相似三角形 之 比例线段

01相似三角形题型之一比例与比例线段比例与比例线段教学目标：1.了解比例中项的概念。

2.会求已知线段的比例中项。

3.通过实例了解黄金分割。

4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点：教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。

教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。

1．知识点与方法概述A：比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.B：比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.C：黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边. 已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证：AE=EFF：三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点求证：DE//BC，DE?G：梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。

三角形的相似比与比例线段在几何学中，三角形的相似比和比例线段是重要的概念，它们在解决三角形的相似性问题和计算边长比例时起到关键作用。

本文将介绍三角形的相似比和比例线段的概念、性质以及应用。

一、相似三角形的定义和相似比相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。

当两个三角形的对应角度相等时，它们被称为相似三角形。

三角形的相似性可以用相似比来描述，相似比是指两个相似三角形对应边长的比值。

设有两个相似三角形ABC和DEF，对应边长的比值可以表示为：AB/DE = BC/EF = AC/DF，其中AB、BC、AC分别表示三角形ABC的三条边长，DE、EF、DF分别表示三角形DEF的三条边长。

相似比可以简记为k（常为正数），即k=AB/DE=BC/EF=AC/DF。

二、相似比的性质1. 相似比的传递性：如果两个三角形ABC和DEF相似，且三角形DEF与另一个三角形XYZ相似，则三角形ABC与三角形XYZ也相似，且它们的相似比相等。

2. 相似比与边长比例关系：若两个三角形相似，对应边的相似比等于对应边长的比例。

3. 相似比与角度比例关系：若两个三角形相似，对应角的角平分线所分割的角度比等于对应边的相似比。

三、比例线段的定义和性质比例线段是指在相似三角形中，各边所对应的线段按相应的比例划分出来的线段。

比例线段在三角形的边上起到了关键作用，它们的比例关系可以帮助我们计算相似三角形的边长。

设有两个相似三角形ABC和DEF，相似比为k，若线段AD和EF 相交于点G，则线段AG和EG、线段GD和FG也满足比例关系：AG/EG = GD/FG = k。

四、应用举例1. 已知两个三角形相似，已知其中一个三角形的两个边长分别为3cm和5cm，求另一个三角形相应边的长度。

解析：如果两个三角形相似，且已知一个三角形的两个边长为3cm 和5cm，设相似比为k，则另一个三角形相应边的长度为3cm*k和5cm*k。

2. 在相似三角形ABC和DEF中，已知AD=6cm，DE=9cm，且AG:GE = 2:3，求GD的长度。

线段的比例和相似三角形在几何学中，线段的比例和相似三角形是基础知识，它们对于解决几何问题和解释世界中的各种现象都起着重要的作用。

本文将深入探讨线段的比例和相似三角形的概念及其应用。

1. 线段的比例在平面几何中，线段的比例是指两个线段之间的长度比。

设有线段AB和线段CD，它们的比例可以表示为AB:CD。

当且仅当两线段的比例相等时，它们才具有相似的长度关系。

2. 相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同的形状，但是尺寸不同的三角形。

若两个三角形的对应角度相等，则它们为相似三角形。

相似三角形的边长比例与角度比例成正比。

3. 线段的相似性质线段具有一些重要的相似性质，如比例段定理和点分段定理。

比例段定理指出，如果在两条平行线上有两个相交线段，则它们所形成的相交线段之间的长度比等于两条平行线上相应线段的长度比。

4. 相似三角形的性质相似三角形具有一些用于求解问题的重要性质。

常见的性质包括相似三角形的边长比例、高的比例、面积比例和周长比例等。

这些性质在解决实际问题时起着重要的作用，如测量高塔的高度、计算远处物体的尺寸等。

5. 应用举例a. 解决测量问题：通过计算相似三角形的边长比例，可以利用已知线段的长度求解未知线段的长度。

例如，当我们知道一栋楼的高度和影子的长度时，我们可以通过相似三角形的性质计算出楼与影子的比例，从而推算出其他未知线段的长度。

b. 设计制图：在地图或建筑设计中，相似三角形的性质可以用于将真实世界的比例缩小到纸上，从而实现精确的绘制和测量。

c. 解决角度问题：通过相似三角形的角度比例，可以计算未知角度的大小。

例如，在航空导航中，利用相似三角形的性质可以准确测算航线和飞机之间的角度。

总结：线段的比例和相似三角形是几何学中重要的概念和工具，它们在解决几何问题和实际应用中发挥着重要的作用。

通过理解线段的比例和相似三角形的性质，我们可以更好地理解和解释世界中的各种现象，同时也可以应用于实际问题的求解和设计制图等领域。

线段比例和相似三角形的性质线段比例和相似三角形是几何学中常见的概念，它们在解决图形问题和推导数学关系时具有重要作用。

本文将详细探讨线段比例和相似三角形的性质，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。

一、线段比例的概念及性质线段比例用于比较两条线段之间的长度关系。

设有两条线段AB和CD，它们的长度分别为a和b，则线段AB与CD的比值为a:b。

根据线段比例的性质，可以得出以下重要结论：1. 分割比例定理：若一条直线段分割为两段，其中一段的长度与此直线段的长度的比等于另一段的长度与这条直线段的长度的比，则这两段线段成比例。

换句话说，若有线段AC和BD，且满足AD/AB =CD/CB，则可以得出AD与CD、AB与CB成比例。

2. 相似三角形的线段比例性质：若两个三角形相似，则对应两三角形的边的比例相等。

设三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE= AC/DF = BC/EF。

这个性质可用于解决各种与相似三角形有关的问题。

二、相似三角形的概念及性质相似三角形指的是具有相同内角的三角形，它们的形状相似但大小不同。

设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的对应边分别为AB、AC、BC和DE、DF、EF，则相似三角形具有以下重要性质：1. 对应角相等：相似三角形的对应角互相相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

这是相似三角形的定义之一。

2. 边比例相等：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质是相似三角形的重要特征，可以用于解决各类与线段比例有关的问题。

3. 高度比例相等：相似三角形的对应高度之比等于对应边之比。

设h1和h2分别为三角形ABC和DEF相应的高度，则有h1/h2 = AB/DE = AC/DF = BC/EF。

这个性质可用于确定相似三角形的高度比例。

4. 面积比例平方相等：相似三角形的面积比例的平方等于对应边之比的平方。

设S1和S2分别为三角形ABC和DEF的面积，则有S1/S2 = (AB/DE)² = (AC/DF)² = (BC/EF)²。

《4.1比例线段》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我要和大家说说浙教版（2012）九年级上册第4章相似三角形中的4.1比例线段这一课。

下面我就从说教材、说学情、说教法、说学法、说教学过程以及板书设计这几个方面来详细说说。

一、说教材1. 教材的地位和作用比例线段这一内容在整个相似三角形的章节中那可是相当重要的基础部分。

就好比盖房子，比例线段就是那稳固的地基。

相似三角形在生活中的应用可不少，像是工程绘图、测量物体高度啥的，而要学好相似三角形，比例线段这关必须得先过。

它能让学生对线段之间的数量关系有更深刻的认识，为后续学习相似三角形的判定和性质等知识做好铺垫。

2. 教材内容分析这部分内容主要是讲比例线段的概念、比例的基本性质等。

概念方面，它通过一些实际的例子，比如不同长度的线段之间的比例关系，让学生直观地感受比例线段是怎么回事。

而比例的基本性质，那可就像一把万能钥匙，能帮助学生在解决很多关于比例线段的问题时打开思路。

教材里的例题和习题也是由浅入深，循序渐进地引导学生掌握这些知识。

我曾经有一次帮朋友做一个手工小制作，是一个缩小版的房屋模型。

在制作过程中，我就发现，要想让模型各个部分看起来和真房子相似，就得精确地计算每个部分的长度比例。

这就和咱们要学的比例线段一个道理，不同的线段就像房屋模型的各个部件，只有比例合适了，整体才和谐美观。

这也让我深刻地认识到比例线段在实际生活中的重要性，学生学了这个知识，也能在生活中找到类似的例子，更好地理解和应用。

二、说学情1. 知识基础九年级的学生已经学过了一些代数知识，像一元一次方程、二元一次方程组等，对于数与数之间的运算关系有了一定的基础。

而且在之前的几何学习中，也对线段的长度、图形的形状和大小等概念有了初步的认识。

但是，比例线段这个概念相对来说比较抽象，对于他们来说，要从数的比例关系过渡到线段的比例关系，还需要一个适应的过程。

2. 学习能力和特点这个阶段的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和自主学习能力。

线段比例与相似三角形线段比例与相似三角形是几何学中重要的概念。

在这篇文章中，我们将探讨线段比例与相似三角形之间的关系，并解释它们在几何学中的应用。

一、线段比例的定义与性质线段比例是指两个线段之间的长度关系。

假设有两个线段AB和CD，它们的长度分别为a和b。

如果这两个线段之间存在比例关系，即a:b为一个确定的数值k，那么我们可以记作AB：CD = a：b = k。

线段比例具有以下性质：1. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个对应部分也满足比例关系。

2. 如果线段AB与CD之间存在比例关系，那么它们与其他平行线段的任意两个相似三角形的对应边也满足比例关系。

3. 如果线段AB与CD之间的比例关系为a：b = k，且线段BC与DE之间的比例关系为b：c = k，那么线段AC与DE之间的比例关系为a：c = k。

二、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相似形状但不一定相等的三角形。

两个三角形相似的条件为它们对应角相等，并且对应边成比例。

如果有两个相似三角形ABC和DEF，我们可以记作ΔABC ∽ ΔDEF。

相似三角形具有以下性质：1. 相似三角形的对应边成比例，即AB：DE = BC：EF = AC：DF。

2. 相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

3. 如果两个三角形的两个角相等，并且一对对应边成比例，那么它们是相似三角形。

4. 相似三角形的比例因子等于两个相似三角形任意两对成比例边的比值。

三、线段比例与相似三角形的关系线段比例与相似三角形之间存在紧密的联系。

当两个线段之间满足比例关系时，它们所在的三角形也是相似的。

具体而言，如果两条平行线段AB和CD之间的线段比例为a：b = k，那么通过连接这两个线段与CD的两个端点，我们可以构成两个相似三角形ABC和CDE，其中∠A = ∠C，∠B = ∠D。

这个性质也被称为对应角的性质。

根据相似三角形的性质，在相似三角形ABC和CDE中，对应边也成比例，即AB：CD = BC：DE = AC：CE = a：b = k。

北师版九年级上册数学4.7.1相似三角形中的对应线段之比教学设计（1）△ACD与△A'C'D'CD AB∴==kC'D'A'B'所以相似三角形对应中线的比等于相似比。

类似的，我们可以得到其余两组对应中线的比也等于相似比．由此得到：相似三角形对应中线的比等于相似比．推理格式：△ABC∽△A′B′C′，相似比为kCD和C'D'分别是△ABC 和△A'B'C'的中线.CD AB∴==kC'D'A'B'【总结归纳】相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.一般的，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比。

【例1】如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。

当SR= 12BC时，求DE的长.如果SR=13 BC呢？解：∵ SR⊥AD， BC⊥AD，∴ SR∥BC.∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C.∴△ASR∽△ABC .AE SR ∴=AD BCAD-DE SR即=.AD BC学生根据所学只是做练习。

本题注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的性质有关知识解决相关问题.解：∵AE ＝3，EC ＝1，AD ＝2，BD ＝4， ∴AC ＝4，AB ＝6.∴AB ∶AE ＝AC ∶AD ＝2. 又∵∠BAC ＝∠EAD ，∴△ABC ∽△AED.又∵AF 为△ABC 的角平分线，AG 为△AED 的角平分线，∴AF ∶AG ＝AC ∶AD ＝2.5.【2020·广西】如图，在△ABC 中，BC ＝120，高AD ＝60，正方形EFGH 的一边在BC 上，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AD 交EF 于点N ，则AN 的长为( B ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．306.【2020·杭州】如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，DE ∥AC ，EF ∥AB.（1）求证：△BDE ∽△EFC. 证明：∵DE ∥AC ，∴∠DEB ＝∠FCE. ∵EF ∥AB ，∴∠DBE ＝∠FEC. ∴△BDE ∽△EFC.（2）设AF FC ＝12，若BC ＝12，求线段BE 的长；解：∵EF ∥AB ，∴BE EC ＝AF FC ＝12.。

相似三角形一一比例线段教学过程-、课堂导入1举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。

如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618 这个比值有关。

你知道0.618 这个比值的来历吗？二、复习预习1、什么是两个数的比？2与一3的比；一4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？2、比与比例有什么区别？3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概念吗？2 4 2 2 —4答案：1、2：（—3）=—3 ；—4：6= —6 =—3 ； 3 = 6 ，2，—3，—4，6 四个数成比例。

注意四个数字的书写顺序。

2、比是一个值；比例是一个等式。

a c3、a:b=c:d即b =d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解考点1比例线段a c一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即b =d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

a _ c注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性•如d是线段a、b、c、d成比例，而不是线段a、c、b、d成比例。

考点2比例的性质1、 比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式a c ad =bcb d2、 合比性质：分子加（减）分母，分母不变。

c a kb c kd匚厂— 心、2 3…）3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变a b 4、比例中项：若一二-即b 2 =a G 则b 是a,c 的比例中项。

b c= m （b d f 一一 七n =0）则 n若—-b d考点3AC _ BC在线段AB上，点C把线段分成两条线段AC和BC,如果AB「AC，那么称线段AB 被点C分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金分割比。

相似三角形知识点汇总【知识要点】1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ²BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：a b c dad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。

3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

线段比例定理与相似三角形线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。

它们在几何学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将详细介绍线段比例定理和相似三角形的定义、性质和应用。

一、线段比例定理线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等于被他们分割的两部分的比例。

具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列等式成立：AC/CB = AB为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。

考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。

根据线段比例定理，可以得出下列等式：AD/DB = AB/BC这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。

二、相似三角形相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不一定相等。

具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形。

符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。

相似三角形可以通过比较对应边的长度比例来判断。

在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。

这个比例关系又称为“对应边比例定理”。

相似三角形有一些重要的性质：1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等；2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等；3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数；4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。

三、线段比例定理与相似三角形的应用线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴影和影子长度来计算物体的高度。

2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。

相似三角形知识点归纳(全)相似三角形知识点归纳相似形的概念相似图形是指形状相同的图形，其中最简单的是相似三角形。

如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形就是相似多边形。

相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。

比例线段的相关概念和性质比例线段是指四条线段a、b、c、d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段就是成比例线段。

比例线段是有顺序的，如果a是b、c、d的第四比例项，那么应得比例式为b/c=d/a。

比例线段有一些性质，例如黄金分割，其中线段AB被分成两条线段AC和BC（AC>BC），且使AC是AB和BC的比例中项，即AC²=AB×BC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC≈0.618AB。

还有合、分比性质和等比性质。

比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理是指三条平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例。

在三角形中，由DE∥BC可得AD/DB=AE/EC或者AD/AE=DB/EC，还有其他类似的定理。

注：本文已删除明显有问题的段落，并进行了小幅度的改写。

的三角形，尝试找出它们之间的相似关系。

3)利用相似性质：根据相似三角形的性质，利用对应角相等、对应边成比例等关系进行推导证明。

4)注意细节：在使用相似性质进行证明时，需要注意各个角度、边长的对应关系，以及相似比的顺序等细节问题。

相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形，用符号“∽”表示。

相似三角形对应边的比叫做相似比，对应角相等，对应边成比例。

相似三角形有对应性和顺序性，即把表示对应顶点的字母写在对应位置上，相似三角形的相似比是有顺序的。

需要注意的是，两个三角形形状一样，但大小不一定一样，全等三角形是相似比为1的相似三角形。

判定相似三角形的方法有平行法、AA、SAS、SSS、HL 等。

其中，平行法是指平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段【基础知识精讲】一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。

二、成比例线段：1.比例线段： 四条线段d c b a 、、、中，如果dc b a =， 那么这四条线段d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。

2.比例中项： 如果cbb a =（或ac b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。

三、比例的性质：1. 基本性质: 如果d cb a =，那么bc ad =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d bc a =.3．反比性质: 如果d c b a =，那么c da b =.4．合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+.5．分比性质：如果d c b a =，那么ddc b b a -=-.6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b nmd c b a ，那么b a n d b mc a =++++++ .四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果ACBCAB AC =， 那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，618.0215≈-=AB AC 。

【例题巧解点拨】例1：（1）已知 2a c a b c db d b d--==，求和（2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d++=-≠-≠=--，且求证：例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且k cb a dd a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，求k 的值.变式训练：1.若a b c 、、均为正数，a b cx b c a c a b===+++，则x 的值一定是（ ）A 、12B 、-1C 、12或-1D 、322.已知一次函数1-=kx y 中，比例系数k 满足c a bk a b b c c a===+++， 试求直线1-=kx y 与x 轴的交点坐标. 例3：若,65432+==+c b a 且2132=+-c b a ，试求c b a ::的值。

第一讲 相似三角形——相似与比例线段第一课时一．放缩与相似 1. 相似形的概念一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。

我们把形状相同的两个图形叫做相似形。

2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠CBCC B AC C A AB B A 111111===K (2) 相似多边形的特征推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。

【典型例题】1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm ，那么长春到大连的实际距离为 千米。

【同类变式】2. 在地图上，都标有比例尺。

现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC 的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm ，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A 地（正方形场地）面积是3cm 2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个（1）有一个角是100o的等腰三角形相似 （2）有一个角是80o的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A ．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。

【同类变式】6. E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。

求矩形ABCD 的面积。

7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。

线段比例定理与三角形的相似性应用解析线段比例定理是解决几何问题中常用的原理之一，它在求解线段的长度比例时起到了重要作用。

三角形的相似性应用则是在解决三角形问题时的关键概念，它可以帮助我们简化计算过程，得到更加准确的结果。

本文将详细介绍线段比例定理与三角形相似性应用的概念和具体解析方法。

一、线段比例定理线段比例定理是指在一个平面内，若点D在线段AB上，AD与DB 的比等于点C在线段AB上AC与CB的比，则有AD/DB = AC/CB。

这个定理通过比例的概念，帮助我们计算线段的长度比例，进而解决实际问题。

例题1：已知线段AB与线段CD的比为3:5，线段DE与线段BC 的比为4:9，求线段AE与线段AC的比。

解析：根据线段比例定理，我们可以得到AB/CD = 3/5，DE/BC = 4/9。

将两个等式相乘，得到(AB/CD)*(DE/BC) = (3/5)*(4/9)，即(AB*DE)/(CD*BC) = 12/45。

移项后可得到(AB*DE)/(AE*CD) = 12/45。

同理可以得到(AE*AC)/(CD*AC) = 3/5。

由此可得(AE*AC)/(AE*CD) = 3/5，即AC/CD = 3/5。

最终我们得到线段AE与线段AC的比为3:5。

二、三角形的相似性应用三角形的相似性应用是指在两个或更多个三角形之间存在一定的比例关系，从而可以通过已知条件求解未知量。

三角形相似性应用在实际问题中有很多应用，比如求解高空物体的高度、测量难以到达的距离等。

例题2：如图所示，∠A = ∠D，∠B = ∠E，AB/DE = 3/5，AC = 12cm，求线段DF的长度。

（图示：三角形ABC和三角形DEF重合在角A和角D上，AC为线段AB的割线）解析：根据已知条件，我们可以得到三角形ABC与三角形DEF相似，且AB/DE = 3/5。

由线段比例定理可得AC/DF = AB/DE，即12/DF = 3/5。

通过交叉相乘避免分数相除，我们可以得到3DF = 5*12。

利用相似三角形求解线段比例线段比例是相似三角形的应用之一。

相似三角形具有对应角相等的特点，根据三角形的性质可以推导出线段比例关系。

在几何学中，利用相似三角形求解线段比例是一种常见的解题方法。

本文将介绍相似三角形的基本概念，并以实际题目为例，详细解答如何利用相似三角形求解线段比例。

相似三角形是指具有对应角相等的两个三角形。

两个相似三角形的对应边之间存在比例关系。

设有两个相似三角形ABC和DEF，记作∆ABC∼∆DEF。

根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。

利用相似三角形求解线段比例的基本思路是通过观察已知条件和待求比例之间的关系，建立相似三角形，并应用上述比例关系求解。

接下来，我们通过实际题目来演示相似三角形求解线段比例的具体过程。

【示例题目】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的内部点，且满足AD/DB = 2, AE/EC = 3。

若线段DE与BC平行，求线段DE与BC 的比例。

解析：根据题目已知条件可以得出AD/DB = 2, AE/EC = 3，而根据线段平行的性质可知线段DE与线段BC平行。

我们可以通过构造相似三角形来求解。

首先，连接点D、E与点B、C，分别得到线段BD和CE。

根据相似三角形的性质，我们可以得出△ADE∼△ABC。

根据对应边成比例的关系，可得AD/BD = AE/EC = DE/BC。

由于已知AD/DB = 2，AE/EC = 3，我们可以将它们带入上述比例关系式中，得到2 = DE/BC= 3。

因此，线段DE与BC的比例为2:3。

通过这个例子，我们可以总结出利用相似三角形求解线段比例的一般步骤：1. 根据已知条件，确定相似三角形的构造方式。

2. 建立相似三角形的比例关系。

3. 将已知条件和待求比例带入比例关系，求解未知量。

在实际应用中，利用相似三角形求解线段比例经常出现在建筑设计、地图测量、光学模型等领域。