4.1 成比例线段 第二课时 知能演练提升 ZHINENG YANLIAN TISHENG 能力提升 1.已知,则下列式子正确的是() A.B. C.D. 2.已知,则a+b+c的值为() A.B.C.12 D.6 3.若,设A=,B=,C=,则A,B,C的大小顺序为() A.A>B>C B.A 8.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足,a+b+c=12. (1)试求a,b,c的值; (2)判断△ABC的形状. 创新应用9.已知a,b,c,d是非零实数,满足,且x=,求x的值. 答案： 能力提升 1.C 2.D 3.B 4.D 5. 6. 7.解当a+b+c≠0时,由=k, 得a+b=ck,a+c=bk,b+c=ak, 即2(a+b+c)=(a+b+c)k,此时k=2; 当a+b+c=0时,有a+b=-c,则=-1, 此时k=-1.综上可知,k的值是2或-1. 8.解 (1)∵,∴,即. 又a+b+c=12,∴,即=3,解得a=5. 由=3,解得b=3,c=4. (2)∵32+42=52,即b2+c2=a2,∴△ABC是直角三角形.创新应用 9.解∵, ∴-1=-1=-1=-1,∴. 分两种情况: ①当a+b+c+d=0时, x= ==1; ②当a+b+c+d≠0时, 设=k, 则k= ==3, ∴a+b+c=3d,a+b+d=3c,a+c+d=3b,b+c+d=3a, ∴x= ==81. 综上可知,k的值为1或81. 欢迎您的下载，资料仅供参考！ 图形的相似经典测试题及答案解析 一、选择题 1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则下列结论不正确的是（）A．AC2＝AD?AB B．CD2＝AD?BD C．BC2＝BD?AB D．CD?AD＝AC?BC 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据射影定理来分析、判断，结合三角形的面积公式问题即可解决． 【详解】 解：如图， ∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， ∴由射影定理得：AC2＝AD?AB，BC2＝BD?AB， CD2＝AD?BD； ∴CD BC AD AC ； ∴CD?AC＝AD?BC， ∴A，B，C正确，D不正确． 故选：D． 【点睛】 该题主要考查了射影定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用射影定理来分析、判断、推理或解答． 2．如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE．下列结论：①EO⊥AC；②S△AOD＝4S△OCF；③AC：BD ＝21：7；④FB2＝OF?DF．其中正确的是（） A．①②④B．①③④C．②③④D．①③ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①正确．只要证明EC=EA=BC，推出∠ACB=90°，再利用三角形中位线定理即可判断． ②错误．想办法证明BF=2OF，推出S△BOC=3S△OCF即可判断． ③正确．设BC=BE=EC=a ，求出AC ，BD 即可判断． ④正确．求出BF ，OF ，DF （用a 表示），通过计算证明即可． 【详解】 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，OD=OB ，OA=OC ， ∴∠DCB+∠ABC=180°， ∵∠ABC=60°， ∴∠DCB=120°， ∵EC 平分∠DCB ， ∴∠ECB= 1 2 ∠DCB=60°， ∴∠EBC=∠BCE=∠CEB=60°， ∴△ECB 是等边三角形， ∴EB=BC ， ∵AB=2BC ， ∴EA=EB=EC ， ∴∠ACB=90°， ∵OA=OC ，EA=EB ， ∴OE ∥BC ， ∴∠AOE=∠ACB=90°， ∴EO ⊥AC ，故①正确， ∵OE ∥BC ， ∴△OEF ∽△BCF ， ∴ 1 2 OE OF BC FB == ， ∴OF= 1 3 OB ， ∴S △AOD =S △BOC =3S △OCF ，故②错误， 设BC=BE=EC=a ，则AB=2a ，3，223(7 2)a a +， ∴7a ， ∴AC ：3a 7217，故③正确， ∵OF= 13OB=7 6 a ， 第1页 共3页 数学测试（4） 一.选择题 1、两地实际距离是500m,画在图上的距离是25cm ，若在此图上量的A 、B 两地相距为4cm ，则A 、B 两地的实际距离是 A 、800m B 、8000m C 、32250m D 、3225m 2、如图，矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，E 为垂足，图中 相似三角形共有（全等除外） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 3、如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，连结AD ，要 使△ABD ∽△CBA ，应具备下列条件中的（ ） A 、 BC AB CD AC = B 、BD AB =2 ·BC C 、AD BD CD AB = D 、CD AC =2·BC A 、所有的等腰三角形都相似B 、有一对锐角相等的两个角三角形相似 C 、全等的三角形一定相似； D 、所有的等边三角形都相似 5、Rt ?ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F 。图中共有8个三角形，如果把一定相似的三角形归为一 类，那么图中的三角形可分为（ ）类。 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6.已知 0432≠==c b a ,则 c b a +的值为( ) A.54 B.45 C.2 D.2 1 7.已知⊿ABC 的三边长分别为2,6,2,⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似,那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A.2 B. 22 C.26 D.3 3 8.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m 5.如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD,只要CD 等于( ) A.c b 2 B.a b 2 C.c ab D.c a 2 9.一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( ) A.一种 B.两种 C.三种 D.四种 10、在△ABC 与△中，有下列条件：①；⑵ ③∠A ＝∠；④∠C ＝∠。如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断 △ABC ∽△的共有（ ）组。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二.填空题 11、如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC 、BD 相交于点O ，若S △OAB ：S △OBC = 1：4，则S △OAD ：S △OCB = 。 12、在口ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE=2：3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于F ， 则S △DEF ：S △EBF ：S △ABF = 。 13、如图，DE//BC ，CD 和BE 相交于点O ，S △DOE ：S △COB =16：25，则AD ：DB= 。 14、把正方形ABCD 沿对角线AC 的方向移动到A 1B 1C 1D 1的位置，它们重叠部分的面积是 正方形ABCD 的面积的一半，若AC=2，则平移的距离是 。 15、如图，D 为△AB Ｃ的边ＡＣ上的一点，∠ＤＢＣ＝∠Ａ，ＢＣ＝2，△ＢＣＤ与△ＡＢＣ 的面积比是２：３ ，则ＣＤ＝ 。 1６、如图，已知△ＡＢＣ中，ＤＥ//ＦＧ//ＢＣ，（１）若 ＡＤ：ＦＤ：ＦＢ＝１：２：３，则Ｓ１：Ｓ２：Ｓ３＝ ；（２）若Ｓ１：Ｓ２：Ｓ３＝１：２：３，则ＡＤ：ＦＤ：ＦＢ＝ 。 C B A '''C B BC B A AB ''=''C A AC C B BC ''= ''A 'C 'C B A '''第5题 A B C D E F D A B C E 第2题图 A B D C 第 3题 第8题图 第9题图 O D C B A F E D C B A E O D C B A D 1C 1 B 1 A 1D C B A 第12题图 第13题图 第14题图 图形的相似单元测试题 班级 姓名 学号 一、填空题（每小题3分,共24分） 1.如果四条线段m, n, x, y 成比例,若m=2 , n=8 , y=20 .则线段x 的长是__________. 2.边长为12cm 的等边三角形按2:1的比例缩小后的三角形是边长为________的_______三角形. 3.已知△ABC ∽△DEF, AB ＝6 , DE ＝8 , 则:ABC DEF S S ??＝________. 4.已知三个数2,2,请你再添一个数,写出一个比例式________. 5.点P 是△ABC 中AB 边上的一点,过点P 作直线 (不与直线AB 重合)截△ABC,使截得三角形与 △ABC 相似,满足这样条件的直线最多________条. 6.电视节目主持人在主持节目时,站在舞台上的黄金分割点处最 自然得体,若舞台AB 长为20cm,试计算主持人应走到离A 点 至少____________________m 处.(结果精确到0.1m) 7.一个4米高的电线杆的影长是6米,它临近的一个建筑物的影长 是36米.则这个建筑的高度是_________. 8.如图,若DE ∥BC,FD ∥AB,AD ∶AC ＝2∶3 ,AB ＝9,BC ＝6,则四边形BEDF 的周长为________. 二、选择题（每小题4分,共40分） 1.若果mn ab =,则下列比例式中不正确的是( ) A.a n m b = B.a m n b = C.m n a b = D.m b a n = 2.已知:如图2,在△ABC 中,∠ADE=∠C,则下列等式成立的是( ) A.AD AE AB AC = B.AE AD BC BD = C.DE AE BC AB = D.DE AD BC DB = 3.已知正五边形ABCDE 与正五边形'''''A B C D E 的面积比为1:2，则它们的相似比为（ ） A. 1:2 B. 2:1 C.22 4.如图,两个位似图形△ABO 和△' ''C B A ， 若OA:'OA ＝3:1,则正确的是( ) A.AB:''A B ＝3:1 B.'AA :'BB ＝AB:'AB C.OA:'OB =2:1 D.∠A ＝∠'B 5.在比例尺是1:3800的南京交通游览图上,玄武湖隧道长约7cm,它的实际长度约为( ) 八年级数学相似图形知识点梳理 ※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成. ※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c 与d的比,即,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段. ※3、注意点: ①a:b=k,说明a是b的k倍; ②由于线段a、b的长度都是正数,所以k是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b之外,a:b≠b:a,与互为倒数; ⑤比例的基本性质:若,则ad=bc;若ad=bc,则 ※1、如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. ※2、黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. ¤1、一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2、对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※1、在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形. ※2.对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比. ※3、全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. ※4、相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ※5、相似三角形周长的比等于相似比. ※6、相似三角形面积的比等于相似比的平方. ※1、相似三角形的判定方法: 一般三角形直角三角形 基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似. ①两角对应相等; ②两边对应成比例,且夹角相等; ③三边对应成比例.①一个锐角对应相等; ②两条边对应成比例: a.两直角边对应成比例; b.斜边和一直角边对应成比例. ※2、平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ※3、平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延 图形的相似和比例线段--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 是a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b=ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1.（2014?甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值． 【答案与解析】解：设===k， 则a=2k，b=3k，c=5k， 所以===． 经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． $ 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． ; 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． | 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： ' （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 《相似图形》水平测试 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1．在比例尺为1∶50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为 千米． 2．若线段a ，b ，c ，d 成比例，其中5cm a =，7cm b =，4cm c =，则d = ． 3．已知450x y -=，则():()x y x y +-的值为 ． 4．两个相似三角形面积比是9∶25，其中一个三角形的周长为36cm ，则另一个三角形的周长是 ． 5．把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到 倍，其面积扩大到 倍． 6．厨房角柜的台面是三角形(如图1)，如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石，其余部分铺成白色大理 石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 ． 7．顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图2，ABC △，BDC △，DEC △都是黄金三角形，已知1AB =，则DE 的长= ． 8．在同一时刻，高为1.5m 的标杆的影长为2.5m ，一古塔在地面上影长为50m ，那么古塔的高为 ． 9．如图3，ABC △中，DE BC ∥，2AD =，3AE =，4BD =，则AC = ． 10．如图4，在ABC △和EBD △中，53 AB BC AC EB BD ED ===，ABC △与EBD △的周长之差为10cm ，则ABC △的周长是 ． 二、相信你的选择(每小题3分，共30分) 11．在下列说法中，正确的是（ ） A ．两个钝角三角形一定相似 B ．两个等腰三角形一定相似 C ．两个直角三角形一定相似 D ．两个等边三角形一定相似 12．如图5，在ABC △中，D ，E 分别是AB 、AC 边上的点，DE BC ∥，30ADE =∠，120C =∠， 则A =∠（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．20° 13．如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角（ ） A ．都扩大为原来的5倍 B ．都扩大为原来的10倍 C ．都扩大为原来的25倍 D ．都与原来相等 14．如图6， 在Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥于D ，若1AD =， 《相似图形》水平测试二 一、试试你的身手（每小题3分，共30分） 1在比例尺为1 : 50 0000的福建省地图上，量得省会福州到漳州的距离约为46厘米，则福州到漳州实际距离约为__________ 千米. 2.若线段a , b , c , d成比例，其中a 5cm, b 7cm, c 4cm，则d _________________ 3.已知4x 5y 0,则(x y): (x y)的值为 9： 25,其中一个三角形的周长为36cm,则另一个三角形的周 长是 （如图1），如果把各边中点连线所围成三角形铺成黑色大理石, 其余部分铺成白色大理石，则黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比为 4?两个相似三角形面积比是 5.把一个矩形的各边都扩大4倍，则对角线扩大到________ 倍，其面积扩大到 _______ 倍. 6?厨房角柜的台面是三角形 7?顶角为36。的等腰三角形称为黄金三角形，如图 黄金三角形，已知AB 1,贝U DE的长_________ 2, △ ABC, △ BDC , △ DEC 都是&在同一时刻，高为 1.5m的标杆的影长为2.5m，一古塔在地面上影长为50m，那么古塔的高为_________ . 9?如图3, △ ABC 中，DE // BC , AD 2 , AE 3, BD 4，贝U AC (: 10.如图4，在△ ABC和厶EBD中 EB 之差为10cm，则△ ABC的周长是_________ 二、相信你的选择（每小题3分，共30分） 1 .在下列说法中，正确的是（） A .两个钝角三角形一定相似 B. 两个等腰三角形一定相似 C. 两个直角三角形一定相似 D .两个等边三角形一定相似 BD ED 3 2.如图5,在厶ABC中，D , E分别是AB、AC边上的点，DE // BC , / ADE 30°, Z C 120°，则/ A ( ) 初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 则 …………a c e m b d f n a b m n k ++++++++=== 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项， 叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a = 27.1 图形的相似 一．选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ） A ．－7，－5，14，5 B ．－6，－8，3，4 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、4 1 4、下列说法中，错误的是（ ） （A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图，RtΔABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ， 则CD ＝ ． A ．2 B ．32 C ．43 D ．9 4 二、填空题 6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 7、如图，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为 （第5题） （第7题） 2 3833258 9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ． 10、如图，点P 是RtΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与RtΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题 11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求梯子的长．(8分) 12、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO ＝78cm ，BO ＝42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．(8分) （第10题） 《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点１ 有关相似形得概念 (1)形状相同得图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单得就是相似三角形、 (２)如果两个边数相同得多边形得对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多 边形、相似多边形对应边长度得比叫做相似比(相似系数)、 知识点2 比例线段得相关概念、比例得性质 (1)定义: 在四条线段中,如果得比等于得比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段、 注:①比例线段就是有顺序得,如果说就是得第四比例项,那么应得比例式为:、 ② 核心内容: (2)黄金分割:把线段分成两条线段,且使就是得比例中项,即,叫做把线段黄金分割,点叫做线段得黄金分割点,其中≈0、618、即 简记为: 注:①黄金三角形:顶角就是３６０ 得等腰三角形 ②黄金矩形:宽与长得比等于黄金数得矩形 (３)合、分比性质:。 注:实际上,比例得合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比得前项,后项之间 发生同样与差变化比例仍成立、如:等等、 （4）等比性质:如果, 那么、 知识点3 比例线段得有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 已知A Ｄ∥BE ∥C Ｆ, 可得 AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等。 特别在三角形中: 由ＤE ∥B Ｃ可得: 知识点４ 相似三角形得概念 (1)定义:对应角相等,对应边成比例得三角形,叫做相似三角形、相似用符号“∽”表示,读作“相似于” 。相似三角形对应边得比叫做相似比(或相似系数)、相似三角形对应角相等,对应边成比例、 注:①对应性:即把表示对应顶点得字母写在对应位置上 ②顺序性:相似三角形得相似比就是有顺序得。 ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样、 ④全等三角形就是相似比为１得相似三角形、 (2)三角形相似得判定方法 B 初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2（附答案详解） 1．已知线段2a cm =，8b cm =，它们的比例中项c 是（ ） A ．4cm B ．4cm ± C ．16cm D ．16cm ± 2．下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ ） A ．1、2、2、3 B ．1、2、3、4 C ．1、2、2、4 D ．3、5、9、13 3．如果a ：b ＝3：2，且b 是a 、c 的比例中项，那么b ：c 等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．2：3 D ．3：2 4．下列四条线段能成比例线段的是（ ） A ．1，1，2，3 B ．1，2，3，4 C ．2，2，3，3 D ．2，3，4，5 5．点 P 是长度为 1 的线段上的黄金分割点，则较短线段的长度为（ ） A 51- B ．5 C 35- D 56．已知线段a=2，b=8，线段c 是线段a 、b 的比例中项，则c=（ ） A ．2 B ．±4 C ．4 D ．8 7．若23 a b =，则32a b a b -+的值是（ ） A ．75 B ．23 C ．125 D ．0 8．以下四组线段，成比例的是（ ） A ．2,3,4,6cm cm cm cm B ．2,4,6,8cm cm cm cm C ．3,4,5,6cm cm cm cm D ．4,6,6,8cm cm cm cm 9．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d =； ②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB ．BC 的比例中项； ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC ＞BC ，且AB=2，则5． 其中正确的判断有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10．如图,线段1AB =,点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <),点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP <),点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <),..,依此类推,则线段 图形的相似 一．选择题： 1、下列各组数中，成比例的是（ ） A ．－7，－5，14，5 B ．－6，－8，3，4 C ．3，5，9，12 D ．2，3，6，12 2、如果x:(x+y)＝3:5，那么x:y ＝( ) A. B. C. D. 3、如图，F 是平行四边形ABCD 对角线BD 上的点，BF ∶FD=1∶3，则BE ∶EC=（ ） A 、21 B 、31 C 、32 D 、41 4、下列说法中，错误的是（ ） （A ）两个全等三角形一定是相似形 （B ）两个等腰三角形一定相似 （C ）两个等边三角形一定相似 （D ）两个等腰直角三角形一定相似 5、如图，Rt ΔABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 边上一点，AB ＝5，AC ＝4，若ΔABC ∽ΔBDC ， 则CD ＝ ． A ．2 B ． 32 C ．43 D ．94 二、填空题 6、已知a ＝4，b ＝9，c 是a b 、的比例中项，则c ＝ ． 7、如图，要使ΔABC ∽ΔACD ，需补充的条件是 ．（只要写出一种） 8、如图，小东设计两个直角，来测量河宽DE ，他量得AD ＝2m ，BD ＝3m ，CE ＝9m ，则河宽DE 为 9、一公园占地面积约为8000002m ，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积约为 2m ． 10、如图，点P 是Rt ΔABC 斜边AB 上的任意一点（A 、B 两点除外）过点P 作一条直线，使截得的三角形与Rt ΔABC 相似，这样的直线可以作 条． 三、解答题 11、如图18—95，AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B 距墙80cm ，梯上点D 距墙70cm ，BD 长55cm ．求 梯子的长．(8分) 12、如图，已知AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AO ＝78cm ，BO ＝ 42cm ，CD ＝159cm ，求CO 和DO ．(8分) 13、如图，在正方形网格上有111C B A ?∽222A C B ?，这两个三角形相似吗?如果相似，求出 222111A C B A C B ??和的面积比．（15分) C （第10题） C B A D （第5题） A D （第7题） 相似三角形知识点 一、☆内容提要 1、比例的有关性质： ()b a n d b m c a n d b n m d c b a =++++++?≠+++===ΛΛΛΛ等比性质：0 的比例中项是c a b c a b c b b a ,2??=?= 应用变形: 已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证，d kd c b kb a ±= ±。 证明:（1）∵d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a += + （2）d c b a =Θ k d c k b a ±=±∴ d kd c b kb a ±= ±∴ 2、黄金分割的定义： 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 AC BC AB AC = （整段大线段 大线段 小线段=）,那么称线段AB 被点C 黄金分割（golden section ）,点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比.其中 2 1 5-＝AB AC ≈0.618. A B C 推导黄金比：设AB=1，AC=x ，则BC=1-x ，所以 x x x -= 11，即x x -=12，用配方法解得x=215-≈0.618 特别提示：1、一条线段有2个黄金分割点，它们关于原点对称。 2、黄金比并不为黄金分割所专有，只要任两条线段的比值满足这一常数，就称这两条线段的比为黄金比。黄金比没有单位。 例：若矩形的两邻边长度的比值约为0.618，这个矩形称为黄金矩形；若在黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余的矩形仍是黄金矩形。 3、必须满足位置和数量两个条件，才能判断一个点是一条线段的黄金分割点。 涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。 c d a b = d b c a a c b d ==或 合比性质：d d c b b a ±= ± ?=?=bc ad d c b a （比例基本定理） 学生做题前请先回答以下问题 问题1：若四条线段a，b，c，d是成比例线段，则___________． 问题2：比例的性质： ①基本性质：若_______________，则__________________； 若ad=bc（a，b，c，d都不等于0），则_________________． ②等比性质：若______________，则_______________，其中_______________________．问题3：平行线分线段成比例： 三条平行线截两条直线，所得的_______________的比相等． 推论：_____________________________________________． 问题4：黄金分割： 点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_____________，那么称线段AB被点C_________， =________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点． 问题5：形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示____________的字母写在对应的位置上． 问题6：相似多边形： _________________、_________________的两个多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________． 问题7：相似三角形： _________________、_________________的两个三角形叫做相似三角形． 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 相似图形及成比例线段 一、单选题(共15道，每道6分) 1.已知a，b，c，d是成比例线段，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，则线段a的长是( ) A.1cm B.4cm C.5cm D.9cm 答案：A 解题思路： 实用标准文案 相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．（1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC与△BEA的面积之比． 教学过程 一、课堂导入 1、举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30°角的三角尺等。 2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。你知道0.618这个比值的来历吗？ 二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与—3的比；—4与6 的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？ 答案：1、2：（—3）=—2 3；—4：6=—4 6=— 2 3； 2 —3= —4 6，2，—3，—4，6四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 3、a:b=c:d 即a b= c d，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。 三、知识讲解 考点 1 比例线段 一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性．如d c b a ＝ 是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例。 a c a k b c k d b d b d ++=?=考点2 比例的性质 1、比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式。 bc ad d c b a =?= 2、合比性质：分子加（减）分母,分母不变。 (k=1、2、3…) 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变。 若)0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则 b a n f d b m e c a =+???++++???+++。 4、比例中项：若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项。 第一讲 相似三角形——相似与比例线段 第一课时 一．放缩与相似 1. 相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。 2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征 ∠A' =∠A ; ∠B'=∠B ; ∠C' =∠C BC C B AC C A AB B A 1 11111===K (2) 相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。 【典型例题】 1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为 千米。 【同类变式】 2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得?ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际?A'B'C'的周长是多少米？ 3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个 （1）有一个角是100o 的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o 的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。求矩形ABCD 的面积。 7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。 8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 二．比例线段 (1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b 或 b a 。 (2) 比例线段：在四条线段a b c d 中，其中两条线段a, b 的比等于两条线段c,d 的比, 即 d c b a =，那个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c d 叫做成比例的项。 (3) 比例外项，比例内项，第四比例项 (4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b =b:c ,那么线段b 叫做线段的比例中项。 ★比例的性质 (1) 比例的基本性质 d c b a = ad =b c (运用等式的基本性质) 特别地，a:b =b:c ，那么b 2=ac ,反之亦然 (2) 合比,分比性质图形的相似经典测试题及答案解析
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27.1 图形的相似练习题及答案
相似三角形知识点归纳(全)
初中数学相似三角形题型归类——成比例线段专项练习2(附答案详解)
图形的相似练习题及答案
相似三角形及黄金分割
相似图形及成比例线段(含答案)
经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)
相似三角形——比例线段
第一讲：相似三角形——比例线段
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