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. 第七章 假设检验
设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：
（1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=.
解：（1）是简单假设，其余位复合假设
设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9
(,)25
N ξμ~ 在0H 成立的条件下，
000
53(||)(||)53
521()0.05
3c
P c P c ξμξμ-≥=-≥⎡
⎤=-Φ=⎢⎥⎣
⎦
55(
)0.975,1.9633
c c
Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2
(,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ，
（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；
（2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2
00(,
)n
N σξμ~，此时
00000()P c P ξαξ=≥=
10
αμ-=
，由此式解出010c αμμ-=
+
在1H 成立的条件下，2
0(,
)n
N σξμ~，此时
1010
10
()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ-
由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为
10
0.9511(0.650.51(3)
0.2
1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ-
=-Φ-=Φ=
设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设：
0011101
201
:():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨
⎨⎩⎩
其他其他
试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为
1()0x c
x φ∈⎧=⎨⎩
其他（c 为检验的拒绝域）
0101011
1
1
2()2()
()2[1()]()2[1()]
()2(12())
2(14)()P x c P x c P x c P x c E x E x x dx x x dx x x dx
αβφφφφφ+=∈+∈=∈+-∈=+-=+-=+-⎰⎰⎰
要使2min αβ+=，当140x -≥时，()0x φ= 当140x -<时，()1x φ=
所以检验函数应取114
()1
04
x x x φ⎧
≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，此时，10722(14)8x dx αβ+=+-=⎰。
设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显着性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时
解 总体2(,150)N ξμ~，对假设，0:1600H μ=，采用U 检验法，在0H 为真时，检验统计量
1.2578u =
=
临界值1/20.975 1.96u u α-==
1/2||u u α-<，故接受0H 。
某电器零件的平均电阻一直保持在Ω，根方差保持在Ω，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为Ω，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显着差异去显着性水平α=。
解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量ξ，则E ξμ=未知，2(0.06)D ξ=， 假设为 0: 2.64H μ=，统计量 3.33u ξ=
=-
由于1-/20.995 2.10||u u u α==<，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显着差异。 （1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间
2(20.81.8)N ξ:，,新安眠剂的睡眠时间2()N ημσ:，，为检验假设
01:23.8:23.8
H H μμ=<
从母体η取得的容量为7的子样观察值计算得
%24.2x = *2 5.27n
s = 由于
η的方差2
σ
未知，可用t 检验。
t 0.461n x === 0.10a =取 0,10(71) 1.4398t t -=-<
所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。
（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间η的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间ξ的方差一致，即检验假设
220:(1.8)H σ=。
用2
χ-检验，
*2
2
2
2
(1)6 5.279.76(1.8)
n
n s χσ-⨯=
==。 取2
2
0.060.05=(6)=1.635(6)=12.592αχχ0.10，，
2220.060.05(6)(6)χχχ<<
所以接受0H ,不能否认ξη和方差相同。如认为η的方差2σ
u 0.18=
=
取=α0.10，0.10
0.101.27,u u u =->，所以接受0H 。
