线性定常系统的状态空间分析与综合2
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5线性定常系统的综合2016 (2)
x Ax Bu
y Cx
反 馈 控 制 规 律 为:
u Kx v K r n状态反馈阵; v 参考输入, r维向量.
状 态 反 馈 后 的 闭 环 系 统的 状 态 空 间 模 型
x ( A BK )x Bv
y
Cx
闭环系统传递函数矩阵
Gk (s) C (sI A BK )1 B
系统的分析与综合： 分析问题：已知系统的结构和参数及已知外输入作用，研究 系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、稳 定性）和定量的变化规律。 综合问题：已知系统的结构和参数，以及所期望的系统运动 形式或某些特征，要确定的则是需要施加于系统 的外输入作用即控制作用的规律。 一般控制作用规律常取反馈的形式。
比 较Qc和Qck： 第 一 分 块 相 同 ； 第 二 分 块 ： 在Qck中 ，(A BK)B AB BKB AB B(KB，) 故 (A BK)B中
的各列向 量可 由 [B,AB]中的各列向 量的 线 性 组 合 来 表 示 。 第 三 分 块 ： 在Qck中 ，(A BK)2 B (A BK)(A BK)B(A BK)(AB BKB)
3 对外部扰动影响的抑制问题
5.1 状态反馈和输出反馈
一 反馈控制系统的基本结构形式
1 状态反馈控制系统的基本结构形式
1）基本结构形式
v u
B
x
x
C
y
2）特点：
A
采用对状态向量的线
K
性反馈规律来构成闭
环系统。
3）优点：不引入新的状态变量。
4）状态空间模型 受 控 系 统0 ( A, B,C )的 方 程 为:
3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与观测器系统阶次之和
2 带补偿器的输出反馈
y Cx
反 馈 控 制 规 律 为:
u Kx v K r n状态反馈阵; v 参考输入, r维向量.
状 态 反 馈 后 的 闭 环 系 统的 状 态 空 间 模 型
x ( A BK )x Bv
y
Cx
闭环系统传递函数矩阵
Gk (s) C (sI A BK )1 B
系统的分析与综合： 分析问题：已知系统的结构和参数及已知外输入作用，研究 系统运动的定性行为（如能控性、能观测性、稳 定性）和定量的变化规律。 综合问题：已知系统的结构和参数，以及所期望的系统运动 形式或某些特征，要确定的则是需要施加于系统 的外输入作用即控制作用的规律。 一般控制作用规律常取反馈的形式。
比 较Qc和Qck： 第 一 分 块 相 同 ； 第 二 分 块 ： 在Qck中 ，(A BK)B AB BKB AB B(KB，) 故 (A BK)B中
的各列向 量可 由 [B,AB]中的各列向 量的 线 性 组 合 来 表 示 。 第 三 分 块 ： 在Qck中 ，(A BK)2 B (A BK)(A BK)B(A BK)(AB BKB)
3 对外部扰动影响的抑制问题
5.1 状态反馈和输出反馈
一 反馈控制系统的基本结构形式
1 状态反馈控制系统的基本结构形式
1）基本结构形式
v u
B
x
x
C
y
2）特点：
A
采用对状态向量的线
K
性反馈规律来构成闭
环系统。
3）优点：不引入新的状态变量。
4）状态空间模型 受 控 系 统0 ( A, B,C )的 方 程 为:
3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与观测器系统阶次之和
2 带补偿器的输出反馈
第八章线性定常系统的状态空间分析法
第八章线性定常系统的状态空间分析法 (378)第一节 线性定常连续系统的能控性和能观性 (378)一、直观理解 (378)二、能控性定义和能观性定义 (380)1. 能控性定义 (380)2. 能观性定义 (381)三、能控性判别 (381)1. 预备知识 (381)2. 直接从A与B判别系统的能控性 (383)3. 系统的能控性秩判据 (387)4. 具有A阵为约当规范型系统的能控性判别 (389)四、 能观性判别 (392)1. 直接从A与B判别系统的能观性 (392)2. 系统的能观性秩判据 (394)3. 具有A阵为约当规范型系统的能观性判别 (394)五、对偶原理 (395)第二节线性定常连续系统的线性变换与结构分解 (395)一、非奇异线性变换 (396)1. 基本概念 (396)2. 非奇异线性变换的性质 (396)二、状态空间的几种标准形式 (397)1. 对角规范型 (397)2. 约当规范型 (397)3. 化能控系统的状态方程为能控标准型 (398)4. 化能观系统的状态方程为能观标准型 (400)三、结构分解 (402)1. 能控子空间分解 (403)2. 能观子空间分解 (405)3. 能控能观子空间分解 (408)四、 状态空间描述与传递函数描述的关系 (408)第三节线性定常连续系统的状态反馈控制 (411)一、状态反馈控制的基本概念 (411)二、闭环线性系统的能控性与能观性 (413)三、状态反馈极点配置 (415)1. 状态反馈控制的直接设计方法 (415)2. 状态反馈控制的能控标准型设计方法 (417)3. 单变量（SISO）系统状态反馈的零点不变性 (421)4. 闭环极点位置的选择 (421)四、状态反馈镇定 (424)第四节线性定常连续系统的状态观测器 (426)一、状态观测器 (427)二、状态观测反馈系统（分离定理） (431)三、降维状态观测器的概念 (433)第五节 线性定常离散系统的状态空间分析法 (434)一、离散系统的能控性 (434)二、离散系统的能观性 (435)三、连续系统与离散系统的关联与区别 (437)四、连续动态系统离散化后的能控性与能观性 (437)第六节 内模控制器设计 (439)第七节 本章小结 (441)习题八 (442)第八章 线性定常系统的状态空间分析法前面几章介绍的内容大都属于经典控制理论的范畴，描述系统的数学模型是常微分（差分）方程、传递函数（脉冲传递函数），主要的系统分析和设计方法是时域法、根轨迹法和频域特性法。
第一章 线性定常系统的状态空间描述及运动分析
称 G ( s ) 为系统的传递函数矩阵。G ( s ) 为的一个有理分式 矩阵。当 g ij ( s ) 除严格真还包含真有理分式时，即 G ( s ) 的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等 的最高幂次时，称为真有理分式矩阵。
7
§1.1-2 传递函数矩阵 当且仅当 G ( s )为真的或严格真的时，它才是物理上可实 现的。当且仅当 lim G ( s ) = 零阵 s →∞ G ( s ) 为严格真的， lim G ( s ) =非零常阵 s →∞ 传递函数矩阵为真的。
8
§1.2 线性定常系统的状态空间描述
§1.2-1 状态和状态空间 系统的状态空间描述是建立在状态和状态空间概念的基 础上的。 定义1.1 动力学系统的状态定义为完全的表征系统时间 域行为的一个最小内部变量组。组成这个变量组的变 xn (t ) 称为系统的状态变量，其中t ≥ t0， "， 量 x1 (t ), x2 (t )， t0 为初始时刻。由状态变量 ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎥, t ≥ t 构成的列向量 x(t ) = ⎢ # 0 ⎢ ⎥ 称为系统的状态向量，简称为状态。状态空间则定义为 状态向量取值的一个向量空间。
15
§1.2-2 动态系统的状态空间描述 离散动态过程的状态空间的描述。离散动态过程的一个 重要特点是，系统的各个变量都被处理成为只在离散时 刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的 因果关系和转换关系。用k=0,1,2来表示离散的时刻，则 离散时间系统（简称离散系统）的状态方程和输出方程 的最一般形式为：
2
§1.1-1 单变量情形回顾 已知由下列常系数微分方程描述的定常系统
y n + a n −1 y ( n −1) + " + a1 y (1) + a 0 y
第九章 线性系统的状态空间分析与综合(2)2
x Ax Bu y Cx
且系统矩阵A和输入矩阵B分别为
0 1 A 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 an an 1 an 2 a1 1 0 B 0 0
0
状态与系统可达
对于式（9-100）所示线性时变系统，若存在能将状态 x(t0 ) 0 转移到 x(t f ) x f 的控制作用，则称状态 xf 是 t0 时刻可达的。若 x f 对所有时刻都是可达的，则 称状态 x f 为完全可达或一致可达。若系统对于状态空间 中的每一个状态都是时刻 t0 可达的，则称该系统是 t0 时刻状态可达的，或简称该系统是 t0 时刻可达的。
rank B AB An 1B n
系统的可控性判别阵。
(9 128)
S B AB An 1B 称为 其中 n 为矩阵 A 的维数，
例1
1 3 2 2 1 . 0 2 0 x 1 1 u x 0 1 3 1 1
现代控制理论
9-2 线性系统的可控性与可观测性
Modern Control Theory
本节内容
1.可控性 2.可观测性 3.线性定常连续系统的可控性判据 4.输出可控性 5.线性定常连续系统的可观测性判据 6.线性离散系统的可控性和可观测性
可控性和可观测性概念，是卡尔曼于20世纪60年代首先 提出，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制 理论中起着重要的作用。
试判定系统的可控性。
0 0 2 0 0 2 3 0
0 0 0 4 u 0 0 3 0
解：由于
ˆ br11 1 ˆ ˆ B 1 br12 0 ˆ br13 0 ˆ ˆ B b 3 0
第5章-线性定常系统的综合2
6
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
5.1.3 从输出到x 的反馈
结构图如下：
u
B
x
x
C
y
A
G
x Ax Bu
y
Cx
Du
若D＝0，则
x Ax Bu Gy Ax Bu G(Cx Du) (A GC)x (B GD)u
y Cx Du
x ( A GC)x Bu y Cx
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0 u,
0 2 3 1
y 10 0 0 x
25
5.2 极点配置问题
（2）加入状态反馈 K k0 k1 k2
闭环特征多项式为：
f () I ( A bK ) 3 (3 k2 ) 2 (2 k1) (k0 )
（3）由期望的闭环极点可得期望的特征多项式：
5
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 D=0 时，闭环系统传递函数
WH (s) C[sI ( A BHC)]1 B
原受控系统传递函数为：
W0 (s) C(sI A)1 B
则还有以下关系式成立：
WH (s) W0 (s)[I HW0 (s)]1
或
WH (s) [I W0 (s)H ]1W0 (s)
16
5.2 极点配置问题 闭环系统的特征多项式：
f () I ( A bK ) n (an1 kn1) n1 (a1 k1) (a0 k0 )
(3) 欲使闭环极点与期望的极点相符，必须满足：
f () f *()
ai ki ai*
ki ai ai*
K a0 a0* a1 a1*
得： u (I HD)1(HCx v) 代入受控系统：
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
2．状态空间的基本概念 （1）状态：系统在时间域中的行为或运动信息的集合。 （2）状态变量：能够完全表征系统运动状态的一组独立的变量，常用符号 x1（t），x2 （t），…，xn（t）表示。 （3）状态向量：由 n 个用来描述系统状态的状态变量 x1（t），x2（t），…，xn（t）组 成的向量 x（t）称为 n 维状态向量，表示为 x（t）＝[x1（t），x2（t），…，xn（t）]T。 （4）状态空间：以 n 个状态变量为基底所组成的 n 维空间。 （5）状态轨迹：系统状态在状态空间中随时间变化而形成的轨迹，又称状态轨迹。 （6）线性系统的状态空间表达式：又称为动态方程。
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
5 / 75
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
3 / 75
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具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
5 / 75
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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第九章-线性系统的状态空间综合法PPT课件
③对线性定常系统，在[t0，t1]上考虑与在[0，t1-t0]上考虑是等价的，即
可控性与t0无关。
④系统可控 系统状态完全可控
若存在不可控状态（一个或多个）则系统不完全可控； ⑤终端状态x(t1)=0，即取状态空间的原点。
4
第4页/共82页
4）状态可达与系统可达
对系统： x(t) A(t)x(t) B(t)u(t) t Tt
sI A B 0 1 0 11 00
0 0 1 00 11 0 0 5 22 00
对于 1 有2 ： 0
0 1 0 0 0 1
rank 1I A
B rank 0
0
0 0
1 0 1 0 4 0 1 0 1
0 0 5 0 2 0
16
第16页/共82页
对于 1 有：5
5 1 0 0 0 1
该系统是完全可控的.
20
第20页/共82页
③设 为1 5重特征根，有如下约当型
1 1
1 1
AJ
1 1
1 55
B
BB43
B5 5p
结论：只要
B3
B
4
行线性无关,系统状态完全可控。
B5
B3
即
rankB4
行
数
系统状态完全可控。
B5
注：输入的维数p>λi所对应的约当块的块数时，系统可能可控；
当 R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=2=n，系统可控 当R1 R2 ,且C1 C2 时， rankS=1<n，系统不可控 由电路图可知： R1 R2时,C，1 C2 x1 x2
即不能通过u使x1,x2到达任意状态。
iL
R3 R1
第9章线性系统的状态空间分析与综合PPT课件
b 0u (n)
b 1u (n1)
*
b
n
1
u
bnu
选在取由状包态含变状量态的变原量则的: n个微 分x 2 议 x程1 构h 1成u 的系
统状态议程解中任何一个微 x 分n 议x n程 1 均h n不 1 u 含有
作用函数的导数项。
X AX BU
x1 y b 0u
y CX DU
掌握和运用可控性判据和可观性判据。
*
4
基本要求
⑤ 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控
系统进行可控性分解。
⑥ 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法,
熟练掌握由观测器得到的状态估计值代替状 态值构成的状态反馈系统, 可进行闭环极点 配置和观测器极点配置。
⑦ 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的
条件和解法, 能通过解李雅普诺夫方程进行 稳定性分析。
*
5
状态空间方法基础
• 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析
单输入、单输出系统。
• 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。
采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁 明了，为系统的分析研究提供了有力的工具。
*
6
一、状态空间的基本概念
状态：动力学系统的状态可以定义为信息的集合。
x 2
y (2)
x 1 x 2
所以
x
2
x3
x
3
x1
2x 2
3x3
r
X AX Br
*
19
0 1 0
0
其中
A
0
0
1
B
0
- 1 - 2 - 3
1
C 1 0 0
线形系统的状态空间分析与综合
y(t)C(t)x(t)
的可观测性。输出响应成为
y(t)C (t) (t,t0)x0
下面给出系统可观测性的有关定义。
系统完全可观测：对于线性时变系统，如果取定初始时刻
t0 Tt ，存在一个有限时刻t1Tt,t1t0，对于所有
，
系统的t输t出0,t1 能惟一确定状态向量 的初值，则称系统
不可控。 PBH秩判据 线性定常连续系统完全可控的充分必要条
件是，对矩阵 A的所有特征值 i(i1,2, ,n)，
ra in A kB n ; i1,2, ,n
均成立，或等价地表示为 ra s I A n B k n , s C
即(sIA)和 B是左互质的。
其中 (t,t0)为系统的状态转移矩阵。将上式代入输出方程，
可得输出响应为
若定y ( 义t) C ( t) ( t,t0 ) x 0 C ( t) ( t,) B () u () d D ( t) u ( t)
y (t) y (t) C (t) (t,)B ()u ()d D (t)u (t)
在
内是y (完t ) 全可观测的，简称可观x(测t0 )。如果对于一切
系统t0都,t1是 可观测的，则称系统在
内完全可观测。 t1 t0
t0,
11
二、 线性系统的可控性与可观测性（11）
系统不可观测： 对于线性时变系统，如果取定初始时
刻t0 Tt，存在一个有限时刻t1Tt,t1t0，对于所有
其中，A (t)B ,(t)C ,(t)和 D (t)分别为 (n n )(n , p )(q , n ) 和 (q p )
的满足状态方程解的存在惟一性条件的时变矩阵。状态方程
线性定常系统的综合 (2)
输出反馈后，系统阶次不变
输出反馈后，能控性和能观测性保持不变
定理1：状态反馈不改变系统的能控性 证明： 被控系统 (A, B, C)
对矩阵A的所有特征值λi(i=1,…,n)满足等式 PBH算法:
rank i I A, B
采用状态反馈
满秩，可控
不满秩，不可控
闭环系统 (A-BK, B, C)
反馈增益矩阵
Ax Bu x 原系统 y Cx Du ( A BK ) x Bv x 状态反馈闭环系统 y (C DK ) x Dv
1)状态反馈不增加新的状态变量 ; 2)状态反馈对输入矩阵B和直接传输矩阵D无影响； 3)系统的系数矩阵由A变成(A-BK) ； 4)输出矩阵由C变成(C-DK) ； 系统的瞬态性能主要由系数矩阵A决定。 通过适当的方法选择反馈阵K，就可以使系统达到希望的控制 目的。
综合是建立在系统分析的基础上的
综合问题的提出
三要素 被控对象： 状态空间描述（线性定常系统）
Ax Bu x y Cx Du 目标： 即性能指标，如某些特征值、或某种期望形式、 或关于极小（或极大）值的某个性能函数
手段： 控制输入（控制器设计） 所谓综合： 寻找一个控制u，在其作用下系统的运动满足所给 出的期望性能指标 控制常用的形式（手段）： 状态反馈控制 输出反馈控制
状态反馈
( A BK ) x Bv x y Cx (A BHC ) x Bv x y Cx
输出反馈
状态反馈和输出反馈的比较 状态反馈和输出反馈都可改变系统结构属性和性能指标。 反馈功能上：状态反馈要优于输出反馈 令 K=HC 则输出反馈达到的功能，必可找到相应的一个状态反馈来实现 但 HC=K的解H通常不存在
线性系统的状态空间分析与综合
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ]
6、输出方程 描述系统输出变量与状态变量和输入变量之间函数 关系的代数方程组。 关系的代数方程组。
y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
y (
9、线性系统 f 系统状态空间表达式中， 均是线性函数。 系统状态空间表达式中， 和 g 均是线性函数。
10、 10、线性系统的状态空间表达式 状态方程为一阶向量线性微分方程或一阶向量线性 差分方程，输出方程是向量代数方程。 差分方程，输出方程是向量代数方程。
ɺ x(t ) = A(t )x(t ) + B(t )u(t ) y (t ) = C (t )x(t ) + D(t )u(t )
9.1 9.2 9.3 9.4
线性系统的状态空间描述 线性系统的可控性与可观测性 李雅普诺夫稳定性分析 线性定常系统的反馈结构及状态 观测器
9.1线性系统的状态空间描述 9.1线性系统的状态空间描述 一、系统数学描述的两种基本类型
系统外部描述：输入-输出描述。 系统外部描述：输入-输出描述。 系统内部描述：状态空间描述，对系统的 系统内部描述：状态空间描述， 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。 一种完全描述，表征系统所有动力学特征。
7、状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式。
ɺ x(t ) = f [x(t ), u(t ), t ] y (t ) = g[x(t ), u(t ), t ]
x(t k +1 ) = f [x(t k ), u(t k ), t k ] y (t k ) = g[x(t k ), u(t k ), t k ]
第4章 线性定常系统的综合
1
C [( sI A) 1 ( BHC ) 1 ] B C ( sI A) 1 B C ( BHC ) 1 B G0 ( s ) CC 1 H 1 B 1 B G0 ( s ) H 1 [ I H 1G0 ( s ) 1 ]G0 ( s ) [ I G0 ( s ) H ]1 G0 ( s ) G0 ( s )[ I G0 ( s ) 1 H 1 ] G0 ( s )[ I HG 0 ( s )] 1
* * *
* * K [ k 1 , k 2 , k n ] [ a0 a0 , a1* a1 , an 1 an 1 ]
~
~
~
~
[ 4 4 1]
现代控制理论
求能控标准型的变换矩阵P——方法1 ： P92
P p1 p2 pn
1
P
a2
1
系统稳定性分析
状态反馈及其极点的任意配置
系统综合 解耦控制
状态观测器设计
现代控制理论
第4章 线性定常系统的综合
★
4.1 线性反馈控制系统的 基本结构及其特点 4.2 极点配置 4.3 解耦问题 4.4 状态观测器
★ ★ ★
现代控制理论
4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特点
4.1.1 状态反馈 定义： 将每一个状态变量按一定的反馈系数送到输 入端和参考输入相叠加，将叠加后的偏差作为系 统的净控制输入。
[ A BHC , B , C ]
H
闭环传递函数：G H s C sI A BHC B
1
现代控制理论
输出反馈前、后传递函数关系：
（即开环传函和闭环传函的关系）
G 0 s C sI A B
C [( sI A) 1 ( BHC ) 1 ] B C ( sI A) 1 B C ( BHC ) 1 B G0 ( s ) CC 1 H 1 B 1 B G0 ( s ) H 1 [ I H 1G0 ( s ) 1 ]G0 ( s ) [ I G0 ( s ) H ]1 G0 ( s ) G0 ( s )[ I G0 ( s ) 1 H 1 ] G0 ( s )[ I HG 0 ( s )] 1
* * *
* * K [ k 1 , k 2 , k n ] [ a0 a0 , a1* a1 , an 1 an 1 ]
~
~
~
~
[ 4 4 1]
现代控制理论
求能控标准型的变换矩阵P——方法1 ： P92
P p1 p2 pn
1
P
a2
1
系统稳定性分析
状态反馈及其极点的任意配置
系统综合 解耦控制
状态观测器设计
现代控制理论
第4章 线性定常系统的综合
★
4.1 线性反馈控制系统的 基本结构及其特点 4.2 极点配置 4.3 解耦问题 4.4 状态观测器
★ ★ ★
现代控制理论
4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特点
4.1.1 状态反馈 定义： 将每一个状态变量按一定的反馈系数送到输 入端和参考输入相叠加，将叠加后的偏差作为系 统的净控制输入。
[ A BHC , B , C ]
H
闭环传递函数：G H s C sI A BHC B
1
现代控制理论
输出反馈前、后传递函数关系：
（即开环传函和闭环传函的关系）
G 0 s C sI A B
线性定常系统的状态空间分析与综合
a1n
a2n L
为（
ann
n n ）维系统矩阵（反映了系统
内部状态的联系）
理 论
b1
b
b2
M
为（ n 1 ）维矩阵（列阵）即为输入矩阵或者
bn
控制矩阵（反映了输入对状态的作用）
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
c1
机
c
c2
为（
n
1）维输出矩阵，（建立了输出和状态的联系）
机
LL
械
ym cm1x1 cm2 x2 L cmn xn dm1u1 dm2u2 L dmrur
控
其状态空间表达式的矢量矩阵形式为
x& Ax Bu yCx Du
制
式中 x 和 A -----同单输入系统，分别为 n 维状态矢量和 n n
理 论
维系统矩阵 u1
u
u2
M
-----为 r 维输入（或控制）矢量
械 4、举例
①画出x& ax bu 的模拟结构图。
控
②画出用以下微分方程描述系统的模拟结构图
制
&x&& a2&x& a1x& a0x bu
分析：微分方程为三阶，故有3个积分器
理
⑴先画出3个积分器；
论
第七章 线性定常系统的状态空间分析与综合
⑵将微分方程写成最高系数项在等式左端的表达式，即为
机
&x&& a2&x& a1x& a0x bu
0 1 0
机
x&
1
R
x
1
u
械
Lc L Lc
线性系统的状态空间分析与综合
线性系统的状态空间分析与综合第九章线性系统的状态空间分析与综合⼀、教学⽬的与要求：通过本章内容的学习，使学⽣建⽴起状态变量和状态空间的概念，掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法，状态空间表达式的线性变换，状态完全能控或状态完全能观测的定义，及其多种判据⽅法，状态转移矩阵的求法，传递函数矩阵与状态空间表达式的关系。
⼆、授课主要内容：1．线性系统的状态空间描述2．线性系统的可控性与可观测性3．线性定常系统的状态反馈与状态观测器（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学⽣的要求（掌握、熟悉、了解、⾃学）1.重点掌握线性定常系统状态空间模型的建⽴⽅法与其他数学描述（微分⽅程、传递函数矩阵）之间的关系。
2.掌握采⽤状态空间表述的系统运动分析⽅法，状态转移矩阵的概念和求解。
3.掌握系统基本性质——能控性和能观测性的定义、有关判据及两种性质之间的对偶性。
4.理解状态空间表达式在线性变换下的性质，对于完全能控或能观测系统，构造能控、能观测标准形的线性变换⽅法，对于不完全能控或不完全能观测系统，基于能控性或能观测性的结构分解⽅法。
5.掌握单变量系统的状态反馈极点配置和全维状态观测器设计⽅法，理解分离定理，带状态观测器的状态反馈控制系统的设计。
重点掌握线性系统的状态空间描述和求解，线性系统的可控性与可观测性及状态反馈与状态观测器。
四、主要外语词汇线性系统 linear system状态空间 state space状态⽅程 state equation状态向量 state vector传递函数矩阵 translation function matrix状态转换矩阵 state-transition matrix可观测标准形 observational standard model可控标准形 manipulative standard model李亚普诺夫⽅程Lyaponov equation状态观测器 state observation machine对偶原理 principle of duality五、辅助教学情况（见课件）六、复习思考题1．什么是系统的状态空间模型？状态空间模型中的状态变量、输⼊变量、输出变量各指什么？2．通过机理分析法建⽴系统状态空间模型的主要步骤有哪些？3．何为多变量系统？如何⽤传递矩阵来描述多变量系统的动态特性？在多变量系统中，环节串联、并联、反馈连接时，如何求取总的传递矩阵？4．试简述数学模型各种表达式之间的对应关系。
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从系统的机理出发
例 建立如右图所示机械系统的状
态空间表达式，并画出系统的状态图。
k F
根据牛顿第二定理有
m
或表示成
F ky f dy m d 2 y
dt
dt 2
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
y f
机械位移系统
选择位移 y 和速度dy / dt为状态变量，令 x1 y, x2 dy / dt
同一个系统，状态变量的选取不是惟一的。 对于一般的物理系统，状态变量的个数应等于储能元 件的个数。
基本概念
用状态变量来表征系统时，还有如下基本概念：
状态向量 把描述系统的 n个状态变量 x1(t), x2 (t), , xn (t) 看作向
量x(t) 的分量，则x(t) 称为 n 维状态向量，记作
状态空间
x1(t)
x1
x(t
)
x2
(t
),
简记为
x
x2
xn
(t
)
xn
以状态变量 x1, x2, , xn为坐标轴所张成的n维空间，
称为状态空间。系统在任意时刻的状态，在状态空间中是一个
点，随时间推移，状态在变化，在状态空间中绘出一条轨迹，
称为状态轨线。
基本概念
状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，
则
x&1
x2
,
x&2
k m
x1
f m
x2
1 m
F,
y
x1
从系统的机理出发
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x&1 x&2
0
k
m
1 f
m
x1 x2
0 1 m
F
,
y
[1
0]
x1 x2
b1r
u1
y1
b2r
,
u
u2
,
y
y2
bnr
ur
ym
c11 c12
C
c21
c22
cm1 cm2
c1n
d11 d12
c2n
,
D
d 21
d 22
cmn
dm1 dm2
d1r
d1r
d
mr
基本概念
系统的状态空间表达式，可以用下图的方框图表示
称为系统的状态方程。
系统方程式可以改写为
duc dt
1 C
i, di dt
1 L uc
Ri L
1u L
若将状态变量用一般符号 xi 表示，即令 x1 uc , x2 i ，
并写成向量—矩阵的形式，则状态方程变为
x&1 x&2
0
1 L
1 C R L
x1 x2
0 1 L
基本概念
输出方程除了是状态变量的函数外，有时还有输入变
量的直接传递，其一般形式为
y c1x1 c2 x2 cn xn du
用向量—矩阵表示的状态空间表达式为
x& Ax bu
y
CTx
du
式中 a11 a12 L
A
a21
a22
L
M M L
an1
an2
L
a1n
b1
x1
x&1
一般情况下，设单输入—单输出线性定常连续系统的 状态变量为 x1, x2, , xn，则一般形式的状态方程为
x&1 a11x1 a12 x2 L a1n xn b1u x&2 a21x1 a22x2 L a2n xn b2u
x&n an1x1 an2 x2 L ann xn bnu
u
基本概念
或
x& Ax bu
式中
x
x1
x2
,
A
0
1
L
1
C R
,
b
0 1
L
L
对上图所示系统，在以 uc作输出时，从式中消去
中间变量 i ，得二阶微分方程为
u&&c
R L
u&c
1 LC
uc
1 LC
u
相应的传递函数为
G(s)
Uc (s) U (s)
s2
1/ LC R / Ls 1/
LC
基本概念
若改选 uc和 u&c为状态变量，即令 x1 uc , x2 u&c ，则得一阶
微分方程组为
x&1 u&c x2
x&2
u&&c
1 LC
x1
R L
x2
1 LC
u
写成矩阵形式
x&
x&1 x&2
0 1 LC
1 R
L
x1 x2
0 1 LC
u
线性系统理论
在现代控制理论中，系统的动态特性是用由状态 变量构成的一阶微分方程组来描述的。它不仅反映系 统的全部独立变量的信息，而且还可以方便地处理初 始条件。
它可以应用于非线性系统、时变系统、多输入、 多输出系统以及随机过程等。
线性系统理论是现代控制理论中最基本的内容， 其他分支均以线性理论为基础。
u
dt
u
C
uc
L RLC电路
基本概念
i 和 uc表征了电路的运动状态，称为该电路的状态变 量，由此系统的状态变量可定义如下： 状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一 组变量称为状态变量。
n阶微分方程有 n 个状态变量。状态变量的数目不能 多，也不能少。选多了，状态变量之间就会线性相关； 选少了，就不能完全描述系统。
u
B
D
x&
A
xC
y(t)
状态空间表达式的结构图
状态空间表达式的建立
状态空间模型一方面可根据系统的运行机理直接 建立，另一方面也可由经典控制理论已建立起来的数 学模型，即结构图、传递函数和微分方程来导出。
从系统的机理出发建立状态空间表达式 从系统方块图出发建立状态空间表达式 由微分方程（或传递函数）求状态空间表达式 多输入、多输出系统状态空间表达式的建立
在同一系统中，状态变量选取的不同，状态方程也不同。
基本概念
输出方程 输出变量与状态变量、输入变量间的函数关
系式，称为系统的输出方程。在上图中， uc 为输出， 用 y 表示，则有
y uc x1 用矩阵表示为
y [1
0]
x1 x2
或
y CTx
其中
CT [1 0]
基本概念
状态空间表达式 状态方程与输出方程组合起来，称为 状态空间表达式。它构成对一个系统的完整描述。
9.1 线性系统的状态空间表达式
基本概念 状态空间表达式的建立 状态向量的线性变换 传递函数矩阵
基本概念
用下图所示的 RLC 电路，说明什么是状态变量，如何用状态
变量描述一个系统。
由电路原理可知，回路中的电流 i 和电容上的电压 uc 的变化规
律满足如下方程
R
L
di dt
Ri
uc
C duc i
c1
a2n
,
b
b2,ຫໍສະໝຸດ xx2,x&
x&2
,
C
c2
M M M M M
ann
bn
xn
x&n
cn
基本概念
对于一个 r 维输入、m 维输出的多输入、多输出系统
其状态空间表达式为 x& Ax Bu
y
CTx
Du
式中
b11 b12 B b21 b22
bn1 bn2