18讲 平面应力状态分析——解析法

02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。

§6-2 平面应力状态分析
xy yx
1 cos 2 x y x y cos 2 cos 2 xy sin 2 2 2 2 1 cos 2 x y sin 2 cos 2 2 sin xy 2 2 2sin cos sin 2 x y x y
cos 2 xy sin 2 90o 2 2 x y sin 2 xy cos 2 90o 2
90o x y 90o
1）相互垂直的任意两截面上的正应力之和是一个定值； 2）说明切应力互等定理的正确性。
§6-2 平面应力状态分析
二、应力圆、主应力与主平面
1、应力圆
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2
( ) cos 2 xy sin 2 2 2 x y sin 2 xy cos 2 2
§6-2 平面应力状态分析
4、在应力圆上标出主应力和主平面方位以及最大切应力
x y 2 2 1 max x y ( ) xy min 2 2 3
2 xy
0 0 2
tan 2 0
§6-2 平面应力状态分析
解： 1）画出应力圆
60 (40) 2 30 30 2 R ( ) ( ) 58.31MPa 2 2
(
x y
2
, 0) (10, 0)
§6-2 平面应力状态分析
2）求主应力和主平面
1 68.3MPa
3 48.3MPa

第九章 应力状态分析和强度理论
§9–1 应力状态的概念 §9–2 平面应力状态分析——解析法 §9–3 平面应力状态分析——图解法 §9–4 梁的主应力及其主应力迹线 §9–5 三向应力状态研究——应力圆法 §9–6 平面内的应变分析 §9–7 复杂应力状态下的应力 -- 应变关系
——（广义虎克定律） §9–8 复杂应力状态下的变形比能
c/sin c/cos
xy cos 2 sin 2
3
ixco 2 sysi2 nxsy in co s i 1
3i xs2 i n ys2 in xy c2 o s s2 in i 1
x 2yx 2yco 2 s1 2xsy i2 n
2x 2ysi2n1 2xyco2s
ts ssxx 2 2 ssyyss i2nx 2 styxcyco o22s stxsy i2 n
令 :d d s 0 sx sysi2 n 0 2 txc y 2 o 0 s 0
由此的两个驻点：
01、（012）和两各极值：
tg20
2txy sx sy
s s s s s s t m m ´´a in xx2 y± （ x2 y） 2x 2 y
sy sx
t0 0极值正应力就是主应！力
主面上的正应力。
s1
主应力排列规定：按代数值大小，
s1s2s3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。

3. 连接DD’交σ轴于点C；
O
C
D'( y , yx )
4. 以点C为圆心，CD为半径作圆。

莫尔应力圆的应用
x
x'y'
b
B 应A用过程中，应当将应力圆
x'45º作x 为思考、分d 析问题c 的2×工45具º ， x'
y
o
a
D y' 而不是计算工具。 2×45º
E e
x
莫尔应力圆的应用

x
x ( ) 0 xy
α σnτα αα该 应力xxxdy圆A2 方y程2最早(由2德y((s国iyn12xx工cso程idnsA师x)ddOcAAott))osyssM2iinnoh4r（x1y8235- 2
横截任面意上一正点应处各力个分方析向和截切面应上力应力分的析集的合结，果表 明称：为同一一点处面的上应不力同状点态。的应力各不相同，此即 应力的点的概念。
x'y' x'
x'y' x'
xy
x
yx
微元平衡分析结果表明：即使同一点不
同方向面上的应力也是各不相同的，此即
应力的面的概念。
13.2应力张量
对于杆件的内力，可以用截面法求得。下面
en表示讨法论物向体单的位任矢一量个。点et表及示其截邻面域内的的受一力个状单态位。切矢量
M
τn
⊿A σn
, n en
nn 分别称为截面上正应力（法
向力）和切应力（剪切力），
p(n)
各自代表应力矢量在截面法向
n和在截面内的分量。
et
p称为点M的应力，或全应力。