江苏高二文科复习学案+练习5__函数值域和最值(一)

【题型综述】圆锥曲线中的目标取值范围与最值问题关键是选取合适的变量建立目标函数，转化函数的取值范围与最值问题，其求解策略一般有以下几种：①几何法：若目标函数有明显几何特征和意义，则考虑几何图形的性质求解；②代数法:若目标函数的几何意义不明显，利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值，注意变量的范围，在对目标函数求最值前，常要对函数进行变换，注意变形技巧，若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式，则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式，这样便于求解此函数式的最值.@【典例指引】类型一 角的最值问题例1 【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 圆的半径为MC ，,OS OT 是M 圆的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.【解析】（I ）由题意知 2c e a =，22c =，所以 2,1a b ==， 因此 椭圆E 的方程为2212x y +=.（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,23,2x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得()2211424310k x k x +--=，由题意知0∆>，且()11212221231,21221k x x x x k k +==-++， 所以 2211211221181221k k AB kx x k ++=+-=+.由题意可知圆M 的半径r 为2211211822321k k r k ++=+ 由题设知1224k k =，所以224k k =因此直线OC 的方程为24y x k =.因此22212221121119224OC r t t t t t ===≥+-⎛⎫+---+ ⎪⎝⎭，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时12k =，所以 1sin 22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤，所以 SOT ∠最大值为3π.综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为12k =. 类型二 距离的最值问题例2.【2017浙江，21】（本题满分15分）如图，已知抛物线2x y =，点A 11()24-，，39()24B ，，抛物线上的点)2321)(,(<<-x y x P ．过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PQ PA ⋅的最大值．【解析】（Ⅰ）设直线AP 的斜率为k ，则2121412-=+-=x x x k ，∵1322x -<<，∴直线AP 斜率的取值范围是)1,1(-．令3)1)(1()(+--=k k k f ，因为2)1)(24()('+--=k k k f ，所以 f (k )在区间)21,1(-上单调递增，)1,21(上单调递减，因此当k =12时，||||PQ PA ⋅取得最大值2716． 类型三 几何图形的面积的范围问题例3【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .* （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.类型四 面积的最值问题例4.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞ 的离心率是32，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .# （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【解析】（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（i ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x mm y -=-，即22m mx y -=. 设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ，（ii ）由（i ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -，又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ，所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(.【扩展链接】1.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且2020BCb x k a y =（常数）. 2.若椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)与直线m kx y l +=:交于),(),,(2211y x B y x A ，则（1）02222>-+=∆m k a b（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+2222222212222212k a b b a a m x x k a b kma x x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++=+22222222212222212k a b b a k b m x x k a b mb y y ， （3）22222222))(1(2||ka b m k a b k ab AB +-++=，2222222||k a b m k a b m ab S OAB +-+=∆.。

江苏高二数学复习学案+练习26 含指数的函数 文26.含指数的函数（如y = e x+ax +b ，及y = (ax 2+ bx + c )e x） 一、课前准备： 【自主梳理】1． 曲线f （x ）在某一点（x 0，y 0）处切线方程为 ． 2．'()x e = ；'()x a = . 3．①求导数的四则运算法则：'(()())f x g x ±= .'(()())f x g x = .'()()f x g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(()0)g x ≠. 【自我检测】1. 函数x y x ln 22-=的导函数为 .2. 函数x xe y =的导函数为 .3. 函数()xe f x x=的导函数为 .4. 曲线x y e =在0x =处的切线方程 .5. 直线12y x b =+为函数x y e =的切线方程，则切点坐标为 . 6.函数()xf x e =的递增区间为 . 7. 函数()xf x e x =-的递减区间为 . 8.函数ex e y x-=的极值为 . （说明：以上内容学生自主完成） 二、课堂活动： 【例1】填空题：（1）曲线xx y 3⋅=在点P (1,3)处的切线方程方程为 .（2）曲线x y e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为 . （3）函数()x y x k e =-的单调递增区间为 .（4）设函数2()1x e f x ax =+当43a =时，()f x 的极值点为 . 【例2】已知函数()e 1x f x ax =+-(a ∈R ，且a 为常数)．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，若方程()0f x =只有一解，求a 的值； （3）若对所有0x ≥都有()()f x f x -≥，求a 的取值范围．【例3】 已知函数2()(2),x f x ax x e =-其中a 为常数，且0a ≥。

对数与对数函数1．_______)2(lg 50lg 2lg 25lg 2=+∙+．2．函数)3(log )1(x y x -=-的定义域为_______________．3．函数)176(log 221+-=x x y 的值域是_____________．4．若153log <a ，则a 的取值范围是_____________． 5．设,1.1,8.0log ,8.0log 7.01.17.0===c b a 则c b a ,,的大小关系是_____________．6．设函数⎩⎨⎧>+≤=0),1lg(0,)(x x x x x f ，若1)(>x f ，则x 的取值范围为_________________． 7．当(]2,1∈x 时，不等式x x a log )1(2≤-恒成立，则a 的取值范围为______________．8．函数x x f 3log )(=在区间[]b a ,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值为____________．9．已知)1,0(11log )(≠>-+=a a xx x f a ． （1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明；（3）求使0)(>x f 的x 的取值范围．10．对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，回答下列问题：（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若)(x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数)(x f 在[)+∞-,1内有意义，求实数a 的取值范围．1．2．2．())3,2(2,1 ．3．(]3,-∞-．4．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛,153,0．5．b a c >>．6．()+∞,9．7．(]2,1．8．32． 9．解：（1）由011>-+x x 得11<<-x ，函数的定义域为（-1，1）； （2）因为定义域关于原点对称，所以)(11log )11(log 11log )(1x f xx x x x x x f a a a-=-+-=-+=+-=--,所以函数是奇函数． （3）1log 11log a a x x >-+ 当1>a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+>-+111011x x x x 解得()1,0；当10<<a 时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>-+111011xx x x 解得)0,1(-．10． 解：（1）由题可知0322>+-ax x 的解集是R ，所以012)2(2<--a ，解得()3,3-∈a（2）由题可知322+-ax x 取得大于0的一切实数，所以012)2(2≥--a ，解得(][)+∞⋃-∞-∈,33,a（3）由题可知0322>+-ax x 在[)+∞-,1上恒成立，令32)(2+-=ax x x g⎩⎨⎧>--≤0)1(1g a 解得(]1,2--∈a 或012)2(2<--a 解得()3,3-∈a ，综上()3,2-∈a ．。

函数及其表示方法，函数的定义域一、1．函数的三要素： ， ， 。

2．相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)3．函数解析式的求法：① 定义法（拼凑）：② ③ ④ 赋值法．4．若{,,}A a b c =，{1,4}B =；问：A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个．5．函数定义域的求法： ①)()(x g x f y =，则 ； ②)()(*2N n x f y n ∈=则 ；③0)]([x f y =，则 ； ④)(log )(x g y x f =，则 ．【自我检测】1． 已知函数()f x ax b =+，且(1)4f -=-，(2)5,(0)_________f f ==则．2． 设2:f x x →是集合A 到B （不含2）的映射，如果{}1,2A =，则________A B ⋂=．3． 函数24y x =-的定义域是 ．4． 函数21log (32)x y x -=-的定义域是 ．5．函数2223log (2)y x x x =--++的定义域是 ．6．已知()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-，则()f x 的解析式为 ．二、：【例1】填空题：（1）若一次函数f (x )的定义域为[-3，2]，值域为[2，7]，那么f (x )= ．（2）函数y =x x x --224的定义域为 ．（3）若f (21)1x x x ++=(x >0)，则f (x )= ．（4）若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【例2】给出下列两个条件：（1）f (x +1) = x + 2x f (x )为二次函数且f (0) = 3，f (x +2) -f (x ) = 4x + 2．试分别求出f (x )的解析式．【例3】某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在图中的两条线段上．该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：第t 天4 10 16 22 Q (万股)36 30 24 18(1) 根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P (元)与时间t (天)所满足的函数关系式；(2) 根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的函数关系式；(3) 用y (万元)表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？三、课后作业1．设函数f 1(x )=x 21，f 2(x )=x -1，f 3(x )=x 2，则[]))0072((123f f f = ．2．函数f (x )=)1(log 1|21|2---x 的定义域为 ． 3．若f (x ) =⎩⎨⎧≥<+)6(log )6()3(2x xx x f ，则f (-1)的值为 ．4．已知f (2211)11x x x x +-=+-，则f (x )的解析式为 ． 5．函数f (x ) =x x -132+ lg (3x +1)的定义域是 ．6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y ) = f (x )+f (y )+2xy (x ，y ∈R)，f (1) = 2，则f (-3) = ．7．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出 x 1 2 3 f (x ) 1 31则f ［g (1)］的值为 ，满足f ［g (x )］＞g ［f (x )］的x 的值是 ．8．已知函数ϕ(x ) = f (x ) + g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且ϕ（31）=16，ϕ(1) = 8，则ϕ(x ) = ．x 1 2 3 g (x ) 3 2 19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0， (1) 求f [g (2)]和g [f (2)]的值；(2) 求f [g (x )]和g [f (x )]的表达式．11．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【自我检测】1．-1 2．{1} 3．[-2，2] 4．2(,1)(1,)3⋃+∞ 5．[3,)+∞ 6．12-213x x -+或二、【例1】（1）5-4x x ++或（2）[2,1)(1,0)(0,1)(1,2]--⋃-⋃⋃（3）2111(0)x x x ++>（4）[0，34)【例2】解：（1）f (x )=x 2-1，x ∈［1，+∞)．（2）f (x )=x 2-x +3．【例3】解：(1)综上知P ＝⎩⎨⎧ 15t ＋2， 0≤t<20－110t ＋8， 20≤t≤30(t ∈N )．(2)Q ＝40－t (0≤t ≤30且t ∈N )．(3)第15天日交易额最大，最大值为125万元．三、课后作业1． 007212． []+∞,33． 3 4． f (x )=212x x +5． （-31，1）6． 6 7． 1， 2 8． 3x +x 59． 方程f (x )＝x 有3个解．10． 解：(1) g [f (2)]＝g (3)＝2．(2)g [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，x>1或x<－1，3－x 2，－1<x<1.11． 解 （1）租出了88辆车．（2）当每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307 050元．。