二元一次不等式（组）与平面区域
【教学目标】
１．初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。
２．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
３．培养学生观察、分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、数形结合的数学思想。
【重点与难点】
（１）重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。（２）难点：如何确定不等式Ax+By+C>0（或<0）表示直线Ax+By+C=0的那一侧区域。
【教学准备】
教具：直尺、多媒体设备。
【教学过程】
（一）创设问题情景，激发学生兴趣
问题１：为了按期完成“鸟巢”工程的建设，根据发改委要求，工程每天至少需要浇铸60根钢柱。已知负责生产的首钢、鞍钢分别只有４个和6个车间有能力浇铸此型钢柱，但其中至多只有8个车间可同时投入生产。首钢和鞍钢每个车间每天分别能完成１0根和8根钢柱的浇铸。问两厂每天最多能浇铸多少钢柱？最少需要多少个车间？上述关系如下表：
解：设首钢有x个车间投入生产，鞍钢有y个车间投入生产，根据题意，列出不等式组：
0≤x≤４
0≤y≤6
x+y≤8 （x,y∈N）
１0x+8y≥60
列出不等式组之后，对不等式（组）解释，满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）,所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。
（二）探究二元一次不等式表示的平面区域
问题２：二元一次不等式x+y＞8在平面直角坐标系下表示什么区域？围绕问题２师生展开如下活动。
活动一：由数到形
【教师演示】运用多媒体进行动态展示：
在平面直角坐标系中，所有的点被直线x＋
y—8=0分成三类：即在直线x＋y—8=0上；
直线左下方的平面区域；直线右上方的平面区域。
【学生尝试】设点P（x,y１）是直线l上的点，选取点A（x,y２）使它的坐标满足x+y＞8，填写下表：
在坐标系中将满足不等式的解所对应的点A描绘到坐标系下，通过对其位置进行分析，归纳猜想得出相应结论。
【学生猜想】以x+y—8＞0的解为坐标的点都在直线x+y—8=0的右上方。
【共同归纳】一般地，Ax＋By＋C＞0（＜0）在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．提醒注意：我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．画不等式Ax＋By＋C≥0则把边界直线画成实线．
活动二：由形到数
【学生尝试】让学生尝试在直线x＋y—8=0的右上方多取若干点，自动计算x＋y—8的值，发现都是大于零。
【教师演示】教师借助多媒体在直线x+y—8＝0的一侧任意取一点A （x,y）的坐标进行跟踪显示，并将点A（x,y）的坐标代入x＋y—8中，由学生计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线x＋y—8＝0的同一侧的点都满足不等式x＋y—8＞0（或＜0）。从而使二元一次不等式的解
与平面区域的对应关系的理论体系更加完备。
【共同证明】如何完成从特殊到一般的证明？分析：在直线x ＋y —8=0的右上方任取一点A （x A ,y A ）,为了与直线x ＋y —8=0的点发生联系，不妨过A 点作与x 轴垂直的直线交直线x ＋y —１=0于P （x p ,y p ）点。则有x A = x p ，y A ＞y p ，所以x A ＋y A —8＞x p ＋y p —8=0 。所以对于在直线x ＋y —8=0的右上方任一点A （x,y ）都有 x ＋y —8＞0。同理可得，在直线x ＋y —8=0的左上方任一点都能使x ＋y —8＜0成立。
【师生归纳】由于对直线Ax ＋By ＋C=0同一侧的所有点（x ，y ），把它的坐标（x ，y ）代入Ax ＋By ＋C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x 0，y 0），从Ax 0＋By 0＋C 的正负即可判断Ax ＋By ＋C ＞0表示直线哪一侧的平面区域。特别地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点。
（三）例题，练习
例１．画出不等式 ２x+y —6＜0 表示的平面区域。
（将具体的知识形成方法和技能，讨论定域方法和画图的注意事项。） 练习（一）画出以下不等式表示的平面区域
１ 123+- 练习（二）画出以下不等式组表示得平面区域 ???????≤-≥<+-<01 2123y x y x x y 练习（三）绘制由“鸟巢”问题得出的不等式组表示的区域并解答。 问题解答如图：有六种投入的生产方案，它们分别是（２，５），（２，6），（３，４），（３，５）（４，３），（４，４）计算可得，最多可浇铸7２根钢柱，最少要用7个车间。 （四）小结 （１）如何作出一元二次不等式（组）表示平面区域？ （２）本节课渗透了什么样的数学思想方法？ 小结内容：认识了二元一次不等式（组）与其平面区域的对应关系，体会到了数形结合思想的应用。 （五）布置作业： １．课本P１06习题３．３A组１、２，B组１。 ２．拓展与提高：B组２。 （六）板书设计 ３．３．１二元一次不等式（组）与平面区域 １．从实际问题中建立２．探究二元一次不等式表示的区域４．练习（一）不等关系３．判定所示区域的方法练习（二） 【教学反思】—————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————。 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形 1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c. 1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。 “§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域”教案 一、题目： 高中数学必修5 第三章不等式第3.3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第一课时 二、课程分析： 教材中为了引导学生探究二元一次不等式表示的平面区域，采用了类比一元一次不等式的解集在数轴上的表示法，这是一条很好的思路，教学中应该遵循这一思路展开教学，引导学生进行探究，本课的教学设计也是以这一思路为指导的。另外，教材中的探究过程是在直线上和左上方分别取点P和A，使这两点的横坐标相等，比较纵坐标的大小，进而总结出“同侧同号”的结论。这个探究过程的逻辑是严密的，却也是非实质的，“P与A的横坐标相同”这一限制是多余的，在学生小组活动中可以不用兼顾，只需在直线某侧任意取若干点，把坐标代入直线方程，考察计算结果的符号即可，为了弥补这样做的逻辑缺陷，教师可以在小组活动后统一用代数办法进行证明。 三、学情分析： 学生的基础知识较差，分析问题、解决问题的能力还不成熟，需要依据这一学情对教学活动做如下调整：一是放弃教材中由实际情境引出二元一次不等式的相关概念的设计，改为一句话带过：“在日常生活中，有很多不等关系需要用二元一次不等式（组）来表达。所以本节课我们先来探究二元一次不等式（组）的相关知识，为以后的学习生活打好基础。”这样做是因为学生很可能在寻找不等关系、列不等式组这些动作中花费较多时间。二是在小组合作探究活动之前，教师先引导学生理清探究的思路，定好探究目标。这样可以使时间有限的小组探究活动的效率提高，使每一个同学都能在探究中自己的任务。 四、教学目标： 1、知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，会用“特殊点法”画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。 2、过程与方法：通过类比，找到探究的途径；在探究过程中，善于发现，及时总结，进一步熟悉从特殊到一般、数形结合等数学思想方法。 3、情感态度与价值观：在小组合作探究活动中，积极投入，培养合作意识，增强学习数学的信心，感悟探求新知的常用思想。 五、教学重点： 高中数学必修５基本不等式知识点总结 一．算术平均数与几何平均数 １．算术平均数 设a 、b 是两个正数，则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 ２．几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 １．基本不等式： 若0a >，0b >，则a b +≥，即 2 a b +≥２．基本不等式适用的条件 一正：两个数都是正数 二定：若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值 三相等：必须有等号成立的条件 注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 ３．常用的基本不等式 （１）()22 2,a b ab a b R +≥∈ （２）()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ （３）()20,02a b ab a b +??≤>> ??? （４）()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? ． 三．跟踪训练 １．下列各函数中，最小值为2的是 ( ) A ．1y x x =+ B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2 y = D ．1y x =+ ２．当02x π <<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 Ａ. １ Ｂ． ２ Ｃ. ４ Ｄ. ３．x ＞０，当x 取什么值，x ＋1x 的值最小？最小值是多少？ ４．用２０ｃｍ长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折？ ５．一段长为３０ｍ的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长１８ｍ，这个矩形的长，宽各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ ６．设0,0x y >>且21x y +=，求11x y +的最小值是多少？ ７．设矩形ＡＢＣＤ（ＡＢ>ＡＤ）的周长是２４，把?ＡＢＣ沿ＡＣ向?ＡＤＣ折叠，ＡＢ折过去后交ＣＤ与点Ｐ,设ＡＢ=x ，求?ＡＤＰ的面积最大值及相应x 的值 第三章 不等式 一、选择题 1．若a ＝20.5，b ＝log π3，c ＝log πsin 5 2π ，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a 2．设a ，b 是非零实数，且a ＜b ，则下列不等式成立的是( )． A ．a 2＜b 2 B ．ab 2＜a 2b C ． 21ab ＜b a 21 D ． a b ＜b a 3．若对任意实数x ∈R ，不等式｜x ｜≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( )． A ．a ＜－1 B ．｜a ｜≤1 C ．｜a ｜＜1 D ．a ≥1 4．不等式x 3－x ≥0的解集为( )． A ．(1，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[0，1)∪(1，＋∞) D ．[－1，0]∪[1，＋∞) 5．已知f (x )在R 上是减函数，则满足f (11 -x )＞f (1)的实数取值范围是( )． A ．(－∞，1) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1，2) 6．已知不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x ｜－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为图中( )． A B C D 7．设变量x ，y 满足约束条件?? ? ??y x y x y x 2＋＋－ 则目标函数z ＝5x ＋y 的最大值是( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．设变量x ，y 满足?? ? ??5 －－31＋－3－＋y x y x y x 设y ＝kx ，则k 的取值范围是( )． A ．[ 21，3 4 ] B ．[ 3 4 ，2] C ．[ 2 1 ，2] D ．[ 2 1 ，＋∞) ≥0 ≤1 ≥1 ≥0 ≥1 ≤ 1 (第6题) 高中数学必修五基本不等式题型（精编） 变 2．下列结论正确的是 （ ） A ．若a b >，则ac bc > B ．若a b >，则22a b > C ．若a c b c +<+，0c <，则a b > D >a b > 3. 若m ＝(2a －1)(a ＋2)，n ＝(a ＋2)(a －3)，则m ，n 的大小关系正确的是 例2、解下列不等式 （1）2230x x --≥ （2）2280x x -++> （3） 405x x ->- （4）405 x x -≥- （5）112x ≥ （6）已知R a ∈，解关于x 的不等式()()01<--x x a . 变、若不等式02<--b ax x 的解集为{} 32< 例5、 1. 积为定值 （1）函数1y x x =+ (x >0)的最小值是 . （2）设2a >，12 p a a =+-的最大值是 . （3）函数1y x x =+ (x <0)的最小值是 . （4） 变、 （1 ）2y = 的最小值是 . （2） . 2. 和为定值 （1） ，y=x(4-x) 的最大值是 . （2）, 的最大值是 . 例6、“1”的妙用 1. 2.已知正数,x y 满足21x y +=，则 y x 11+的最小值为______ 高一数学必修5不等式与不等关系总复习学案(教师版) 编写：邓军民 一，复习 1. 不等关系：参考教材73页的8个性质； 2. 一兀二次不等式ax 2bx - C ?0( a ?0)与相应的函数y = ax 2?bx ■ c(a . 0)、相 2 ：：：0 2.. .. -L a ax bx C ：：：0 ( a = 0 )恒成立：= . L - ：：0 4. 一般地，直线y =kx ?b把平面分成两个区域(如图)： y kx b表示直线上方的平面区域；y ：：：kx ?b表示直线下方的平面区域. 说明：(1) y _kx b表示直线及直线上方的平面区域； y乞kx ■ b表示直线及直线下方的平面区域. (2)对于不含边界的区域，要将边界画成虚线. 2 a ? 0 ax bx C 0 ( a = 0 )恒成立：= . 二：■ 0 5. 基本不等式： (1) .如果a, b 三R ，那么a 亠b 亠2 ab . (2). ab < a b (a . 0, b .0). 2 (当且仅当a =b 时取“ J') 2 . _ . =0的解为X 1 = 3, X 2 = 4 .根据y = X - 7x 12的图象，可 得原不等式X2 -7x ■ 12 - 0的解集是{ x | x ：：: 3或X 4}. (2) 不等式两边同乘以 -1 ,原不等式可化为X 2 ? 2x - 3 _0 . 方程 X 2 ? 2x 「3 =0 的解为 X 1 = -3, X 2 =1 . 根据y =χ2 ? 2x -3的图象，可得原不等式-X 2 -2X ? 3 _0的解集是 { X |一 茫 X 乞 1.} 2 (3) 方程X -2x 1 =0有两个相同的解x 1 = X 2 =1. 根据y =χ2 -2x ' 1的图象，可得原不等式 X 2 -2x ，1 ：：： 0的解集为". ⑷因为■■■： < 0 ,所以方程X 2 -2x 2=0无实数解，根据y =χ2 -2x ? 2的图象，可 得原不等式χ2 -2x 2 ：：： 0的解集为?一. X 3 练习1. (1)解不等式 <0 ；(若改为 < 0呢？) X+7 X +7 2 X - 3 (2)解不等式 1 ; X +7 二.例题与练习 例1. 解下列不等式： 2 (1) X -7x 12 ■ 0 ； 2 2 (2) 「x 「2x 3_0 ； 2 (4) X -2x 2 ：：: 0 . 解: (1)方程 x 2 -7x 12 高中数学必修五基本不等式：ab≤a＋b 2（学案） 学习目标：1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点).3.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)． [自主预习·探新知] 1．重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)． 思考：如果a>0，b>0，用a，b分别代替不等式a2＋b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式？ [提示]a＋b≥2ab. 2．基本不等式：ab≤a＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a，b均为正实数； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 思考：不等式a2＋b2≥2ab与ab≤a＋b 2成立的条件相同吗？如果不同各是 什么？ [提示]不同，a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；ab≤a＋b 2成立的条件 是a，b均为正实数． 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为a＋b 2，几何平均数为 (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 思考：a＋b 2≥ab与? ? ? ? ? a＋b 2 2 ≥ab是等价的吗？ [提示]不等价，前者条件是a>0，b>0，后者是a，b∈R. 4．用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y＝s 2时，积xy有最 小值为2xy . (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y ＝p 时，和x ＋y 有最大值为(x ＋y )2 4. 5．基本不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数． (2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值． (3)等号成立的条件是否满足． 思考：利用基本不等式求最值时应注意哪几个条件？若求和(积)的最值时，一般要确定哪个量为定值？ [提示] 三个条件是：一正，二定，三相等．求和的最小值，要确定积为定值；求积的最大值，要确定和为定值． [基础自测] 1．思考辨析 (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立．( ) (2)对任意的a ，b ∈R ，若a 与b 的和为定值，则ab 有最大值．( ) (3)若xy ＝4，则x ＋y 的最小值为4.( ) (4)函数f (x )＝x 2 ＋2 x 2＋1 的最小值为22－1.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．设x ，y 满足x ＋y ＝40，且x ，y 都是正数，则xy 的最大值为________. 400 [因为x ，y 都是正数， 且x ＋y ＝40，所以xy ≤? ???? x ＋y 22 ＝400，当且仅当x ＝y ＝20时取等号．] 3．把总长为16 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 16 [设一边长为x m ，则另一边长可表示为(8－x )m ，则面积S ＝x (8－x )≤? ???? x ＋8－x 22 ＝16，当且仅当x ＝4时取等号，故当矩形的长与宽相等，都为4 m 时面积取到最大值16 m 2.] 基本不等式 1．均值定理：如果a ， b +∈R （+R 表示正实数），那么 2 a b +，当且仅当a b =时，有等号成立． 此结论又称均值不等式或基本不等式． 2 2a b +2 a b +需要前提条件,a b +∈R ． 2 a b +叫做a ，b a ，b 3．可以认为基本元素为ab ，a b +，22a b +；其中任意一个为定值，都可以求其它两个的最值． 考点1：常规基本不等式问题 例1.（1）已知0x >，则1 82x x +的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【解答】解：0x >Q ，1842x x ∴+=… 当且仅当1 82x x =即14x =时取等号， 故选：C ． （2）已知3 05 x <<，则(35)x x -取最大值时x 的值为( ) A ． 310 B ．910 C ． 95 D ． 12 【解答】解：305 x << Q ， 则2115359 (35)5(35)()5 5220 x x x x x x +--=?-?= ?， 当且仅当535x x =-即3 10 x =时取最大值 故选：A ． （3）已知函数9 4(1)1 y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则23a b +等于( ) A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 【解答】解：1x >-Q ，10x ∴+>， 99 41511 y x x x x ∴=-+ =++-++ 5… 1=， 当且仅当9 11 x x += +，即2x =时取等号， y ∴取得最小值1b =，此时2x a ==， 237a b ∴+=． 故选：B ． （4）已知0a >，0b >，且22a b +=，则ab 的最大值为( ) A ． 12 B C ．1 D 【解答】解：0a >Q ，0b >，且22a b +=， 则21 121(2)()2 222 a b ab a b +=??=g ? ， 当且仅当2a b =且22a b +=即12a =，1b =时取得最大值1 2 ． 故选：A ． 考点2：基本不等式易错点 例2.（1）已知1x y +=，0y >，0x ≠，则1||2||1 x x y ++的最小值是( ) A ． 1 2 B ． 14 C ． 34 D ． 54 【解答】解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121 x x x y x y +=+++， 122242x x x x x x x x +-=+=+ --， 12115()2442424 x x x x -= +++?=-…， 当且仅当 242x x x x -= -即23x =时取等号； ②当0x <时， 1||1()2||121 x x x y x y +=-+++， 课题：基本不等式 一、教材分析： 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学5·必修》（人教A版）中第三章第四节。本节课主要研究基本不等式的几何背景、代数证明和实际生活中的应用。 基本不等式在现实生活中运用比较广泛。本节课通过从生活与几何背景中得到基本不等式、证明不等式与回归生活解决实际问题的思路，体现新课标“数学有用”的理念。同时，运用基本不等式求最值也是数列研究的基本问题。通过对本节的研究，培养学生数形结合的思想方法。 二、学情分析： 在本节课之前学生已经学习了不等关系与不等式和一元二次不等式及其解法，对不等关系的一般性质和不等式的求解证明有了一定的理解，为基本不等式的学习提供了基础。 授课班级为高一（1）班，我班学生整体基础知识一般、部分学生思维较活跃，能够较好的掌握教材上的内容，但处理、分析问题的能力还有待提高。 三、设计思想： 本课为新授课，积极践行新课程“数学有用”理念，倡导积极主动、勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式；注重提高数学思维能力，在教与学的和谐统一中体现数学思想和文化价值；注重信息技术与数学课程的整合。 四、教学目标： 1、知识与技能： (1) 师生共同探究基本不等式； (2) 了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明； (3) 会简单运用基本不等式。 2、过程与方法： 通过基本不等式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出基本不等式，培养学生数形结合的思维能力。 3、情感、态度与价值观： (1)培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力； (2) 通过具体的现实问题提出、分析与解决，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的快乐。 五、教学重点： （1）用数形结合的思想理解并探索基本不等式的证明； （2）运用基本不等式解决实际问题。 教学难点：基本不等式的运用。 重、难点解决的方法策略： 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体图形到抽象代数的教 不等式总结 一、不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>； d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则：b a a b b a 110,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等 3、平均不等式：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数），即 2 112a b a b ++（当a = b 时取等） 四、含有绝对值的不等式 1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式：如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3．当0c >时， ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +?∈，||ax b c x φ+?-<<，|| (0)x a a x a >>?>或x a <-． （2）定义法：零点分段法；（3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 五、其他常见不等式形式总结： 二元一次不等式（组）与平面区域 班级______________ 姓名______________ 1．在3x ＋5y <4表示的平面区域内的一个点是( ) A ．(2,0) B ．(－1,2) C ．(1,1) D ．(－1,1) 解析：选D 将点(－1,1)代入3x ＋5y <4，得2<4，所以点(－1,1)在不等式3x ＋5y <4表示的平面 区域内，故选D. 2．原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(2，＋∞) B ．{0,2} C ．(0,2) D ．[0,2] 解析：选C 因为原点和点(1,1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，所以－a (2－a )<0，即a (a －2)<0，解得0 左下方，及直线x －1＝0的右侧，所以所求不等式组为???? ? x －y ＋1≤0，x ＋y －5≤0， x －1≥0. 5．若不等式组???? ? x ≤0，y ≥0， y －x ≤2 表示的平面区域为Ⅰ，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y －a ＝0 扫过Ⅰ中的那部分区域的面积为( ) A.7 2 B.7 3 C.74 D.12 解析：选C 如图所示，Ⅰ为△BOE 所表示的区 域，而动直线x ＋y ＝a 扫过Ⅰ中的那部分区域为四边形BOCD ，而B (－2,0)，O (0,0)，C (0,1)，D ????－12，3 2，E (0,2)，△CDE 为直角三角形． ∴S 四边形BOCD ＝12×2×2－12×1×12＝7 4. 6．不等式组???? ? x ＋2y ≤8，0≤x ≤4， 0≤y ≤3 表示的平面区域的面积为________． 二元一次不等式表示平面区域说课稿 浙江省永嘉县上塘中学陈重阳 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是新教材高二（上）第七章第4节第一课时内容，教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。 在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。 2、教材的重点、难点和关键 教学重点：二元一次不等式(组)表示平面区域； 教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。 二、学生情况分析 1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力； 2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。 3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。 三、教学目标分析 1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力， 1 会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力； 3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。 四、教学策略分析 1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等； 2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能； 3、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进 行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。 五、教学过程设计 2 一．选择题 1.若,,a b c R ∈,且a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ） A.a b b c +≥- B.ac bc ≥ C.2 0c a b >- D 2()0a b c -≥ 2.对于任意实数,,,a b c d ，命题①若,0,a b c ><则ac bc >；②若a b >，则22ac bc >；③若22ac bc <，则 a b <；④若a b >，则 11a b <；⑤若0,0a b c d >>>>，则ac bd >。其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知22π π αβ-≤<≤，则2αβ -的取值范围是（ ） A.,22ππ??- ??? B.[,0]2π- C.[,0)2π- D.[0,]2π 4.已知,a b R +∈,且5a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A.32 B. C. D. 10 5．下列命题中，其正确的命题个数为①1x x +的最小值是2；2的最小值是2；③2log log 2x x +的最小值2；④ 0,2x π < 第三章 不等式 第一课时 3.1 不等关系与不等式（一） 教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组. 教学重点：从实际问题中找出不等关系. 教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 教学过程： 一、复习准备： 1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？ 2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关 系吗？ 3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元； 二、讲授新课： 1、教学用不等式表示不等关系 ① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系. ② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40. ③ 文字语言与数学符号之间的转换. ④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系 对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a 水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。 （浓度＝溶质 溶液 ） ②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？ （教师示范→学生板演→小结） 3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 三、巩固练习： １.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。 ２. 练习：教材P83 1、2题. 作业：课本P87 3题；P91第10题 y x O 二元一次不等式（组）与平面区域学案（第一课时） 教学过程 1、 情境导入 引例: 一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款,希望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%.那么,信贷部应 该如何分配资金呢？单位（万元） 问题：如果设用于企业、个人贷款的资金分别为x 万元、y 万元，你能用不等式刻画其中的不等关系吗？ （1）二元一次不等式（组）的解集：是由满足二元一次不等式（组）的 构成的有序实数对（x ,y ）构成的集合。 （2）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点构成的集合之间的关系？ （3）一元一次不等式（组）? ??<->+0403x x 的解集所表示的图形为 ： 探究：①二元一次方程6=-y x 表示什么图形? ②二元一次不等式6<-y x 的解集所表示的图形? ③二元一次不等式6>-y x 的解集所表示的图形? y x O y y x O y x O 类比推广： 一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式0>++C By Ax 表示0=++C By Ax 某侧所有点组成的平面区域.直线画成虚线,表示区域不包括边界. 而不等式0≥++C By Ax 表示区域时则包括边界,应把边界画成实线 . 例1、画出不等式44<+y x 表示的平面区域 例2、用平面区域表示不等式组?? ???≤<+-<82123y y x x y 的解集 (1)画出不等式4x ―3y ≤12表示的平面区域。 (2)画出不等式2x+3y-6>0表示的平面区域。 课堂小结： 二元一次不等式组表示的平面区域： 练习：教材P86页 二 元 一 次 不 等 式 表 示 平 面 区 域 说 课 稿 江西省永丰中学 ----程春民 系统教学设计论指导 教 学 教 教 教 教 一、教材分析 材 生 学 学 学 学 分 分 目 策 过 评 1、教材的地位和作用 本节课是高中数学必修五的内容， 教学大纲对这部分内容的要求是了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用。这是《新大纲》中增加的新内容，不仅为传统的高中数学注入了新鲜的血液，而且给学生提供了学数学、用数学的机会，体现了新课程理念。 在此之前，学生已经学习了直线的方程，已掌握二元一次方程与平面直线的对应关系，同时也学习了数形结合的思想方法。为研究二元一次不等式与平面区域的对应关系做了准备。这一节内容，是介绍直线方程的简单应用（即简单的线性规划）的基础，起到承前启后的作用。 2、教材的重点、难点和关键 教学重点：二元一次不等式 (组)表示平面区域； 教学难点：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 关键：理解掌握口诀“直线定界，取点定域”，“系数化正、左小右大”。 二、学生情况分析 1、对象：重点中学的高二理科学生，有一定的思维能力； 2、学情：学生前三节学习的基础上，对解析几何的理性思维能力已经有了初步形成，但存在个别差异。 3、心理：厌倦教师的单独说教，希望教师能创设便于他们进行思考探索的空间，给他们发表自己见解和表现才华的机会。 三、教学目标分析 1、知识目标：准确画出二元一次不等式（组）表示平面区域； 2、能力目标：学生在学会知识的过程中，培养学生运用数学方法解决问题的能力，会准确地阐述自己的思路和观点，着重培养学生的认知和元认知能力； 3、情感目标：通过对新知识的构建，优化学生的思维品质，通过自主探索、合作交流，增强数学的情感体验，提高创新意识。 四、教学策略分析 1、教学方法：引导发现法、探索讨论法、题组教学法等等； 2、教学手段：利用多媒体技术优化课堂教学，体现辅助功能； 3、学法指导：这是一节抽象的概念作图课，教师应注重创设认知情境，引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2111 a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则133y x x =--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. C. D. 5. 若x , y 是正数，且141x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ．1 1 1 a b c ++≥ D ．a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ．114x y ≤+ B ．111x y +≥ C 2≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ． 22a b ab a b ++ 22a b ab a b +≤+ Ｃ．22ab a b a b ++ Ｄ．22 ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 含参数的一元二次不等式的解法 解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按2 x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122 >+++x a ax 分析：本题二次项系数含有参数，()04422 2 >+=-+=?a a a ，故只需对二次项 系数进行分类讨论。 解：∵()04422 2 >+=-+=?a a a 解得方程 ()0122 =+++x a ax 两根,24 22 1a a a x +- --= a a a x 24 22 2++ --= ∴当0>a 时,解集为?? ? ???????+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或 当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为? ?? ???> 21|x x 当0+-a a ax ax 分析 因为0≠a ，0>?，所以我们只要讨论二次项系数的正负。 解 ()()032)65(2 >--=+-x x a x x a ∴当0>a 时，解集为{}32|> 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>? >>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各 种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ?人教版高中数学必修五教案1
二元一次不等式组与平面区域教案
高中数学必修5基本不等式知识点总结
人教版高中数学必修5不等式练习题及答案
高中数学必修五基本不等式题型(精编)
高一数学必修5不等式
高中数学必修五基本不等式学案
人教A版高中数学必修五讲义及题型归纳：基本不等式
高中数学必修五《基本不等式》优秀教学设计
必修五不等式知识点总结
二元一次不等式(组)与平面区域(解析版)
获奖课件二元一次不等式表示平面区域说课稿
高中数学必修5基本不等式练习题
高中数学必修5不等式教案
二元一次不等式组与平面区域
元一次不等式表示平面区域.docx
高中数学必修五 第3章 不等式 同步练习 3.4基本不等式(含答案)
高一数学必修5不等式题型总结
必修五不等式 题型
相关主题
文本预览