相似及对应线段成比例

线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。

本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。

1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。

设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。

当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。

2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。

若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。

相似三角形的边长比例与角度比例成正比。

3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。

比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。

4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。

常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。

这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。

5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。

例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。

b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。

c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。

例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。

总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。

通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。

线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。

本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。

设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。

根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。

换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。

2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。

设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。

这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。

二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这是相似三角形的定义之一。

2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。

3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。

设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。

4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。

设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。

线段的比例与相似在几何学中，线段的比例与相似是一个十分重要的概念。

比例可以帮助我们理解和计算不同线段之间的关系，而相似则描述了一种形状上的相似性。

本文将介绍线段的比例与相似的基本概念，并提供一些相关的例子和计算方法。

比例是指两个量之间的比较关系。

在线段中，我们同样可以通过比较两个线段的长度来确定它们之间的比例关系。

假设有两个线段AB和CD，它们之间的比例可以表示为AB：CD或者AB/CD。

如果AB：CD = 2：1，意味着线段AB的长度是线段CD的两倍。

同样地，如果AB：CD = 3：4，就表示AB的长度是CD的三分之四。

我们可以通过几何图形来表示线段的比例关系。

假设有一个三角形ABC，其中线段DE平行于边BC，并且与边AB和边AC相交于点D和点E。

根据等腰三角形的性质，线段BD与线段CE的长度是相等的。

我们可以用比例来表示这个关系，即BD：CE = AB：AC。

这个比例关系可以推广到其他类型的几何图形中。

相似是指几何图形在形状上的相似性。

如果两个几何图形的相应边的比例相等，并且对应的角度相等，那么这两个图形就是相似的。

对于线段来说，它们的相似性可以通过比较它们的长度比例来确定。

如果两个线段的长度比例相等，那么这两个线段就是相似的。

如何计算线段的比例和相似性呢？我们可以使用直角三角形的性质来进行计算。

假设有一个直角三角形ABC，其中边AB是斜边，而边AC和边BC分别是直角的两个边。

线段BD垂直于直角边BC，将BC分成了两个线段，即BD和DC。

根据直角三角形的相似性质，线段BD与边AC的比例等于边BC与斜边AB的比例。

即BD：AC = BC：AB。

通过这个比例关系，我们可以计算出线段间的比例。

例如，假设有一个直角三角形ABC，其中AB = 5 cm，BC = 12 cm。

线段BD将BC分成了BD = 4 cm和DC = 8 cm。

根据前面的比例关系，BD：AC = BC：AB，我们可以计算出BD：AC = 4：10。

线段的比（一）基础知识：1．两条线段的比就是两条线段 的比.线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺A 、B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比为3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a ,那么这四条线段a ,b ,c ,d叫做成比例线段，简称已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm课堂学习：1.两条线段的比的概念如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CDAB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？巩固练习：在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?归纳与小结：1、（1）度量两条线段的必须统一（2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是2. 比例线段的概念四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dc b a =,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）.如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么dc b a =或a ∶b =c ∶d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、d 为外项，c 、b 为内项.【 例2】 （杭州市）已知：1、、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例式 ．分析：这是一道多种答案的开放性创新题巩固练习1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______．2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？归纳与小结：（1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 .（2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a =或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的比例中项.小结：1.两条线段的比的概念2.比例线段的概念练习：1．如果一张地图的比例尺是1∶150000 , 在地图上量得甲乙两地的距离是4cm , 则甲、乙两地的实际距离是 _________．2．某地的海岸线长250千米 , 在地图上测得这条海岸线长6．25cm , 则这地图的比例尺是 _________．3．某建筑物在地面上的影长为40m , 同时高为1．2m的测竿的影长为2m , 那么该建筑物的高是_________．4. 若a=2,b=3,c=33,则a、b、c的第四比例项d为________．5. 下列各组线段长度成比例的是（）A、1㎝，2㎝，3㎝，4㎝B、１㎝，3㎝, ５㎝，５㎝C、１㎝，２㎝，３㎝，４㎝D、１㎝，２㎝，２㎝，４㎝作业：1、在YC市的1：40000最新旅游地图上，景点A与景点B的距离是15㎝，则它们的实际距离是（）A、60000米B、6000米C、600米D、60千米2、延长线段AB到C，使BC=2AB，那么AC∶AB=（）A、2∶1B、3∶2C、1∶2D、3∶13、等边三角形的边与高的比是 _________．4、一条线段和一个角在放大10倍的放大镜下看是10㎝和60°，则这条线段的实际长是，角的实际是5、在同一时刻 , 量得长2米的测杆影长3．5米 , 一电线杆的影长为17．5米 , 则这电线杆高等于 _________．6、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且 a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么d= ㎝.7、如果a∶b=3∶2 , 且b是a和c的比例中项 , 那么b：c为 _________．8、已知线段a=6cm , b=8cm , c=15cm(1)求它们的第四比例项d；(2)求a , b的比例中项X；(3)求a , c的比例中项Y9、某学校如图所示,比例尺是1∶2000,请你根据图中尺寸(单位:㎝),其中AB⊥AD,求出学校的周长及面积.9、如图，在△ABC 中，AB=6㎝，AD=4㎝，AC=5㎝，，且AD AE AB AC =，①求AE 的长；②等式AD AE BD EC= 成立吗？10、已知x 是a 、b 的比例中项，且a=（52+11），b=（52-11），若x ＜0，则x=__________11、如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ） (A)2:1 (B)1: 2 (C)3:1 (D)1: 3线段的比（二）基础 1、若x x y -＝2，则x y= ； 2、已知0235a b c ==≠，则b c a b ++的值是 课堂学习：1. 比例的基本性质两条线段的比实际上就是两个数的比.如果a ,b ,c ,d 四个数满足d c b a =,那么ad =bc 吗？反过来，如果ad =bc ,那么d c b a =吗？与同伴交流. 【 例1 】（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d d c +; （2）如果d c b a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d d c b b a -=-成立吗？为什么？巩固练习:1、 已知),0,0(32≠≠=y x y x 求：⑴yx ；⑵x y x -；⑶x y x +. 2、如果线段a 、b 、c 、d 满足ad=bc ，则下列各式中不成立的是（ ）A 、a cb d = B 、1111ac bd ++=++ C 、a b c d b d ±±= D 、a c a b d b ±=±归纳与小结：可以用比例的基本性质，也可用合比性质【 例2】 （1）如果f e d c b a ==,那么ba f db ec a =++++成立吗？为什么？ （2）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.?巩固练习:已知a ：b ：c=2：3：4,且a-2b+3c=20,则a+2b+3c=归纳与小结：连比时，可设比例系数为 k拓展提高：已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 求①222x y z xy xz yz+-++ ② ()x y +：(y+z) ③(x+y-3z)：(2x-3y+z)小结：1.熟记成比例线段的定义.2.掌握比例的基本性质，并能灵活运用.当堂检测：1、已知2925a b a b +=-，则a ：b= ；2、如果y y x + = 47，那么yx 的值是 3、若3x －4y = 0，则y y x +的值是 ；4、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________． 作业：1、如果53=-b b a ,那么b a =________． 2、已知（a －b ）∶（a ＋b ）= 3∶7，那么a ∶b 的值是 .3、若875c b a ==,且3a －2b +c =3,则2a +4b －3c 的值是_________． 4、如图4—1—2，等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是（ ）cm ．A ．72．8B ．51C ．36．4D ．285、已知dc b c =,则下列式子中正确的是（ ） A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶bC ．a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D ．a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）6、已知xy = mn ，则把它改写成比例式后，错误的是 （ ）A 、n x =y mB 、m y =x nC 、m x =n yD 、m x =yn 7、若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，23==BQ ΑQ BP AP ， 求线段PQ 的长．8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21．试求a ∶b ∶c ．9、已知：a ∶b ∶c=2∶3∶5，且a 、b 、c 三数之和为100，及b=ma-10，那么m 等于（ ） A ．2 B ．23 C ．3 D ．35 10．如果a ：b=4：3，且c ：d=9：14，那么ac bd bd ac 743--的值应等于（ ） A ．211- B ．1411- C ．45- D ．32- 4.4 相似多边形基础1．各角 ，各边 的两个多边形叫做相似多边形。

如何证明线段相等或成倍数关系线段相等或成倍数关系是几何学中非常基础的概念。

在证明线段相等或成倍数关系时，我们可以利用几何性质、相关定理以及一些优秀的证明思路。

下面将详细介绍一些常用的证明方法。

一、证明线段相等的方法：1.使用等边三角形：等边三角形的三个边是相等的。

如果我们能够构造出两个等边三角形，那么其中的对应边就是相等的。

2.使用等腰三角形：等腰三角形的两个底边是相等的。

如果我们能够构造出两个等腰三角形，那么其中的底边就是相等的。

3.使用平行线：如果两个线段在一个平行线上，并且与这个平行线交叉的其他线段也相等，那么这两个线段就是相等的。

4.使用垂直线：如果两个垂直线段所在的直线对应部分相等，那么这两个线段就是相等的。

5.使用等角：如果两个线段所在直线的两个角相等，那么这两个线段就是相等的。

二、证明线段成倍数关系的方法：1.使用相似三角形：相似三角形的对应边成等比例。

如果我们能够构造出两个相似三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。

2.使用角度的平分线：如果一个角的两条边上都有一个点和另外两个点相连，且两条边上的线段成等比例关系，那么这两个线段就是成倍数关系。

3.使用三角比例关系：根据正弦定理和余弦定理等三角形的性质，可以找到线段成倍数关系的证据。

4.使用全等三角形：如果我们能够构造出两个全等三角形，那么其中的对应边就是成倍关系。

在实际的证明过程中，我们可以灵活运用上述方法，结合题目中已知的条件进行推导和证明。

此外，我们还可以使用数学归纳法，通过已知情况和递推关系进行证明。

总之，证明线段相等或成倍数关系，需要我们熟悉几何图形的性质和相关定理，并且需要有一定的几何思维能力。

只有通过多动脑、多练习，才能真正理解并掌握这些证明方法，从而熟练运用于解决实际问题。

相似三角形边比例关系
相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。

在相似三角形中，它们的对应边之间存在一定的比例关系，常用的比例关系有以下几种：
1.边长比例关系：
•对应边的长度比例相等：如果两个三角形相似，那么它们对应边的长度之比相等。

即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=AC/DF=BC/EF。

2.高度比例关系：
•对应高度之比相等：如果两个三角形相似，那么它们对应高度的长度之比相等。

即若三角形ABC与三角形DEF相似，则有h₁/h₂=h₃/h₄=h₅/h₆，其中h₁、h₂、h₃、h₄、h₅、h₆分别为两个三角形的对应高度。

3.面积比例关系：
•对应面积之比相等：如果两个三角形相似，那么它们对应面积的比值等于对应边的长度之比的平方。

即若三角形ABC与三角形DEF 相似，则有[ABC]/[DEF]=(AB/DE)²=(AC/DF)²=(BC/EF)²，其中[ABC]和[DEF]分别为两个三角形的面积。

这些比例关系在解决相似三角形的问题中非常有用。

通过利用这些比例关系，我们可以确定未知边长、高度或面积的值，或者进行比较和求解相关问题。

需要注意的是，这些比例关系仅适用于相似三角形，不适用于其他非相似的三角形。

在应用比例关系时，应确保已经确认了三角形的相似性。

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线段比例定理与相似三角形线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。

它们在几何学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将详细介绍线段比例定理和相似三角形的定义、性质和应用。

一、线段比例定理线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等于被他们分割的两部分的比例。

具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列等式成立：AC/CB = AB为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。

考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。

根据线段比例定理，可以得出下列等式：AD/DB = AB/BC这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。

二、相似三角形相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不一定相等。

具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。

符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。

相似三角形可以通过比较对应边的长度比例来判断。

在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。

这个比例关系又称为“对应边比例定理”。

相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等；2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等；3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数；4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。

三、线段比例定理与相似三角形的应用线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴影和影子长度来计算物体的高度。

2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。

相似图形与比例关系相似图形是指具有相同的形状但不一定相同的大小的两个或多个图形。

在相似图形中，各个对应部分的长度之比保持不变，这种比例关系被称为相似比例尺。

相似性质1. 对应角相等：在相似图形中，对应的角是相等的。

这意味着如果两个图形的角度相同，那么它们是相似的。

2. 对应边成比例：在相似图形中，对应边的比值是相等的。

假设有两个相似三角形，它们的对应边长度分别为a和b，则它们的比例关系可以表示为a:b。

3. 长度比与面积比：在相似图形中，任意一对相似图形的对应边长度比等于它们的面积比的平方根。

即若a:b为相似图形的对应边长度比，那么它们的面积比为a^2:b^2。

应用举例1. 长方形的相似性：假设有两个长方形，它们的宽度和长度比分别为a:b，那么它们的面积比将为a^2:b^2。

这意味着如果一个长方形的宽度是另一个长方形的一半，那么它们的面积比将是1:4。

2. 直角三角形的相似性：在相似直角三角形中，三角形的两条直角边的长度比是相等的。

例如，在一个直角三角形ABC中，如果有一条线段DE满足AB:DE=1:2，那么角BAC与角EDF将是相等的，其中DF是DE的平方根倍。

3. 圆的相似性：在相似圆中，圆的半径之比等于圆的周长之比，也等于圆的面积之比。

这意味着如果两个圆的半径之比为a:b，那么它们的周长和面积之比也将是a:b。

总结相似图形之间的比例关系可以帮助我们计算未知数的值，从而解决与相似性质相关的问题。

通过了解相似比例尺和相似图形的性质，我们可以更好地理解和应用这一概念。

在解决实际问题或进行几何推理时，相似图形与比例关系将为我们提供有力的工具。

三角形相似的判定条件：三角形相似的条件：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；三边对应平行，两个三角形相似；斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似；全等三角形相似。

一、相似三角形的判定定理：1.平行于三角形一边的直线和其他两边和两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

2.如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

3.如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

4.如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似。

二、相似三角形介绍三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫作相似三角形。

相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广。

全等三角形可以被理解为相似比为1的相似三角形。

相似三角形其实是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是几何中两个三角形中，边、角的关系。

三、相似三角形的性质1.性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方2.性质：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

四、特殊情况1.凡是全等的三角形都相似。

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1。

反之，当相似比为1时，相似三角形为全等三角形。

2. 有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。

由此，所有的等边三角形都相似。

平行线分线段成比例及相似多边形责编：常春芳【学习目标】1. 平行线分线段成比例及其推论.2. 平行线分线段成比例及其推论的应用.3.相似多边形的有关概念.【要点梳理】要点一、平行线分线段成比例及其推论平行线分线段成比例，一般地，有如下基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.要点诠释：(1).对应线段成比例可用下面的语言形象表示： 等等.右全左全右上左上全上全上下上下上===,,（2）有推论可以得出以下结论：要点二、行线分线段成比例及其推论的应用行线分线段成比例及其推论的应用主要是来求线段的长度.要点三、相似多边形的有关概念相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.它的符号是“∽”，读作“相似于”.相似比：相似多边形的对应边的比叫做相似比.要点诠释：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； （2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等.（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．【典型例题】类型一、平行线分线段成比例及其推论1、如图，直线AD ∥BE ∥CF ，BC= EF 的值是__________.AB=BC【答案】2.【解析】2、（2015•安庆一模）如图，△ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC，连接PC、QB，分别交AB、AC于M、N，连接MN，若MN=1，BC=3，求线段PQ的长．【思路点拨】根据PQ∥BC可得，进而得出，再解答即可．【答案与解析】解：∵PQ∥BC，∴=，∴，∴，∵AP=AQ，∴PQ=3．【总结升华】此题考查了平行线段成比例，关键是根据平行线等分线段定理进行解答．举一反三【变式】如图，直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，则BF等于______________.【答案】7.5.类型二、平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．【答案与解析】解：∵AB∥DC，==举一反三【变式】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE=6，的长是（ ）AD AB =A ．4.5B ．8C ．10.5D ．144、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）A B C 6 D 233216【答案】B.举一反三【变式】如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ）A．5：8 B．3：8C．3：5D．2：5【答案】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．类型三、相似多边形的有关概念5、如图是一个由12个相似（形状相同，大小不同）的直角三角形所组成的图案，它是否有点像一个商标图案？你能否也用相似图形设计出几个美丽的图案？最好再给你设计的图案取一个名字．【思路点拨】相似图形是指形状相同的图形．根据相似图形进行变换可以形成一些美丽的图案．【答案与解析】解：由12个相似的直角三角形形成的图案很有创意，给人以美的享受，可以作为一个商标的图案．以下几个图案分别是用相似形设计的美丽图案．【总结升华】考查的是相似图形，相似图形是指形状相同的图形．把一组相似图形进行变换可以得到美丽的图案．6.（2014•南通）如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．（1）求证：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．【思路点拨】（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；（2）连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，根据∠DAB=60°得到然后求112BP AB ==，得EP=2，最后利用勾股定理求得EB 的长即可求得线段GD 的长即可．【答案与解析】（1）证明：∵菱形AEFG ∽菱形ABCD ，∴∠EAG=∠BAD ，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB ，∴∠EAB=∠GAD ，∵AE=AG ，AB=AD ，∴△AEB ≌△AGD ，∴EB=GD ；（2）解：连接BD 交AC 于点P ，则BP ⊥AC ，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．【总结升华】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是了解相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．。

利用相似三角形求解线段比例线段比例是相似三角形的应用之一。

相似三角形具有对应角相等的特点，根据三角形的性质可以推导出线段比例关系。

在几何学中，利用相似三角形求解线段比例是一种常见的解题方法。

本文将介绍相似三角形的基本概念，并以实际题目为例，详细解答如何利用相似三角形求解线段比例。

相似三角形是指具有对应角相等的两个三角形。

两个相似三角形的对应边之间存在比例关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，记作∆ABC∼∆DEF。

根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。

利用相似三角形求解线段比例的基本思路是通过观察已知条件和待求比例之间的关系，建立相似三角形，并应用上述比例关系求解。

接下来，我们通过实际题目来演示相似三角形求解线段比例的具体过程。

【示例题目】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的内部点，且满足AD/DB = 2, AE/EC = 3。

若线段DE与BC平行，求线段DE与BC 的比例。

解析：根据题目已知条件可以得出AD/DB = 2, AE/EC = 3，而根据线段平行的性质可知线段DE与线段BC平行。

我们可以通过构造相似三角形来求解。

首先，连接点D、E与点B、C，分别得到线段BD和CE。

根据相似三角形的性质，我们可以得出△ADE∼△ABC。

根据对应边成比例的关系，可得AD/BD = AE/EC = DE/BC。

由于已知AD/DB = 2，AE/EC = 3，我们可以将它们带入上述比例关系式中，得到2 = DE/BC= 3。

因此，线段DE与BC的比例为2:3。

通过这个例子，我们可以总结出利用相似三角形求解线段比例的一般步骤：1. 根据已知条件，确定相似三角形的构造方式。

2. 建立相似三角形的比例关系。

3. 将已知条件和待求比例带入比例关系，求解未知量。

在实际应用中，利用相似三角形求解线段比例经常出现在建筑设计、地图测量、光学模型等领域。

图形的相似成比例线段contents •引言•图形的相似•成比例线段•图形相似与成比例线段的关系•典型例题与解题方法•总结与回顾目录如果两个图形对应角相等，对应边的长度成比例，那么这两个图形称为相似图形。

相似图形对应角对应边在两个相似图形中，相互对应的角称为对应角。

在两个相似图形中，相互对应的边称为对应边。

03相似图形定义0201成比例线段在同一平面内，四条线段a、b、c、d称为成比例线段，如果其中两条线段的长度比等于另外两条线段的长度比，即a/b=c/d。

交叉乘积定理在成比例线段中，交叉乘积相等，即ad=bc。

成比例线段定义学习目标通过学习图形的相似和成比例线段，我们应该达到以下目标能够运用这些知识解决简单的几何问题；掌握相似图形和成比例线段的基本概念和性质；培养空间思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习几何学打下坚实基础。

相似图形的对应角相等，对应边成比例。

形状相同相似图形的大小可以不同，但形状必须相同。

大小可变对应线段之间的比值相等，即若a/b = c/d，则两图形相似，其中a、b、c、d分别为两图形的对应线段。

比例性质两角分别对应相等的两个图形相似。

AA判定两边对应成比例且夹角相等的两个图形相似。

SAS判定三边对应成比例的两个图形相似。

SSS判定建筑设计：建筑师利用相似图形来设计不同尺寸但风格统一的建筑物，如一个小区的房屋、围栏和公园设施。

艺术和设计：艺术家和设计师使用相似图形来创造分形艺术，以及在标志、海报和其他视觉设计中实现缩放效果。

这些性质、判定方法和应用展示了图形相似在几何学和现实生活中的重要性。

理解图形的相似有助于我们更好地分析、设计和应用各种形状和结构。

机械制图：在制造业中，相似的图形用于绘制不同比例的零件和装配图。

相似图形在生活中的应用等比性质在成比例线段中，若将其中两条线段作为一个整体，则其他两条线段的长度比等于这两条线段的长度比，即若a:b=c:d，则有(a+b):b=(c+d):d。

对应线段成比例的三种情形
要说对应线段成比例，咱们四川人讲起来也是头头是道，不
外乎就是那么几种情况嘛。

第一种嘛，就是平行线截割定理。

你想象一下，有两条平行线，中间被几条横七竖八的线给截了，那这些被截的线段，只要
它们在同一条直线上头，对头对的，那就是成比例的。

就好比说
你吃串串，两根签子串的肉大小一样，那就是成比例的噻。

第二种情况呢，就是相似三角形的对应边成比例。

你看嘛，
两个三角形要是长得像，那它们的对应边肯定就是成比例的。

就
像你跟你爸或者你妈长得像，那你们的一些特征，比如说眼睛大小、鼻子高低，那肯定就是成比例的。

最后一种，就是圆里面的弦的比例关系。

你画一个圆，然后
在圆里面画几条弦，只要这些弦满足一定的条件，那它们的长度
也是成比例的。

这个就跟咱们打麻将一样，有时候摸到的牌，要
是组合得好，那也是能打出好胡子的，这就叫“比例搭配得好”。

所以说嘛，对应线段成比例，其实就是要看它们是不是满足
上面这三种情况。

只要满足了，那它们就是成比例的。

这就像咱
们四川人吃火锅，只要火候、食材、调料都搭配得好，那吃起来
肯定就是美滋滋的。

所以说，数学也是跟生活息息相关的，只要
你用心去发现，就能找到其中的乐趣。

在“相像形”中证明线段成比率崔淑霞在相像形一章中，有大批的题目是证明线段成比率，解决这种问题，能够用下边几种方法：1.用平行截割定理（1）三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率。

（2）平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得的对应线段成比率。

（3）相像三角形的对应边成比率。

例 1. 如图 1，△ ABC 中， D 为 AB 边上一点， DE ∥BC 交 AC 于 E。

求证： AD ：AB＝ AE：AC剖析：用定理（2），即可证。

证明：由于DE∥BC ，所以 AD ： AB ＝ AE ：AC例 2. 如图 2，△ ABC 中， P 为 AB 边上一点，且∠ ACP ＝∠ B。

求证： AC2 AP·AB剖析：欲证 AC 2 AP· AB ，只要证AC AP，只要证 ACP ~ ABC 。

AB AC 证明：由于∠ A ＝∠ A，∠ ACP ＝∠ ABC所以△ ACP ∽△ ABC所以，AC AP，AC 2 AP·AB AB AC2.用等线段代换当直接证明四条线段成比率有困难时，能够考虑把此中一条（或两条）线段用与之相等的线段替代，进而解决问题。

例 3. 在△ ABC （ AB ＞ AC ）的边 AB 上取一点 D ，在边 AC 上取一点 E，使 AD ＝ AE ，直线 DE 和 BC 的延伸线交于点 P。

求证： BP： CP＝ BD ： CE剖析：如图 3，过 C 作 CF∥ AB ，交 PD 于 F，由 AD ＝ AE ，可证明 CE＝ CF，进而用 CF 替代 CE，转变为证明BP： CP＝ BD ：CF。

证明：作CF∥ AB ，交 PD 于点 F，则有BP： CP＝ BD ： CF由于 AD ＝AE所以∠ AED ＝∠ ADE由于 CF∥ AB所以∠ CFE＝∠ ADE即∠ AED ＝∠ CFE又∠ AED ＝∠ CEF，所以∠CFE＝∠ CEF，即 CE＝ CF故 BP：CP＝ BD ： CE3.用等比代换假如a e ，c e ，那么 a c。

《成比例线段》图形的相似汇报人：2023-12-18•成比例线段的概念与性质•相似图形的定义与性质•成比例线段与相似图形的关系目录•成比例线段与相似图形的综合应用•总结与展望01成比例线段的概念与性质0102成比例线段的定义成比例线段也可以理解为两个相似图形中的对应线段之间的比值相等。

成比例线段是指在平面上画两条线段，如果它们之间的比值等于另外两条线段之间的比值，则称这两组线段成比例。

如果两条线段成比例，则它们之间的比值是常数，即 a:b = c:d。

性质1性质2性质3如果两条线段不成比例，则它们之间的比值是无理数，不能用分数表示。

如果两条线段成比例，则它们之间的长度比值等于它们之间的面积比值。

030201方法2利用相似三角形的性质进行判定。

如果两个三角形相似，则它们的对应边之间的比值相等，从而可以判定四条线段是否成比例。

方法1利用定义进行判定。

如果四条线段a、b、c、d满足a:b = c:d，则它们成比例。

方法3利用平行线的性质进行判定。

如果两条线段平行，则它们之间的比值等于另外两条平行线段之间的比值，从而可以判定四条线段是否成比例。

02相似图形的定义与性质两个图形在大小和形状上完全相同。

两个图形形状相同两个图形对应角相等，即每个对应角都相等。

对应角相等两个图形对应边成比例，即每条对应边之间的长度比相等。

对应边成比例相似图形的定义相似比是两个图形对应边之间的长度比，它反映了两个图形的大小关系。

相似比由于相似图形对应边成比例，因此它们的面积比等于相似比的平方。

面积比由于两个图形形状相同，因此它们的对应角相等。

对应角相等根据相似图形的定义，直接判断两个图形是否相似。

定义法利用相似三角形的判定定理，通过比较三角形的三边长度或两边长度之比来判断两个三角形是否相似。

判定定理法通过比较两个图形的对应角和对应边的长度来判断它们是否相似。

SAS判定法通过比较两个图形的两个对应角和包含的边长来判断它们是否相似。