第一讲：相似三角形——比例线段

21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
知识点 3 平行线分线段成比例基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边 的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式： 如图，∵DE∥BC， AD = AE , AD = AE , BD = CE .
DB EC AB AC AB AC
例4 如图，F是 ABCD的边CD上一点，连接BF， 并延长BF交AD的延长线于点E.求证：DE DF .
5、一个人在科学探索的道路上，走过弯 路，犯 过错误 ，并不 是坏事 ，更不 是什么 耻辱， 要在实 践中勇 于承认 和改正 错误。 ——爱 因斯坦 6、瓜是长大在营养肥料里的最甜，天才 是长在 恶性土 壤中的 最好。 ——培 根 7、发光并非太阳的专利，你也可以发光 。

追问：上述问题中，若AB:BC=m:n,那么DE:EF=m:n吗？你 又能得到什么结论？
结论：如果 AD//BE//CF， 那么 AB:BC=DE:EF=m:n
两条直线被一组平行线所截，所
得的对应线段成比例.
结论2：平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
说明： ①定理的条件是“两条直线+一组平行线所截”. ②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字.
E
G
B
C
D
C
F
A
B
E
A
3、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A: —AA—DB ＝ —AAEC— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—CD ＝ —AA—BE ( ) D: —AA—ED ＝ —AA—CB ( )B
C
4、填空题:
ED
如图:DE∥BC,AE=2,AC=5,

A
几何语言： 在△ABC中，如果DE∥BC，那么：
D
E
AD AE , AB AC （上比全，全比上） B
C
AB AC AD AE
DB AB
E C ，A B AC DB
AC , EC
（下比全，全比下）
AD AE , DB EC , DB EC AD AE
（上比下，下比上）
变式思考
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形与原三角形三边 对应成比例吗？
l1 l2
A
l3
D
E
l4
B
C l5
l1 l2
DE
l3
A
l4

三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。

本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。

一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。

当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。

三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。

设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。

相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。

二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。

2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。

3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。

三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。

比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。

设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。

四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。

解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。

2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。

线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。

本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。

1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。

设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。

当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。

2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。

若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。

相似三角形的边长比例与角度比例成正比。

3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。

比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。

4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。

常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。

这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。

5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。

例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。

b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。

c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。

例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。

总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。

通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。

线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。

本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。

设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。

根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。

换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。

2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。

设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。

这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。

二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这是相似三角形的定义之一。

2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。

3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。

设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。

4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。

设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。

线段的比例分点与相似三角形线段的比例分点与相似三角形是数学中重要的概念和定理。

在几何学中，线段的比例分点是指将线段按照一定比例分为两段的点，而相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。

本文将详细介绍线段的比例分点和相似三角形的相关内容。

一、线段的比例分点线段的比例分点是指在一条线段上，将其按照一定的比例分为两段的点。

设有一条线段AB，将其分为两段的点P和Q，当点P将线段AB分为AP和PB两段时，点Q将线段AB分为AQ和QB两段，且满足AP：PB = AQ：QB时，称点P和Q分别为线段AB的比例分点。

线段的比例分点具有以下性质：1. 比例分点唯一性：线段AB的比例分点是唯一的，即在一条线段上，只有一个点能够将其按照一定的比例分为两段。

2. 分点与线段的长度关系：设线段AB的比例分点为P和Q，线段AP的长度为x，线段PB的长度为y，线段AQ的长度为m，线段QB 的长度为n，则有x：y = m：n。

3. 全长内外分点：当m+n=1时，称P和Q是线段AB的全长内分点；当m+n>1时，称P和Q是线段AB的全长外分点；当m+n<1时，称P和Q是线段AB的全长外分点。

二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。

设有两个三角形ABC和DEF，若它们的对应角度相等，即∠A = ∠D，∠B =∠E，∠C = ∠F，则称三角形ABC与DEF相似。

相似三角形的性质：1. 对应边的比例关系：相似三角形的对应边之间有一定的比例关系。

若三角形ABC与DEF相似，并且AB：DE = BC：EF = AC：DF = k，则称k为相似比。

2. 高线的比例关系：相似三角形的高线之间也有一定的比例关系。

若三角形ABC与DEF相似，并且AD：DG = BE：EH = CF：FI = k，则称k为相似比。

3. 面积的比例关系：相似三角形的面积之间具有一定的比例关系。

若三角形ABC与DEF相似，并且面积(ABC)：面积(DEF) = k²，则称k 为相似比。

数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。

它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。

随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。

以下是店铺整理的数学相似三角形的知识点归纳，希望帮助到您。

数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。

（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。

简称比例线段。

（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。

这个点叫做黄金分割点。

顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。

（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。

（比例=====等积）。

主要作用：计算。

合比性质，主要作用：比例的互相转化。

等比性质，在使用时注意成立的条件。

二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。

三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。

2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。

三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1。

定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a ∥b ∥c ，则EF DE BC AB =.图1—2-13。

定理的证明：若BCAB 是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段,把问题转化为平行线等分线段,达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。

4。

定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行,构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多。

知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化（如图121）：如果已知是a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等,便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

2。

符号语言表示:如图1-2-2所示,a ∥b ∥c,则BC DE AC AE AB AD ==(1) （2）图1—2—23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好.误区警示实际应用时,通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形,如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究：我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1—2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF)。

第1讲 ：相似三角形【基础知识】知识点1：相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 知识点2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=． 注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad cb =．知识点3 ：比例的性质 基本性质：(1)bc ad d c b a =⇔=::；(2)b a c b c c a ⋅=⇔=2::． 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=． 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cd a b d c b a =⇒=． 合比性质：dd c b b a d c b a ±=±⇒=． 注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 ：比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 推论：(1)平行于三角形一边直线截其它两边(或两边的延长线)所得对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点5 ：黄金分割把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．知识点6 ：相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意：①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． 知识点7 ：相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是： BC DE // ，ADE ∆∴∽ABC ∆．知识点8 ：相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则A B C ∆∽C B A ''''''∆．知识点9：三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

发生同样和差变化比例仍成立．如：
a bc db aaa b
a b
d c
c cd cd
．
5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
a
如果
b
c d
e f
m (b d n
f
n
0)
，那么
a b
c d
e f
m n
a
．
b
注意：
(1)此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形． 3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对 应边的长度成比例。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1. 比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b 的长度分别是 m、n，那么就说这两条线
区的实际面积是
平方米.
例题 3、(1)已知 x∶y∶z＝3∶4∶5，①求 x y 的值；②若 x＋y＋z＝6，求 x、y、z. z
(2)已知
a、b、c、d
是非零实数，且
b
a c
d
a
b c
d
b
c a
d
a
d b
c
k
，
求 k 的值.
(3) 若 a 、 b 、 c 是 非 零 实 数 ， 并 满 足 a b c a b c a b c ， 且
c
b
a
x (a b)(b c)(c a) ，求 x 的值.
abc
例题 4、(1)已知线段 AB＝a，在线段 AB 上有一点 C，若 AC＝ 3 5 a ，则点 C 是线段 2

相似三角形（一）-------------------线段的比、比例线段一、知识点：1、线段的比：2、比例线段：等价形式3、比例尺：4、合比定理：5、等比定理：6、黄金分割点：黄金比例：7、方法：二、精选例题例1：(1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求zy x +的值；②若x+y+z=6，求x 、y 、z.(2)已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y.(3)已知a 、b 、c 是非零实数，且 EMBED Equation.3，求k 的值.(4)若a 、b 、c 是非零实数，并满足 EMBED Equation.3 ，且a b ca c cb b a x ))()((+++=，求x 的值.针对练习：1.若4x=5y,则x ∶y ＝ .2.若3x ＝4y ＝5z ，则y z y x +-∶xx z y -+＝ . 3.已知13y x -＝7y ，则yy x +的值为 . 4.已知b a ＝43，那么bb a +＝ . 5.若b a ＝dc ＝f e ＝3，且b+d+f ＝4，则a+c+e ＝ . 6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ .7.若b a b +＝53，那么b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .例2、已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积.例3、（1）已知线段AB ＝8，C 为黄金分割点，求AC ：BC（2）已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 253-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？课堂练习9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′， EMBED Equation.3 ＝ EMBED Equation.3＝ EMBED Equation.3 ＝ EMBED 낣볐 鍤栺塺漘ܫມ△塂猍⫬⫬ﾕ끗⫬⫬㔱駞⫬⫬ ⫬छ촘몔Ѝ歭愾蒖鱐秡⫬峢ﵬ쳸㣯朁荤オ 㤻祿 喇⫬셩 葁乁 ⫬ 顇㛨 ⫬捀⫬䘣檆骯誵乷仝 程뿶幹詀쐊幷⫬ 뇊㨇㱣鼚쵝敫隑⫬㉨폰ﮐ鏁巠 뷁鳨⫬쑦छ랭ᾨ 灼 꼤쁐蠆 㳸 鑾㑾옭韹얩魊㮟 磃텮䝅 ఠ 舼鈌漲⫬稤⫬䝖랦簏뺷⫬⫬⫬笏㐀豈跲诐 栉⫬劫⫬⫬䗼 訵졍⫬뼫欮⫬包鄓닳⫬屑⫬ 瘱ӝ ⫬壃㯑๊譱뗋㾞⫬ ᾂ㤙傔 噇⫬ƿ⫬㫹넊许콽垊휿⫬䨛㦭 Ḷ剉 프⫬⫬Ä3꼀℁픚㘕䏅 沔⫬ʉ⤡⫬Ả篓矀嵪쬥⫬๊䘸⫬꽕뙄芓⫬袿싪꽖趙屏单綏냑捲⫬憝翕妸솔둋鏭깮⫬⫬㛒 鸖ž씴ཿ⫬燫䯶挮猙怵⫬ ⫬瞹 樷 拢嚾绎嫥墫 薪踭嗍餚닱酨닚邇⫬⫬⫬燠똕⫬⫬툉삮誼쬗‹㦝豜嶇薰㸿⫬㟇 ⫬盿⫬狉⫬幝蚖瞅쩮僾௺ұ௺⫬逘۾횪먫旿뢡⫬捓⫬⫬荶훦ῐ⫬ ⫬⫬ﾾ뾞ǿ쪿뿯౨3ĀÀĀझ x 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么z y x z y x +--+33＝ 15. 正方形对角线的长与它的边长的比是16.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km.17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______.18.已知b a ＝d c ＝52 (b+d ≠0)，则db c a ++＝ 19、若43x x =，则x 等于 20．已知35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 21、若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 22．已知a b a 3)(7=-，则=ba 23．如果2===c zb y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 24．在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .25．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .26．已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .27．若43===f e d c b a , 则______=++++f d b e c a .28、若322=-y y x , 则_____=y x . 29．已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .30．图纸上画出的某个零件的长是32 mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .练习：1、已知875c b a ==，且20=++c b a ，求c b a -+2 2、若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，求b a -的值．3、若65432+==+c b a ,且2132=+-c b a ，试求c b a :: 4.已知0≠-=-=-za c y cb x b a ，求x+y+z 的值.5、已知0753≠==z y x ，求下列各式的值：(1)y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.。

线段比例与相似三角形线段比例与相似三角形是几何学中重要的概念。

在这篇文章中，我们将探讨线段比例与相似三角形之间的关系，并解释它们在几何学中的应用。

一、线段比例的定义与性质线段比例是指两个线段之间的长度关系。

假设有两个线段AB和CD，它们的长度分别为a和b。

如果这两个线段之间存在比例关系，即a:b为一个确定的数值k，那么我们可以记作AB：CD = a：b = k。

线段比例具有以下性质：1. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个对应部分也满足比例关系。

2. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个相似三角形的对应边也满足比例关系。

3. 如果线段AB与CD之间的比例关系为a：b = k，且线段BC与DE之间的比例关系为b：c = k，那么线段AC与DE之间的比例关系为a：c = k。

二、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相似形状但不一定相等的三角形。

两个三角形相似的条件为它们对应角相等，并且对应边成比例。

如果有两个相似三角形ABC和DEF，我们可以记作ΔABC ∽ ΔDEF。

相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB：DE = BC：EF = AC：DF。

2. 相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3. 如果两个三角形的两个角相等，并且一对对应边成比例，那么它们是相似三角形。

4. 相似三角形的比例因子等于两个相似三角形任意两对成比例边的比值。

三、线段比例与相似三角形的关系线段比例与相似三角形之间存在紧密的联系。

当两个线段之间满足比例关系时，它们所在的三角形也是相似的。

具体而言，如果两条平行线段AB和CD之间的线段比例为a：b = k，那么通过连接这两个线段与CD的两个端点，我们可以构成两个相似三角形ABC和CDE，其中∠A = ∠C，∠B = ∠D。

这个性质也被称为对应角的性质。

根据相似三角形的性质，在相似三角形ABC和CDE中，对应边也成比例，即AB：CD = BC：DE = AC：CE = a：b = k。

相似三角形一一比例线段教学过程-、课堂导入1举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。

如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618 这个比值有关。

你知道0.618 这个比值的来历吗？二、复习预习1、什么是两个数的比？2与一3的比；一4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？2、比与比例有什么区别？3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？2 4 2 2 —4答案：1、2：（—3）=—3 ；—4：6= —6 =—3 ； 3 = 6 ，2，—3，—4，6 四个数成比例。

注意四个数字的书写顺序。

2、比是一个值；比例是一个等式。

a c3、a:b=c:d即b =d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解考点1比例线段a c一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即b =d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

a _ c注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性•如d是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例。

考点2比例的性质1、 比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式a c ad =bcb d2、 合比性质：分子加（减）分母，分母不变。

c a kb c kd匚厂— 心、2 3…）3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变a b 4、比例中项：若一二-即b 2 =a G 则b 是a,c 的比例中项。

b c= m （b d f 一一 七n =0）则 n若—-b d考点3AC _ BC在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC,如果AB「AC，那么称线段AB 被点C分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比。

线段比例定理与相似三角形线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。

它们在几何学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将详细介绍线段比例定理和相似三角形的定义、性质和应用。

一、线段比例定理线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等于被他们分割的两部分的比例。

具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列等式成立：AC/CB = AB为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。

考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。

根据线段比例定理，可以得出下列等式：AD/DB = AB/BC这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。

二、相似三角形相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不一定相等。

具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。

符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。

相似三角形可以通过比较对应边的长度比例来判断。

在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。

这个比例关系又称为“对应边比例定理”。

相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等；2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等；3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数；4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。

三、线段比例定理与相似三角形的应用线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴影和影子长度来计算物体的高度。

2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。

，

=

等.

D
l4
（Ⅱ） 任意平移l5 ，如图

=

l2
E
l5
C
F
平行线分线段成比例定理
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
试一试
l1 l2
l3
A
如图，根据分线段成比例定理，
=

，

=

等.

l2
l1
E
l4
D
l4
D
可以得到哪些比例相等？


的关系是否发生变化？
C
l2
D
E
F
观察图象，得
（Ⅰ）

=

l1

=


与 相等

l3
A
B
即

=


与 相等


与 的关系不发生变化.

同理，根据比例的基本性质，得


=

，

=
A
猜想： △ADE∽△ABC.
你能证明这个猜
想吗？试一试吧！
D
B
E
C
证明：先证明两个三角形的角分别相等.
在△ADE和△ABC中，∠A=∠A.
A
∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
D
再证明两个三角形的边成比例.
E
过点E作EF∥AB，交BC于点F.
B
∵ DE∥BC， EF∥AB，


C和点D、E、F．已知AB=1，BC=3，DE=2，则EF的长

������������
=
������������ ������������
=
������������ ������������
=
23.
又 DF=1,∴AF=2,AD=3.
又������������
������������
=
������������ ������������
=
23,故
AB=92.
探究一
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
求线段的长度及其比值
【例3】 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.若BC=3,DE=2, DF=1,求AB的长度.
分析:先根据已知条件中的两组平行线得到线段比值相等,再结
合已知线段长度求出AB的长度.
解:∵DE∥BC,EF∥CD,BC=3,DE=2,
∴������������
=
������������ ������������
B.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
C.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
D.BD∥CE⇒������������������������
=
52,即������������������������
=
52.
答案:52
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
1.如图,l1∥l2∥l3,已知AB=6 cm,BC=3 cm,A1B1=4 cm,则B1C1的长为 ()
A.6 cm

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段【基础知识精讲】一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

二、成比例线段：1.比例线段： 四条线段d c b a 、、、中，如果dc b a =， 那么这四条线段d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。

2.比例中项： 如果cbb a =（或ac b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。

三、比例的性质：1. 基本性质: 如果d cb a =，那么bc ad =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d bc a =.3．反比性质: 如果d c b a =，那么c da b =.4．合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+.5．分比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a -=-.6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++ .四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果ACBCAB AC =， 那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，618.0215≈-=AB AC 。

【例题巧解点拨】例1：（1）已知 2a c a b c db d b d--==，求和（2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d++=-≠-≠=--，且求证：例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.变式训练：1.若a b c 、、均为正数，a b cx b c a c a b===+++，则x 的值一定是（ ）A 、12B 、-1C 、12或-1D 、322.已知一次函数1-=kx y 中，比例系数k 满足c a bk a b b c c a===+++， 试求直线1-=kx y 与x 轴的交点坐标. 例3：若,65432+==+c b a 且2132=+-c b a ，试求c b a ::的值。