第五章(线性定常系统的综合)
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Automatic Control Theory自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹法根轨迹法是一种图解方法,它是经典控制理论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。
由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根(即系统的闭环极点)在s 平面上的分布,因此,用根轨迹法分析自动控制系统十分方便,特别是对于高阶系统和多回路系统,应用根轨迹法比用其他方法更为方便,因此在工程实践中获得了广泛应用。
1、根轨迹的基本概念闭环系统的稳定性取决于闭环系统的极点分布,其它性能取决于其零极点分布。
因此,可以用系统的零极点分布来间接研究控制系统的性能。
伊万思在1948年提出了一种在复平面上由开环零极点确定闭环零极点的图解方法——根轨迹法。
将开环系统的某一个参数(比如开环放大系数)的全部值与闭环特征根的关系表示在一张图上。
根轨迹定义开环系统传递函数的某一个参数从零变到无穷时,闭环系统特征方程的根在复平面上变化的轨迹。
研究根轨迹的目的:分析系统的各种性能(稳定性、动态和稳态性能) 相关术语:*01210121()()()()()()()()()()mim i nn jj s z b s z s z s z G s H s K a s p s p s p s p ==----==----∏∏❖ 开环零点:指系统开环传递函数中分子多项式方程的根 ❖ 开环极点:指系统开环传递函数中分母多项式方程的根 ❖ 根轨迹增益:K *为开环系统根轨迹增益❖ 闭环零点:指系统闭环传递函数中分子多项式方程的根 ❖闭环极点:指系统闭环传递函数中分母多项式方程的根1*11()()()()1()()()()nj j n mjij i G s s p G s s G s H s s p K s z ===-Φ==+-+-∏∏∏闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。
对于单位反馈系统,闭环零点就是开环零点。
闭环极点与开环零、极点以及根轨迹增益K*均有关。
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数:656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统:u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统:Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ,--试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统:Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ,--试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ,使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A; 2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ; 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002--A ; 3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ; 4) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ; 6) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ; 7) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
·145·第5章 线性系统的频域分析法重点与难点一、基本概念 1. 频率特性的定义设某稳定的线性定常系统,在正弦信号作用下,系统输出的稳态分量为同频率的正弦函数,其振幅与输入正弦信号的振幅之比)(ωA 称为幅频特性,其相位与输入正弦信号的相位之差)(ωϕ称为相频特性。
系统频率特性与传递函数之间有着以下重要关系:ωωj s s G j G ==|)()(2. 频率特性的几何表示用曲线来表示系统的频率特性,常使用以下几种方法:(1)幅相频率特性曲线:又称奈奎斯特(Nyquist )曲线或极坐标图。
它是以ω为参变量,以复平面上的矢量表示)(ωj G 的一种方法。
(2)对数频率特性曲线:又称伯德(Bode )图。
这种方法用两条曲线分别表示幅频特性和相频特性。
横坐标为ω,按常用对数lg ω分度。
对数相频特性的纵坐标表示)(ωϕ,单位为“°”(度)。
而对数幅频特性的纵坐标为)(lg 20)(ωωA L =,单位为dB 。
(3)对数幅相频率特性曲线:又称尼柯尔斯曲线。
该方法以ω为参变量,)(ωϕ为横坐标,)(ωL 为纵坐标。
3. 典型环节的频率特性及最小相位系统 (1)惯性环节:惯性环节的传递函数为11)(+=Ts s G 其频率特性 11)()(+===j T s G j G j s ωωω·146·对数幅频特性 2211lg20)(ωωT L +=(5.1)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1 )lg(2010)(ωωωωT T T L a (5.2) 在ωT =1处,渐近线与实际幅频特性曲线相差最大,为3dB 。
对数相频特性)(arctg )(ωωϕT -= (5.3)其渐近线为⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤+<=10 90101.0 )lg(1.0 0)(ωωωωωϕT T T b a T a (5.4)当ωT =0.1时,有b a b a -=+=1.0lg 0 (5.5)当ωT =10时,有b a b a +=+=︒-10lg 90 (5.6)由式(5.5)、式(5.6)得︒=︒-=45 45b a因此:⎪⎩⎪⎨⎧≥︒-<≤︒-<=10 90101.0 )10lg(451.0 0)(ωωωωωϕT T T T a (5.7)(2)振荡环节:振荡环节的传递函数为10 121)(22<<++=ξξTs S T s G·147·其频率特性)1(21|)()(22ωωξωωT j Ts s G j G j s -+=== 对数幅频特性2222224)1(lg 20)(ωξωωT T L +--= (5.8)其渐近线为⎩⎨⎧≥-<=1)lg(4010)(ωωωωT T T L a (5.9) 当707.0<ξ时,在221ξω-=T 处渐近线与实际幅频特性曲线相差最大,为2121lg20ξξ-。