江苏高二文科复习学案+练习8__函数的奇偶性与对称性

§2.3函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果函数f (x)是奇函数或偶函数，则f (x)的定义域关于原点对称．2．已知函数f (x)满足下列条件，你能否得到函数f (x)的周期？(1)f (x＋a)＝－f (x)(a≠0)．(2)f (x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f (x＋a)＝f (x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a|；(2)T＝2|a|；(3)T＝|a－b|.3．若f (x)对于定义域中任意x，均有f (x)＝f (2a－x)，或f (a＋x)＝f (a－x)，则函数f (x)关于直线x＝a对称．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )题组二 教材改编2．下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①f (x )＝2x 4＋3x 2； ②f (x )＝x 3－2x ； ③f (x )＝x 2＋1x ；④f (x )＝x 3＋1. 答案 ②③3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.4.设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由图象可知，当0<x <2时，f (x )>0；当2<x ≤5时，f (x )<0，又f (x )是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]． 题组三 易错自纠5．函数f (x )＝lg (1－x 2)|x ＋3|－3是________函数．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)答案 奇解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x ＋3|－3≠0，得－1<x <0或0<x <1，即f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1)，∴f (x )＝lg (1－x 2)x ，∴f (－x )＝lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝⎛⎭⎫112＝________. 答案 18解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3， 又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫123＝18. 7．若函数f (x )＝x(x ＋2)(x －a )为奇函数，则实数a 的值为________，且当x ≥4时，f (x )的最大值为________． 答案 2 13解析 由f (x )为奇函数易知a ＝2，当x ≥4时，f (x )＝1x －4x 在[4，＋∞)上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )max ＝13.函数的奇偶性命题点1 判断函数的奇偶性例1 (2020·日照模拟)判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1,4]； (2)f (x )＝ln2－x2＋x；(3)f (x )＝1a x －1＋12(a >0，且a ≠1)； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)∵f (x )＝x 3＋x ，x ∈[－1,4]的定义域不关于原点对称，∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)f (x )的定义域为(－2,2)，f (－x )＝ln 2＋x 2－x ＝－ln 2－x2＋x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)∵f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}， 其定义域关于原点对称，并且有 f (－x )＝1a －x －1＋12＝11a x －1＋12＝a x 1－a x ＋12＝－(1－a x )－11－a x ＋12＝－1＋11－a x ＋12＝－⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12＝－f (x )．即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．命题点2 函数奇偶性的应用例2 (1)(2018·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________. 答案 －2解析 ∵f (x )＋f (－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2， ∴f (a )＋f (－a )＝2，∴f (－a )＝－2.(2)已知函数f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝________.答案 5解析 由f (lg 3)＝a sin(lg 3)＋b 3lg 3＋4＝3得a sin(lg 3)＋b 3lg 3＝－1，而f ⎝⎛⎭⎫lg 13＝f (－lg 3)＝－a sin(lg 3)－b 3lg 3＋4＝－[a sin(lg 3)＋b 3lg 3]＋4＝1＋4＝5.命题点3 函数的对称性例3 已知函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减，且函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则下列结论正确的是( ) A ．f (π)<f (3)<f (2) B ．f (π)<f (2)<f (3) C ．f (2)<f (3)<f (π) D ．f (2)<f (π)<f (3) 答案 C解析 ∵y ＝f (x ＋2)为偶函数， ∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)， ∴f (3)＝f (1)，f (π)＝f (4－π)． ∵0<4－π<1<2，当x ∈[－2,2]时，f (x )单调递减， ∴f (4－π)>f (1)>f (2)， ∴f (2)<f (3)<f (π)，故选C.思维升华 (1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象，确定函数在另一区间上的解析式，解决某些求值或参数问题．(3)由函数奇偶性延伸可得到一些对称性结论，如函数f (x ＋a )为偶函数(奇函数)，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(关于点(a,0)对称)．跟踪训练1 (1)(2019·黄冈模拟)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋sin 2x B ．f (x )＝x 2－cos x C ．f (x )＝3x －13xD ．f (x )＝x 2＋tan x答案 D解析 对于选项A ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋sin 2x 为奇函数；对于选项B ，函数的定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，所以f (x )＝x 2－cos x 为偶函数；对于选项C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝3－x －13－x ＝－⎝⎛⎭⎫3x －13x ＝－f (x )，所以f (x )＝3x －13x 为奇函数；只有f (x )＝x 2＋tan x 既不是奇函数也不是偶函数．故选D.(2)设f (x )＝e x ＋e －x ，g (x )＝e x －e －x ，f (x )，g (x )的定义域均为R ，下列结论错误的是( ) A ．|g (x )|是偶函数 B ．f (x )g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是偶函数 D ．f (x )＋g (x )是奇函数答案 D解析 f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，f (x )为偶函数． g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确； f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )， 所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确； f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|， 所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确； f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－[f (x )＋g (x )]， 所以f (x )＋g (x )不是奇函数，D 错误，故选D.(3)设函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，f (3)＝0，且g (x )＝f (x ＋1)为偶函数，则不等式g (2－2x )<0的解集为________． 答案 (0,2)解析 由已知g (x )在[0，＋∞)上为增函数，g (2)＝0， 又g (x )为偶函数，∴g (2－2x )<0可化为g (2－2x )<g (2)， ∴|2－2x |<2，∴－2<2x －2<2，解得0<x <2.函数的周期性1．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝______. 答案 1解析 f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2 020)＝________. 答案 －2－ 3解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2 020)＝－2－ 3.3．(2019·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝f (2－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12.因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x －1， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝124－1＝1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝－1. 4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋0＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＝122－1＋20－1＝2－1. 思维升华 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．函数性质的综合应用命题点1 函数的奇偶性与单调性相结合例4 (2017·全国Ⅰ改编)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________． 答案 [1,3]解析 因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且f (1)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝1，由－1≤f (x －2)≤1，得－1≤x －2≤1，所以1≤x ≤3.命题点2 函数的奇偶性与周期性相结合例5 设 f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2 019)＝________. 答案 12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (2)，所以－2a ＋1＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2 019)＝f (－1)＝－1×12＋1＝12.命题点3 函数的奇偶性与对称性相结合例6 已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 018)＝________.答案 2解析 由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是周期T ＝8的偶函数，所以f (2 018)＝f (2＋252×8)＝f (2)＝2.命题点4 函数的周期性与对称性相结合例7 已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于x ＝－1对称，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.答案 216解析 由f (x ＋4)＝f (x －2)，得f (x ＋6)＝f (x )．故f (x )是周期为6的函数．所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)．因为f (x )的图象关于x ＝－1对称，所以f (1)＝f (－3)．又x ∈[－4，－1]时，f (x )＝6－x ，所以f (－3)＝6－(－3)＝216.从而f (1)＝216，故f (919)＝216.思维升华 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．跟踪训练2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (－x )，且f (x )＝f (x ＋6)，当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，则f (x )在下列哪个区间上单调递减( )A ．[3,7]B ．[4,5]C ．[5,8]D ．[6,10]答案 B解析 依题意知，f (x )是偶函数，且是以6为周期的周期函数．因为当x ∈[0,3]时，f (x )单调递增，所以f (x )在[－3,0]上单调递减．根据函数周期性知，函数f (x )在[3,6]上单调递减．又因为[4,5]⊆[3,6]，所以函数f (x )在[4,5]上单调递减．(2)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.故选C.(3)(多选)已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x )＋f (2)成立，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则下列结论正确的有( ) A ．f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝0B ．直线x ＝－5是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴C ．函数y ＝f (x )在[－7,7]上有5个零点D ．函数y ＝f (x )在[－7，－5]上为减函数答案 ABD解析 根据题意，函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0；对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (x )＋f (2)成立，当x ＝2时，有f (0)＝2f (2)＝0，则有f (2)＝0，则有f (2－x )＝f (x )，即x ＝1是函数f (x )的一条对称轴；又由f (x )为奇函数，则f (2－x )＝－f (－x )，变形可得f (x ＋2)＝－f (x )，则有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故函数f (x )是周期为4的周期函数，当x 1，x 2∈[0,1]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则函数f (x )在区间[0,1]上为增函数， 又由y ＝f (x )是R 上的奇函数，则f (x )在区间[－1,1]上为增函数；据此分析选项：对于A ，f (x ＋2)＝－f (x )，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝[f (1)＋f (3)]＋[f (2)＋f (4)]＝0， f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝505×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0，A 正确；对于B ，x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，且函数f (x )是周期为4的周期函数，则x ＝5是函数f (x )的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线x ＝－5是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，B 正确；对于C ，函数y ＝f (x )在[－7,7]上有7个零点：分别为－6，－4，－2,0,2,4,6，C 错误；对于D ，f (x )在区间[－1,1]上为增函数且其周期为4，函数y ＝f (x )在[－5，－3]上为增函数， 又由x ＝－5为函数f (x )图象的一条对称轴，则函数y ＝f (x )在[－7，－5]上为减函数，D 正确．。

函数的奇偶性（2）一、学习目标1．熟练掌握判断函数奇偶性的方法；2．熟练单调性与奇偶性讨论函数的性质；3．能利用函数的奇偶性和单调性解决一些问题．二、常用结论: 10.定义域关于原点对称是函数()f x 具有奇偶性的 条件.20.若奇函数()f x 的定义域包含0,则(0)f = .30. 奇函数在对称的单调区间内有 的单调性，偶函数在对称的单调区间内具 的单调性.４0()f x 为偶函数()(||)f x f x ⇔=三、热身训练1．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x ∈R)，其中正确命题的个数是2.设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)3.函数c bx ax y ++=2是偶函数的充要条件是___________4.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f =5.若()f x 是奇函数，且在区间（－∞，0）上单调增函数，又(2)0f =，则()0xf x <的解集是例题分析例题1、已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上是增函数，且f(x)<0，试问：F(x)=)(1x f 在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论例题2已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x) =x|x －2|，求x<0时，f(x)的解析式．巩固训练已知函数)(x f y =在R 是奇函数，且当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则0<x 时，)(x f 的解析式为_______________例题3、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，又当11≤≤-x 时，3)(x x f =，（1）证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴：（2）当]5,1[∈x 时，求)(x f 的解析式。

《函数的奇偶性、周期性、对称性》学历案一、学习目标1、理解函数奇偶性、周期性和对称性的概念。

2、掌握判断函数奇偶性、周期性和对称性的方法。

3、能够运用函数的奇偶性、周期性和对称性解决相关问题。

二、学习重难点1、重点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的定义和性质。

（2）利用定义和性质判断函数的奇偶性、周期性和对称性。

2、难点（1）函数奇偶性、周期性和对称性的综合应用。

（2）抽象函数中奇偶性、周期性和对称性的判断与应用。

三、知识梳理1、函数的奇偶性（1）奇函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为奇函数。

（2）偶函数：对于函数\（f(x)＼）的定义域内任意一个\（x\），都有\（f(x)＝ f(x)＼），则称函数\（f(x)＼）为偶函数。

（3）奇偶性的判定方法①定义法：首先判断函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，则函数是非奇非偶函数；如果对称，再判断\（f(x)＼）与\（f(x)＼）或\（f(x)＼）的关系。

②图象法：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于\（y\）轴对称。

2、函数的周期性（1）周期函数：对于函数\（y ＝ f(x)＼），如果存在一个不为零的常数\（T\），使得当\（x\）取定义域内的每一个值时，＼（f(x ＋ T)＝ f(x)＼）都成立，那么就把函数\（y ＝ f(x)＼）叫做周期函数，周期为\（T\）。

（2）常见函数的周期①函数\（y ＝ A\sin(＼omega x ＋＼varphi)＼），＼（y ＝A\cos(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{2\pi}｛＼omega}＼）。

②函数\（y ＝ A\tan(＼omega x ＋＼varphi)＼）的周期\（T ＝＼frac{＼pi}｛＼omega}＼）。

3、函数的对称性（1）轴对称①函数\（f(x)＼）关于直线\（x ＝ a\）对称，则\（f(a ＋ x) ＝ f(a x)＼），或\（f(x) ＝ f(2a x)＼）。

学案9 函数图象的及其变换(一)平移与伸缩一、课前准备【自主梳理】1．函数() (0)y f x a a =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移 单位而得到． 函数() (0)y f x a a =->的图象可由()y f x =的图象向 平移 单位而得到．2．函数() (0)y f x b b =+>的图象可由()y f x =的图象向 平移 单位而得到． 函数() (0)y f x b b =->的图象可由()y f x =的图象向 平移 单位而得到．3．函数() (0)y Af x A =>的图象可由()y f x =图象上所有点的纵坐标变为 ， 不变而得到．4．函数() (0)y f ax a =>的图象可由()y f x =图象上所有点的横坐标变为 ， 不变而得到．【自我检测】1．若()f x 的图象过点(0,1)，则(1)f x +的图象过点 ．2．函数2x y =的图象向右平移2个单位所得函数解析式为 ．3．将函数lg()y x =-的图象 可得函数lg(1)y x =-+的图象．4．函数x y x a=-+的图象的对称中心为(1,1)--，则a = ． 5．将函数1cos 2y x =图象的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标扩大为原来的2倍，所得函数解析式为 ．6．为了得到函数3lg 10x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度．二、课堂活动【例1】填空题：(1)设函数()y f x =图象进行平移变换得到曲线C ，这时()y f x =图象上一点(2,1)A -变为曲线C 上点(3,3)A '-，则曲线C 的函数解析式为 ．(2)如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是 ．(3)要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos2y x =的图象 ． (4)若函数()2sin y x θ=+的图象按向量π,26⎛⎫⎪⎝⎭平移后，它的一条对称轴是π4x =，则θ的一个可能的值是 ．【例2】作出下列函数的图象： (1)12x y -= (2)211x y x +=-【例3】(1)函数()24log 12y x x =-+的图象经过怎样的变换可得到函数2log y x =的图象？(2)函数213cos sin cos 122y x x x =+⋅+的图象可由sin y x =的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？课堂小结三、课后作业1．把函数2(2)2y x =-+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，所得图象对应的函数解析式为 ．2．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，则函数(3)2y f x =-+的图象经过的定点为 ．3．函数11y x =-+的图象是 ．4．为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 ． 5．要得到函数122x y -=的图象，只需将函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象 ． 6．若函数(2)y f x =+是偶函数，则函数()f x 的图象有对称轴 ．7．将2log (31)y x =-的图象向右平移12个单位，得到图象1C ，再将1C 上所有点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)得到图象2C ，再把2C 向上平移a 个单位得函数2log (25)y x =-的图象，则a = ．8．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点的 ． 9．已知函数()f x 的图象可由函数24()2x m g x x+=()0m ≠的图象向右平移两个单位长度得到． (1)写出函数()f x 的解析式；(2)当x M ∈时，函数()f x 的最大值为22m +，最小值为229m -，试确定集合M ．。

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

函数的奇偶性与对称性练习题1. 练习题一求下列函数的奇偶性，并对其进行简单的图像解释：a) f(x) = x^3 - xb) g(x) = sin(x)c) h(x) = x^2 + 1解答：a) 函数f(x) = x^3 - x首先，我们将f(x)进行奇偶性的判断。

对于任意实数x，有：f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)因此，当x取任意实数时，f(x) = -f(-x)，即函数f(x)为奇函数。

其次，我们对f(x)的图像进行解释。

根据函数的奇函数特点，可以得知当x取正值时，f(x)的取值和f(-x)相等但符号相反，即f(x)关于y 轴对称。

因此，f(x)的图像对称于原点。

b) 函数g(x) = sin(x)我们可以利用奇函数sin(x)的性质来简单判断g(x)的奇偶性。

对于任意实数x，有：g(-x) = sin(-x) = -sin(x) = -g(x)因此，当x取任意实数时，g(x) = -g(-x)，即函数g(x)为奇函数。

g(x) = sin(x)是一个周期为2π的函数，其图像是一条连续的曲线，通过原点，并以原点为中心，关于y轴对称。

c) 函数h(x) = x^2 + 1同样地，我们对h(x)进行奇偶性的判断。

对于任意实数x，有：h(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = h(x)因此，当x取任意实数时，h(x) = h(-x)，即函数h(x)为偶函数。

h(x) = x^2 + 1是一个开口向上的抛物线，关于y轴对称。

2. 练习题二给定函数f(x) = cos(x)，判断以下函数的奇偶性，并对其进行简单的图像解释：a) g(x) = f(x) + f(-x)b) h(x) = f(x) - f(-x)c) k(x) = f(x) * f(-x)解答：a) 函数g(x) = f(x) + f(-x)对于任意实数x，有：g(-x) = f(-x) + f(-(-x)) = f(-x) + f(x)如果g(x) = g(-x)成立，则函数g(x)为偶函数；如果g(x) = -g(-x)成立，则函数g(x)为奇函数。

江苏省徐州市高中数学第二章函数2.2.2 函数的奇偶性学案（无答案）苏教版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省徐州市高中数学第二章函数2.2.2 函数的奇偶性学案（无答案）苏教版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省徐州市高中数学第二章函数2.2.2 函数的奇偶性学案（无答案）苏教版必修1的全部内容。

函数的奇偶性自学准备与知识导学1.请同学们分别画出两组函数的图像:（1）2)(x x f =和x x f =)(;（2)x x f =)(和)0(1)(≠-=x x x f .观察图像有什么样的对称性？我们发现,第一组函数的图象关于_________对称，而第二组的图象关于_________对称. 思考：怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性？2.奇偶性的定义:一般的，设函数)(x f y =的定义域为A 。

(1）如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有 ，称函数)(x f y =是偶函数；如果对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有 ，称函数)(x f y =是奇函数. 如果函数是奇函数或偶函数，我们就说函数具有 。

(2)偶函数图象 ，奇函数图象 ，具有奇偶性的函数,其定义域 .【注意】特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先先看__________________________。

本课时学习目标或学习任务1.理解函数奇偶性的概念；2.掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单函数的奇偶性。

3.初步学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

本课时重点难点 重点：函数奇偶性的概念。

2018版高中数学第二章函数2.2.2 函数的奇偶性学案苏教版必修1(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章函数2.2.2 函数的奇偶性学案苏教版必修1(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.2.2 函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征．2．会判断函数的奇偶性．(重点）3．掌握函数奇偶性的运用．(难点)［基础·初探]教材整理函数奇偶性的概念阅读教材P41~P43,完成下列问题．1．偶函数一般地，设函数y＝f （x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f (－x)＝f （x),那么称函数y＝f （x)是偶函数．2．奇函数一般地，设函数y＝f （x）的定义域为A,如果对于任意的x∈A，都有f （－x）＝－f （x)，那么称函数y＝f (x）是奇函数．3．奇偶性如果函数f （x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f （x）具有奇偶性．4．奇、偶函数的图象性质（1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．（2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．1．判断（正确的打“√” ，错误的打“×”)(1）函数f (x)＝x的图象关于(0,0)对称．( )(2）偶函数的图象一定与y轴相交．( )(3）若对函数f （x）有f （－1)＝f （1)，则f (x）为偶函数．（)（4）奇函数的图象一定过（0,0）．( ）【答案】(1)√（2）×(3)×（4)×2．若f (x）是定义在区间[a－2，5]上的奇函数，则a＝________.【解析】易知a－2＋5＝0，∴a＝－3。