§6.4 平面应力问题的近似性 学习思路: 对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。但是问题的z方向应力和位移不同。 应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。 对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。 学习要点： 1. 平面应变与平面应力问题； 2. 平面应力问题与基本方程； 3. 平面应力问题的误差； 对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。 因此，它们的应力分量σ x，σ y和τ xy也相同，应力分量τ xz和τ yz均等于零，所不同的是z向应力分量 σ z，应变ε z和位移分量w。 下表列出了两种平面问题的主要差别。
上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。 虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。 由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题， 变形协调方程除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求 这要求εz为x，y的线性函数，因此εz= ax+by+c，但平面应力问题又要 求。这要求σx+ σy满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。
《弹性力学》习题答案 一、单选题 1、所谓“完全弹性体”是指（B） A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识是（A ） A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的是（D ）。 A、杆件 B、块体 C、板壳 D、质点 4、弹性力学对杆件分析（C） A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 5、图示弹性构件的应力和位移分析要用什么分析方法？（C） A、材料力学 B、结构力学 C、弹性力学 D、塑性力学 6、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于（ B ） A、任务 B、研究对象 C、研究方法 D、基本假设 7、下列外力不属于体力的是（D） A、重力 B、磁力 C、惯性力 D、静水压力 8、应力不变量说明（ D ）。 A. 应力状态特征方程的根是不确定的 B. 一点的应力分量不变 C. 主应力的方向不变 D. 应力随着截面方位改变，但是应力状态不变 9、关于应力状态分析，（D）是正确的。 A. 应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同
B. 应力不变量表示主应力不变 C. 主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的 D. 应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的 10、应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（ D ）。 A. 没有考虑面力边界条件 B. 没有讨论多连域的变形 C. 没有涉及材料本构关系 D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响 11、下列关于几何方程的叙述，没有错误的是（ C ）。 A. 由于几何方程是由位移导数组成的，因此，位移的导数描述了物体的变形位移 B. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的位移 C. 几何方程建立了位移与变形的关系，因此，通过几何方程可以确定一点的应变分量 D. 几何方程是一点位移与应变分量之间的唯一关系 12、平面应变问题的应力、应变和位移与那个（些）坐标无关（纵向为 z 轴方向）（ C ） A、 x B、 y C、 z D、 x, y, z 13、平面应力问题的外力特征是（A） A 只作用在板边且平行于板中面 B 垂直作用在板面 C 平行中面作用在板边和板面上 D 作用在板面且平行于板中面。 14、在平面应力问题中（取中面作 xy 平面）则（C） A、σ z = 0 ， w = 0 B、σ z ≠ 0 ， w ≠ 0 C、σ z = 0 ， w ≠ 0 D 、σ z ≠ 0 ， w = 0 15、在平面应变问题中（取纵向作 z 轴）（D） A、σ z = 0 ， w = 0 ，ε z = 0 B、σ z ≠ 0 ， w ≠ 0 ，ε z ≠ C、σ z = 0 ， w ≠ 0 ，ε z = 0 D、σ z ≠ 0 ， w = 0 ，ε z = 16、下列问题可简化为平面应变问题的是（B）。
习题 (应力单位均为10N／mm2) 1、已知oxyz坐标系中物体内某点的坐标为( 4 , 3 , -12 )，其应力分量为 a) 将应力分量画在单元体上； b) 求出通过该点且方程为x+3y+z＝1的平面上的正应力和剪应力; c) 求出其主应力，主轴方向，主剪应力，最大剪应力，应力偏张量及球张量; d) 现将直角坐标系改成圆拄坐标系,原点不变，取原x轴为极轴，试求其应力分量σ lk (l,k＝r，θ,z)。并判断它是否是轴对称状态。(提示:σ lk 也就是原坐标系中r，θ,z 方向各微分面上的应力分量。) 2. 设坐标系oxyz中某点的应力分量为σ x , σ y ,σ z , τ xy , τ yz , τ zx 。现设一新坐标系 oxˊyˊzˊ, 其中三根轴在原坐标系中的方向余弦分别力l 1，m 1 ，n 1 ，l 2 ，m 2 ，n 2 ， l 3，m 3 ，n 3 。试模仿式(3.6)的推导过程，推导τ xˊyˊ τ xˊzˊ 的表达式。 3. 试证明应力偏张量的主剪应力、应力主轴方向与原应力张量相同。 4. 设某物体内的应力场为
试求系数c 1,c 2 ,c 3 。〔提示: 应力场必须满足平衡方程。〕 5. 某质点处于平面应力状态下，现已知其中的应力分量σ x ＝2 0、σ y =?40、τ xy =?30， 其余未知,试利用应力莫尔园求出其：主应力、主轴方向、主剪应力及最大剪应力。 6. 试导出圆柱坐标的平衡微分方程式(3.31)中的第一式。 7. 试举出塑性成形工艺中:平面应力、平面变形、轴对称及一般三向应力状态的例子各一个。 8何谓应力、全应力、正应力与切应力？塑性力学上应力的正、负号是如何规定的？9何谓应力特征方程、应力不变量？ 10何谓主切应力、八面体应力和等效应力？它们在塑性加工上有何意义？ 11何谓应力张量和张量分解方程？它有何意义？ 12应力不变量（含应力偏张量不变量）有何物理意义？ 13塑性变形的力学方程有哪几种？其力学意义和作用如何？ 14锻造、轧制、挤压和拉拔的主力学图属何种类型？
带孔平板有限元分析 本文采用有限元法，对带圆孔的矩形平板进行了弹塑性受力分析，分析了圆孔处的应力集中现象，为其设计和应用提供了参考依据。 1. 研究问题概述 本文研究带圆孔矩形平板在轴对称拉力作用下的平面应力问题。平板开孔的应力问题是弹塑性力学平面中的一个经典的问题,也是实际工程中常见的问题。平板长200mm ，宽50mm ，厚8mm ，具体几何参数及受力见图1。 图1 平板几何参数及受力 2.弹性力学方法解答 由弹性力学知识知，在距圆孔圆心()r ρρ>处的径向正应力、环向正应力、切应力分别为： 222222 1c o s 211322p r p r r ρσψρρρ?????? =-+-- ? ????????? 22221cos 21322p r p r ?σψρρ????=+-+ ? ???? ? 2222sin 21132p r r ρψψρ ττψρρ???? ==--+ ?????? ? 沿着y 轴，90ψ=。，环向正应力为： 242413122r r p ?σρρ?? =++ ???
max 3q ?σ=由上表可知： ()max = 3K q ψ σ=故应力集中因子: 可见孔边最大应力比无孔时提高了3倍，应力集中系数k=3，如图2所示。 图2 孔边应力集中 3.有限元分析 3.1模型建立 图3 有限元模型 3.2边界条件和载荷 为避免在计算时平板产生移动引发计算问题，必须对试件的外部边界条件进行限定。对平板左侧进行铰接约束，示意图如下
图4 平板约束示意图 由于我们只关注孔附近的应力分布情况，根据圣维南原理，载荷的具体分布只影响载荷作用区附近的应力分布。故我们用均布力代替集中力施加在平板右侧的作用面上，其大小为225P MPa ，为负值。 图5 平板载荷示意图 3.3材料 平板的弹性模量为200GPa ，泊松比为0.3。其塑性的应力应变参数见下图 图6 塑性应力应变参数 3.4有限元网格划分 网格划分是非常重要的过程，它会对计算速度、精度、可靠性产生重要影响。网格划分主要包括两方面：尺寸、单元类型。
平板应力分析
第四节平板应力分析 3.4平板应力分析 3.4.1概述 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 3.4.3圆平板中的应力 3.4.4承受对称载荷时环板中的应力 3.4.1概述 1、应用：平封头：常压容器、高压容器； 贮槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。 2、平板的几何特征及平板分类 几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。 分类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。
t/b≤1/5时(薄板) w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算 3、载荷与内力 载荷：①平面载荷：作用于板中面内的载荷 ②横向载荷垂直于板中面的载荷 ③复合载荷 内力：①薄膜力——中面内的拉、压力和面内剪力，并产生面内变形 ②弯曲内力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形 ◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲载荷也会产生面内力，所 以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。 ◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。 4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫K i r c h h o f f ①板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面 法线w的挠度。只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线 上各点间的距离不变。 类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且 仍然垂直于变形后的梁轴线。 ③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。 ◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题 3.4.2圆平板对称弯曲微分方程 分析模型 分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷P z，在r、θ、z圆柱坐标系中，内力M r、Mθ、Q r三个内力分量 轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度w只是r的函数，而与θ无关。
题101 图示四种应力状态中属于单向应力状态的是( )。 题102 求图示平面应力状态的σα、εα。已知α＝４ μ分别材料的弹性模量和泊松比。( )。 (A) τ σ σα-=2 ， )2(1τσ εα-= E (B) τσ σα+=2,) 2(1τσεα+= E (C) τσσα-=2，τμσμεαE E +--=121 (D) τσσα+=2，τ μσμεαE E ++-=121 题103 种答案，其中正确的一个是( )。题103图 (A) 1、2 (B) 1、5 (C) 3、5 (D) 2、4 题 104 矩形截面简支梁如图示，已知梁的横截面面积为A ，截面惯性矩为I ，材料的弹性模量为E ，泊松比为μ, A 点45° 方向的线应变为ε ４５° 。则荷载F 为( )。 (A) A E με-?145 （Ｂ）A E 145-? με (C) A E )1(4945με-? （Ｄ）A E )1(9445με-? 题105 圆轴直径d=20mm,材料的弹性常数E ＝200GPa ， μ＝ 0.3。现测得圆轴表面与轴线成ε ＝题2×１０－４ ，则转矩( )。 (A) m=1.257N ·m (B) m=12题7N ·m 题102图 题103图 题104图 题105图
(C) m=233.4N ·m (D) m=62.8N ·m 已知σx ＝０，则σy 和τ有( )。 (A) σy =30MPa ，τ＝20MPa (B)σy ＝60MPa ，τ＝20MPa (C) σy ＝－６０MPa ，τ＝40MPa (D) σy ＝60MPa ，τ＝40MPa 题107 中的( )。 (A) (a)与(d) (B) (b)与(c) (C) (a)与(d)及(c)与(b) (D) (a)与(b)及(c)与(d) 题 108 图示受拉板，A 点为凸起处的最高点，应力圆有图示四种可能，正确的答案为( )。 题109 从构件内某一点的周围取出一单元体如图所 示。已知σ＝30MPa ，τ＝15MPa ，材料的E ＝200GPa ， 对角线AC 的长度改变量为( )。 (A) 3.91 ×１０－３mm (B) 8.43×１０－３ mm (C) 9.29×１０－３mm (D) 10.25×１０－３ mm 题106图 题107图 题108图 题109图
工程力学简答题 一、工程力学范畴内失效的有哪三类？ 1）强度失效，是指构件在外力作用下发生不可恢复的塑性变形或发生断裂。 2）刚度失效，是指构件在外力作用下产生过量的弹性变形。 3）稳定失效，是指构件在某种外力作用下，其平衡形式发生突然转变。二、刚体系统的平衡问题的特点与解法 1）整体平衡与局部平衡的概念 系统如果整体是平衡的，则组成系统的每一个局部以及每一个刚体也必然是平衡的。 2）研究对象有多种选择 要选择对的对象，才能解决问题。 3）对刚体系统作受力分析时，要分清内力和外力 内力和外力是相对的，需视选择的研究对象而定。研究对象以外的物体作用于研究对象上的力称为外力，研究对象内部各部分间的相互作用力称为内力。内力总是成对出现，它们大小相等、方向相反、作用在同一直线上。 4）每个刚体上的力系都必须满足平衡条件 刚体系统的受力分析过程中，必须严格根据约束的性质确定约束力的方向，使作用在平衡系统整体上的力系和作用在每个刚体上的力系都满足平衡条件。 三、材料的基本假定 1）均匀连续性假定 假定材料无空隙、均匀地分布于物体所占的整个空间。根据这一假定， 物体内的受力、变形等力学量可以表示为各点坐标的连续函数，从而有 利于建立相应的数学模型。 2）各向同性假定 假定弹性体在所有方向上均具有相同的物理和力学性能。根据这一假定， 可以用一个参数描写各点在各个方向上的某种力学性能。 3）小变形假定 假定物体与外力作用下所产生的变形与物体本身的几何尺寸相比是很小 的。根据这一假定，当考察变形固体的平衡问题时，一般可以略去变形 的影响，因而可以直接应用工程静力学方法。 四、绘制剪力图和弯矩图的两种方法 1）绘图法，根据剪力方程和弯矩方程，在和坐标系中首先标出剪 力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，得到相应的点； 然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的 剪力图和弯矩图。 2）公式法，先在和坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然 后应用载荷力度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力 和弯矩图线的形状，无需首先建立剪力方程和弯矩方程。
8 应力状态与应变状态分析 1、应力状态的概念， 2、平面应力状态下的应力分析， 3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。 （1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为: 321σσσ≥≥ 最大切应力为 13 2 max σστ-= （2）任斜截面上的应力 α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += α τασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= （3) 主应力的大小 2 2min max )2 ( 2 xy y x y x τσσσσσ+-±+= 主平面的方位 y x xy tg σστα--= 220 4、主应变 12 2122x y x y xy xy x y ()()tg εεεεεεγγ?εε? = +±-+? = - 5、广义胡克定律 )]([1 z y x x E σσμσε+-=
)] ( [ 1 x z y y E σ σ μ σ ε+ - = )] ( [ 1 y x z z E σ σ μ σ ε+ - = G zx zx τ γ= G yz yz τ γ= ，G xy xy τ γ= 6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。” 8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。 图8.1 [解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图8.1(d)所示。 (2)分析单元体各面上的应力: A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为： z M y I σ= b I QS z z * = τ 由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。 8.2图8.2(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。 解题范例
1－1. 选择题 a. 下列材料中，D属于各向同性材料。 A. 竹材； B. 纤维增强复合材料； C. 玻璃钢； D. 沥青。 b. 关于弹性力学的正确认识是A。 A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要； B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题作假设； C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象； D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 c. 弹性力学与材料力学的主要不同之处在于B。 A. 任务； B. 研究对象； C. 研究方法； D. 基本假设。 d. 所谓“完全弹性体”是指B。 A. 材料应力应变关系满足胡克定律； B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关； C. 本构关系为非线性弹性关系； D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 2－1. 选择题 a. 所谓“应力状态”是指B。 A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同； B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变； C. 3个主应力作用平面相互垂直； D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 2－2. 梯形横截面墙体完全置于水中，如图所示。已知水的比重为 ，试写出墙体横截面边界AA'，AB，BB’的面力边界条件。 2－3. 作用均匀分布载荷q的矩形横截面简支梁，如图所示。根据材料力学分析结果，该梁 横截面的应力分量为 试检验上述分析结果是否满足平衡微分方程和面力边界条件。
2－4. 单位厚度的楔形体，材料比重为γ，楔形体左侧作用比重为γ1的液体，如图所示。试写出楔形体的边界条件。 2－5. 已知球体的半径为r，材料的密度为ρ1，球体在密度为ρ1（ρ1＞ρ1）的液体中漂浮，如图所示。试写出球体的面力边界条件。
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系
可求得。 最终的结果为 已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记 已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，，
已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得 对，，代入得 对，，代入得 对，，代入得 当时，证明成立。 解 由，移项之得 证得 第三章习题答案 取为弹性常数，，是用应变不变量表示应力不变量。
解：由，可得， 由，得 物体内部的位移场由坐标的函数给出，为， ，，求点处微单元的应变张量、转动张量和转动矢量。 解：首先求出点的位移梯度张量 将它分解成对称张量和反对称张量之和 转动矢量的分量为 ，， 该点处微单元体的转动角度为 电阻应变计是一种量测物体表面一点沿一定方向相对伸长的装置，同常利用它可以量测得到一点的平面应变状态。如图所示，在一点的3个方向分别粘贴应变片，若测得这3个应变片的相对伸长为，，，，求该点的主应变和主方向。 解：根据式先求出剪应变。考察方向线元的线应变，将，，，，，代入其 中，可得 则主应变有 解得主应变，，。由最大主应变可得上式只有1个方程式独立的，可解得与轴的夹角为 于是有，同理，可解得与轴的夹角为。 物体内部一点的应变张量为 试求：在方向上的正应变。
中国矿业大学力学实验报告 姓名白永刚 班级 土木11-9班 实验日期2012-12- 30 实验七 平面应力状态下的主应力测试 薄壁圆筒在弯扭组合变形作用下的主应力测定 一、实验目的 1、用电测法测测定平面应力状态下主应力的大小及方向，并与理论值进行比较。 2、测定薄壁圆筒在弯扭组合变形作用下的弯矩和扭矩。 3、学习电阻应变花的应用。 4、学习用各种组桥方式测量内力的方法，进一步熟悉电测法的基本原理和操作方法。 二、实验设备 ①弯扭组合实验装置②电阻应变测力仪一套 三、实验原理及方法 1.测定主应力的大小和方法 薄壁圆筒弯扭组合变形受力简图如图1，横截面A-B 为被测位置，由应力状态理论分析可知，薄壁圆筒表面上的A 、B 点处于平面应力状态。 若在被测位置xy 平面内，沿xy 方向的线应变为、，剪应变为,根 x εy εxy γ据应变分析可知，该点任一方向的线应变计算公式为 α
+1 cos 2sin 22 22 x y x y xy αεεεεσαγα-= + -(1) 由此得到主应变和主应力的方向分别为 2x x y y εεεε+= 0tan 2xy x y γαεε=- -（2） 对于各向同性材料，主应变、和主应力、方向一致，应用广义胡克定 1ε2ε1σ2σ律，即可确定主应力、1σ2 σ (3) ()1122 E = +1-σεμεμ()2212 E = +1-σεμεμ式中E 、分别为构件材料的弹性模量和泊松比。μ该实验采用1/4桥公共补偿测量 2.测定弯矩 薄壁圆筒虽为弯扭组合变形，但A 和C 两点沿X 方向只有因弯曲应力引起的拉伸或压缩应变，且两者数值相等，符号相反，故采用半桥测量， 设测得A 、B 两点由弯矩引起的轴向应变为。由广义胡克定律得 M ε (4) M =E σε由截面上最大弯曲应力公式，可得到截面A 、B 的弯矩实验值Z M = W σ为 (5) () 44M=E 32M Z M E D d W D πεε-= 3.测定扭矩 当薄壁圆筒受纯扭转时，B 、D 两点45o 方向和-45o 方向的应变片都是 沿主应力方向。且主应力、数值相等符号相反，因此采用全桥测 1σ2σ量，可得B 、C 两点由扭矩引起的主应变由平面应力状态的广义胡克 T ε定律得 (6)()()T 112T T 22E E E = +=[+-]=1-1-1+εσεμεεμεμμμ 管线不仅可以解决吊顶对全部高中资料试卷电据生产工艺高中资料试卷要保护高中资料试卷配置技术
第七章应力状态与强度理论 一、教学目标和教学内容 1．教学目标 通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从具有受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。掌握强度理论的概念。 了解材料的两种破坏形式（按破坏现象区分）。 了解常用的四个强度理论的观点、破坏条件、强度条件。 掌握常用的四个强度理论的相当应力。 了解莫尔强度理论的基本观点。 会用强度理论对一些简单的杆件结构进行强度计算。 2．教学内容 ○1应力状态的概念； ○2平面应力状态分析； ○3三向应力状态下的最大应力；
○4广义胡克定律?体应变； ○5复杂应力状态的比能； ⑥梁的主应力?主应力迹线的概念。 讲解强度理论的概念及材料的两种破坏形式。 讲解常用的四个强度理论的基本观点，并推导其破坏条件从而建立强度计算方法。 介绍几种强度理论的应用范围和各自的优缺点。 简单介绍莫尔强度理论。 二、重点难点 重点： 1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大剪应力的计算。 2、广义胡克定律及其应用。 难点： 1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。 2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。 3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。 4、广义胡克定律及其应用。 5 强度理论的概念、常用的四个强度理论的观点、
强度条件及其强度计算。 6 常用四个强度理论的理解。 7 危险点的确定及其强度计算。 三、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 四、建议学时 10学时 五、讲课提纲 1、应力状态的概念 所谓“应力状态”又称为一点处的应力状态（state of stresses at a given point）,是指过一点不同方向面上应力的集合。 应力状态分析（Analysis of Stress-State）是用平衡的方法，分析过一点不同方向面上应力的相互关系，确定这些应力的极大值和极小值以及它们的作用面。 一点处的应力状态，可用同一点在三个相互垂直的截面上的应力来描述，通常是用围绕该点取出一个微小正六面体（简称单元体element）来表示。单元体的表面就是应力作用面。由于单元体微小，可以认为单元体各表面上的应力是均匀分布的，而且一对平
有限元方法 Finite Element Method ——基于ANSYS的有限元建模与分析 姓名吴威 学号20100142 班级10级土木茅以升班2班 西南交通大学 2014年4月
综合练习——带孔平板的应力分布及应力集中系数的计算一、问题重述 计算带孔平板的应力分布及应力集中系数。 二、模型的建立与计算 在ANSYS中建立模型，材料的设置属性如下 分析类型为结构（structural），材料为线弹性（Linear Elastic），各向同性（Isotropic）。弹性模量、泊松比的设定均按照题目要求设定，以N、cm为标准单位，实常数设置中设板厚为1。
采用solid 4 node 42板单元，Element Behavior设置为Plane strs w/thk。 建立模型时先建立完整模型，分别用单元尺度为5cm左右的粗网格和单元尺度为2cm左右的细网格计算。 然后取四分之一模型计算比较精度，为了使粗细网格单元数与完整模型接近，四分之一模型分别用单元尺度为2.5cm左右的粗网格和单元尺度为1cm左右的细网格计算。 (1) 完整模型的计算 ①粗网格
单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为5cm） 约束施加时在模型左侧边界所有节点上只施加x方向的约束，即令U X=0，在左下角节点上施加x、y两个方向的约束，即U X=0、U Y=0。荷载施加在右侧边界上，大小为100。 对模型进行分析求解得到： 节点应力云图（最大值222.112）
单元应力云图（最大值256.408） 可看出在孔周围有应力集中现象，其余地方应力分布较为均匀，孔上部出现最大应力。 ②细网格 单元网格的划分及约束荷载的施加如图（单元尺度为2cm）
姓名：刘刚学号：15 平面应力应变分析有限元法 Abstruct:本文通过对平面应力/应变问题的简要理论阐述，使读者对要分析的问题有大致的印象，然后结合两个实例，通过MATLAB软件的计算，将有限元分析平面应力/应变问题的过程形象的展示给读者，让人一目了然，快速了解有限元解决这类问题的方法和步骤！ 一.基本理论 有限元法的基本思路和基本原则以结构力学中的位移法为基础，把复杂的结构或连续体看成有限个单元的组合，各单元彼此在节点出连接而组成整体。把连续体分成有限个单元和节点，称为离散化。先对单元进行特性分析，然后根据节点处的平衡和协调条件建立方程，综合后做整体分析。这样一分一合，先离散再综合的过程，就是把复杂结构或连续体的计算问题转化简单单元分析与综合问题。因此，一般的有限揭发包括三个主要步骤：离散化单元分析整体分析。 二.用到的函数 1. LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,xi,yi,xj,yj,xm,ym,p) 2.LinearBarAssemble(K k I f) 3.LinearBarElementForces(k u)
4.LinearBarElementStresses(k u A) 5.LinearTriangleElementArea(E NU t) 三.实例 例1.考虑如图所示的受均布载荷作用的薄平板结构。将平板离散化成两个线性三角元，假定E=200GPa ，v=0.3，t=0.025m,w=3000kN/m. 1.离散化 2.写出单元刚度矩阵 通过matlab 的LinearTriangleElementStiffness 函数，得到两个单元刚度矩阵1k 和2k ，每个矩阵都是6 6的。 >> E=210e6 E = 210000000 >> k1=LinearTriangleElementStiffness(E,NU,t,0,0,0.5,0.25,0,0.25,1) k1 =
第六章平面问题的直角坐标解知识点 平面应变问题 应力表示的变形协调方程应力函数 应力函数与双调和方程平面问题应力解法 逆解法 简支梁问题 矩形梁的级数解法平面应力问题 平面应力问题的近似性应力分量与应力函数 应力函数与面力边界条件应力函数性质 悬臂梁问题 楔形体问题 一、内容介绍 对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。 本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：平面应力和平面应变问题。弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。 本章学习的困难是应力函数的确定。虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。 二、重点 1、平面应变问题； 2、平面应力问题； 3、应力函数表达的平面 问题基本方程；4、应力函数的性质；5、典型平面问题的求解。 §6.1 平面应变问题 学习思路: 对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。 平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线
长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。 根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。 对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。 学习要点： 1、平面应变问题； 2、基本物理量； 3、基本方程； 4、应力表 示的变形协调方程 1、平面应变问题 部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示 这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。 这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。 设纵向轴为z轴，则沿z方向的位移恒等于零，位移只能发生在Oxy面内。而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的x、y坐标，则有相同的位移。所以物体的位移为 2、基本物理量
西安交通大学16年3月课程考试《弹性力学》作业考核试题答案 一、单选题（共30 道试题，共60 分。）V 1. 弹性力学研究（）由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移 A. 弹性体 B. 刚体 C. 粘性体 D. 塑性体 满分：2 分 > 2. 在弹性力学中规定，切应变以直角（），与切应力的正负号规定相适应。 A. 变小时为正，变大时为正 B. 变小时为负，变大时为负 C. 变小时为负，变大时为正 D. 变小时为正，变大时为负 满分：2 分 3. 具体步骤分为单元分析和整体分析两部分的方法是（） A. 有限差分法 B. 边界元法 C. 有限单元法的 : D. 数值法 满分：2 分 4. 平面问题的平衡微分方程表述的是（）之间的关系。 A. 应力与体力 B. 应力与应变 C. 应力与面力 D. 应力与位移 满分：2 分 5. 用应变分量表示的相容方程等价于（） A. 平衡微分方程 | B. 几何方程 C. 物理方程 D. 几何方程和物理方程 满分：2 分 6. 平面应力问题的外力特征是（） A. 只作用在板边且平行于板中面 B. 垂直作用在板面 C. 平行中面作用在板边和板面上 D. 作用在板面且平行于板中面 满分：2 分 ？
7. 下面不属于边界条件的是（）。 A. 位移边界条件 B. 流量边界条件 C. 应力边界条件 D. 混合边界条件 满分：2 分 8. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，不包括哪个步骤（） A. 结构离散化 B. 单元分析 C. 整体分析 ~ D. 应力分析 满分：2 分 9. 在弹性力学中规定，线应变（），与正应力的正负号规定相适应。 A. 伸长时为负，缩短时为负 B. 伸长时为正，缩短时为正 C. 伸长时为正，缩短时为负 D. 伸长时为负，缩短时为正 满分：2 分 10. 在弹性力学里分析问题，要建立（）套方程。 A. 一 * B. 二 C. 三 D. 四 满分：2 分 11. 关于弹性力学的正确认识是（） A. 计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象 D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析 满分：2 分 、 12. 每个单元的位移一般总是包含着（）部分 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 满分：2 分 13. 平面问题分为平面（）问题和平面（）问题。 A. 应力，应变 B. 切变.应力 C. 内力.应变 …
平综述 摘要：在机械制造、航空、造船、建筑等领域, 开孔问题是十分普遍的。然而, 开孔必 然引起应力集中现象, 这一直是工程技术人员十分关心的问题。对平面应力状态开孔周边应力场的研究, 掌握应力场的变化规律, 在实际工程中具有十分重要的意义. 关键词：应力场开孔平面应力状态 1 前言 对于开口结构来说，特别突出的一个问题就是临界区域的孔边应力集中问题。准确的求解孔周围的应力是很困难的,特别是对于一些复杂孔型。就像人们所知道的,孔口附近往往也就是构件最薄弱的区域。因此，对开孔及其周边应力场的研究，对于机械及相关领域来说至关重要，这将是我们必须长期坚持和努力的研究领域。 2开孔周边应力场的研究历史及现状 2.1 复合材料开孔周边应力场研究 吴德隆[1]在对二维平面的复合材料结构开孔分析中，得出相应的结论：开孔引起的应力扰动项是局部的,随距离的增加而迅速衰减。最大应力集中发生在孔角处45°，并与开孔尺寸成反比。李成[2]等为了探索出一种方法，使得在实际设计中,计算含孔的复合材料板的应力、强度时，既可以避免级数法的繁琐,又可以提高其计算精度。于是他们以复变函数理论为基础,借助积分方程,采用多复变量应力函数对含圆孔形的复合材料板进行研究,得到了精确边界条件下的应力解析, 并用所得到的应力表达式对不同载荷的影响进行了分析、评价,同含有圆孔的均质材料板边的应力场进行比较。得出了含复杂孔形孔边应力的解析解法。并且得出了对带有圆形孔的复合材料板和均质材料板,在不同方向的载荷作用情况下的计算方法,这种计算方法在工程中有很高的实用价值。 2.2 平板开孔应力场的研究 张涛[3]等对开椭圆孔有限板的应力集中问题进行研究。应用弹性力学的复变函数理论,在各内边界上引入保角变换,在外边界上采用分段函数,通过傅立叶级数展开,计算整个弹性板的应力场,给出了开椭圆孔有限板的计算实例。突破了开
第八章 应力状态分析 1．矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ） 所示。关于他们的正确性，现有种答案： （A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的； 正确答案是 。 2．已知单元体AB 、BC 面上只作用有剪应力 τ ，现关于AC 面上应力有下 列四种答案： （A ）2/ττ=AC ，0=AC σ； （B ）2/ττ=AC ，2/3τσ=AC ； （C ）2/ττ=AC ，2/3τσ-=AC ； （D ）2/ττ-=AC ，2/3τσ=AC ； 正确答案是 。 3．在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力 βασσ= 成立的充分 必要条件，有下列四种答案： （A ）y x σσ=，0≠xy τ； （B ）y x σσ=，0=xy τ； （C ）y x σσ≠，0=xy τ； （D ）xy y x τσσ==； 正确答案是 。 C τ (a) (b)
4．对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间有下列四种答案 ： （A ）三种应力状态均相同； （B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同； 正确答案是 。 5．直径为d 的圆截面杆，两端受扭转力偶m 作用。设 ?=45α，关于下列结 论（E 、v 分别表示材料的弹性模量和泊松比） 1） 在A 、B 、C 点均有0==y x εε； 2） 在点C 处，() 3 /16d m πσα-=； 3） 在点C 处，)]/(16[]/)1[(3 d m E v πεα?+-=； 现有四种答案： （A ）1）、2）正确； （B ）2）、3）正确； （C ）1）、3）正确； （D ） 全正确； 正确答案是 。 6．广义虎克定律适用范围，有下列四种答案： （A ）仅适用于脆性材料； （B ）仅适用于塑性材料； （C ）适用于材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）适用于任何材料； 正确答案是 。 m A C τ (a) (b) (c)
带孔平板模型分析 一、问题重述 如图所示，使用ANSYS分析平面带孔平板，分析在均布载荷作用下板内的应力分布。 已知条件：F＝20N/mm，L＝200mm，b＝100mm，圆孔半径r＝20，圆心坐标为（100， 50），E＝200Gpa。板的左端固定。 二、问题分析： 从题目中可知这是一个有限元结构分析中的线性静力分析问题，由于只承受薄板长度和宽度方向所构成的平面上的载荷时，厚度方向没有载荷，一般沿厚度方向应力变化可不予考虑，即该问题可转化为平面应力问题。虽然结构是对称的，但所加载荷不对称，所以不能使用对称模型。 三、问题求解： 有限元问题求解一般分为三大步骤： 1、建立有限元模型 ①建立或导入几何模型：结构比较简单，直接在ansys中建模既可。先建一个长方形然后再中间画一个圆，两者相减即可。 ②定义材料属性：主要设置材料的弹性模量以及泊松比：EX=200000，PRXY=0.3。 ③划分网格建立有限元模型：网格的划分对结果的影响很大。在此进行了多种不同方式的网格划分，以便对结果更好的进行分析比较。单元类型均为PLANE82。 A 采用用户自定义网格尺寸参数，将长方形四条边网格长度都设置为20mm,再进行自由分网。得到的网格如下图所示。可以看出这样的网格很不规整，有大有小，有规则的有不规则的。 B 对前一种网格进行了改进，使用映射分网，但由于整个图形不能进行映射分网，所以在建模时将由四个小长方形组成一个大的长方形，中间再减去一个圆。然后再将这四块用glue命令粘起来。分网时将四块单独分网，这样就可以使用映射分网。如下图所示。可以看出，这样分出来的网格很漂亮，网格大小比较一致，这样求出来的结果更加有信服力。
§7.6 带圆孔平板的均匀拉伸 学习思路: 平板受均匀拉力q作用，平板内有半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。 孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。 根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力。对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解。 孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为3。 学习要点： 1. 带圆孔平板拉伸问题； 2. 厚壁圆筒应力函数； 3. 应力与边界条件； 4. 孔口应力。
设平板在x方向受均匀拉力q作用，板内有一个半径为a的小圆孔。圆孔的存在，必然对应力分布产生影响。如图所示。孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔口稍远处的应力。这种现象称为应力集中。 孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域。随着距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小。 根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平板的分布应该是相同的。因此 上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为b的圆周上，应力可以分为两 部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值为；另一部分是随? 变化的法向力cos2? 和切向力sin2?。 对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为。由此产生的应力可用轴对称应力计算公式计算。则 这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为a，外径为b的厚壁圆筒的外圆周处。使得问题成为一个典型的轴对称应力。
