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65、函数y=y(x)是由方程y=sin(x+y)所确定的隐函数，求微分dy.45、设函数，求d y ．30、设函数y ＝cos （1＋x 2），则微分d y ＝（ ）．A 、－sin （1＋x 2）B 、－2x sin （1＋x 2）C 、－sin （1＋x 2）d xD 、－2x sin （1＋x 2）d x2.若函数()x f y =满足21)0('=f ,则当0→∆x 时,0x x dy =是( B ) A.与x ∆等价的无穷小 B.与x ∆同阶的无穷小C.比x ∆低阶的无穷小D.比x ∆高阶的无穷小 4. 设函数y = f(x)在点x 0处可导, 当自变量x 由x 0增加到x 0 + ∆x 时, 记∆y 为f(x)的增量, dy 为f(x)的微分, xdy y x ∆-∆→∆0lim 等于 (a) －1 (b) 0 (c) 1 (d) ∞17．若函数()x x e y x sin cos +=，则=dy 。
31．设7777++=x x y ，求dy 。
()()()()()()y f x x A B C D =关于函数在点处可导及可微三者的关系连续是可微的充分条件可导是可微的充分必要条件可微不是连续的充分条件连续是可导的充分必要条件 答 )()()()()()()()()()()()()(),)(())(,()(,)( 答 等于的微分改变量关于自变量在则处对应点的纵坐标为切线上处的切线方程为上点曲线处可导在 设x f D x x x C x x x B x f x x f A dy x x x f y x Y x Y x f x x f y x x f y '∆+--∆+-∆+∆====ϕϕϕϕϕ(),()()()()()()()()y f x x x dy A f x B f x C D f x x='∆'∆设函数在点处可导则它在点处的微分是指 很小的量 答 001()(),0,()2()(),()()y f x f x x f x x x dy A x B x C x D x '==∆→=∆∆∆∆若函数有则当时在点处微分是与等价的无穷小与同阶的无穷小但不是等价的无穷小比高阶的无穷小比低阶的无穷小ln 01111()()()()()y x x dy A dx B dx C dx D dx x x x xππππ=>=+设 ，则 ()(),()()()()()()()()()y f t t x dy A f t dt B x dx C f t x dt D f t dxϕϕϕ==='''''设 ，都可微则 58、讨论函数 ，在处是否可微f x x x x x x (),?=+≤->⎧⎨⎪⎩⎪=1101002259、2sin 0()0?20x x y x x x x x ≤⎧==⎨->⎩ ，讨论函数在处是否可微 ，60、2ln(1)1()0?1ln 21x x f x x x x ⎧+<==⎨-+≥⎩ ，讨论函数在处是否可微 ， 61,0()0?ln(1)0x x f x x x x <⎧==⎨+≥⎩ 讨论函数在处是否可微 ， 13．若()u f 可导，且()x e f y -=sin ，则=dy ()()dx e f e f e x x x ---'-cos 。
第四节 复合函数微分法 分布图示 ★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2) ★ 链式法则(3) ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 全微分形式的不变性 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9—4 ★ 返回
内容要点 一、复合函数的中间变量为一元函数的情形 )](),([tvtufz
.dtdvvzdtduuzdtdz 二、复合函数的中间变量为多元函数的情形 )],(),,([yxvyxufz ,xvvzxuuzxz
,yvvzyuuzyz
三、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形 ],,),,([yxyxufz xfxuufxz, .yfyuufyz
四、全微分形式的不变性
例题选讲 例1（E01）设,sintuvz而,cos,tveut 求导数.dtdz
解 dtdztzdtdvvzdtduuzttuvetcossin ttetettcossincos.cos)sin(costttet
例2（E02）设,sinvezu而,,yxvxyu 求xz和.yz 解 xzxvvzxuuz1cossinveyveuu )cossin(vvyeu)],cos()sin([yxyxyexy yzyvvzyuuz
1cossinvexve
uu
)cossin(vvxeu)].cos()sin([yxyxxexy 例3 求 yxyxz2422)3(的偏导数. 解 设,322yxu,24yxv则.vuz 可得 ,1vuvuz,lnuuvzv ,6xxu,2yyu,4x
第四节 全微分及其应用一元函数)(x f y =在x 处可微的本质是:可用x 处自变量的增量x ∆的线性函数x A ∆近似地描述函数值增量y ∆,从而可简化y ∆的计算.我们自然要问:给定二元函数()y x f z ,=,当y x ,有改变量y x ∆∆,时,相应的函数值的改变量z ∆与y x ∆∆,有何关系?可否用y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆来近似代替z ∆?一、全微分1. 全微分的定义对于一元函数)(x f y =,当自变量在点x 处有增量x ∆时,若函数的增量y ∆可表示为)(x o x A y ∆+∆⋅=∆,其中,A 与x ∆无关而仅与x 有关,当0→x ∆时,)(x o ∆是比x ∆高阶的无穷小量.则称函数)(x f y =在点x 可微,并把x A ∆叫做)(x f y =在点x 的微分,记作dy ,即x A dy ∆=.类似的,我们给出二元函数全微分的定义.定义 如果二元函数),(y x f z =在点()y x P ,的某一个邻域)(P U 内有定义,相应于自变量的增量y x ∆∆,,函数的增量为),(),(y x f y y x x f z -∆+∆+=∆.称z ∆为函数),(y x f 在点),(y x P 处的全增量.若全增量z ∆可表示为:)(ρo y B x A z +∆+∆=∆ (6.4.1) 其中B A ,仅与y x ,有关,而与y x ∆∆,无关,22)()(y x ∆+∆=ρ,则称函数),(y x f z =在点),(y x P 可微.并称y B x A ∆+∆为),(y x f 在点),(y x P 的全微分,记作z d 或),(y x f d ,即:y B x A z d ∆+∆=. (6.4.2) [说明](1) 当0→ρ时,)(ρo 是比ρ高阶的无穷小量,即:()()()();0)()()()(limlim22220,0,0=∆+∆∆+∆=→∆∆→y x y x o o y x ρρρ(2) 习惯上,自变量的增量x ∆与y ∆常写成dx 与dy (类似于一元函数的情形可证明其相等性,请读者自行完成),并分别称为自变量y x ,的微分.这样,函数()y x f z ,=的全微分也可写为:Bdy Adx z d +=(3) 如果函数在区域D 内的各点都可微,则称函数在区域D 内可微,或称函数为D 内的可微函数.例1 求证函数22y x z +=在()00,y x 处可微,并求其全微分.解 因为()00,y x 处函数的全增量为:()()()()(),22220020202020y x y y x x y x y y x x z ∆+∆+∆+∆=+-∆++∆+=∆且()()()().0)()(lim)()()()(lim220,0,22220,0,=∆+∆=∆+∆∆+∆→∆∆→∆∆y x y x y x y x y x所以,根据可微的定义知,函数22y x z +=在()00,y x 处可微,且其全微分为:.22220000y d y x d x y y x x z d +=∆+∆=2. 全微分与偏导数、连续的关系(1) 可微必连续在第三节中我们指出,多元函数即使可偏导(即各个偏导数存在),也不能保证函数是连续的.然而,从全微分的定义知,如果函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在该点必定连续.事实上,由于此时()()0lim 0,0,=∆→∆∆z y x ,也就是()()[]0),(),(lim0,0,=-∆+∆+→∆∆y x f y y x x f y x ,即()()),(),(lim 0,0,y x f y y x x f y x =∆+∆+→∆∆.从而),(y x f z =在点),(y x P 处连续.在一元函数中,可导与可微是等价的,那么对二元函数,可微与可偏导存在之间有什么关系呢?下面的两个定理回答了这个问题.(2) 可微必可偏导定理1(可微的必要条件) 若函数),(y x f z =在点),(y x P 可微,则函数在点),(y x P 的两个偏导数yzx z ∂∂∂∂,都存在(即函数),(y x f z =在点),(y x P 可偏导),且 dy yz dx x z y y z x x z z d ∂∂+∂∂==∆∂∂+∆∂∂=. (6.4.3)证明 因),(y x f z =在点),(y x P 可微,所以对于),(y x P 的某一邻域()P U 内的任意一点),(y y x x ∆+∆+,都有)(),(),(ρo y B x A y x f y y x x f +∆+∆=-∆+∆+.特别地,当0y ∆=时,||x ρ=∆且|)(|),(),(x o x A y x f y x x f ∆+∆=-∆+,两边同除以x ∆,取极限得=∂∂x z A xx o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆)|)(|(lim ),(),(lim 00,同理yz ∂∂=B ,所以 y y zx x z z d ∆∂∂+∆∂∂=. 然而,两个偏导数存在是二元函数可微的必要条件,而不是充分条件.例如在原点(0,0)处有0)0,0(,0)0,0(='='y x f f (即可偏导),但是由第二节例8可知,该函数在原点(0,0)是不连续的,因此函数在原点(0,0)不可微.但是,可以证明,如果函数的各个偏导数存在且连续,则该函数必是可微的.定理2(可微的充分条件) 如果函数),(y x f z =的两个偏导数),(),,(y x f y x f y x ''在点),(y x P 的某一邻域内存在且在该点连续,则函数在该点可微.由上述结论可知:二元函数的可微、可偏导及连续之间的关系为⎩⎨⎧⇒⇒)()(可偏导偏导数存在连续可微且连续可偏导偏导数存在 一般情况下,上述关系是不可逆的. 3. 全微分公式及其计算由定理1知，二元函数),(y x f z =的全微分可以写成: dy y x f dx y x f dy yz dx x z y x df dz y x ),(),(),('+'=∂∂+∂∂==. (6.4.4) 称上式为全微分公式.全微分公式很容易推广到二元以上的函数的情形.例如,如果三元函数()z y x f u ,,=可微分,那么它的全微分公式为:dz z y x f dy z y x f dx z y x f dz zudy y u dx x u u d z y x ),,(),,(),,('+'+'=∂∂+∂∂+∂∂=(6.4.5) 由此可见,在函数可微的条件下,要求函数的全微分,只需先求出其偏导数,再代入全微222222,0;(,)0,0.xy x y x yf x y x y +≠+=+=分公式进行组装即可得到.例2 求函数22y y x z +=的全微分. 解 因为y x yz xy x z 2,22+=∂∂=∂∂,所以dy y x xydx dz )2(22++=. 例3 求函数32),(y x y x f =在点)1,2(-处的全微分.解 因为 2233),(,2),(y x y x f xy y x f y x ='=',所以12)1,2(,4)1,2(=-'-=-'y x f f .由于两个偏导数是连续的,故dy dx df 124)1,2(+-=-.例4 求函数yzy x u arctan 2cos+-=的全微分. 解 因为2222,2sin 21,1z y yz u z y z y y u x u +=∂∂+-=∂∂=∂∂.所以 dz zy zdy z y z y dx du 2222)2sin 21(+++-+=.二、全微分在近似计算中的应用二元函数的全微分也可用来做近似计算.若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 可微,则有,)(),(),(),(),(00000000ρo y y x f x y x f y x f y y x x f z y x +∆'+∆'=-∆+∆+=∆其中22)()(y x ∆+∆=ρ.故当|||,|y x ∆∆充分小时,有dz y y x f x y x f z y x =∆'+∆'≈∆),(),(0000, (6.4.6) 即y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'≈-∆+∆+),(),(),(),(00000000.移项得y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆'+∆'+≈∆+∆+),(),(),(),(00000000 (6.4.7) 公式（6.4.6）可用来计算函数的增量的近似值,公式（6.4.7）可用来计算函数的近似值.例5 计算3397.102.1+的近似值.解 设函数33),(y x y x f +=,所计算的值可看作是函数在97.1,02.1==y x 处的函数值.取03.0,2,02.0,100-====y y x x ∆∆.则33233223),(,23),(yx y y x f yx x y x f y x +='+='.而2)2,1(,21)2,1(,3)2,1(),(00='='==y x f f f y x f ,所以 95.2)03.0(202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+.例6 有一圆柱体，受压后发生形变，它的半径由20厘米增大到05.20厘米,高度由100厘米减少到99厘米,求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径,高和体积分别为V h r ,,,则h r V 2π=.记V h r ,,的增量依次为V h r ∆∆∆,,,且1,05.0,100,20-=∆=∆==h r h r ,由公式(6.4.6)得.200)1(2005.010*******πππππ-=-⨯⨯+⨯⨯⨯=∆+∆=∆∂∂+∆∂∂≈∆h r r rh h hV r r V V即此圆柱体在受压后体积约减少了π200立方厘米.习 题 6-41. 求下列函数的全微分: (1) 22lny x z +=; (2) 5ln 23+-=-x xe z y ; (3) zx y u 1⎪⎭⎫⎝⎛=.2. 求函数x y e x z ysin 22+=在点()0,π处的全微分. 3. 求函数yx e z =当1.0,15.0,1,1=∆=∆==y x y x 时的全微分.4. 计算()02.204.1的近似值.5. 设生产两种产品B A ,的产量分别为y x ,时的联合总成本函数为:()223215,y xy x y x C +++=.求当产量分别为40,50时,产量再分别增加2个单位,联合总成本的增加量.。
