图形的相似与比例线段

成比例线段及相似图形（讲义）课前预习1. 读一读，想一想：①两个数相除又叫做两个数的比，比如a ÷b ，又可以写作ab ，a :b ；在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项．比的前项除以后项所得的商，叫做比值．②比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．③表示两个比相等的式子叫做比例，比如a :b =c :d ，又可以写作a cb d =；组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．④在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． ⑤能够完全重合的两个图形称为全等图形． ⑥全等图形的形状和大小都相同．2. 填空：①若a :b =2:3，b :c =2:3，则a :b :c =_________． ②若x :y =2:5，x :z =5:9，则y :z =________． ③若2a =3b =4c ，则a :b :c =________．④若△ABC 三边::6:4:3a b c =，三边上的高分别为123h h h ，，，则123::h h h =________． 3. 求解下列各式中的x ．412::32x = 100602020x x =+- 342x xx x --=11x xx -=（其中x >0）知识点睛一、成比例线段1. 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段．地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．注意：①比例对应；②单位换算；③实际验证．2.比例的性质①基本性质：若_______________，则__________________；若ad=bc（a，b，c，d都不等于0），则_________________．*②合（分）比性质：若_______________，则______________．③等比性质：如果_________________，（_________________）那么______________________．3.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的______________成比例．推论：_____________________________________________．4.黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果_____________，那么称线段AB被点C_________，点C叫做线段AB的黄金分割点．ACAB=________≈_______，称为黄金比．一条线段有______个黄金分割点．二、相似图形1.形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形间的相似关系时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上．2.相似多边形：_______________、_________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________．3.相似三角形：_____________、___________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；面积的比等于_____________．精讲精练1.已知线段a=3，b=2，c=4，若a，b，c，d是成比例线段，则线段d=__________．2.若438324x y z+++==，且x+y+z=12，则x zy z-+=__________．FEDCBA3. 若34a b =，则a b b +=______，a b a =+______，ab a =-______． 4. 若273a b b +=，则a b =________，b a b -=________； 若23a b a =-，则a b =________，a b a =+________．5. 若43===f e d c b a ，则a c e b d f +-+-=_____，2=2a c e b d f +-4+-4_____．（b +d -f ≠0，2b +d -4f ≠0）6. 已知a b ckb c a c a b ===+++，求k 的值．7. 如图，DE ∥BC ，且DB =AE ，若AB =5，AC =10，则AE =______．8. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD :DB =3:5，那么CF :CB =（ ） A ．5:8B ．3:8C ．3:5D ．2:59. 如图，在△ABC 中，D ，F 分别为BC ，AC 上一点，BD :DC =3:2，连接BF ，AD ，两线段相交于点E 且AE :AD =1:2，过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G ，则BE :EF =________．G FD CBE D CB A第9题图 第10题图10. 顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形（底与腰的比为黄金比）．如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，若AB =4，则CD =________．11. 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高160 cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿高跟鞋的高度约为F EQ BAEBA CDF ECA B D_________．（精确到0.1 cm ）12. 如图，P 为线段AB 的黄金分割点（PB ＞PA ），四边形AMNB 、四边形PBFE 都为正方形，且面积分别为S 1，S 2．四边形APHM 、四边形APEQ 都为矩形，且面积分别为S 3，S 4，下列说法正确的是（ ） A．21S S =B ．23S S = C．34S =D．4112S S =13. 给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形；⑧等腰梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形．其中，一定相似的有_____________（填写序号）．14. 手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的等腰直角三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．15. 四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1，其中AB =4，A 1B 1=6，CD =8，∠A =77°，∠B =83°，∠C =85°，则四边形A 1B 1C 1D 1中的∠D 1=____，其最大角是__________，C 1D 1的长为_________，四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1的相似比为_____________；若它们周长的差是15，则较大四边形的周长为___________． 16. 已知△ABC ∽△DEF ，AB =6 cm ，BC =4 cm ，AC =9 cm ，且△DEF 的最短边边长为8 cm ，则最长边边长为（ ） A ．16 cmB ．18 cmC ．4.5 cmD ．13 cm17. 如图，线段AD ，BC 相交于点O ，连接AB ，CD ，其中AO =1，AD =3.5，BO =2，且△AOB ∽△COD ，则△AOB 与△COD 的相似比为_______，它们的对应高比为________，它们的面积比为_________；O BA若△AOB△COD的面积为________．18.某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4 cm，3 cm，5 cm.现有两根钢条，一根长60 cm，另一根长180 cm，若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有________种不同的做法.（焊接用料忽略不计）19.某小区有一矩形草坪，如图所示，其长为30米，宽为10米，若想沿草坪四周修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，请求出这一宽度；若不能，请说明理由．成比例线段及相似图形（习题）要点回顾1.四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于___________，即__________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段．备注：利用成比例线段的比例关系进行计算要注意：①四条线段的排列顺序；②单位统一．2.比例性质①基本性质：若_______________，则__________________；若ad=bc（a，b，c，d都不等于0），则_________________．②等比性质：如果_________________，（_________________）那么______________________．备注：设k法能解决和比例相关的大部分计算．3.平行线分线段成比例：____条直线被一组______所截，所得的____________成比例．推论：_____________________________________________．4.相似多边形：_______________、_________的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做_______，周长比等于________．5.相似三角形：_________________、_________________的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应______的比、对应_______的比、对应_______的比、_____的比都等于_____；面积的比等于_____________．例题示范例1：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，若AD=2BD，则CFBF=________．解：如图，∵DE∥BC，2 AD BD=∴2 AE AD EC BD==∵EF∥AB∴1 2CF ECBF AE==例2：一木匠要用一根长6米的木材做一个矩形窗框，要想给人带来的视觉最美，则窗框的长和宽分别是________________（精确到0.01 米）．解：设矩形长为x m，由题意，宽应为)xm．2()6 x x=解得：x=1.85≈3-1.85=1.15 m∴窗框的长为1.85 m，宽为1.15 m．巩固练习1.在比例尺为1:6 000 000的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7厘米，则海口与三亚的实际距离约为_______千米．2.若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，则x+2y-z=______．3.若273562x y z+++==，且x+y+z=14，则y zx z-+=______．4.若3103x yy+=，则xy=______；若35ab a=-，则ab=______．FEDCBA5. 若x :y =4:5，x :z =5:3，则y :z =______．6. 已知b c a c a bk a b c +++===，求k 的值．7. 若2a =3b =4c ，则a :b :c =________．8. 如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m ，n 与直线a ，b ，c 分别交于点A ，C ，E ，B ，D ，F ，AC =4，CE =6，BD =3，则BF =（ ） A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5cba nm F EDC BA DBACE第8题图 第9题图9. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，已知AE =6，A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14 10. 如图，在△ABC 中，BD :DC =5:3，E 为AD 的中点，连接BE 并延长，交AC 于点F ．过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G ，则BE :EF =_______．11. 如图，在正五角星中，C ，D 两点都是AB 的黄金分割点，已知AB =1，求CD 的长．12. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．已知某女士身高165 cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿多高的高跟鞋？（结果精确到0.1 cm ）13. 已知线段AB ，按照如下方法作图（保留作图痕迹）： ①经过点B 作BD ⊥AB ，使12BD AB =；②连接AD ，在DA 上截取DE =DB ；BC D A GE F DCBA③在AB 上截取AC =AE ． 根据上述作图回答下列问题：（1）如果AB =2，那么BD =_____，AD =_____，AC =______，BC =____； （2）点C ___（填“是”或“不是”）线段AB 的黄金分割点．14. 下列说法：①有一个角相等的两个平行四边形相似； ②有一组邻边对应成比例的两个平行四边形相似； ③有一个角相等的两个菱形相似； ④邻边之比是2:1的两个矩形相似； ⑤所有的正方形都相似；⑥有一个角相等的两个等腰梯形相似． 其中正确的是_____________．15. 两个四边形相似，其中一个四边形的三个内角分别是80°，60°，70°，那么另一个四边形的最大内角是_____________，最小内角是_________．16. 在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x =______，y =______，m =______，n =______．（2）（1） m°50°60°y 3a n °1070°50°4a 4830332022x17. 如图，△ADE ∽△ABC ，AD =3BD ，S △ABC =48，则S △ADE =_____．ABCD E【参考答案】 课前预习2. ①4:6:9；②25:18；③6:4:3；④2:3:43.13x =5x =103x =12x -+=知识点睛 一、成比例线段2. ①a c b d =，ad=bc ；a c b d =或a bc d = ②a c b d =，a b c d bd ±±=③a c m b d n ===…，0b d n +++≠…，a c m ab d n b +++=+++…… 3. 对应线段．平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所 得对应线段成比例．4.BC AC AC AB =，黄金分割，，0.618，两二、相似图形2. 各角分别相等、各边成比例．相似比3. 三角分别相等、三边成比例．相似比；相似比的平方精讲精练1. 832. 173. 74，37，3 4. 13，23，25，275. 34，346.12k =或1k =-1038. A9.4:110.611.7.5 cm12.B13.①②④⑤14.D15.115°，∠D1，12，2:3，4516.B17.4:5，4:5，16:25，1618.319.不能，理由略11。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

一、相似图形知识点1 相似图形的概念具有相同形状的图形叫做相似图形注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形；而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。

知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小）注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。

若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。

二、相似图形的性质知识点1 线段的比一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一；（2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a（3）比值总为正数知识点2 比例线段对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a c b d=（或::a b c d =），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

此时也称这四条线段成比例。

判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列（2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比知识点3 比例的基本性质交叉相乘：(,,,0)a c ad bc a b c d b d=⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数） ,.a c a b c d a c b d b d a b c d++===--如果，那么（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c nd b d b d ±±==如果，那么。

（分母不变，分子加上或减去分母的倍数） 知识点4 相似多边形的性质、判断性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边），对应角相等（根据内角和定理求内角）；判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。

（两条件同时成立） 全等多边形一定是相似多边形，而相似多边形只有在对应边相等的前提下才是全等多边形。

2. ⎧⎨⎩1.全等是相似的特例：即全等必相似，可通过放大或缩小得到：即形状完全相同， 与位置，大小无关注意：两个矩形不一定相似，只有当他们的长与宽的比相等时，这两个矩形才相似。

第2课时 相似多边形与比例线段1.结合现实情境了解成比例线段，并能运用比例线段进行计算求值，理解并掌握相似多边形的性质以及运用相似多边形的性质解决实际问题.2.在探索过程中激发学生的求知欲，发展学生的交流合作精神.阅读教材P26-27，自学“例”，掌握相似多边形的概念及性质，理解并掌握“相似比”的概念，能运用相似多边形的性质进行相关的计算.自学反馈 学生独立完成后集体订正①对于四条线段a 、b 、c 、d,如果其中两条线段的比等于 ,如a b =c d(即ad=bc),那么我们就说这四条线段是 .②相似多边形的 相等，对应边 .③相似多边形 的比称为相似比，当相似比为1，这两个多边形 .④用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大5倍，下列说法正确的是( )A.角A 是原来的5倍B.周长是原来的5倍C.每一个内角都发生了变化D.以上说法都不对⑤五边形ABCDE 的五边长分别为5 cm 、20 cm 、30 cm 、35 cm 、40 cm.另一个和它相似的五边形的最短边长是10 cm ，则这个五边形的最长边为 .第④题注意相似多边形的角的度数相等，对应边成比例；第⑤题注意对对应的理解.活动1 小组讨论例1 在两个相似的五边形中，一个边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大边为8，则后一个五边形的周长是多少？ 解：设1、2、3、4对应边长为a 、b 、c 、d ，根据相似多边形对应边的比相等，则有1a =2b =3c =4d =85， 解得a=85,b=165,c=245,d=325. ∴另一个五边形的周长为： a+b+c+d+8=85+165+245+325+8=24.相似多边形对应边成比例，关键要理解“对应”二字，最长边对应最长边. 活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.已知相似的两个矩形中，一个矩形的长和面积分别为4和12，另一个矩形的宽为6，求这两个矩形的面积的比.解决问题要从题中的需要入手，因为矩形的面积等于长与宽的积，而题中已知另一矩形的宽，应求出长.2.下列各组线段中，成比例线段的是( )A.1、2、3、4B.1、2、2、4C.3、5、9、13D.1、2、2、33.已知A 、B 两地的实际距离AB=5 km ，画在地图上的距离CD=2 cm ，则这张地图的比例尺是 .图上距离与实际距离的比叫做比例尺.4.在一张由复印机出来的纸上，一个多边形的一条边由原来的1 cm变成了4 cm，那么这次复印的放缩比例为.5.把矩形对折后得到的矩形和原来的矩形相似，那么这个矩形的长与宽之比为.6.已知三个数，1、，请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是.活动3 课堂小结本节学习的数学知识:1.比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如ab=cd(即ad=bc)，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段.2.相似多边形的性质:相似多边形对应角相等，对应边的比相等.3.相似比:相似多边形对应边的比.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.【预习导学】自学反馈①另两条线段的比比例线段②对应角成比例③对应边全等④B⑤12米⑥80 cm【合作探究】活动2 跟踪训练1.1∶42.B3.1∶250 0004.4∶1∶16.略。

比例线段错解诊断比例线段是相似三角形的基础，是勾通代数与几何计算的桥梁，初学这部分内容，有的同学由于对比例线段的概念、比例的基本性质等理解不深，掌握不扎实，或缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，现将同学们作业中常见的错例归类剖析，望能对大家的学习有所帮助.一、忽视单位的统一例1 A 、B 两地的实际距离AB=300m ，画在图上的距离A /B /=5cm ，求图上距离与实际距离的比.错解：图上距离与实际距离的比是A /B /:AB=5:300=1:60.诊断：出现症状的原因是没有先统一单位.事实上，求两条线段的比，就是求出这两条线段用同一单位量得的线段长度之比，这里要注意两点：如果给出的线段长度单位不同，则必须先化成同一长度单位后再求线段的比；二是两条线段的比总是正数，如在运用中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.正解：因为AB=300m=30000cm ，所以图上距离与实际距离的比是A /B /:AB=5:30000=6000.二、忽视成比例线段的顺序性例2 已知三条线段的长分别为1cm 、2cm 、2cm,如果另外一条线段与它们是成比例线段,试求出另外一条线段的长.错解:设另一条线段的长为ccm,则1：2=2：x ，解得x=22.诊断:在题目中并没有明确成比例线段的排列顺序,就要考虑到所求的线段可能在不同的位置上,所以要分类讨论.本题也可以按照等积式求解,在这三个数中仍选两个数相乘,等于剩余的一个与的乘积.即.利用它们求出的值.正解:设另一条线段的长为xcm,有下列三种情况: ①1：2=2：x ，解得x=22；②x：1=2: 2,解得x=2; ③2:1=2:x,解得x=22. 综上所述,另外一条线段的长是22cm 或2cm 或22cm. 三、忽视等比性质的条件例3 已知ca b c b a b a c x +=+=+=，求x 的值. 错解：因为ca b c b a b a c x +=+=+=，所以.21)(2)()()(=++++=+++++++=c b a c b a c a c b b a b a c x 诊断：运用等比性质的条件是分母之和不能等于0，而这里并没有说明a+b+c≠0，所以应分情况讨论.正解：（1）当a+b+c≠0时，21)(2=++++=+=+=+=c b a c b a c a b c b a b a c x ； （2）当a+b+c=0时，有c=—(a+b)，所以b a b a b a c x ++=+=-=-1. 所以x 的值为21或-1.。