存在，则称之为X的方差（Variance），记为Var (X ) 或D (X )．即Var (X ) = E [X − E (X )]2．显然方差Var (X ) ≥ 0，称X)为X的标准差（Standard Deviation）．在实际问题中，标准差与随机变量有相同的量纲．方差与标准差反映波动程度．方差越大，取值越分散；方差越小，取值越集中．例设X的分布列为23⎞⎛1⎜⎜0.20.40.4⎟⎟，⎝⎠求E (X ), Var (X )．解：E (X ) = 1 × 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.4 = 2.2；Var (X ) = (−1.2)2 × 0.2 + (−0.2)2 × 0.4 + 0.82 × 0.4 = 0.56．例已知X 的密度函数为⎧2x,0<x<1,p(x)=⎨ 0,其他.⎩求E (X ), Var (X )． x3解：E(X)=∫xf(x)dx=∫x⋅2xdx=2⋅−∞03+∞11=02； 31128884⎞1841⎛2Var(X)=∫(x−2p(x)dx=∫(2x3−x2+x)dx=⎜x4−x3+x2⎟=−+=．0−∞33 999⎠029918⎝4+∞例已知X的全部可能取值为0, 1, 2，且E (X ) = 1.3，Var (X ) = 0.81．求X的分布列．⎛012⎞解：设X的分布列为⎜⎜abc⎟⎟，⎝⎠由正则性得：a + b + c = 1，且E (X ) = 0 × a + 1 × b + 2 × c = b + 2c = 1.3，Var (X ) = (−1.3)2 × a + (−0.3)2 × b + 0.72 × c = 1.69a + 0.09b + 0.49c = 0.81，解得a = 0.3，b = 0.1，c = 0.6，12⎞⎛0故X的分布列为⎜⎜0.30.10.6⎟⎟．⎝⎠2.3.2. 方差的性质方差具有以下性质：（1）方差计算公式：Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2；（2）常数的方差等于零，即Var (c) = 0；（3）设a, b为常数，则Var (a X + b) = a 2 Var (X )．证：（1）Var (X ) = E [X − E (X )]2 = E [X 2 − 2X ⋅ E (X ) + E (X )2] = E (X 2 ) − 2E (X ) ⋅ E (X ) + [E (X )]2．= E (X 2) − [E (X )]2；（2）Var (c) = E [c − E (c)]2 = E (c − c)2 = E (0) = 0；（3）Var (a X + b) = E [(a X + b) − E (a X + b)]2 = E [a X + b − a E (X ) − b]2 = a 2 E [X − E (X )]2 = a 2 Var (X )．由性质（1），显然有以下推论：推论对于随机变量X，如果E (X 2) 存在，则E (X 2) ≥ [E (X )]2．以后常利用方差计算公式Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2计算随机变量的方差．通常用公式计算比直接用定义计算方差要方便．例设X的分布列为23⎞⎛1⎜⎜0.20.40.4⎟⎟，⎝⎠求Var (X )．解：前面已求得E (X ) = 2.2，因E (X 2) = 1 2 × 0.2 + 2 2 × 0.4 + 3 2 × 0.4 = 5.4，故Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2 = 5.4 − 2.22 = 0.56．例已知X 的密度函数为⎧2x,0<x<1, p(x)=⎨其他0,.⎩求Var (X )．解：前面已求得E(X)=12， 31x422因E(X)=∫x⋅2xdx=2⋅0422=01， 221⎛2⎞1．故Var(X)=E(X)−[E(X)]=−⎜⎟=2⎝3⎠18对于随机变量X，若方差Var (X ) 存在，且Var (X ) > 0．令X*=有X−E(X)Var(X)，⎛X−E(X)⎞11⎟=E(X*)=E⎜E[X−E(X)]=[E(X)−E(X)]=0；⎜⎟⎝⎠⎛X−E(X)⎞11⎟=Var(X*)=Var⎜Var[X−E(X)]=Var(X)=1．⎜Var(X)⎟Var(X)Var(X)⎝⎠称X *为X的标准化随机变量．2.3.3. 切比雪夫不等式方差反映随机变量的分散程度，切比雪夫不等式给出其定量标准．切比雪夫不等式表明大偏差概率的上限与方差成正比．定理设X为随机变量，且方差Var (X ) 存在，则对于任何正数ε ，都有P{|X−E(X)|≥ε}≤Var(X)ε2．证明：以连续型随机变量为例证明，设X的密度函数为p (x)，有P{|X−E(X)|≥ε}=|x−E(X)|≥∫p(εx)dx，且ε2Var(X)ε2=1ε2E[X−E(X)]=∫+∞2+∞[x−E(X)]2−∞ε2Var(X)p(x)dx，故P{|X−E(X)|≥ε}≤注：切比雪夫不等式的等价形式|x−E(X)|≥ε∫[x−E(X)]2p(x)dx≤∫[x−E(X)]2−∞ε2p(x)dx=ε2，得证．P{|X−E(X)|<ε}≥1−Var(X)ε2．如随机变量X的数学期望为E (X ) = 10，方差Var (X ) = 1，则由切比雪夫不等式可得13=． 224例设随机变量X的全部可能取值为[0,+∞)，且数学期望E (X ) 存在，试证：对任何正数a，都有P{8<X<12}=P{|X−10|<2}≥1−1E(X)． a证明：以连续型随机变量为例证明，设X的密度函数为p (x)，+∞+∞x11+∞有P{X≥a}=∫p(x)dx，且E(X)=∫xp(x)dx=∫p(x)dx，0aaaa−∞+∞x+∞x1故P{X≥a}≤∫p(x)dx≤∫p(x)dx=E(X)，得证．aa0aa定理设随机变量X的方差存在，则Var (X ) = 0的充分必要条件是存在常数b，使得X几乎处处收敛于b，即P{X = b} = 1．证：充分性，设存在常数b，使得P{X = b} = 1，有P{X ≠ b} = 0，即E (X ) = b P{X = b} = b，故Var (X ) = E [X − E (X )]2 =E (X − b)2 = 0 × P{X = b} = 0；必要性，设X的方差Var (X ) = 0，P{X≥a}≤1⎫1⎫⎧⎧因事件{|X−E(X)|>0}=U⎨|X−E(X)|≥⎬=lim⎨|X−E(X)|≥，n⎭n→+∞⎩n⎭n=1⎩⎛+∞⎧则P{|X−E(X)|>0}=P⎜⎜U⎨|X−E(X)|≥⎝n=1⎩1⎫⎞⎧limP=⎨|X−E(X)|≥⎬⎟n→+∞n⎭⎟⎩⎠1⎫Var(X)lim≤=0，⎬n⎭n→+∞⎛1⎞2⎜⎟⎝n⎠+∞可得P{| X − E (X )| > 0} = 0，即P{| X − E (X )| = 0} = 1，取b = E (X )，有b为常数，故P{X = b} = 1．注：如果P{X = b} = 1，记为X = b, a.e.（或a.s.），称为X = b几乎处处成立（或几乎必然成立）．这里，a.e.就是almost everywhere的缩写，a.s.就是almost surely 的缩写．意味着不成立的情况是一个测度（或概率）等于零的集合（或事件）．§2.4 常用离散分布对于一个给定的函数，只要满足概率函数的两条基本性质：非负性、正则性，都可以成为某个离散随机变量的概率函数．但绝大多数在实际工作中并不常见，下面是几种常用的概率函数．2.4.1. 两点分布与二项分布一．两点分布两点分布只可能在两个点取值，通常就是0或1．定义随机变量的可能取值只有两个：0或1，且概率函数为p (0) = 1 − p，p (1) = p，其中0 < p < 1，⎛0称X服从两点分布（Two-point Distribution）或0-1分布，记为X ~ (0-1)．分布列为⎜⎜1−p⎝1⎞⎟． p⎟⎠两点分布实际背景是一次伯努利试验．通常描述为：X表示一次伯努利试验中事件A发生的次数．非负性：p (0) = 1 − p > 0，p (1) = p > 0；正则性：(1 − p) + p = 1．两点分布的数学期望为E (X ) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p．又因E (X 2 ) = 02 × (1 − p) + 12 × p = p，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = p − p2 = p(1 − p)．二．二项分布在n重伯努利试验中，以X表示事件A的发生次数，则X的全部可能取值为0, 1, 2, …, n ，且⎛n⎞kn−k⎟P{X=k}=⎜p−p． (1)⎜k⎟⎝⎠定义若离散型随机变量X的概率函数为⎛n⎞kn−kp(k)=⎜⎟p(1−p)，k = 0, 1, 2, …, n ；0 < p < 1，⎜k⎟⎝⎠则称X 服从二项分布（Binomial Distribution），记为X ~ b (n, p)．二项分布的实际背景是n重伯努利试验．当n = 1时，二项分布就是两点分布．⎛n⎞kn−k非负性：p(k)=⎜⎟p(1−p)>0；⎜k⎟⎝⎠⎛n⎞kn−kn⎟正则性：∑p(k)=∑⎜p(1−p)=[p+(1−p)]=1．⎜k⎟k=1k=1⎝⎠nn例掷三枚硬币，X表示正面朝上的次数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值为0, 1, 2, 3 ，将掷每一枚硬币看作一次试验．每次试验两种结果：正面A，反面；每次试验相互独立；每次试验概率P(A)=0.5．即n重伯努利试验，n = 3，p=0.5，有X ~ b (3, 0.5)，p (0) = 0.5 3 = 0.125，⎛3⎞12p(1)=⎜⎟×0.5×0.5=0.375，⎜1⎟⎝⎠⎛3⎞21⎟p(2)=⎜×0.5×0.5=0.375，⎜2⎟⎝⎠p (3) = 0.5 3 = 0.125．例现有5台机床，每台机床一小时内平均开动18分钟，且是否开动相互独立，以X表示同一时刻开动的机床数，求X的概率分布．解：X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5 ，将每台机床是否开动看作一次试验．每次试验两种结果：开动A，不开动；每次试验相互独立；每次试验概率P (A) = 0.3．即n重伯努利试验，n = 5，p = 0.3，有X ~ b (5, 0.3)．p (0) = 0.7 5 = 0.16807，⎛5⎞14p(1)=⎜⎟×0.3×0.7=0.36015，⎜1⎟⎝⎠⎛5⎞23⎟×0.3×0.7=0.3087， p(2)=⎜⎜2⎟⎝⎠⎛5⎞32p(3)=⎜⎟×0.3×0.7=0.1323，⎜3⎟⎝⎠⎛5⎞41p(4)=⎜⎟×0.3×0.7=0.02835，⎜4⎟⎝⎠p (5) = 0.3 5 = 0.00243 ．一般地，如果随机变量X服从二项分布，概率函数值p (k) 将随着k的增加，先逐渐增加，达到最大值后，又逐渐减少．通常，一个随机变量X的概率函数或密度函数的最大值点称为X的最可能值．二项分布b (n, p)的最可能值为当(n+1)p不是正整数时,⎧[(n+1)p], k0=⎨np或np当np是正整数时(+1)(+1)−1,(+1).⎩这里[x]表示不超过x的最大整数．如[2.3] = 2，[3.14] = 3，[−1.2] = −2．⎛n⎞kn!n−k⎟p(1p)−=pk(1−p)n−k,0≤k≤n，证：若X ~ b (n, p)，有p(k)=⎜⎜k⎟k!(n−k)!⎝⎠则p(k)−p(k−1)=n!n!pk−1(1−p)n−k+1 pk(1−p)n−k−(k−1)!(n−k+1)!k!(n−k)!=1−p⎞n!⎛ppk−1(1−p)n−k⋅⎜−⎟ (k−1)!(n−k)!⎝kn−k+1⎠(n+1)p−kn!，pk−1(1−p)n−k⋅(k−1)!(n−k)!k(n−k+1)=当k < (n + 1) p时，有p (k) > p (k − 1)；当k > (n + 1) p时，有p (k) < p (k − 1)．如果(n + 1) p不是正整数，取k0 = [(n + 1) p]，有k0 < (n + 1) p，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0 + 1 > (n + 1) p，即p (k0 + 1) < p (k0)．故p (k0) 为最大值．如果(n + 1) p是正整数，取k0 = (n + 1) p，即p (k0) = p (k0 − 1)，故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．如X ~ B (3, 0.5)，有(n + 1) p = 4 × 0.5 = 2是正整数，最可能值k0 = 2或1；X ~ B (5, 0.3)，有(n + 1) p = 6 × 0.3 = 1.8不是正整数，最可能值k0 = [1.8] = 1．三．二项分布的数学期望和方差⎛n⎞(n−1)!n!nn⎛n−1⎞⎟．组合数公式⎜==⋅=⎟，（n ≥ k > 0）⎜k−1⎟⎜k⎟k!⋅(n−k)!k(k−1)!⋅(n−k)!k⋅⎜⎠⎝⎝⎠二项分布b (n, p)的数学期望为nn⎛n−1⎞k−1⎛n⎞kn⎛n−1⎞kn−kn−k⎟⎟⎜⎟⎜E(X)=∑k⋅⎜(1)ppkp(1p)npp(1−p)n−k −=−=⋅⋅∑∑⎟⎟⎜⎜⎜k⎟k⎝k−1⎠k=0k=1k=1⎝k−1⎠⎝⎠n= np [ p + (1 − p)]n − 1 = np．又因nn⎛n⎞k⎛n−1⎞k⎛n⎞kn−kn−kn−k2⎟⎜⎟⎟⎜E(X)=∑k⋅⎜ppkk(1)()ppk(1)p(1−p)−+⋅−=−⋅∑∑⎜k⎟⎜k−1⎟⎜k⎟k=0k=0k=0⎝⎠⎠⎝⎝⎠2n2=∑(k2−k)⋅k=2nnn(n−1)⎛n−2⎞k⎟⎜p(1−p)n−k+E(X) ⎟⎜k(k−1)⎝k−2⎠=n(n−1)p2⎛n−2⎞k−2n−k⎟⎜p(1−p)+np ∑⎜k−2⎟k=2⎝⎠= n(n − 1) p2 [ p + (1 − p)]n − 2 + np = (n2 − n) p2 + np，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = (n2 − n) p2 + np − (np)2 = − np2 + np = np (1 − p)．2.4.2. 泊松分布一．泊松分布泊松分布是一种理论推导的极限分布（成立的条件和推导过程见附录）．定义若随机变量X 的概率函数为k!则称X服从参数为λ 的泊松分布（Poisson’s Distribution），记为X ~ P (λ)．泊松分布的实际背景是已知平均发生次数为常数λ ，实际发生次数的概率分布．如足球比赛进球数，商店进店人数，电话接听次数等．非负性：λ > 0时，正则性：∑∞p(k)=λke−λ，k = 0, 1, 2, …… ；λ > 0，λkk!e−λ>0；λkk!⋅e−λ=eλ⋅e−λ=1．k=0例已知一场足球比赛的进球数X 服从参数λ = 2.3的泊松分布，求比分为0:0, 1:0以及总进球数超过5个的概率．2.3k−2.3解：因X ~ P(2.5)，则p(k)=e，k = 0, 1, 2, ……． k!2.30−2.3比分0:0，即X = 0，p(0)=e=e−2.3=0.100（查表）； 0!2.31−2.3比分1:0，即X = 1，p(1)=e=2.3e−2.3=0.331−0.100=0.231（查表）； 1!52.3k−2.32.3k−2.3总进球数超过5个，即X > 5，P{X>5}=∑．=1−∑e=1−0.970=0.030（查表）ekk!!k=6k=0∞例已知某公用电话每小时内打电话的人数X服从参数为λ = 8的泊松分布．求某一小时内无人打电话的概率，恰有10人打电话的概率，至少有10人打电话的概率．8k−8e．解：因X ~ P(8)，有P{X=k}=k!80−8无人打电话的概率P{X=0}=e=e−8=0.0003， 0!810−8恰有10人打电话的概率P{X=10}=e=0.816−0.717=0.099（查表）， 10!8k−8至少有10人打电话的概率P{X≥10}=∑．e=1−P{X≤9}=1−0.717=0.283（查表）k!k=10∞例已知某商店一天中某种贵重商品的销售件数X服从泊松分布P (7)，问该商店每天应该准备多少件该商品才能以99.9%以上的概率满足顾客需要？7k−7解：设准备了a件该商品，X ~ P(7)，则p(k)=e． k!事件“满足顾客需要”，即X ≤ a，有P{X ≤ a} ≥ 0.999，故查表可得a = 16．泊松分布P (λ )的最可能值为当λ不是正整数时,⎧[λ], k0=⎨⎩λ或λ−1,当λ是正整数时.证：若X ~ P(λ)，有p(k)=故p(k)−p(k−1)= λkk!−λe−λ,k=0,1,2,L，λkk!e−λk−1(k−1)!e−λλλ−k⎛λ⎞=e⋅⎜−1⎟=e−λ⋅，k(k−1)!⎝k⎠(k−1)!−λλk−1k−1当k < λ 时，有p (k) > p (k − 1)；当k > λ 时，有p (k) < p (k − 1)．如果λ 不是正整数，取k0 = [λ ] ，有k0 < λ ，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0 + 1 > λ ，即p (k0 + 1) < p (k0)．故p (k0) 为最大值．如果λ 是正整数，取k0 = λ ，即p (k0) = p (k0 − 1)，故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．二．泊松分布的数学期望和方差泊松分布P (λ )的数学期望为E(X)=∑k⋅k=0∞λkk!e−λ=∑k=1∞λk(k−1)!e−λ=λe⋅∑−λk=1∞λk−1(k−1)!=λe−λ⋅eλ=λ，即泊松分布的参数λ 反映平均发生次数．又因E(X)=∑k⋅22k=0∞λkk!e−λ=∑(k−k)⋅2k=0∞λkk!e−λ+∑k⋅k=0∞λkk!e−λ=λe⋅∑2−λk=2∞λk−2(k−2)!+E(X)= λ 2 e −λ ⋅ e λ + λ = λ 2 + λ ，故方差为Var (X ) = E (X 2 ) − [E (X )]2 = λ 2 + λ − (λ )2 = λ ．三．二项分布的泊松近似二项分布与泊松分布的实际背景都是反映发生次数问题．下面的定理说明了二者之间的联系，泊松分布是二项分布的一种极限分布．定理（泊松定理）在n重伯努利试验中，记事件A在每次试验中发生的概率为与试验次数n有关的数pn ，如果当n → +∞ 时，有n pn → λ ，则⎛n⎞kλk−λn−klim⎜⎟pn(1−pn)=e．n→+∞⎜k⎟k!⎝⎠证：记λ n = n pn ，有limλn=λ，n→+∞因(1−pn)n−k=⎜1−⎛⎝λn⎞⎟n⎠n−k⎛−λn⎞=⎜1+⎟n⎠⎝n−λn(n−k)−λnn，−λn(n−k)⎛−λn⎞−λn=−λ，且lim⎜1+=e，lim⎟n→+∞n→+∞nn⎠⎝n−λn⎞⎛则lim(1−pn)n−k=lim⎜1+⎟n→+∞n→+∞n⎠⎝−λn(n−k)−λnnn=e−λ，⎛n⎞n(n−1)(n−k+1)nk⎛又因⎜=⎜1−⎜k⎟⎟=!!kk⎝⎝⎠1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞k−1⎞⎛⎟，且lim⎜1−⎟L⎜1−⎟=1，⎟L⎜1−n→+∞nnn⎠⎝n⎠⎠⎠⎝⎝⎛n⎞knkkk−1⎞1⎞⎛n−kn−k⎛⎟故lim⎜ppppL(1)lim(1)11−=−−−⎜⎟⎜⎟nnnnn→+∞⎜k⎟n→+∞k!n⎠⎝n⎠⎝⎝⎠(npn)k⎛=lim⋅lim(1−pn)n−k⋅lim⎜1−n→+∞n→+∞n→+∞k!⎝1⎞⎛k−1⎞λk−λe．⎟=⎟L⎜1−n⎠⎝n⎠k!此定理表明对于二项分布b (n, p)，当n很大，p很小时，可用泊松分布P (λ ) 近似，其中λ = n p．例某地区每年人口意外死亡率为0.0001，现有60000人投保人身意外保险，求一年内因投保人意外死亡恰好赔付8人的概率以及赔付不超过5人的概率．解：设X表示“一年内因投保人意外死亡而赔付的人数”，X ~ B (60000, 0.0001)．5⎛60000⎞⎛60000⎞859992k60000−k⎟⎜PX则P{X=8}=⎜×0.0001×0.9999，{≤5}=，∑⎜8⎟⎜k⎟⎟×0.0001×0.9999k=0⎝⎝⎠⎠但显然计算很繁琐，为便于计算，用泊松分布近似．因n = 60000很大，p = 0.0001很小，λ = np = 6，有X~&P(6)，568−66k−6e=0.847−0.744=0.103，P{X≤5}≈∑e=0.446．故P{X=8}≈8!k=0k!2.4.3. 超几何分布一．超几何分布在N件产品中，有M件次品，从中不放回地取n件，以X表示取得的次品数．设X取值为k，一方面，显然有k ≤ n且k ≤ M，即k ≤ min{n, M}，另一方面，有k ≥ 0且n − k ≤ N − M，可得k ≥ M + n − N，即k ≥ max{0, M + n − N }．这样X的全部可能取值为l, l + 1, …, L，其中l = max{0, M + n − N }，L = min{n, M}，且⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠． P{X=k}=⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠定义若随机变量X的概率函数为⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠，k = l, l + 1, …, L，l = max(0, n + M − N )，L = min(M, n)，M < N，n < N， p(k)= ⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠则称X服从超几何分布（Hypergeometric Distribution），记为X ~ h (n, N, M)．超几何分布的实际背景是古典概型中的不放回抽样检验问题．注：有放回检验抽样问题对应的是二项分布．⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎝⎠⎝⎠>0；非负性：⎛N⎞⎜⎜n⎟⎟⎝⎠⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎟⎜⎟L⎜k⎟⎜n−k⎟⎝⎠⎝⎠=正则性：∑⎛N⎞k=0⎜⎜n⎟⎟⎝⎠注：比较(1 + x)(1 + x) M N −M⎛M⎞⎛N−M⎞⎛N⎞⎜∑⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟⎜⎜n⎟⎟k=l⎝⎠⎝⎠=⎝⎠=1．⎛N⎞⎛N ⎞⎜⎟⎜⎜n⎟⎜n⎟⎟⎝⎠⎝⎠L⎛M⎞⎛N−M⎞⎛N⎞与(1 + x)中x的系数可以证明∑⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟=⎜⎜n⎟⎟．k=l⎝⎠⎝⎠⎝⎠NnL例一袋中有3个红球，2个白球，不放回地取出3个球，X表示取得的红球数．求X的概率分布．解：不放回抽样，N = 3，M = 2，n = 3，则X ~ h (3, 5, 3)．故X的全部可能取值为1, 2, 3，(l = max (0, n + M − N ) = 1，L = min(n, M) = 3)，⎛3⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜2⎟⎜1⎟⎜3⎟⎟⎜⎜0⎟⎟⎜1⎟⎜2⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠=0.1．⎝⎠⎝⎠P{X=1}==0.3，P{X=2}==0.6，P{X=3}=⎛5⎞⎛5⎞⎛5⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎜3⎟⎜3⎟⎜3⎟⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠超几何分布h (n, N, M )的最可能值为M+1M+1⎧[(1)(1)+n+当不是正整数时,n⎪N+2N+2k0=⎨ M+1M+1M+1⎪(n+1)−1,当(n+1)或(n+1)是正整数时.N+2N+2N+2⎩⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎜k⎟⎟⎜⎜n−k⎟⎟(N−M)!M!⎝⎠⎝⎠=1⋅证：若X ~ h(n, N, M)，有p(k)=，⋅⎛N⎞⎛N⎞k!(M−k)!(n−k)!(N−M−n+k)!⎜⎟⎜⎜n⎟⎜n⎟⎟⎝⎠⎝⎠故p (k ) − p (k − 1)=M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟k!(M−k)!(n−k)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠M!(N−M)!−M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟(k−1)!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k−1)!⎜n⎟⎝⎠[(M −k+1)(n−k+1)−k(N−M−n+k)] =⎛N⎞⎜⎟k!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠M!(N−M)!⎛N⎞⎜⎟k!(M−k+1)!(n−k+1)!(N−M−n+k)!⎜n⎟⎝⎠=[(M+1)(n+1)−k(N+2)]． M+1M +1时，有p (k) > p (k − 1)；当k>(n+1)时，有p (k) < p (k − 1)． N+2N+2M+1M+1如果(n+1)不是正整数，取k0=[(n+1)， N+2N+2M+1M+1有k0<(n+1)，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0+1>(n+1)，即p (k0 + 1) < p (k0)． N+2N+2故p (k0) 为最大值． M+1M+1如果(n+1)是正整数，取k0=(n+1)，即p (k0) = p (k0 − 1)， N+2N+2故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．二．超几何分布的数学期望和方差超几何分布h (n, N, M )的数学期望为当k<(n+1)L⎛M−1⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞M⎛M−1⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜∑⎟⎜n−k⎟⎟⎜⎜k−1⎟⎜k−1⎟⎜n−k⎟⎜k⎟⎜n−k⎟LLknMk=l⎝⎠=nM，⎝⎠⎠⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎝E(X)=∑k⋅=⋅=∑k⋅NN⎛N−1⎞⎛N⎞N⎛N−1⎞k=lk=l⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜n−1⎟⎟⎜n⎟n⎜⎝⎠⎝n−1⎠⎝⎠又因⎛M⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞⎛M⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜n−k⎟⎟⎜⎜k⎟⎜k⎟⎜n−k⎟L⎜k⎟⎜n−k⎟LL⎠⎝⎠⎠⎝⎝⎠⎠⎝⎝⎠22⎝2E(X)=∑k⋅+∑k⋅=∑(k−k)⋅⎛N⎞⎛N⎞⎛N⎞k=lk=lk=l⎜⎜⎟⎜⎟⎜n⎟⎟⎜n⎟⎜n⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠M(M−1)⎛M−2⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎟⎜n−k⎟⎟⎜k2−k(k−1)⎜⎠⎠⎝⎝N(N−1)⎛N−2⎞⎜⎟⎜n(n−1)⎝n−2⎟⎠19=∑(k2−k)⋅k=lL+E(X)⎛M−2⎞⎛N−M⎞⎟⎜⎟⎜∑⎟⎜⎟⎜k2nk−−n(n−1)M(M−1)k=l⎝⎠+nM=n(n−1)M(M−1) +nM，⎝⎠⋅=N(N−1)NN(N−1)N⎛N−2⎞⎜⎟⎜n−2⎟⎝⎠L故方差为nM(n−1)(M−1)nMn2M2nM(N−M)(N−n)．Var(X)=E(X)−[E(X)]=+−=N(N−1)NN2N2 (N−1)22为了便于记忆，可将超几何分布与二项分布的数学期望和方差进行比较．二项分布b (n, p)：数学期望E (X ) = np，方差Var (X ) = np (1 − p)；超几何分布h (n, N, M )：数学期望E(X)=n可见分布h (n, N, M )中的MM⎛M⎞N−n，方差Var(X)=n；⎟⎜1−NN⎝N⎠N−1MN−n相当于二项分布b (n, p)中的p，方差修正因子为．NN−1三．超几何分布的二项近似直观上，当抽样个数n远小于M及N − M时，不放回抽样问题可近似看作有放回抽样问题，也就是此时超几何分布可用二项分布近似．M定理如果当N → +∞ 时，→p， (0 < p < 1)，则 N⎛M⎞⎛N−M⎞⎜⎟⎛n⎞⎜n−k⎟⎟⎜⎜k⎟⎠=⎜⎟pk(1−p)n−k．⎝⎠⎝lim⎜k⎟N→+∞⎛N⎞⎝⎠⎜⎜n⎟⎟⎝⎠⎛N⎞N(N−1)(N−n+1)Nn⎛1⎞⎛n−1⎞⎟11L证：因⎜−==−⎟，⎜⎟⎜⎜n⎟!!nnNN⎠⎠⎝⎝⎝⎠⎛M⎞Mk⎛1⎞⎛k−1⎞⎛N−M⎞(N−M)n−k且⎜⎜n−k⎟⎟=(n−k)!⎜k⎟⎟=k!⎜1−M⎟L⎜1−M⎟，⎜⎠⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠1⎛⎜1−N−M⎝n−k−1⎞⎞⎛⎟，⎟L⎜1−N−M⎠⎠⎝⎛M⎞⎛N−M⎞1⎞⎛1⎞⎛Mk⎛k−1⎞(N−M)n−k⎛n−k−1⎞⎟⎜⎟⎜−−−⋅−1111LL⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜k⎟⎜n−k⎟−−−!()!kMMnkNMNM⎝⎠⎝⎝⎠⎝⎠⎠⎠=lim⎝⎠⎝故limnN→+∞N→+∞1⎞⎛N⎛n−1⎞⎛N⎞⎜⎜1−⎟L⎜1−⎟⎜n⎟⎟!nNN⎝⎠⎝⎠⎝⎠1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞⎛n−k−1⎞⎛⎟⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−⎟L⎜1−MMNMNM−−⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋅⎝1⎞⎛n−1⎞⎛⎜1−⎟L⎜1−⎟N⎠⎝N⎠⎝Mk(N−M)n−kn!=lim⋅N→+∞k!(n−k)!Nn⎛n⎞M⎞⎛M⎞⎛⎟lim1=⎜⋅−⎜⎟⎜⎟⎜k⎟N→+∞NN⎝⎠⎝⎠⎝⎠kn−k1⎞⎛1⎞⎛k−1⎞⎛n−k−1⎞⎛⎟⎟L⎜1−⎟⋅⎜1−⎜1−⎟L⎜1−MMNMNM−−⎠⎠⎝⎠⎝⎠⎝⋅lim⎝N→+∞1⎞⎛n−1⎞⎛⎜1−⎟L⎜1−⎟NN⎝⎠⎝⎠20⎛n⎞kn−k=⎜⎜k⎟⎟p(1−p)．⎝⎠此定理表明对于超几何分布h (n, N, M )，当抽样个数n远小于M及N − M时，可用二项分布b (n, p) 近似，其中p=M． N例某校有20000名学生，其中男生8000人，女生12000人，从中任选6人．求取到2个男生与4个女生的概率．⎛8000⎞⎛12000⎞⎜⎟⎜4⎟⎟⎜⎜2⎟⎠．⎝⎠⎝解：设X表示“选到的男生数”，有X ~ H (6, 20000, 8000)，可得p(2)=⎛20000⎞⎜⎜6⎟⎟⎝⎠但显然计算很繁琐，为便于计算，用二项分布近似．因n = 6较小，远小于M = 8000与N − M = 12000，且p=M=0.4，有X~&B(6,0.4)， N⎛6⎞24⎟×0.4×0.6=0.31104．故p(2)≈⎜⎜2⎟⎝⎠2.4.4. 几何分布与负二项分布一．几何分布在伯努利试验中，以X表示事件A首次发生时的试验次数，则X的全部可能取值为1, 2, …，且P{X = k} = (1 − p)k − 1 p．定义若随机变量X的概率函数为p (k) = (1 − p)k − 1 p，k = 1, 2, …；0 < p < 1，则称X 服从几何分布（Geometric Distribution），记为X ~ Ge ( p)．几何分布的实际背景是首次发生时的试验次数．非负性：(1 − p)k − 1 p > 0；正则性：∑(1−p)k−1p=k=1+∞p=1．1−(1−p)几何分布Ge ( p) 的最可能值显然是k0 = 1．二．几何分布的数学期望和方差令q = 1 − p，有p (k) = q k − 1 p．几何分布Ge ( p) 的数学期望为E(X)=∑kqk=1+∞k−1d(qk)d⎛+∞k⎞d⎛1⎞11⎟⎜⎜⎟，p=p⋅∑qpp=p⋅=⋅==⋅⎜∑⎟2⎜1−q⎟dqdqdqp(1)q−k=0⎝k=0⎠⎠⎝+∞又因E(X)=∑kq22k=1+∞k−1p=∑(k+k)q2k=1+∞k−1p−∑kqk=1+∞k−1d2(qk+1)p=p⋅∑−E(X) 2dqk=0+∞d2=p⋅2dq⎛+∞k+1⎞1212−pd2⎛q⎞1⎟⎜⎜⎟，−=⋅−=pqp−=⋅⎜∑⎟p⎟p2⎜32qp1−(1−)dqqp⎝k=0⎠⎠⎝21故方差为2−p⎛1⎞1−p⎜⎟−．Var(X)=E(X2)−[E(X)]2==2⎜p⎟p2p⎝⎠三．几何分布的无记忆性定理设X服从几何分布Ge ( p)，则对任意正整数m与n有P{X > m + n | X > m} = P{X > n}．证：因对于正整数k，有P{X>k}=2i=k+1∑(1−p)+∞i−1(1−p)kpp==(1−p)k，1−(1−p)P{X>m+n}(1−p)m+nn故P{X>m+n|X>m}===(1−p)=P{X>n}．P{X>m}(1−p)m此定理在已经试验m次事件A没有发生的条件下，继续试验n次仍没有发生的条件概率，等于试验n次A没有发生的概率．这称之为几何分布的无记忆性．四．负二项分布在伯努利试验中，以X表示事件A第r次发生时的试验次数，则X的全部可能取值为r, r + 1, …，且⎛k−1⎞k−rr⎟P{X=k}=⎜−pp． (1)⎜r−1⎟⎝⎠定义若随机变量X的概率函数为⎛k−1⎞k−rr p(k)=⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p，k = r, r + 1, …；0 < p < 1，⎝⎠则称X 服从负二项分布（Negative Binomial Distribution），记为X ~ Nb (r, p)．实际背景是第r次发生时的试验次数．当r = 1时，负二项分布Nb (1, p)就是几何分布Ge ( p)．注：二项分布是已知实验次数时，发生次数的分布；负二项分布是已知发生次数时，试验次数的分布．⎛k−1⎞k−rr非负性：⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p>0；⎝⎠⎛k−1⎞pr+∞dr−1(qk−1)pr+∞k−rrk−r正则性：∑⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p=(r−1)!∑(k−1)L(k−r+1)q=(r−1)!∑dqr−1 k=r⎝k=rk=1⎠+∞prdr−1=⋅r−1(r−1)!dq负二项分布Nb (r, p)的最可能值为∑qk=1+∞k−1prdr−1=⋅r−1(r−1)!dq⎛1⎞pr(r−1)!⎟⎜=⋅⎜1−q⎟(r−1)!(1−q)r=1．⎠⎝⎧⎡r−1⎤r−1,当不是正整数时,⎪1+⎢⎪⎣p⎥p⎦ k0=⎨rrr−1−1−1⎪1+,当或是正整数时.⎪ppp⎩⎛k−1⎞(k−1)!k−rrk−rr⎟(1−p)p=(1−p)p，证：若X ~ Nb (r, p)，有p(k)=⎜⎜r−1⎟(r−1)!⋅(k−r)!⎝⎠故p(k)−p(k−1)=(k−1)!(k−2)!(1−p)k−rpr−(1−p)k−r−1pr (r−1)!⋅(k−r)!(r−1)!⋅(k−r−1)! =(k−2)!(1−p)k−r−1pr[(k−1)(1−p)−(k−r)] (r−1)!⋅(k−r)!(k−2)!(1−p)k−r−1pr[(r−1)−(k−1)p]，(r−1)!⋅(k−r)!=当k<1+r−1r−1时，有p (k) > p (k − 1)；当k>1+时，有p (k) < p (k − 1)． pp如果⎡r−1⎤r−1不是正整数，取k0=1+⎢⎥， pp⎣⎦r−1r−1，即p (k0) > p (k0 − 1)；且k0+1>1+，即p (k0 + 1) < p (k0)． pp有k0<1+ 故p (k0) 为最大值．如果r−1r−1是正整数，取k0=1+，即p (k0) = p (k0 − 1)， pp故p (k0) 和p (k0 − 1) 都是最大值．负二项分布Nb (r, p) 的数学期望为⎛k−1⎞pr+∞pr+∞dr(qk)k−rrk−rE(X)=∑k⋅⎜⎜r−1⎟⎟(1−p)p=(r−1)!∑k(k−1)L(k−r+1) q=(r−1)!∑dqr k=rk=rk=0⎝⎠+∞prdr=⋅r(r−1)!dq又因 prdrq=⋅r∑(r−1)!dqk=0+∞k⎛1⎞prr!r⎟⎜=⋅=⎜1−q⎟(r−1)!(1−q)r+1p．⎠⎝+∞+∞⎛k−1⎞⎛k−1⎞⎛k−1⎞k−rrk−rrk−rr2⎟⎜⎟⎜⎟−=+⋅−−⋅−ppppkppkkE(X)=∑k⋅⎜(1)(1)(1)()∑∑⎜r−1⎟⎜r−1⎟⎜r−1⎟k=rk=rk=r⎝⎠⎝⎠⎝⎠2+∞2 pr+∞pr+∞dr+1(qk+1)rk−r=−(k+1)k(k−1)L(k−r+1)q−E(X)=∑∑r+1p(r−1)!k=r(r−1)!k=0dqprdr+1=⋅(r−1)!dqr+1∑qk=0+∞k+1prrdr+1−=⋅p(r−1)!dqr+1⎛q⎞rpr(r+1)!r⎟⎜−−=⋅⎜1−q⎟p(r−1)!(1−q)r+2p ⎠⎝=故方差为r(r+1)−rp， 2pr2+r−rp⎛r⎞r(1−p)⎜⎟−．Var(X)=E(X)−[E(X)]==⎜22⎟pp⎝p⎠222§2.5 常用连续分布2.5.1.均匀分布一．均匀分布的密度函数和分布函数某些随机变量分布在一个区间内，且其中处处都是等可能的．定义若连续型随机变量X的密度函数为⎧1⎪,a<x<b,(a < b)，p(x)=⎨b−a⎪其它.⎩0,则称X服从区间 (a, b) 上的均匀分布（Uniform Distribution），记为X ~ U (a, b)．其分布函数为。