18讲 平面应力状态分析——图解法

y
y
B
x
A
x

O
c
b(y ,y)
a(x ,x)
二.应力圆的应用
单向拉伸

x
B
A
x'45º x
d
y
o
D y'
E
x
b
2×45º

c
a
2×45º
e
纯剪切
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a (0, )
D
45
B
45o＝ E e
2×45º
c o
b
A
2×45º
d (0,- )
平面应力状态下求任意截面上的应力（证明P215）
半径为R的圆，则
(
x
y )2 2


2
( x
y )2 2


2是个应力圆的方程
x
y

R
( x

y )2


2 xy
2
R
x
(a,0)
R

( x y ,0) 2
应力圆是个信息源(从力学观点分析）
（1）若已知一个应力单元体两个互相垂直面上的应 力就一定可以作一个圆，圆周上的各点坐标值，就

y
y
n
x
E
x
E( , )
(
x,
)
x
2

(
y,
)
y
点面相对应，首先找基准。 转向要相同，夹角两倍整。
平面应力状态下主平面、主应力及主方向
y
x
D
x
A
y

o B1 d
a
20
c
A1
主平面：τ = 0, 与应力圆上和横轴交点对应的面
平面应力状态下主平面、主应力及主方向
主应力的确定
y
x
D
x
A y

o B1 d
a
2αo

c
A1
oA1
0c cA1
x y
2
(
x

y
)2

2 xy
2
oB1

0c
cB1

x
y
2

(
x


y
)2


2 xy
2
主应力排序：

o 2
d
a
2p

c 1
3


3 o
作业：孙训方，《材料力学》（第五版） 7-7 a；d
是该单元体任意斜截面 上的应力。 （2）平面应力状态下任意斜截面 上的应力相互
制约在圆周上变化。
应力圆的画法
y
y
D
x
A

x (y ,y)d
( x
y )2


2 x
2
R
a (x ,x)
c

x y
2
在σ-τ坐标系中，标定与微元A、D面上 应
力对应的点a和d 连ad交 σ轴于c点，c即为圆心，cd为应

max a
o B1 d
2o
c
A1
例题1: 试用应力圆法计算图示单元体e--f截面上的应 力。图中应力的单位为MPa。

e 2.2 4.4 300
f
n
a
c 600
o

d
300 5.2MPa 300 0.8MPa
例题2 一点处平面应力状态如图所示。已知 30,
力圆半径。
几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着 微元某一方向面上的正应力和切应力

y
a( a , a )
y
A x
c

x
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一 致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转 角度的两倍。

y
y
n
x x
D
x
A
a
d 2
c
第十八讲 平面应力状态分析——图解法
湖南理工学院——曾纪杰
一.应力圆


x
y
2
x
y cos 2
2
x sin 2
(
x
y)
2
x
y cos 2
2
x sin 2
(1)


x
y sin 2
2
x cos 2
(2)
对(1) (2)式两边平方，将两式相加，并利用
sin2 2 cos2 2 1 消去 sin 2 和 cos 2，得
(
x
y )2
2


2
( x
y )2
2


2 x
(3)
比照解析几何的曲线方程 (x a)2 y2 R2 是一个圆心在(a.0),
e
(10,0)
f
o c 2o

60
tg2 p

2 xy x y

0.6
p 15.48
b(60,30)
d (9.02,58.3)
R (60 (40))2 ( 30 30)2 58.31MPa
2
2
主应力单元体：
3
o
1
1 68.3MPa, 2 0,3 48.3MPa
1

2
o
y
2
1 D
xy
主方向的确定 a (x ,xy)
A
x
o yx
o 2
1
d
2o
c g 1
2
tg2


x

xy x
y
2
负号表示从主应力的正方向
到x轴的正方向为顺时转向
面内最大剪应力
对应应力圆上的 最高点的面上切应力 最大，称为“ 面内 最大切应力”。
x 60MPa, xy 30MPa. y 40MPa,
试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
40
D
A 30MPa
60MPa
解：用应力圆解法 3 48.3MPa
1 68.3MPa
40
a(40,30)
30MPa
60MPa