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第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，， =A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？ (4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件： (1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。
(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。
(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。
解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。
则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r } (ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。
(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。
1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。
用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。
解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。
《概率论与数理统计》习题及答案第 七 章1．对某一距离进行5次测量，结果如下：2781,2836,2807,2765,2858（米）. 已知测量结果服从2(,)N μσ，求参数μ和2σ的矩估计.解 μ的矩估计为ˆX μ=，2σ的矩估计为22*211ˆ()ni i X X S n σ==-=∑ 1(27812836280727652858)2809.05X =++++=，*215854.01170.845S =⨯=所以2ˆ2809,1170.8μσ== 2．设12,,,n X X X 是来自对数级数分布1(),(01,1,2,)(1)kp P X k p k lu p k==-<<=-的一个样本，求p 的矩估计.解 111111ln(1)ln(1)ln(1)1k kk k p p p p p p p μ∞∞==-==-=-⋅----∑∑ （1） 因为p 很难解出来，所以再求总体的二阶原点矩121111ln(1)ln(1)ln(1)kk k x pk k k p p kp kp x p p p μ∞∞∞-===='-⎛⎫==-=- ⎪---⎝⎭∑∑∑ 21ln(1)1ln(1)(1)x pp x p p x p p ='⎡⎤=-=-⋅⎢⎥----⎣⎦ （2） （1）÷（2）得 121p μμ=- 所以 212p μμμ-= 所以得p 的矩估计21221111n i i n i i X X X n p X n α==-==-∑∑3．设总体X 服从参数为N 和p 的二项分布，12,,,n X X X 为取自X 的样本，试求参数N 和p 的矩估计 解 122,(1)()Np Np p Np μμ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩ 解之得1/N p μ=， 21(1)p Np μμ-+=， 即1N pμ=，22111p μμμ-=-，所以 N 和p 的矩估计为ˆX N p=，*21S p X =-. 4．设总体X 具有密度11(1)1,,(;)0,.Cx x C f x θθθθ-+⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中参数01,C θ<<为已知常数，且0C >，从中抽得一个样本，12,,,n X X X ，求θ的矩估计解11111111111CCEX C x dx C xθθθθμθθθ+∞--+∞===-⎰111()11C C C C θθθθ-=-⋅=--， 解出θ得11,Cθμ=-92 于是θ的矩估计为 1C Xθ=-. 5．设总体的密度为(1),01,(;)0,.x x f x ααα⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其他试用样本12,,,n X X X 求参数α的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计：111210011(1),22EX x dx x ααααμααα++++==+==++⎰解出α得 1112,1μαμ-=- 所以α的矩估计为 121XX α-=-. 再求极大似然估计： 1121(,,;)(1)(1)()nn n i n i L X X x x x x ααααα==+=+∏，1ln ln(1)ln nii L n xαα==++∑，1ln ln 01nii d L nx d αα==++∑，解得α的极大似然估计： 1(1)ln nii nxα==-+∑.6．已知总体X 在12[,]θθ上服从均匀分布，1n X X 是取自X 的样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.解 先求矩估计： 1212EX θθμ+==，22222211211222()()1243EX θθθθθθθθμ-+++==+=解方程组121221122223θθμθθθθμ⎧+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩得11θμ=±2123(θμμμ=-注意到12θθ<，得12,θθ的矩估计为*1X θ=-，*2X θ=.再求极大似然估计 1121212111(,,;,)()nn ni L X X θθθθθθ===--∏，1122,,,n x x x θθ≤≤，由极大似然估计的定义知，12,θθ的极大似然估计为11(1)min(,,)n X X X θ==；21()max(,,)n n X X X θ==.7．设总体的密度函数如下，试利用样本12,,,n x x x ，求参数θ的极大似然估计.（1）1(),0,(;)0,.x x e x f x αθαθαθα--⎧>⎪=⎨⎪⎩其它;已知（2）||1(;),,2x f x e x θθθ--=-∞<<+∞-∞<<+∞. 解 （1）111111(,,;)()()ni i i nx x n nn i n i L X X x ex x eααθθααθθαθα=----=∑==∏111ln (;)ln ln (1)ln nnn i i i i L X X n n x x αθθααθ===++--∑∑1ln 0ni i d L nx d αθθ==-∑解似然方程1ni i nx αθ==∑，得θ的极大似然估计94 1.ni i nx αθ==∑（2）1||||1111(;)22ni i i n x x n n i L X X e eθθθ=----=∑==∏由极大似然估计的定义得θ的极大似然估计为样本中位数，即1()2()(1)22,1(),.2n n n X n X X n θ++⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数8．设总体X 服从指数分布(),,(;)0,.x ex f x θθθ--⎧≥⎪=⎨⎪⎩其他试利用样本12,,,n X X X 求参数θ的极大似然估计.解 1()11(,,;),,1,2,,.ni i i nx n x n i i L X X eex i n θθθθ=-+--=∑==≥=∏1ln nii L n Xθ==-∑ln 0d Ln d θ=≠ 由极大似然估计的定义，θ的极大似然估计为(1)x θ= 9．设12,,,n X X X 来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<，试求未知参数p 的极大似然估计. 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx n n i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏，1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑解似然方程11nii n X n p p=-+=-∑， 得p 的极大似然估计1p X=。
. 第七章 假设检验设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：（1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=.解：（1）是简单假设，其余位复合假设设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9(,)25N ξμ~ 在0H 成立的条件下，00053(||)(||)53521()0.053cP c P c ξμξμ-≥=-≥⎡⎤=-Φ=⎢⎥⎣⎦55()0.975,1.9633c cΦ==，所以c =。
设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2(,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ，（1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系；（2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。
解：（1）在0H 成立的条件下，200(,)nN σξμ~，此时00000()P c P ξαξ=≥=10αμ-=，由此式解出010c αμμ-=+在1H 成立的条件下，20(,)nN σξμ~，此时101010()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ-由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。
（2）不犯第二类错误的概率为100.9511(0.650.51(3)0.21(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ-=-Φ-=Φ=设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设：0011101201:():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤⎧⎧==⎨⎨⎩⎩其他其他试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。
解 设检验函数为1()0x cx φ∈⎧=⎨⎩其他（c 为检验的拒绝域）0101011112()2()()2[1()]()2[1()]()2(12())2(14)()P x c P x c P x c P x c E x E x x dx x x dx x x dxαβφφφφφ+=∈+∈=∈+-∈=+-=+-=+-⎰⎰⎰要使2min αβ+=，当140x -≥时，()0x φ= 当140x -<时，()1x φ=所以检验函数应取114()104x x x φ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，此时，10722(14)8x dx αβ+=+-=⎰。
设某产品指标服从正态分布，它的根方差σ已知为150小时。
今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显着性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时解 总体2(,150)N ξμ~，对假设，0:1600H μ=，采用U 检验法，在0H 为真时，检验统计量1.2578u ==临界值1/20.975 1.96u u α-==1/2||u u α-<，故接受0H 。
某电器零件的平均电阻一直保持在Ω，根方差保持在Ω，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为Ω，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显着差异去显着性水平α=。
解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量ξ，则E ξμ=未知，2(0.06)D ξ=， 假设为 0: 2.64H μ=，统计量 3.33u ξ==-由于1-/20.995 2.10||u u u α==<，故拒绝原假设。
即新工艺对电阻有显着差异。
（1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间2(20.81.8)N ξ:，,新安眠剂的睡眠时间2()N ημσ:，，为检验假设01:23.8:23.8H H μμ=<从母体η取得的容量为7的子样观察值计算得%24.2x = *2 5.27ns = 由于η的方差2σ未知，可用t 检验。
t 0.461n x === 0.10a =取 0,10(71) 1.4398t t -=-<所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。
（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间η的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间ξ的方差一致，即检验假设220:(1.8)H σ=。
用2χ-检验，*2222(1)6 5.279.76(1.8)nn s χσ-⨯===。
取220.060.05=(6)=1.635(6)=12.592αχχ0.10，，2220.060.05(6)(6)χχχ<<所以接受0H ,不能否认ξη和方差相同。
如认为η的方差2σu 0.18==取=α0.10，0.100.101.27,u u u =->，所以接受0H 。
有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下：试问甲乙两人的实验分析之间有无显着差异解 此问题可以归结为判断12x x ξ=-是否服从正态分布2(0,)N σ，其中2σ未知，即要检验假设0:0H μ=。
由t 检验的统计量 0.389nt ξ===-取α=，又由于，0.95(7) 1.8946||t t =>，故接受0H某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为根，每台布机的平均断头率的根方差为根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为根，根方差为，问新的上浆率能否推广取显着性水平。
解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量η，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为及()2*2n s 0.16=，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验01:0.973:0.973H E H E ηη=↔>由于D η未知，且n 较大，用t 检验，统计量为1.856nt η===查表知0.95t (199)1.645=，故拒绝原假设，不能推广。
在十块土地上试种甲乙两种作物，所得产量分别为1210(,,,)x x x L ，1210(,,,)y y y L ，假设作物产量服从正态分布，并计算得30.97x =，21.79y =，*26.7x s =，*12.1y s =取显着性水平，问是否可认为两个品种的产量没有显着性差别解 甲作物产量211(,)N ξμσ~，乙作物产量222(,)N ημσ~，即要检验 012:H μμ≠由于21σ，22σ未知，要用两子样t 检验来检验假设'22012:H σσ=，由F 检验，统计量为2*2*22120.99526.74.869(9,9) 6.5412.1F s s F ===<=（取显着性水平）故接受假设'22012:H σσ=，于是对于要检验的假设012:H μμ≠取统计量0.99t ==又0.01α=时，0.995(18) 2.878||t t =>，所以接受原假设，即两品种的产量没有显着性差别。
有甲、乙两台机床，加工同样产品，从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品，测得产品直径为（单位：mm ）： 甲 ， ， ， ， ， 。
， 乙 ， ， ， ， ， ， 。
试比较甲乙两台机床加工的精度有无显着差异显着性水平为0.05α=。
解：假定甲产品直径服从211(,)N μσ，由子样观察值计算得20.00x =，1*22(0.3207)0.1029n s ==。
乙产品直径服从222(,)N μσ，由子样观察值计算得20.00y =，2*20.3967n s =。
要比较两台机床加工的精度，既要检验22012:H σσ=由 F-检验12*2*20.10290.25940.3967n F ns s ===0.05α=时查表得：0.975(7.6) 5.70F =，0.0250.97511(7.6)0.1953(6.7) 5.12F F ===由于0.0250.975(7.6)(7.6)F F F <<，所以接受0H ，即不能认为两台机床的加工精度有显着差异。
随机从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为（cm ）设钉长服从正态分布，分别对下面两个情况求出总体均值μ的90%的置信区间 （1）0.01cm σ=； （2）σ未知解 （1）由子样函数(0,1)U N ξ=:，0.95(||)0.90p U u <=，可求μ的置信区间 置信下限2.121ξ-= 置信上限2.129ξ+= （2）在σ未知时，由子样函数(1)nt t n ξ=-:，0.95(||(1))0.90p t t n <-=可求得μ置信区间为置信下限*2.1175ξ-= 置信上限*2.1325ξ+=包糖机某日开工包糖，抽取12包糖，称得重量为假定重量服从正态分布，试由此数据对该机器所包糖的平均重量 求置信水平为95%的区间估计。
解 由于σ未知，用统计量(1)nt t n ξ=-:，计算各数据值后可以得到均值的置信区间，置信上限为*10.2556ξ+=，下限为*9.9284ξ= 随机取9发炮弹做实验，得炮口速度的方差的无偏估计*211ns =（米/秒）2，设炮口速度服从正态分布，分别求出炮口速度的标准差σ和方差2σ的置信水平为90%的置信区间。
解 选取统计量*222(1)(1)nn s n χσ--:， 可得2σ的置信区间为：*2*2221/2/2(1)(1)(,)(5.6749,32.199)(1)(1)n n n s n s n n ααχχ---=-- 因为*2*22221/2/2(1)(1)()(1)(1)1n n n s n s p p n n αασσχχα---<<=<<--=-故，标准差的置信区间取方差的根方即可。
解：用子样函数t =必须要求2212σσ=，所以先应检验假设22012H σσ=：由样子观察值计算得12=81.625=75.875ξξ 12*2*2=145.696=102.125n n s s 12*2*2==1.4266n n s F s0.950.050.95=0.10(7.7) 3.79,(7.7)(7.7)F F F F α=<<取，由于,所以接受原假设0H ，可以用两子样t 统计量求12-μμ的置信水平为95%的置信区间。
置信下限1212-81.62575.8756.1885μμξξ=--=--=-置信上限12 2.145-81.62575.87517.1885μμ⨯=-+=-解：由于12*22*22/=/n A n Bs F s σσ服从12(1,1)F n n --分布，由12*220.05120.9512*222222220.95120.0512/(1,1)(1,1)/(1,1)(1,1)0.90n A n B A A A B B B s p F n n F n n s s s p S F n n S F n n σσσσ⎛⎫--<<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=<< ⎪----⎝⎭=所以22A Bσσ的置信区间为置信下限=*2*20.95120.54190.2810(1,1)0.6065 3.18AB s S F n n ==--⨯ 置信上限=*2*20.05120.5419 3.18 2.8413(1,1)0.6065AB s S F n n ⨯==-- 解：由于σ未知，μ的置信区间为**1/21/2*1/2*2221/2*2221/2*2221/22221/2(1),(1)2(1)4(1)()4(1)(1)4(1)(1)4(1)n nns s t n t n L t n sL t n ns E L E t n n n s t n E n n t n nαααααααξξσσσ-------⎛⎫--+- ⎪⎝⎭=-=-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤-=-⎢⎥-⎣⎦-=2222220.9752222220.9752222220.9752222220.975244()()(4)(2.7764) 6.16675544()()(9)(2.2622) 2.0470101044()()(29)(2.0452) 2.5577303044()()(7)(1.8946) 1.794888()(i E L t ii E L t iii E L t iv E L t v E L σσσσσσσσσσσσ============222220.9752222220.97544)(7)(2.3646) 2.79578844()()(7)(3.4995) 6.123388t vi E L t σσσσσσ======假设六个整数1，2，3，4，5，6被随机地选择，重复60次独立实验中出现1，2，3，4，5，6的次数分别为13，19，11，8，5，4。
