苏教版数学高一-【苏州市高二文科复习参考资料】学案练习5__函数值域和最值(一)

2.2.1 函数的最值（二）课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最值设y ＝f (x )的定义域为A .(1)最大值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有__________，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为______＝f (x 0)．(2)最小值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为________＝f (x 0)．2．函数最值与单调性的联系(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为______，最小值为______．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为______，最小值为______．一、填空题1．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．2．已知函数y ＝x ＋2x －1，下列说法正确的是________．(填序号)①有最小值12，无最大值； ②有最大值12，无最小值； ③有最小值12，最大值2； ④无最大值，也无最小值．3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)， f (2)的大小关系为________．5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的________．(填序号)①最小值是0，最大值是4；②最小值是－4，最大值是0；③最小值是－4，最大值是4；④没有最大值也没有最小值．6．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________． 7．函数y ＝2|x |＋1的值域是________． 8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________.9．若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________．二、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．11．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )，那么F (x )________．(填序号)①有最大值3，最小值－1；②有最大值3，无最小值；③有最大值7－27，无最小值；④无最大值，也无最小值．13．已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1，其中a ≥0，a ∈R .(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．1．函数的最大(小)值(1)定义中M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f (x )＝－x 2(x ∈R )的最大值为0，有f (0)＝0，注意对“存在”的理解．(2)对于定义域内任意元素，都有f (x )≤M 或f (x )≥M 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．拓展 对于函数y ＝f (x )的最值，可简记如下：最大值：y max 或f (x )max ；最小值：y min 或f (x )min .2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．第2课时 函数的最大(小)值知识梳理1．(1)f (x )≤f (x 0) y max (2)y min2．(1)f (b ) f (a ) (2)f (a ) f (b )作业设计1．(－∞，－3]解析 由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)，解得a ≤－3.2．①解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值． 3．[1,2]解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.4．f (0)<f (2)<f (－2)解析 依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12， 因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间， 所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．5．③解析 y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4 (x ≥3)－2x ＋2 (－1≤x <3)4 (x <－1).因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4≤y ≤4，综上可知③正确．6.43解析 f (x )＝1(x －12)2＋34≤43. 7．(0,2]解析 观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0,2]．8．－2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．9．2解析 函数y ＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数， 故y max ＝－2－1＝2. 10．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5， 所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1. (2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.12．③解析 画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ， 得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值．13.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1， x ≥0. 作图(如右所示)(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a－1， f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a. 当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数， g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时， g (a )＝f (12a )＝2a －14a－1， 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2， a >12。

第9课时函数的最值教学过程一、问题情境在图1中,我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值;从图象上看出,图象在这一点的位置最高.(图1)在图1中,可以看出:对于任意的x∈R,都有f(x)≤f(14).二、数学建构(一)生成概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≤f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最大值,记为y max=f(x0);若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≥f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最小值,记为y min=f(x0).(二)理解概念1.单调性与最值设函数y=f(x)的定义域为[a,b],若y=f(x)是单调增函数,则y max=f(b), y min=f(a);若y=f(x)是单调减函数,则y max=f(a),y min=f(b).2.奇偶性与最值设奇函数y=f(x)的定义域为I,[a,b]⊆I,其中a>0,若f(x)在[a,b]上的最大值是M,则f(x)在[-b,-a]上的最小值是-M.(三)巩固概念常常借助于图象,综合运用函数的性质来求函数的最值、值域.三、数学运用【例1】求函数y=的值域.(见学生用书课堂本P27) [处理建议]根据它的图象,可以直观而准确地判断函数的值域.[规范板书]解由图象可知,函数的值域为(-∞, 0)∪(0,+∞).(例1)[题后反思]反比例函数的图象是基本初等函数图象,要熟练掌握.变式求函数y=|x-1|的值域.[规范板书]解由图象可知,函数的值域为[0,+∞).(变式)[题后反思]由图象观察得出函数的值域是常见的求值域的方法.【例2】求下列函数的最大值和最小值:(1)y=3-2x-x2,x∈;(2)y=|x+1|-|x-2|.(见学生用书课堂本P27)[处理建议]先画出函数的图象,然后根据图象观察最大值和最小值.[规范板书]解(1)二次函数y=3-2x-x2图象的对称轴为x=-1,其函数图象如图(1)所示.由图象可知,当x=-1时,y max=4;当x=时,y min=-.(1)(2)(例2)(2)y=|x+1|-|x-2|=其图象如图(2)所示.由图象可知,y∈[-3,3].所以函数的最大值为3,最小值为-3.[题后反思]①求二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析.②求含绝对值的函数的最大值或最小值,常用分零点讨论去掉绝对值,转化为分段函数进行研究;分段函数的图象注意分段作出,然后直接观察图象得到函数的最大值或最小值.变式求函数f(x)=x2-2ax,x∈[0, 4)的最小值.[规范板书]解f(x)=(x-a)2-a2,其图象是开口向上、对称轴为x=a的抛物线.①若a≤0,则函数f(x)在[0, 4)上是单调增函数,∴[f(x)]min=f(0)=0;②若0<a<4,则[f(x)]min=f(a)=-a2;③若a≥4,则函数f(x)在[0, 4)上是单调减函数,∴f(x)的最小值不存在.综上所述,当a≤0时,[f(x)]min=0;当0<a<4时,[f(x)]min=-a2;当a≥4时,f(x)的最小值不存在.[题后反思]含参数问题的最值,一般情况下,我们先将参数看成是已知数,当不能解的时候,我们再进行讨论.【例3】求函数y=2x+4的值域.(见学生用书课堂本P28) [处理建议]本题应优先考虑函数的定义域,再利用换元法求值域.[规范板书]解设t=,则t≥0,x=1-t2.∴原函数可化为y=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4,∵t≥0,∴y≤4.[题后反思]对于形如y=ax+b+(ac<0)型的函数的值域,常采用换元法(令=t)求解.变式求y=2x-3+的值域.[规范板书]解令t=,则t≥0,x=.∴y=t2+t+=(t+1)2+3.∵t≥0,∴y∈,+∞.*【例4】求函数y=4x-1+的值域.[处理建议]先让学生思考,这时大部分学生会延续上一题的思路而采用换元法求解.教师可以说明:根据该函数解析式的特点,本题也可采用复合函数单调性法求解.[规范板书]解∵2x-3≥0,∴x≥,∴函数f(x)=4x-1+的定义域为.令f1(x)=4x-1,f2(x)=,∴函数f1(x),f2(x)为单调增函数,∴f(x)=f1(x)+f2(x)在定义域上单调递增,∴y≥f=5,因此该函数的值域为[5,+∞).[题后反思]本题既可以采用换元法求解,也可以采用复合函数单调性法求解,显然后一种方法简单很多.从上面2个例子,我们可以得到一些启示:求值域前可以先简单观察函数解析式的特点,然后再确定采用哪一种方法求解较简便.变式求函数y=3-的值域.[规范板书]解∵≥0,∴-≤0, 3-≤3,故该函数的值域是(-∞, 3].四、课堂练习1.求下列函数的最大值、最小值与值域:(1)y=x2-4x-7;(2)y=x2-4x-7,x∈[2, 6].解(1)y=x2-4x-7=(x-2)2-11≥-11,∴当x=2时,y min=-11;函数无最大值;函数的值域是{y|y≥-11 }.(2)函数的对称轴为x=2,所以函数在[2,6]上单调递增,所以y min=f(2)=-11, y max=f(6)=5,函数的值域为[-11, 5].2.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3, 2]上有最大值4,求实数a的值.解二次函数f(x)=ax2+2ax+1的对称轴为x=-1.当a>0时,则当x=2时函数取得最大值4,∴8a+1=4,解得a=;当a<0时,则当x=-1时函数取得最大值4,∴ 1-a=4,解得a=-3.所以a=或-3.五、课堂小结1.最值的定义.2.求简单函数的最值的常用解法.。

函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】1【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。

要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数y =解：平方再开方，得[3,1]y x =∈-[2,y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； ① x ∈[5，10]； ②x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； ①x ∈[-1，1]； ②x ∈[-2，2]. 【解析】(1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===+++2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图①f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； ②1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图①y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； ②[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--.例3.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3答案：B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18答案：A【解析】∵2(2)2224f =+-=，∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例4（2015 沈阳四模）函数()32231,0,0ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则a 的范围是（）A. 1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 10,ln 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. (],0-∞ D. 1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】先画出分段函数()f x 的图像如图:显然当[]2,0x ∈-时，函数()f x 的最大值为2；欲使得函数()32231,0,0ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则当2x =时，2ae 的值必须小于等于2，即22ae ≤解得：1ln 22a ≤.故选D .【变式】（2014 甘肃一模）若不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 14,613⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1,6⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】函数22212t y t t t+==+，在(]0,2t ∈上为减函数 ∴当2t =时，22t t+的最小值为1;又2196t t ≤=+，当且仅当3t =时等号成立 所以函数29ty t =+在区间(]0,2上为增函数 可得2t =时，29t t +的最大值为213.因为不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立 所以22max min 29t t a t t +⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2113a ≤≤可得a 的取值范围是2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

执笔人：夏文秀审核人：2011年10月日
第二章2.1.3函数的最值第6课时
【教师活动】
【教学目标】
1.能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；
【教学重难点】
重点：利用函数的单调性求函数的值域．
【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
2．函数的最值与单调性之间的关系：
四．数学应用
例1．书本第36页的例3.
例2.求出下列函数的最小值：
（1）y＝x2－2x；（2）y＝ ，x∈[1，3]．
变式：
（1）求上述函数的值域。
（2）将y＝x2－2x的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值．
（3）将y＝ 的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】
【学生活动】
【学习目标】
1.结合图像理解函数的最值
2.能够利用函数的单调性结合函数图像求有关函数的值域【课时安Fra bibliotek】1课时
【课堂探究】
一．问题情境
问题：结合函数的图象说出该天的气温变化情况．
二．师生互动
三．建构数学
1．函数的最大值、最小值
问题：函数的最值与函数图像间的关系
【当堂练习】
1.书本第37页的练习3,4.
2.求下列函数的值域：（1）y＝ ，x[0，3]；（2）y＝ ，x[2，6]；（3）y＝
【课后巩固】
课时训练
【课后反思】

课题
函数的最值
课型
新授
时间
09/ 10 /
学习目标
1.了解函数的最值与导数的关系；
2.会求函数的最值；
3重点
函数最值的求解
一、自主学习
1.求函数 的最大值和最小值。
2.已知函数 。
（1）求函数 的极值；（2）确定函数 在区间 上的单调区间；
（3）求函数 在区间 上的最大值和最小值；其值域是什么？
（1）求 的值；（2）求函数 在 上的最大值和最小值。
五、课堂小结
学习反思：
学习反思：
学习反思：
学习反思：
备用题：已知函数
问是否存在实数
使得 在 上取得最大值3，最小值-29，若存在求
的解析式，若不存在，请说明理由。
（2）你能大致地画出函数 ， 的图像吗？
自学检测：
1.求下列函数的最值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
自学小结：
二、问题探究
问题1：求函数 的最小值，并刻画其函数图像。（ 呢？）
小结：
问题2：求函数 的最值。
小结：
三、合作交流
例1：设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
变式训练：已知 ，对一切 ，都有
恒成立，求实数 的取值范围。
例2.设函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
，
（1）当 时，求 的解析式；
（2）若函数在 上单调，求 的取值范围；
（3）是否存在 ，使得当 时， 有最大值1？
四、巩固练习
1.已知函数 在区间 上的最大值和最小值分别为
M和m，则M – m = ;
2.设函数 为奇函数，其图像在点 处的切线与直线 垂直，且 有最小值 ，

第三节 函数的值域与最值一、填空题1. 已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出，那么f (f (2))＝________，f (g (3))＝________，g (f (4))＝________，g (g2. (2011·靖江中学调研)函数f (x )＝x ＋x(x ∈(0,2])的值域是________．3. (2011·江苏南通模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b a a <b则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．4. 某产品的总成本y 与产量x 的关系为y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)，若每件产品的销售价为25，则企业不亏本的最低产量x 应为________．5. (2010·重庆)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．6. 函数f (x )＝x 2－2x ＋2x 2－5x ＋4的最小值为________．7. 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为________． 8. (2011·苏州中学模拟)函数f (x )＝x 2＋ax ＋5对x ∈R 恒有f (－2＋x )＝f (－2－x )，若x ∈[m,0](m <0)时，f (x )的值域为[1,5]，则实数m 的取值范围是________．9. (2011·苏北调研)已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．二、解答题10. (2010·天津改编)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x x ＋4，x ＜g x g x x ，x ≥g x 求函数f (x )的值域．11. 对于函数f (x )，在使f (x )≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值称为函数f (x )的 “上确界”，则函数f (x )＝x ＋12x 2＋1的“上确界”为多少？12. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值．参考答案1. 4 1 2 2 解析：因为f (2)＝3， 所以f (f (2))＝f (3)＝4. 同理f (g (3))＝f (4)＝1； g (f (4))＝g (1)＝2； g (g (2))＝g (1)＝2.2. [22，＋∞) 解析： f (x )＝x ＋2x，∵x ∈(0,2]，2x≥1，∴f (x )≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时取等号，∴值域为[22，＋∞)．3. (0,1] 解析：f (x )＝3x *3－x＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x，x ≥0，3x，x <0.又当x ≥0时，0<3－x≤1，当x <0时，0<3x<1，故值域为(0,1]．4. 150 解析：若企业不亏本，则x 应满足25x ≥3 000＋20x －0.1x 2， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．5. －2 解析：y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥－2(t >0)，当且仅当t ＝1时，y min ＝－2. 6. 1＋2 2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥0，x 2－5x ＋4≥0，得x ≤0或x ≥4.当x ≥4时，f (x )为增函数；当x ≤0时，f (x )为减函数．又∵f (0)＝22＝4， f (4)＝22＋1，∴f (x )min ＝f (4)＝1＋2 2.7. 22 解析：定义域⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0⇒－3≤x ≤1，y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋21－xx ＋3＝4＋2x ＋12＋4，所以当x ＝－1时，y 取最大值M ＝22；当x＝－3或1时，y 取最小值m ＝2，∴m M ＝22.8. [－4，－2] 解析：由f (－2＋x )＝f (－2－x )， 知函数f (x )的对称轴为x ＝－2，∴a ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1， f (0)＝f (－4)＝5，f (－2)＝1，∵x ∈[m,0]，f (x )的值域为[1, 5]． ∴m ∈[－4，－2]．9. [2,4] 解析：值域为[－1,3]，当a ＝－1，b ＝3时，满足要求，(b －a )max ＝4. 当a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝3时，满足要求，(b －a )min ＝2. 综上，b －a ∈[2,4]．10. 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ＜x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.如图，可得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．。

则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看其图象的对称轴 = 与x轴
的交点的横坐标和区间 , 的位置关系，是在区间 , 内还是在该
区间的左边或右边，当函数图象的对称轴在区间的某一边时，应利用
函数的单调性求解.
在求二次函数的最值时，应先判断它的图象的开口方向，若含有
参数，则要根据对称轴与轴交点和区间的位置关系对参数进行分类讨
(2)当 ∈ [−1，1]时,

max
2
max
= 4 = 4
= (2) = 22 − 2 × 2 − 5 = −5.
2
− 2 × 4 − 5 = 3,
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
思路
分析
由于二次函数的最值与其图象的对称轴位置有关，而题中函数图象的对称轴为
的最小值本题主要考查直观想象、数学运算的核心素养.
变式训练
1.求函数 = − − 在下列区间上的最值：
(1)[-3，0]；(2)[-1，1]；(3)[2，4].
分析
函数 = 2 − 2 − 5 = − 1
(1)当 ∈ [−3，0]时,

min
min
min
= () = − .
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
解析
(2)当 ⩽ ⩽ 时，由图②可知，对称轴在区间[, ]内，


，
=


=
−
−


= () = − .
(3)当 < ⩽ 时，由图③可知，对称轴在区间[, ]内，

【巩固练习】1．关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） C.[-8，4） D 、（-∞，-8]2.（2015 唐山一模）直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A 、B,则AB 的最小值为（）A.3B.2C.32D. 3．已知不等式222(cos 5)4sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.04m ≤≤B. 14m ≤≤ C ．4m ≤或0m ≤ D. 1m ≤或0m ≤4. 已知函数()x f x a -=,()log (0,1)a g x x a a =>≠,若f(2)·g(2)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ）A B C D5．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()f x x =。

若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[2，+∞）C ．（0，2] D．[1][2,3]-7．关于x 的方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根，则（ ）A ．m ≤1B ．0＜m ＜1C ．m ＜1D ．0＜m ≤1或m ＜08.已知()f x 是奇函数，当(0,1)x ∈时1()lg1f x x =+，那么当(1,0)x ∈-时()f x 的表达式是_____． 9. 记1010101111112212221S =++++++-，则S 与1的大小关系是 . 10.（2015 浙江高考）已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()2f f -= ，()f x 的最小值是 .11.实数,x y 满足x x y y=-,则x 的取值范围是__________. 12.设不等式221(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的一切实数m 的值都成立，则实数x 的取值范围 。

氾水高级中学2020-2021学年度高一数学导学活动单(53)课题函数的最值(1)学习目标1、了解函数的最值概念；2、会求函数的最值。

教学过程学法指导活动一：问题诊断下图是某地某天天气气温θ随时间t 的变化关系图，请问：该天天气气温变化的范围是什么？最高气温为o C，在时取得；最低气温为o C，在时取得，故改天气温的变化范围为o C~o C，即[－2，9]。

活动二：活动探究类型一利用函数的图象求解函数的最值例1、求函数y＝2x+3分别在下列定义域内的最值。

(1)x∈[1，＋∞) (2) x∈(－∞，1] (3)x∈[－1，1](4)x∈[1，3) (5)x∈(1，3]例2、求函数y＝x2－2x分别在下列定义域内的最值。

(1)x∈(－∞，＋∞) (2)x∈[1，＋∞) (3)x∈[2，＋∞)(4)x∈[0，＋∞) (5)x∈(－∞，2] (6)x∈[2，4](7)x∈[0，2] (8)x∈[0，4] (9)x∈(0，4)(10)x∈[－2，0]例3、求函数1yx分别在下列定义域内的最值。

(1)x∈[1，3] (2)x∈[1，＋∞) (3)x∈[－2，－1](4)x∈[－2，0)∪(0，2] (5)x∈[－1，3]练习：下图为函数y＝f(x)，x∈[－4，7]的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。

类型二函数的单调性与最值关系例4、已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b，当x∈[a，c]时，f(x)是增函数；当x ∈[c，b]时，f(x)是减函数，试证明f(x)在x ＝c时取得最大值。

练习：已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b，当x∈[a，c]时，f(x)是减函数；当x ∈[c，b]时，f(x)是增函数，试证明f(x)在x ＝c时取得最小值。

类型三 利用函数的单调性求解函数的最值例5、(1)求函数()12f x x x =--的最大值；(2)求函数()21f x x x =+--的值域。

4 ．对于函数 y＝ asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋ c，可设 t＝ sinx±cosx，化为二次函数 y＝at±2－2 1＋bt＋c 在区间
[－___2_， ____2__]___上的最值求解．
5．对于函数 y＝acssiinnx＋＋db，根据正弦函数的有界性也可转化为斜
率问题求解．
又∵sinx≤1，∴－23≤sinx≤1.
∴siny－cos 2x＝13－sinx－ (1－s in2x )
＝ (sinx－12)2－1112.
当
sinx＝12时，siny－cos
2x
有最小值－11， 12
当 sinx＝－23时，siny－cos2x 有最大值94.
考点二 利用有界性求三角函数的最值
的值域是________．
答案：[－1，
2 2]
4．f(x)＝2cos2x＋ 3 sin2x＋a(a 为常数)在区间[0， π2]上的最小值为－4，那么 a 的值等于________．
答案：－4
考点探究·挑战高考
考点突破
考点一 可化为二次函数的三角函数求最值
将所给的三角函数转化为二次函数，通过配 方法．结合数形结合方法求得函数的值域与 最值问题．
【解】 (1)f(x)＝ 3sin(2x－π6)＋2sin2(x－1π2) ＝ 3sin(2x－π6)＋1－cos2(x－1π2)
＝2[ 23sin2(x－1π2)－12cos2(x－1π2)]＋1
＝2s in[2 (x－1π2)－π6 ]＋ 1 ＝2s in(2x－π3)＋1 .
∴T＝22π＝ π. (2)当 f(x)取最大值时，sin(2x－π3)＝1，
解：y＝21(1－cos2x)＋ 23sin2x－1

第2课时函数的最大值、最小值1．理解函数的最大(小)值的定义及其几何意义．(重点)2．会求一些简单函数的最大值或最小值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的最大值、最小值阅读教材P38例2至P40例5，完成下列问题．1．函数的最大值一般地，设y＝f (x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≤f (x0)，那么称f (x0)为y＝f (x)的最大值，记为y max＝f (x0)．2．函数的最小值一般地，设y＝f (x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f (x)≥f (x0)，那么称f (x0)为y＝f (x)的最小值，记为y min＝f (x0)．(1)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上单调递增，则f (x)的最大值为________，最小值为________．(2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上单调递减，则f (x)的最大值为________，最小值为________．(3)已知函数y＝f (x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f (x)是单调增函数；当x ∈[c，b]时，f (x)是单调减函数，则f (x)在x＝c时取得________．(4)已知函数y＝f (x)的定义域是[a，b]，当x∈[a，c]时，f (x)是单调减函数；当x ∈[c，b]时，f (x)是单调增函数，则f (x)在________时取得最小值．【答案】 (1)f (b ) f (a ) (2)f (a ) f (b ) (3)最大值 (4)x ＝c[小组合作型]求函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|(－2≤x ≤4)的最值．【精彩点拨】 先整理化简函数关系式，写成分段函数的形式，作出图象，再找最高点和最低点即可．【自主解答】 原函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，－2≤x ≤－1，3，－1<x ≤2，2x －1，2<x ≤4，图象如图．故函数的最小值为3，最大值为7.用图象法求最值的一般步骤[再练一题]1．(1)函数f (x )在[－2,2]上的图象如图2­2­3所示，则此函数的最小值、最大值分别是________．图2­2­3(2)已知函数f (x )＝2x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝________.(3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的最大值是________．【解析】 (1)f (x )max ＝2，f (x )min ＝－1.(2)f (x )＝2x在[1,2]上的图象是单调递减的，∴A ＝f (1)＝2，B ＝f (2)＝1，∴A －B＝1.(3)作出f (x )的图象如图所示，∴f (x )max ＝3.【答案】 (1)2 －1 (2)1 (3)3已知函数f (x )＝x －1.(1)用函数单调性定义证明f (x )＝xx －1在(1，＋∞)上是单调减函数；(2)求函数f (x )＝xx －1在区间[3,4]上的最大值与最小值．【精彩点拨】 (1)利用单调性的定义证明． (2)利用(1)的结论求最值．【自主解答】 (1)证明：设x 1，x 2为区间(1，＋∞)上的任意两个实数，且1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－，因为1<x 1<x 2.所以x 2－x 1>0，x 1－1>0，x 2－1>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．故函数f (x )＝xx －1在(1，＋∞)上为单调递减函数．(2)由上述(1)可知，函数f (x )＝xx －1在[3,4]上为单调递减函数，所以在x ＝3时，函数f (x )＝xx －1取得最大值32； 在x ＝4时，函数f (x )＝xx －1取得最小值43.1．当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值． 2．函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )；(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．[再练一题] 2．求函数f (x )＝xx －1在[－4，－3]上的最值．【解】 任取x 1，x 2∈[－4，－3]且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－.∵x 1，x 2∈[－4，－3]，∴x 1－1<0，x 2－1<0. 又x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在[－4，－3]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (－4)＝45，f (x )min ＝f (－3)＝34，∴f (x )在[－4，－3]上最大值为45，最小值为34.[探究共研型]探究1 如图2­2­4是函数f (x )＝(x －1)2－1的图象，说明当定义域分别为[－1,0]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3和[0,3]时，f (x )的单调性．图2­2­4【提示】 f (x )在[－1,0]上单调递减；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递增；在[0,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增．探究2 结合图象说明当定义域分别为上述三个区间时，f (x )的最值． 【提示】 结合图象的单调性，可得x ∈[－1,0]时，f (x )max ＝f (－1)＝3，f (x )min ＝f (0)＝0.x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－34. x ∈[0,3]时，f (x )max ＝f (3)＝3，f (x )min ＝f (1)＝－1.探究3 通过探究2，分析函数f (x )取最值时的x 与对称轴的距离有什么关系？ 【提示】 通过观察图象，可以发现，①当对称轴不在区间内部时，两个最值均在端点处取得且离对称轴近的端点对应的函数值较小，较远的端点对应的函数值较大．②当对称轴在区间内部时，对称轴对应函数的最小值，最大值在离对称轴较远的端点处取得．因此，我们求二次函数的最值时应该分析对称轴和区间的关系．求函数f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值g (a )和最小值φ(a )．【精彩点拨】 f (x )的对称轴是x ＝a ，a 是运动变化的，故求最值时，应该讨论a 与区间[0,2]的关系，进而确定单调性和最值．【自主解答】 f (x )＝(x －a )2－a 2－1，对称轴为x ＝a .①当a <0时，由图(1)可知，f (x )min ＝f (0)＝－1， f (x )max ＝f (2)＝3－4a .②当0≤a <1时，由图(2)可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2， f (x )max ＝f (2)＝3－4a.③当1≤a ≤2时，由图(3)可知，f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )max ＝f (0)＝－1. ④当a >2时，由图(4)可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ， f (x )max ＝f (0)＝－1.综上可知，最大值g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－4a ，a <1.－1，a ≥1.最小值φ(a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，－1－a 2，3－4a ，a <0，0≤a ≤2，a >2.二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．[再练一题]3．(1)函数y ＝f (x )＝x －2x ＋1的最小值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2－2x －3，若x ∈[t ，t ＋2]，求函数f (x )的最值. 【解析】 (1)令2x ＋1＝t ≥0，∴x ＝t 2－12，∴y ＝t 2－12－t ＝12(t －1)2－1，t ≥0， ∵对称轴t ＝1∈[0，＋∞)， ∴y min ＝y (1)＝－1， ∴f (x )的最小值为－1.【答案】 －1(2)【解】 ∵对称轴x ＝1， ①当1≥t ＋2，即t ≤－1时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3.②当t ＋t ＋22≤1<t ＋2，即－1<t ≤0时，f (x )max ＝f (t )＝t 2－2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.③当t ≤1<t ＋t ＋22，即0<t ≤1时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (1)＝－4.④当1<t 时，f (x )max ＝f (t ＋2)＝t 2＋2t －3， f (x )min ＝f (t )＝t 2－2t －3.设函数最大值为g (t )，最小值为φ(t )，则有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －3，t ，t 2＋2t －3，t，φ(t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t －3，t ≤－，－4，－1<t，t 2－2t －3，t1．函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是________．【解析】 ∵函数y ＝－x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋1＝12. 【答案】 122．函数f (x )＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是________．【解析】 函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，在(1，＋∞)上也是减函数，而x ∈(－∞，1)∪[2,5)，所以y ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.【答案】 (－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 3．f (x )＝x 2－2x ＋4的单调减区间为________，值域为________．【解析】 二次函数开口向上，定义域为R ，对称轴是x ＝1，所以函数的单调递减区间是(－∞，1]．由于其顶点纵坐标为3，所以值域为[3，＋∞)．【答案】 (－∞，1] [3，＋∞)4．函数y ＝x 2－2x －1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是________. 【解析】 ∵y ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，∴当x ＝1时，函数取最小值－2，当x ＝3时，函数取最大值2，∴最大值与最小值的和为0.【答案】 05．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1,2]上的值域．【解】 ∵f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增， ∴函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． ∴f (x )在[1,2]上递增，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. ∴f (x )在[1,2]上的值域为[21,49]．。

１．函数的极值（１）函数的极小值：函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′（a）＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0，则点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．（２）函数的极大值：函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′（x）＞0，右侧f′（x）＜0，则点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．２．函数的最值（１）在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．（２）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的最小值，f（b）为函数的最大值；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的最大值，f（b）为函数的最小值．[小题体验]１．当x＝________时，函数f（x）＝x·２x取极小值．答案：—错误!２．已知函数f（x）＝错误!x—sin x，则f（x）在[0，π]上的值域为________．答案：错误!３．已知a为函数f（x）＝x３—１２x的极小值点，则a＝________.解析：由题意得f′（x）＝３x２—１２，令f′（x）＝0得x＝±２，所以当x＜—２或x＞２时，f′（x）＞0；当—２＜x＜２时，f′（x）＜0，所以f（x）在（—∞，—２）上为增函数，在（—２,２）上为减函数，在（２，＋∞）上为增函数．所以f（x）在x＝２处取得极小值，所以a＝２．答案：２求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．[小题纠偏]１．函数f（x）＝x（１—x２）在[0,１]上的最大值为________．解析：f′（x）＝１—３x２，令f′（x）＝0，得x＝错误!∈[0,１]，当x∈错误!时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈错误!时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．所以f（x）max＝f错误!＝错误!.答案：错误!２．已知a≤错误!＋ln x对任意x∈错误!恒成立，则a的最大值为________．解析：设f（x）＝错误!＋ln x，则f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.当x∈错误!时，f′（x）＜0，故函数f（x）在错误!上单调递减；当x∈（１,２]时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（１,２]上单调递增，所以f（x）min＝f（１）＝0，所以a≤0，即a的最大值为0．答案：0错误!错误![锁定考向]函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有填空题，也有解答题．常见的命题角度有：（１）判断函数极值点的个数；（２）求函数的极值；（３）由函数极值求参数值或范围．[题点全练]角度一：判断函数极值点的个数１．（２0１8·江都中学检测）函数f（x）＝ln x—x２的极值点个数为________．解析：f（x）＝ln x—x２，x∈（0，＋∞），f′（x）＝错误!—２x＝错误!，当0＜x＜错误!时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x＞错误!时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减，所以函数f（x）的极值点个数为１．答案：１角度二：求函数的极值２．（２0１8·苏北四市高三一模）已知函数f（x）＝x２＋ax＋１，g（x）＝ln x—a（a∈R）．当a ＝１时，求函数h（x）＝f（x）—g（x）的极值．解：函数h（x）的定义域为（0，＋∞）．当a＝１时，h（x）＝f（x）—g（x）＝x２＋x—ln x＋２，所以h′（x）＝２x＋１—错误!＝错误!.令h′（x）＝0，得x＝错误!或x＝—１（舍去），当0＜x＜错误!时，h′（x）＜0；当x＞错误!时，h′（x）＞0，所以函数h（x）在区间错误!上单调递减，在区间错误!上单调递增，所以当x＝错误!时，函数h（x）取得极小值为错误!＋ln ２，无极大值．角度三：由函数极值求参数值或范围３．（２0１8·启东高三期末）设函数f（x）＝ax３＋错误!x２＋４x＋１有极大值f（x１）和极小值f （x２），若0＜x１＜１＜x２＜２，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得f′（x）＝３ax２＋（３—7a）x＋４＝0的两根为x１，x２，且a＞0，因为0＜x１＜１＜x２＜２，f′（0）＝４＞0，所以错误!即错误!＜a＜５，所以实数a的取值范围为错误!.答案：错误!４．已知函数f（x）＝错误!.（１）求函数f（x）的单调区间；（２）设g（x）＝xf（x）—ax＋１，若g（x）在（0，＋∞）上存在极值点，求实数a的取值范围．解：（１）f（x）＝错误!，x∈（—∞，0）∪（0，＋∞），所以f′（x）＝错误!.当f′（x）＝0时，x＝１．f′（x）与f（x）随x的变化情况如下表：故f（x）的增区间为（１，＋∞），减区间为（—∞，0）和（0,１）．（２）g（x）＝e x—ax＋１，x∈（0，＋∞），所以g′（x）＝e x—a，１当a≤１时，g′（x）＝e x—a＞0，即g（x）在（0，＋∞）上递增，此时g（x）在（0，＋∞）上无极值点．２当a＞１时，令g′（x）＝e x—a＝0，得x＝ln a；令g′（x）＝e x—a＞0，得x∈（ln a，＋∞）；令g′（x）＝e x—a＜0，得x∈（0，ln a）．故g（x）在（0，ln a）上递减，在（ln a，＋∞）上递增，所以g（x）在（0，＋∞）有极小值无极大值，且极小值点为x＝ln a.故实数a的取值范围是（１，＋∞）．[通法在握]１．利用导数研究函数极值问题的一般流程２．已知函数极值点或极值求参数的２个要领列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性１．（２0１9·阜宁中学检测）若函数f（x）＝x３—ax２—bx＋a２在x＝１处有极值１0，则a＋b＝________.解析：对函数f（x）求导得f′（x）＝３x２—２ax—b，∵f（x）在x＝１处有极值１0，∴错误!解得错误!或错误!当a＝３，b＝—３时，f′（x）＝３（x—１）２≥0（此时无极值，舍去）；当a＝—４，b＝１１时，符合题意，∴a＋b＝7．答案：7２．（２0１8·锡山中学检测）设a∈R，若函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．解析：因为y＝e x＋ax，所以y′＝e x＋a.因为函数y＝e x＋ax有大于零的极值点，所以方程y′＝e x＋a ＝0有大于零的解，因为x＞0时，—e x＜—１，所以a＝—e x＜—１．答案：（—∞，—１）３．（２0１8·盐城中学期末）已知函数f（x）＝x３—３ax２＋３x＋１．（１）若a＝２，求f（x）的单调区间；（２）若f（x）在区间（２,３）内至少有一个极值点，求a的取值范围．解：（１）由f（x）＝x３—３ax２＋３x＋１，得f′（x）＝３x２—6ax＋３，当a＝２时，f′（x）＝３x２—１２x＋３＝３（x２—４x＋１），由f′（x）＞0，得x＞２＋错误!或x＜２—错误!；由f′（x）＜0，得２—错误!＜x＜２＋错误!.∴f（x）的单调递增区间是（—∞，２—错误!）和（２＋错误!，＋∞），f（x）的单调递减区间是（２—错误!，２＋错误!）．（２）∵f′（x）＝３x２—6ax＋３，而f（x）在区间（２,３）中至少有一个极值点等价于方程３x２—6ax＋３＝0在其判别式Δ＞0（即a＞１或a＜—１）的条件下在区间（２,３）上有解．∴由３x２—6ax＋３＝0，得a＝错误!错误!，令g（x）＝错误!错误!，则g′（x）＝错误!错误!，∴g′（x）＞0在（２,３）上恒成立，即g（x）＞0在（２,３）上单调递增，∴错误!＜错误!错误!＜错误!，即错误!＜a＜错误!，∴a的取值范围是错误!.错误!错误![典例引领]已知函数f（x）＝错误!—１．（１）求函数f（x）的单调区间及极值；（２）设m＞0，求函数f（x）在区间[m,２m]上的最大值．解：（１）因为函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且f′（x）＝错误!，由错误!得0＜x＜e；由错误!得x＞e，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，＋∞），且f（x）极大值＝f（e）＝错误!—１，无极小值．（２）１当错误!即0＜m≤错误!时，函数f（x）在区间[m,２m]上单调递增，所以f（x）max＝f（２m）＝错误!—１；２当m＜e＜２m，即错误!＜m＜e时，函数f（x）在区间（m，e）上单调递增，在（e,２m）上单调递减，所以f（x）max＝f（e）＝错误!—１＝错误!—１；３当m≥e时，函数f（x）在区间[m,２m]上单调递减，所以f（x）max＝f（m）＝错误!—１．综上所述，当0＜m≤错误!时，f（x）max＝错误!—１；当错误!＜m＜e时，f（x）max＝错误!—１；当m≥e时，f（x）max＝错误!—１．[由题悟法]求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的３步骤（１）求函数在（a，b）内的极值；（２）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；（３）将函数f（x）的极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．[即时应用]设n∈N*，a，b∈R，函数f（x）＝错误!＋b，已知曲线y＝f（x）在点（１,0）处的切线方程为y＝x—１．（１）求a，b；（２）求f（x）的最大值．解：（１）f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝错误!.所以f′（１）＝a，又切线斜率为１，故a＝１．由曲线y＝f（x）过点（１,0），有f（１）＝b＝0．故a＝１，b＝0．（２）由（１）知f（x）＝错误!，f′（x）＝错误!.令f′（x）＝0，即１—n ln x＝0，解得x＝e 1 n.当0＜x＜e 1n时，有f′（x）＞0，得f（x）在错误!上是增函数；当x＞e 1n时，有f′（x）＜0，得f（x）在（e 1n，＋∞）上是减函数．故f（x）在x＝e 1n处取得最大值f（e1n）＝错误!.错误!错误!对应学生用书P３４[典例引领]（２0１8·苏北四市期末）已知函数f（x）＝错误!—ax，g（x）＝ln x—ax，a∈R.（１）解关于x（x∈R）的不等式f（x）≤0；（２）证明：f（x）≥g（x）；（３）是否存在常数a，b，使得f（x）≥ax＋b≥g（x）对任意的x＞0恒成立？若存在，求出a，b 的值；若不存在，请说明理由．解：（１）当a＝0时，f（x）＝错误!，所以f（x）≤0的解集为{0}；当a≠0时，f（x）＝x错误!，若a＞0时，则f（x）≤0的解集为[0,２e a]；若a＜0时，则f（x）≤0的解集为[２e a,0]．综上所述，当a＝0时，f（x）≤0的解集为{0}；当a＞0时，f（x）≤0的解集为[0,２e a]；当a＜0时，f（x）≤0的解集为[２e a,0]．（２）证明：设h（x）＝f（x）—g（x）＝错误!—ln x（x＞0），则h′（x）＝错误!—错误!＝错误!.令h′（x）＝0，得x＝错误!，当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：所以函数h（x所以h（x）＝错误!—ln x≥0，即f（x）≥g（x）．（３）假设存在常数a，b使得f（x）≥ax＋b≥g（x）对任意的x＞0恒成立，即错误!≥２ax＋b≥ln x对任意的x＞0恒成立．而当x＝错误!时，ln x＝错误!＝错误!，所以错误!≥２a错误!＋b≥错误!，所以２a错误!＋b＝错误!，则b＝错误!—２a错误!，所以错误!—２ax—b＝错误!—２ax＋２a错误!—错误!≥0（*）恒成立，１当a≤0时，２a错误!—错误!＜0，所以（*）式在（0，＋∞）上不恒成立；２当a＞0时，则４a２—错误!错误!≤0，即错误!２≤0，所以a＝错误!，则b＝—错误!.令φ（x）＝ln x—错误!x＋错误!，则φ′（x）＝错误!，令φ′（x）＝0，得x＝错误!，当0＜x＜错误!时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，错误!）上单调递增；当x＞错误!时，φ′（x）＜0，φ（x）在（错误!，＋∞）上单调递减．所以φ（x）的最大值φ（错误!）＝0．所以ln x—错误!x＋错误!≤0恒成立．所以存在a＝错误!，b＝—错误!符合题意．[由题悟法]利用导数解决不等式的恒成立问题的策略首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．[即时应用]（２0１8·海门中学期末）已知函数f（x）＝（x＋１）e x，g（x）＝２x２＋３x＋m.（１）求f（x）的极值；（２）若g（x）≤f（x）对任意的x∈[—１,0]恒成立，求实数m的取值范围．解：（１）∵f′（x）＝（x＋２）e x，当f′（x）＞0时，x＞—２；当f′（x）＜0时，x＜—２，∴f（x）在x＝—２处取得极小值—错误!，无极大值．（２）由g（x）≤f（x），得m≤（x＋１）e x—（２x２＋３x）＝（x＋１）e x—（２x２＋３x＋１）＋１＝（x＋１）（e x—２x—１）＋１．∵x∈[—１,0]，∴x＋１≥0，令h（x）＝e x—２x—１，则h′（x）＝e x—２，当x∈[—１,0]时，h′（x）＜0，∴h（x）在[—１,0]上单调递减，∴h（x）≥h（0）＝0，即（x＋１）（e x—２x—１）≥0，∴[（x＋１）（e x—２x—１）＋１]min＝１，∴m≤１，即实数m的取值范围是（—∞，１]．错误!错误![典例引领]（２0１8·南京、盐城模拟）在一张足够大的纸板上截取一个面积为３600 cm２的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x cm，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a cm和b cm，其中a≥b.（１）当a＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（２）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．解：（１）因为矩形纸板ABCD的面积为３600 cm２，当a＝90时，b＝４0，纸盒的底面矩形的长为90—２x，宽为４0—２x.所以纸盒的侧面积S（x）＝（２60—8x）x＝—8x２＋２60x，其中x∈（0,２0），故S（x）max＝S错误!＝错误!.答：当a＝90时，纸盒侧面积最大，最大值为错误!cm２.（２）纸盒的体积V＝（a—２x）（b—２x）x，其中x∈错误!，a≥b＞0，且ab＝３600．因为（a—２x）（b—２x）＝ab—２（a＋b）x＋４x２≤ab—４错误!x＋４x２＝４（x２—60x＋900），当且仅当a＝b＝60时取等号，所以V≤４（x３—60x２＋900x），x∈（0,３0）．记f（x）＝４（x３—60x２＋900x），x∈（0,３0），则f′（x）＝１２（x—１0）（x—３0），令f′（x）＝0，得x＝１0．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：由上表可知，f（x答：当a＝b＝60，且x＝１0时，纸盒的体积最大，最大值为１6 000 cm２.[由题悟法]利用导数解决生活中的优化问题的４步骤（１）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）；（２）求函数的导数f′（x），解方程f′（x）＝0；（３）比较函数在区间端点和f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值；（４）回归实际问题作答．[即时应用]某空调制造公司有一条自动生产的流水线，价值约为a万元，现为了改善该流水线的生产能力，提高产品的增加值，需要进行全面的技术革新．经过市场调查，产品的增加值y（单位：万元）与技术革新投入的资金x（单位：万元）之间满足：１y与（a—x）和x２的乘积成正比；２当x＝错误!时，y＝a３；３x∈错误!，其中m是正数．（１）求y关于x的表达式；（２）试问当技术革新投入多少万元时，产品的增加值y最大．解：（１）由题意可设y＝f（x）＝k（a—x）x２.因为当x＝错误!时，y＝a３，所以k＝8．所以y＝f（x）＝8（a—x）x２，x∈错误!，其中m是正数．（２）因为f′（x）＝—２４x２＋１6ax，所以由f′（x）＝0，得x＝错误!或x＝0（舍去）．当错误!≤错误!，即0＜m≤１时，若x∈错误!，则f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在错误!上是增函数，所以当x＝错误!时，y取得最大值，且y max＝f错误!＝错误!a３.当错误!＞错误!，即m＞１时，若x∈错误!，则f′（x）＞0，所以f（x）在错误!上是增函数，若x∈错误!，则f′（x）＜0，所以f （x）在错误!上是减函数，所以当x＝错误!时，y取得最大值，且y max＝f错误!＝错误!a３.所以当0＜m≤１时，技术革新投入错误!万元时，产品的增加值y最大，且为错误!a３；当m＞１时，技术革新投入错误!万元时，产品的增加值y最大，且为错误!a３.一抓基础，多练小题做到眼疾手快１．（２0１9·昆山调研）已知函数f（x）的导函数f′（x）＝x２—x，则使得f（x）取得极大值的x＝________.解析：由f′（x）＝x２—x＝0得到x＝0或x＝１，当x＜0或x＞１时，f′（x）＞0．当0＜x＜１时，f′（x）＜0，所以当x＝0时，f（x）取得极大值．答案：0２．（２0１9·江都中学检测）函数f（x）＝x３—３x—３在区间[—３，0]上的最大值和最小值分别为m，n，则m＋n＝________.解析：∵f′（x）＝３x２—３＝３（x＋１）（x—１），∴当—３≤x＜—１时，f′（x）＞0；当—１＜x≤0时，f′（x）＜0．∴f（x）在[—３，—１）上是增函数，在（—１,0]上是减函数．∴当x＝—１时，f（x）取得最大值f（—１）＝—１，即m＝—１．∵f（—３）＝—２１＜f（0）＝—３，∴当x＝—３时，f（x）取得最小值f（—３）＝—２１，即n＝—２１．故m＋n＝—２２．答案：—２２３．（２0１8·启东中学测试）已知函数f（x）＝３x３—9x＋a有两个零点，则a＝________.解析：f′（x）＝9x２—9，由f′（x）＞0，得x＞１或x＜—１；由f′（x）＜0，得—１＜x＜１，所以f（x）在（—∞，—１）和（１，＋∞）上单调递增，在（—１,１）上单调递减，所以f（x）的极大值为f（—１）＝a＋6，极小值为f（１）＝a—6，要满足题意，则需f（—１）＝0或f（１）＝0，解得a＝±6．答案：±6４．（２0１8·太仓高级中学期末）函数f（x）＝x＋错误!的极大值是________．解析：易知f（x）的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），f′（x）＝１—错误!，令１—错误!＝0，可得x＝—１或x＝１，当x∈（—∞，—１）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数；当x∈（—１,0）时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；当x∈（0,１）时，f′（x）＜0，函数f（x）是减函数；当x∈（１，＋∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）是增函数，所以当x＝—１时，函数f（x）取得极大值—２．答案：—２５．（２0１8·南通期末）已知函数f（x）＝x３—x２＋a在[0,１]上恰好有两个零点，则实数a的取值范围是________．解析：f′（x）＝x（３x—２），令f′（x）＞0，解得错误!＜x≤１；令f′（x）＜0，解得0＜x＜错误!，故f（x）在错误!上单调递减，在错误!上单调递增．若f（x）在[0,１]上恰好有两个零点，则错误!解得0≤a＜错误!.答案：错误!6．若函数f（x）＝错误!x３—错误!x２＋２bx在区间[—３,１]上不是单调函数，则函数f（x）在R 上的极小值为________．解析：f′（x）＝x２—（２＋b）x＋２b＝（x—b）（x—２），因为函数f（x）在区间[—３,１]上不是单调函数，所以—３＜b＜１，则由f′（x）＞0，得x＜b或x＞２，由f′（x）＜0，得b＜x＜２，所以函数f（x）的极小值为f（２）＝２b—错误!.答案：２b—错误!二保高考，全练题型做到高考达标１．若x＝１是函数f（x）＝ax３—ax２—x＋１的极值点，则f（x）的极小值为________．解析：f′（x）＝３ax２—２ax—１，若x＝１是f（x）的极值点，则f′（１）＝３a—２a—１＝0，解得a＝１，故f（x）＝x３—x２—x＋１，f′（x）＝３x２—２x—１＝（３x＋１）（x—１），由f′（x）＞0，解得x＞１或x＜—错误!；由f′（x）＜0，解得—错误!＜x＜１，所以f（x）在错误!上单调递增，在错误!上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增，故f（x）极小值＝f（１）＝0．答案：0２．设直线x＝t与函数h（x）＝x２，g（x）＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN最小时t＝解析：由已知条件可得MN＝t２—ln t，设f（t）＝t２—ln t（t＞0），则f′（t）＝２t—错误!，令f′（t）＝0，得t＝错误!，当0＜t＜错误!时，f′（t）＜0，当t＞错误!时，f′（t）＞0，所以当t＝错误!时，f（t）取得最小值．答案：错误!３．（２0１8·东台安丰中学期中）已知函数f（x）＝lg错误!，若对任意x∈[２，＋∞），不等式f（x）＞0恒成立，则a的取值范围是________．解析：若对任意x∈[２，＋∞），不等式f（x）＞0恒成立，则lg错误!＞0＝lg １，∴x＋错误!—２＞１，即a＞３x—x２恒成立．令y＝３x—x２，其对称轴为x＝错误!，∴y＝３x—x２在[２，＋∞）上单调递减，∴y max＝6—４＝２，∴a＞２．答案：（２，＋∞）４．（２0１9·南京学情调研）已知函数f（x）＝错误!x３＋x２—２ax＋１，若函数f（x）在（１,２）上有极值，则实数a的取值范围为________．解析：因为函数f（x）在（１,２）上有极值，则需函数f（x）在（１,２）上有极值点．法一：令f′（x）＝x２＋２x—２a＝0，得x１＝—１—错误!，x２＝—１＋错误!，因为x１∉（１,２），因此则需１＜x２＜２，即１＜—１＋错误!＜２，即４＜１＋２a＜9，所以错误!＜a＜４，故实数a的取值范围为错误!.法二：f′（x）＝x２＋２x—２a的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝—１，则f′（x）在（１,２）上是单调递增函数，因此错误!解得错误!＜a＜４，故实数a的取值范围为错误!.答案：错误!５．（２0１9·海门实验中学测试）已知函数f（x）＝x３＋bx２＋cx的图象如图所示，则x错误!＋x错误!解析：由图象可知f（x）的图象过点（１,0）与（２,0），x１，x２是函数f（x）的极值点，因此１＋b ＋c＝0,8＋４b＋２c＝0，解得b＝—３，c＝２，所以f（x）＝x３—３x２＋２x，所以f′（x）＝３x２—6x ＋２．因为x１，x２是方程f′（x）＝３x２—6x＋２＝0的两根，因此x１＋x２＝２，x１x２＝错误!，所以x错误!＋x错误!＝（x１＋x２）２—２x１x２＝４—错误!＝错误!.答案：错误!6．（２0１9·扬州调研）已知函数f（x）＝ln x—错误!（m＜0）在区间[１，e]上取得最小值４，则m＝________.解析：f′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.令f′（x）＝0，得x＝—m，且当x＜—m时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞—m时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．若—m≤１，即—１≤m＜0时，f（x）min＝f（１）＝—m≤１，不可能等于４；若１＜—m≤e，即—e≤m＜—１时，f（x）min＝f（—m）＝ln（—m）＋１，令ln（—m）＋１＝４，得m＝—e３∉[—e，—１）；若—m＞e，即m＜—e时，f（x）min＝f（e）＝１—错误!，令１—错误!＝４，得m＝—３e，符合题意．综上所述，m＝—３e.答案：—３e7．（２0１8·海安高级中学期末）已知三次函数f（x）在x＝0处取得极值0，在x＝１处取得极值１，若存在两个不同实数x１，x２∈（k，k＋１），使得f（x１）＋f（x２）＝0，则实数k的取值范围是________．解析：设三次函数f（x）＝ax３＋bx２＋cx＋d，则f′（x）＝３ax２＋２bx＋c.∵f（x）在x＝0处取得极值0，在x＝１处取得极值１．∴错误!⇒错误!∴f（x）＝—２x３＋３x２，f′（x）＝—6x２＋6x，由f′（x）＞0，得0＜x＜１；由f′（x）＜0，得x＞１或x＜0，∴函数f（x）在（—∞，0），（１，＋∞）上单调递减，在（0,１）上单调递增，且f（0）＝0，f错误!＝0，作出函数f（x）的图象如图所示．结合图象可得k＜错误!＜k＋１，∴实数k的取值范围是错误!.答案：错误!8．已知y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程为y＝x—１，且f′（x）＝ln x＋１，则函数f（x）的最小值为________．解析：因为f′（x）＝ln x＋１，设f（x）＝x ln x＋C，又因为f（x）在点（１，f（１））处的切线方程为y＝x—１，故切点为（１,0），又切点在曲线f（x）＝x ln x＋C上，故C＝0，f（x）＝x ln x，令f′（x）＝ln x＋１＞0，解得x＞错误!，令f′（x）＜0，解得0＜x＜错误!，所以f（x）在区间错误!上单调递减，在错误!上单调递增，故当x＝错误!时，函数f（x）取得最小值，所以f（x）min＝f错误!＝—错误!.答案：—错误!9．（２0１8·南京、盐城二模）已知函数f（x）＝x（e x—２），g（x）＝x—ln x＋k，k∈R，e为自然对数的底数．记函数F（x）＝f（x）＋g（x）．（１）求函数y＝f（x）＋２x的极小值；（２）若F（x）＞0的解集为（0，＋∞），求k的取值范围．解：（１）y＝f（x）＋２x＝x e x，由y′＝（１＋x）e x＝0，得x＝—１．当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x（—∞，—１）—１（—１，＋∞）y′—0＋y极小值所以当x（２）F（x）＝f（x）＋g（x）＝x e x—x—ln x＋k，F′（x）＝（x＋１）错误!，设h（x）＝e x—错误!（x＞0），则h′（x）＝e x＋错误!＞0恒成立，所以函数h（x）在（0，＋∞）上单调递增．又h错误!＝错误!—２＜0，h（１）＝e—１＞0，且h（x）的图象在（0，＋∞）上不间断，因此h（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点x0∈错误!且e0x＝错误!.当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即F′（x）＜0；当x∈（x0，＋∞）时，h（x）＞0，即F′（x）＞0，所以F（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，＋∞）上单调递增，故当x＝x0时，函数F（x）取极小值，也是最小值，为F（x0）＝x0e0x—x0—ln x0＋k＝１—x0—ln 错误!＋k＝１＋k.因为F（x）＞0的解集为（0，＋∞），所以１＋k＞0，即k＞—１．故k的取值范围是（—１，＋∞）．１0．（２0１9·启东高三联考）已知函数f（x）＝错误!—x，其中a＞0，函数f（x）的导数为f′（x）．（１）求函数f（x）在区间（１，e]上的值域；（２）若函数f（x）在（１，＋∞）上为单调减函数，求实数a的最大值；（３）若存在x１，x２∈[e，e２]，使f（x１）≤f′（x２）＋１成立，求实数a的取值范围．解：（１）由已知，得f′（x）＝错误!—１，因为x∈（１，e]，a＞0，所以f′（x）＜0，所以函数f（x）在（１，e]上为单调减函数，所以f（x）min＝f（e）＝a e—e，所以函数f（x）在区间（１，e]上的值域为[a e—e，＋∞）．（２）因为函数f（x）在（１，＋∞）上为单调减函数，所以f′（x）＝错误!—１≤0在（１，＋∞）上恒成立，只需f′（x）max≤0，又因为a＞0，f′（x）＝—a错误!２＋错误!—１，所以当错误!＝错误!，即x＝e２时，f′（x）max＝错误!—１≤0，所以a≤４，故实数a的最大值为４．（３）“存在x１，x２∈[e，e２]，使f（x１）≤f′（x２）＋１成立”等价于“当x１，x２∈[e，e２]时，f（x１）min≤f′（x２）max＋１”．由（２）知，当x∈[e，e２]时，f′（x）max＋１＝错误!，所以原问题又等价于“当x∈[e，e２]时，f（x）min≤错误!”．１当0＜a≤４时，由（１）知f′（x）max＝错误!—１≤0，f（x）在[e，e２]上为单调减函数，则f（x）min＝f（e２）＝错误!—e２≤错误!，所以0＜a≤错误!.２当a＞４时，f′（x）＝—a错误!２＋错误!—１在[e，e２]上为单调增函数，且值域为错误!，所以存在唯一x0∈（e，e２），使f′（x）＝0，且满足：当x∈（e，x0）时，使f′（x）＜0，f（x）在（e，x0）上单调递减；当x∈（x0，e２）时，使f′（x）＞0，f（x）在（x0，e２）上单调递增，所以f（x）min＝f（x0）＝错误!—x0≤错误!，x0∈（e，e２）．注意到y＝错误!—错误!，y′＝错误!＞0，故y＝错误!—错误!在（e，e２）上递增且恒正，所以a≤错误!＜错误!＝错误!＜４，与a＞４矛盾．错误!综上所述，实数a的取值范围为错误!.三上台阶，自主选做志在冲刺名校１．（２0１9·盐城中学测试）设函数f（x）＝错误!sin错误!，若存在f（x）的极值点x0满足x错误!＋[f（x0）]２＜m２，则实数m的取值范围是________________．解析：由题意可知f（x0）＝±错误!，则错误!＝kπ＋错误!，k∈Z，即x0＝错误!m，k∈Z，再由x错误!＋[f（x0）]２＜m２，可得当m２最小时，|x0|最小，而|x0|最小为错误!|m|，所以m２＞错误!m２＋３，即m２＞４，解得m＜—２或m＞２，故m的取值范围为（—∞，—２）∪（２，＋∞）．答案：（—∞，—２）∪（２，＋∞）２．（２0１8·徐州高三期中）如图，有一块半圆形空地，开发商计划建一个矩形游泳池ABCD及其矩形附属设施EFGH，并将剩余空地进行绿化，园林局要求绿化面积应最大化．其中半圆的圆心为O，半径为R，AB在直径上，点C，D，G，H在圆周上，E，F在边CD上，且∠BOG＝错误!，设∠BOC＝θ.（１）记游泳池及其附属设施的占地面积为f（θ），求f（θ）的表达式；（２）怎样设计才能符合园林局的要求？解：（１）由题意得AB＝２R cos θ，BC＝R sin θ，连结OH，易得△HOG为等边三角形，所以HG＝R，EH＝错误!R—R sin θ，所以f（θ）＝S矩形ABCD＋S矩形EFGH＝２R cos θ·R sin θ＋R错误!＝R２错误!，θ∈错误!.（２）要符合园林局的要求，只要f（θ）最小即可，由（１）知，f′（θ）＝R２（２cos２θ—２sin２θ—cos θ）＝R２（４cos２θ—cos θ—２），θ∈错误!.令f′（θ）＝0，即４cos２θ—cos θ—２＝0，解得cos θ＝错误!或cos θ＝错误!（舍去），令cos θ0＝错误!，θ0∈错误!，当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是单调减函数；当θ∈错误!时，f′（θ）＞0，f（θ）是单调增函数，所以当θ＝θ0时，f（θ）取得最小值．答：当θ满足cos θ＝错误!时，符合园林局的要求．。

函数的值域练习一、定义：因变量y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。

二、函数值域的求法：（1）观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断函数值域的方法。

例1、 函数1062++=x x y 的值域。

（2）配方法：对于二次函数和二次函数的变式，可通过配方确定抛物线的顶点的方法函数的值域。

例2、 函数y=x 2+x+1的值域是______________；函数y=x 4+x 2+1的值域是：______________；函数1124323x x y -+=+⋅-的值域是：______________例3、 求函数6522++-=x x y [0,4]x ∈的值域。

（3）最值法：对闭区间上的连续函数，利用求函数的最大值和最小值来求函数的值域的方法。

例4、 求函数6522++-=x x y 的值域。

（4）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法例5、 求函数22122+-+=x x x y 的值域。

（5）反函数法：利用求已知函数的反函数的定义域，从而得到原函数的值域的方法。

例6、 求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≠-+=32,2332x x x y 的值域。

（6）换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数形式，来求值域的方法。

例7、 求函数x x y 21--=的值域。

(7) 图象法：若能作出函数的图象,可根据图象直观地得出函数的值域。

求分段函数值域常用此方法。

例8、求函数13+--=x x y 的值域。

三、巩固练习：1、y=x 2+x+1的值域是____ ___； y=x 4+x 2+1的值域是____ ___；y=x 4-x 2+1的值域是______ ____； 152+=x x y 的值域是____ ___； 2、 函数y=1122+-x x 的值域是：___ __ 函数y=)40(422≤≤--x x x 的值域是__ ___ 3、 数f(x)=)2(12≤--x x 的值域为______________ 4、 函数34252+-=x x y 的值域是__________。

第八课时 函数的最值
【学习导航】
知识网络
学习要求 1．了解函数的最大值与最小值概念；
2．理解函数的最大值和最小值的几何意义；
3．能求一些常见函数的最值和值域．
自学评价
1．函数最值的定义：
一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有 恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；
若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有 恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；
2．单调性与最值：
设函数()y f x =的定义域为[],a b ，
若()y f x =是增函数，则max y = ，min y = ；
若()y f x =是减函数，则max y = ，min y = ．
【精典范例】
一．根据函数图像写单调区间和最值：
例1：如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．
函数最值
函数最值概念 函数最值与图像 函数最值求法。