(仅供参考)平面应力状态分析-主应力主平面详细推导
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平面问题中一点的应力状态
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
材料力学：第八章 应力应变状态分析
斜截面：// z 轴；方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定：
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相9;
斜对角线的线
应变和角应变
OB转角
应变与位移分析
3 gxy引起的
B'
斜对角线的线
B''
应变和角应变
OB转角
a
BB BO
BB BO
=
g
xydysinα dl
g
xysin2α
应变与位移分析
(1) (2) (3)
方位线应变ea的参数方程
应变与位移分析
(1) (2) (3)
OB转角(切应变) OD转角(切应变)
二向与三向应力状态，统称为复杂应力状态
纯剪切与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
σc,max
σ t,max
圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断发生
在tmax的作用面
断裂发生在
smax 作用面
例题
例4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位
解：1. 解析法
已知:
2. 图解法
先画出应力圆, 在圆上找出主应力大小与方位, 并标在截面图上
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
回顾
设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
回顾
由于tx 与 ty 数值相等，同时
正负符号规定：
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相9;
斜对角线的线
应变和角应变
OB转角
应变与位移分析
3 gxy引起的
B'
斜对角线的线
B''
应变和角应变
OB转角
a
BB BO
BB BO
=
g
xydysinα dl
g
xysin2α
应变与位移分析
(1) (2) (3)
方位线应变ea的参数方程
应变与位移分析
(1) (2) (3)
OB转角(切应变) OD转角(切应变)
二向与三向应力状态，统称为复杂应力状态
纯剪切与扭转破坏
纯剪切状态的最大应力
σc,max
σ t,max
圆轴扭转破坏分析
滑移与剪断发生
在tmax的作用面
断裂发生在
smax 作用面
例题
例4-1 用解析法与图解法，确定主应力的大小与方位
解：1. 解析法
已知:
2. 图解法
先画出应力圆, 在圆上找出主应力大小与方位, 并标在截面图上
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
回顾
设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
回顾
由于tx 与 ty 数值相等，同时
2平面问题的基本理论(平面应力与应变,受力状态,圣维兰原理)
当面积 AB 无限减小而趋于 P 点时，平面 AB 上的 应力就是上述斜面上的应力。 现设斜面上的全应力p可以分解为沿坐标向的分 量（ px ， py ），或沿法向和切向的分量（ σn ， τn），如图 2-4b所示。
用n代表斜面AB的外法线方向，其方向余弦为：
cosn, x l， cosn, y m
c
0
，则有
F 0， F Mc 0
x
y
0
yx dy dy dx dx xy dy 1 ( yx dy)dx 1 yx dx 1 0 2 2 y 2 2
力矩方程化简后得到：
xy
1 xy 1 yx dx yx dy 2 x 2 y
x yx fx 0 y x xy y f 0 y x y
4.平衡微分方程适用的条件是，只要求符合连 续性和小变形假定。 5.对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微 分方程相同。 6.由于τxy =τyx，以后只作为一个独立未知函数 处理。因此，2个独立的平衡微分方程（2-2） 中含有 3个应力未知函数。
由式（2-4）及（2-5）就可以求得经过P点的任意 斜面上的正应力 n 及切应力 n 。
3.然后，再求出主应力和应力主向
设经过P点的某一斜面上的切应力等于零，则该斜 面上的正应力称为在P点的一个主应力，而该斜面 称为在P点的一个应力主平面，该斜面的法线方向 称为在P点的一个应力主向。
（2）只在侧边上受有平行于板面且不沿厚度变化 的面力和体力，且不沿厚度变化，体力 f x , f y , o 和面 力 f x , f y , o ，只是x，y的函数，并构成平衡力系；
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
平面应力状态理论分析
2
称此圆为应力圆。
R x y xy 2 2
2
由于应力圆最早由德 国工程师莫尔 （otto.mohr,18351918）提出，故又称 为莫尔圆。
R
B
O
x y
2
A
O1
工程力学系
二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( x , xy) (2)在坐标系内画出B1( y , yx)
2 0 21
2
即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-3 平面应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 斜截面应力解析表达式 x y sin 2 xy cos 2 2
y yx
zx
yz
xz
z
zy
xy
x
工程力学系
三、应力状态分类
第九章 应力状态分析
三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力 都不等于0;
二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力 都不等于0;
单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0
y yx
zx
y yx
o
25
30
30
o
30 40
o
x y
2
x y
2
cos 60o xy sin 60o 49.7MPa
30
o
x y
2
cos 60o xy sin 60o 13.1 MPa
max
称此圆为应力圆。
R x y xy 2 2
2
由于应力圆最早由德 国工程师莫尔 （otto.mohr,18351918）提出，故又称 为莫尔圆。
R
B
O
x y
2
A
O1
工程力学系
二、应力圆作法 (1)在坐标系内画出A1( x , xy) (2)在坐标系内画出B1( y , yx)
2 0 21
2
即：剪应力极值平面和主平面夹角为45°
工程力学系
第九章 应力状态分析
§9-3 平面应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
x y x y cos 2 xy sin 2 2 2 斜截面应力解析表达式 x y sin 2 xy cos 2 2
y yx
zx
yz
xz
z
zy
xy
x
工程力学系
三、应力状态分类
第九章 应力状态分析
三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力 都不等于0;
二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力 都不等于0;
单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于0
y yx
zx
y yx
o
25
30
30
o
30 40
o
x y
2
x y
2
cos 60o xy sin 60o 49.7MPa
30
o
x y
2
cos 60o xy sin 60o 13.1 MPa
max
(推荐)平面应力问题
l
yx
m yx l y
yx P xy
x
y A
fx px
x
为 l2、m2，则
y
B fy py
n
tan 2
cos(90 2 ) cos 2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
22
应力主向的计算公式：
tan
1
x
(x
dx,
y)
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
1 2!
2 x (x,
x2
y)
(dx)2
1 n!
n x (
x
x,
n
y
)
(dx)n
10
略去二阶及二阶以上的微量后便得
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
同样 y 、 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状
l x m yx l
m y l xy m
19
求解得：
m l
x yx
o
m yx
l y
y
2
(
x
y )
(
x
y
2 xy
)
0
yx y
x
P
A
xy
x B
px
n
n
py p
n
p x l x m yx
应力与应力状态分析
应力与应力状态分析拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性，其计算公式如下：拉伸模量（㎏/c ㎡)=△f/△h(㎏/c ㎡)其中，△f 表示单位面积两点之间的力变化，△h 表示以上两点之间的应变化。
更具体地说，△h ＝（L-L0）/L0，其中L0表示拉伸长前的长度，L 表示拉伸长后的长度。
§4-1 几组基本术语与概念一、变形固体的基本假设1、均匀连续性假设：假设在变形固体的整个体积内均匀地、毫无空隙地充满着物质，并且各点处的力学性质完全相同。
根据这一假设，可从变形固体内任意一点取出微小单元体进行研究，且各点处的力学性质完全相同，因而固体内部各质点的位移、各点处的内力都将是连续分布的，可以表示为各点坐标的连续函数。
2、各向同性假设：假设变形固体在所有方向上均具有相同的力学性质。
3、小变形假设：认为构件的变形与构件的原始尺寸相比及其微小。
根据小变形假设，在研究构件上力系的简化、研究构件及其局部的平衡时，均可忽略构件的变形而按构件的原始形状、尺寸进行计算。
二、应力的概念1、正应力的概念分布内力的大小（或称分布集度），用单位面积上的内力大小来度量，称为应力。
由于内力是矢量，因而应力也是矢量，其方向就是分布内力的方向。
沿截面法线方向的应力称为正应力，用希腊字母σ表示。
应力的常用单位有牛/米2 （2/m N ，12/m N 称为1帕，代号a P ）、千米/米2（2/m KN ，12/m KN 称为1千帕，代号Ka P ），此外还有更大的单位兆帕（M a P ）、吉帕（G a P ）。
几种单位的换算关系为：1 K a P =310a P 1 M a P =310K a P 1 G a P =310M a P =610K a P =910a P2、切应力与全应力的概念与截面相切的应力分量称为切应力，用希腊字母τ表示。
K 点处某截面上的全应力K p 等于该点处同一截面上的正应力K σ与切应力K τ的矢量和。
第三讲 平面应力状态分析
f
y
§3.3 平面应力状态分析
3、求解过程
(3) 任意斜截面的应力
e
x xy α
α n
α
α
e
dA
dAcos α
ayx
f
y
a dAsin f
设斜截面的面积为dA, ae的面积为dAcos，af的面积为dAsin。
对研究对象列n和t方向的平衡方程得
Fn = 0
σαdA + (τxydAcos α)sin α − (σxdAcos α)cos α + (τ yxdAsin α)cos α − (σ ydAsin α)sin α = 0
dσα dα
=
−2[ σ x
−σy 2
sin 2α + τxy
cos 2α] = 0
tan
2α0
=
−
2τ xy σx −σy
α0
α0
+
90
0和0+90º确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所
在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。
§3.3 平面应力状态分析
3、求解过程
(4) 斜截面的最大正应力及方位
σα
=
σx
+σy 2
+
σx
−σy 2
cos 2α
− τ xy
sin 2α
最大正应力
将0和0+90º代入公式
得到max和min（主应力）
σσmmainx
=
σx
+σy 2
(
σx
−σy 2
)2
+
τ
2 xy
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
材料力学72平面应力状态应力分析主应力
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
a x
y
y
c
x
a
x
x
b
y
n
c
y
Fn 0 F 0
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
x y
dA x dAcoscosx 2x dyAcosxs2inycoysd2Asin cxossin 2y dAsin sin 0
sin 2
max
x y sin 2
2
x cos 2
cos 2
450
450
max
450
max
450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
应力圆
一、应力圆的方程式
x y
300 600 x y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
450
x y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x
x
2
y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x y sin 2
2
x cos 2
轴向拉伸压缩
x (1 cos 2)
1
x
y
2
x
2
y
2
2 x
2
切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力
2
一、公式推导：
a x
y
y
c
x
a
x
x
b
y
n
c
y
Fn 0 F 0
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
x y
dA x dAcoscosx 2x dyAcosxs2inycoysd2Asin cxossin 2y dAsin sin 0
sin 2
max
x y sin 2
2
x cos 2
cos 2
450
450
max
450
max
450 0
铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着最大拉 应力作用面（即450螺旋面）断开的。因此， 可以认为这种脆性破坏是由最大拉应力引起 的。
应力圆
一、应力圆的方程式
x y
300 600 x y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢 拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
450
x y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x
x
2
y
2
x y cos 2
2
x sin 2
x y sin 2
2
x cos 2
轴向拉伸压缩
x (1 cos 2)
1
x
y
2
x
2
y
2
2 x
2
切应力等于零的截面为主平面 主平面上的正应力称为主应力
2
12第二章应力状态分析一、内容介...
第二章应力状态分析一、内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。
由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。
因此，一点各个截面的应力是不同的。
确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。
首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。
应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。
本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。
弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2、平衡微分方程与切应力互等定理；3、面力边界条件；4、应力分量的转轴公式；5、应力状态特征方程和应力不变量；知识点：体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量§2.1 体力和面力学习思路:本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
材料力学应力分析
应力状态
-
yx
即又一次证明了切应力的互等定理。
xy
y
§2 平面应力状态分析
应力状态
３、平面应力状态的极值与主应力
x
+ y
2
+ x
- y
2
cos 2
- xy sin 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
x
- y sin
2
tan 20
2 -
+ xy cos 2 xy
x - y
2＝0
得到xy 的极值
＝ 1 2
x
- y
2
+
4
2 xy
应力状态
需要特别指出的是，上述切应力极值仅对垂直 于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应 力与面内最小切应力。二者不一定是过一点的所有 方向面中切应力的最大和最小值。
§2 平面应力状态分析
应力状态
过一点所有方向面中的最大切应力
为确定过一点的所有方向面上的最大切应力，可以
(
-
x
+
2
y
)
x
-
2
y
cos 2
-
xy
sin
2
(1)
x
- y
2
sin 2
+ xy
cos 2
x
- y
2
sin 2
+ xy cos 2
(2)
§2 平面应力状态分析
应力状态
(
-x
+ y
2
)2
+
2
a( a , a )
平面应力公式的进一步推导及应力状态分析
剪应力截面的对应点。
作 ∠GCP = 45D ，交圆于 P， 作 ∠A1CI = 45D ，交圆于 I。
∠A1CP = ∠A1CG + ∠GCP = −ϕ + 45D = α
射线 CP 为最大剪应力截面的外法线方向。
OC 为最大剪应力截面上的正应力。
-3-
τ xy
= sin 2ϕ
a2
+τ
2 xy
则： tg 2ϕ = τ xy = 2τ xy a σx −σy
ϕ = 1 arctg 2τ xy
2
σx −σy
代入式（1.1）得：
σα
=
σx
+σ y 2
+
a2
+
τ
2 xy
(cos
2α
cos
2ϕ
− sin 2α sin 2ϕ)
= σx +σy + 2
σ (
x
−σ 2
Chi Huanxi
Shandong Century Electric Power Development Co.Ltd，Longkou，Shandong (265700) Abstract
In this paper, formulae of new form is derived from classical ones for more easily and clearly anglicizing and calculating of the normal and shearing stress in plane stress-state, and thus the maximum and minimum values of the stress can be obtained without operation of differentiation. Keywords：stress formulae，deduction，stress circle
作 ∠GCP = 45D ，交圆于 P， 作 ∠A1CI = 45D ，交圆于 I。
∠A1CP = ∠A1CG + ∠GCP = −ϕ + 45D = α
射线 CP 为最大剪应力截面的外法线方向。
OC 为最大剪应力截面上的正应力。
-3-
τ xy
= sin 2ϕ
a2
+τ
2 xy
则： tg 2ϕ = τ xy = 2τ xy a σx −σy
ϕ = 1 arctg 2τ xy
2
σx −σy
代入式（1.1）得：
σα
=
σx
+σ y 2
+
a2
+
τ
2 xy
(cos
2α
cos
2ϕ
− sin 2α sin 2ϕ)
= σx +σy + 2
σ (
x
−σ 2
Chi Huanxi
Shandong Century Electric Power Development Co.Ltd，Longkou，Shandong (265700) Abstract
In this paper, formulae of new form is derived from classical ones for more easily and clearly anglicizing and calculating of the normal and shearing stress in plane stress-state, and thus the maximum and minimum values of the stress can be obtained without operation of differentiation. Keywords：stress formulae，deduction，stress circle
应力状态理论
'y
y
'x
x
z
z
y yx 'z xy x
x
'y
单元体应力状态如图
这时，独立的应力分量为 x ， y ， z 和 xy
与XY平面垂直的平面上的应力没有Z方向的分量，并且由
y
y
n
x ，y 及 xy 决定。 ——平面应力状态
'x z
yx xy x
x
已知 x ，y 及 xy ， 求任意斜截面n上的 应力——平面应力 状态分析。
解出 x,y,xy 有
0 x
45
x
y 2
xy 2
90 y
x 0 xy 0 90 245
y 90
于是
主应变：
x 2y
(xy)2x2y
2
4
1 2 [0 (9)0 (04)2 5 (09 0 2 4)2 5 ]
主方向： ta2n0x xyy245 0 09 090
Ax(3.6 4,2)2
特殊应力状态单元体
2
2
2
( , ) 22
Ay (0，0)
2
2
2
( , )
22
“单向拉伸”应力状态单元体与应力圆
1;2 0 ;3 0
0 0
Ax(，0)
0
Ay(0,)
20
Ax(0,-)
“纯剪切”应力状态单元体与应力圆
1;2 0 ;3
0 45
3
1
Ay (0，)
3 0
0 1
3 0
0 1
已知一点A的应力状态如图，求：A点的主应力和主平面。 （应力单位为 MPa）
25
26
弹性力学3-应力状态、几何方程
s x ,s y ,t xy t yx
应力张量： tsyxx
t xy sy
t t
xz yz
t zx t zy s z
s x t xy
t yx
s
y
第二章 平面问题的基本理论 2.3 平面问题中一点的应力状态
一点的应力状态可以用以下三种方法表示：
用包围该点的微元体（微正六面体）表征 过该点的任意斜截面上的应力 用一点的主应力与主方向表征
2.1 平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程 2.3 一点的应力状态 2.4 几何方程 2.5 物理方程 2.6 边界条件 2.7 圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化
第二章 平面问题的基本理论 2.4几何方程
几何方程：应变分量与位移分量之间的关系。
fx
dxdy 2
1 0
上式分别将dx、dy用ds 表达：
pxds
s xlds
t yxmds
fx
ldsmds 2
0
ds趋于零时
O
x
t yx s y
P
A
t t xy
Px
n
px ls x mt xy
(2-3a)
sx
微元体竖直静力平衡条件： Fy 0 可得：
Py s n n
B
y pyds 1 s ydx 1 t xydy 1
过P点的微小三角形，两个边分别 O
平行于坐标轴，当面积SAPB无限减小， 趋近于P点时，平面AB上的应力即成
x
t yx s y
P
A
为过P点斜面上的应力。
P点应力分量（直角坐标面上的应
力）已知：s x ,s y ,t xy t yx
主平面、主切应力平面及其面上的正应力和切应力
主平面、主切应力平面及其面上的正应力和切应力
主平面是指在一个给定的应力状态中，经过这个平面的法向应力（垂直于该平面的应力）达到最大或最小值的平面。
主切应力平面是指在一个给定的应力状态中，经过这个平面的切应力（平行于该平面的应力）达到最大或最小值的平面。
在主平面上，正应力是法向应力的值，切应力是切向应力的值。
在主切应力平面上，正应力是切应力的值，切应力是法向应力的值。
需要注意的是，在不同的应力状态中，主平面和主切应力平面的位置和方向可能会不同。
平面应力状态分析-应力圆法
平面应力状态分析 应力圆法
应力圆法
1. 任一斜截面上的应力
2. 求主平面、主应力
应力圆最早由德国工程师莫尔在
应力圆（莫尔圆） 1882年首次提出，故又称为莫尔圆。
R
x 2
y
2
x2
R
C
O
x y
2
应力圆的绘制方法
O
C
D2(y ,y) R
xC
D1(x ,x)
单元体与相应应力圆 之间的对应关系
（1）点面对应
xC
x y
2
R
x
2
y
2
2 x
（2）二倍角转向相同
应力圆的应用1 求单元体任意斜截面上的应力
D ( , )
2
D1( x , x ) D2 ( y , y )
【例题】用应力圆法求30°斜截面上的应力
x 100 MPa y 40 MPa
x 20 MPa y 20 MPa
D1(100, 20) D2 (40, 20)
20
100 40 20
30 67 MPa
30 36 MPa
练习1 求60°斜截面上的应力
x 70MPa y 50 MPa x 0 MPa y 0 MPa
D60 (20, 50)
D2 (50, 0)
120
C（10，0） D1(70, 0)
练习2
求45°斜截面上的应力
D1(0, 80)
90
D45 (80, 0)
D2 (0, -80)
应力圆的应用2 求单元体的主平面和主应力
max
min
x
y
2
x
2
y2Leabharlann 2 x【例题】应力圆法求三个主应力
应力圆法
1. 任一斜截面上的应力
2. 求主平面、主应力
应力圆最早由德国工程师莫尔在
应力圆（莫尔圆） 1882年首次提出，故又称为莫尔圆。
R
x 2
y
2
x2
R
C
O
x y
2
应力圆的绘制方法
O
C
D2(y ,y) R
xC
D1(x ,x)
单元体与相应应力圆 之间的对应关系
（1）点面对应
xC
x y
2
R
x
2
y
2
2 x
（2）二倍角转向相同
应力圆的应用1 求单元体任意斜截面上的应力
D ( , )
2
D1( x , x ) D2 ( y , y )
【例题】用应力圆法求30°斜截面上的应力
x 100 MPa y 40 MPa
x 20 MPa y 20 MPa
D1(100, 20) D2 (40, 20)
20
100 40 20
30 67 MPa
30 36 MPa
练习1 求60°斜截面上的应力
x 70MPa y 50 MPa x 0 MPa y 0 MPa
D60 (20, 50)
D2 (50, 0)
120
C（10，0） D1(70, 0)
练习2
求45°斜截面上的应力
D1(0, 80)
90
D45 (80, 0)
D2 (0, -80)
应力圆的应用2 求单元体的主平面和主应力
max
min
x
y
2
x
2
y2Leabharlann 2 x【例题】应力圆法求三个主应力
第二节 平面应力状态_简明工程力学_[共3页]
![第二节 平面应力状态_简明工程力学_[共3页]](https://img.taocdn.com/s1/m/8c32740ead51f01dc381f129.png)
１１４㊀简明工程力学同样,对于承受扭矩的圆轴,其上各点均为纯剪应力状态.需要指出的是,平面应力状态实际上是三向应力状态的特例,而单向应力状态和纯剪应力状态则为平面应力状态的特殊情形.一般工程中常见的是平面应力状态.如果单元体的某一个面上只有正应力分量而无切应力分量,则这个面称为主平面,主平面上的正应力称为主应力.可以证明,在受力构件内的任意点上总可以找到３个互相垂直的主平面如图８３(a )所示,因此总存在３个互相垂直的主应力,通常用σ１㊁σ２㊁σ３表示３个主应力,而且按代数值大小排列,即σ１＞σ２＞σ３.图83根据主应力的情况,应力状态可分为３种.(１)３个主应力中只有一个不等于零,这种应力状态称为单向应力状态图[８３(c )].例如,轴向拉伸或压缩杆件内任一点的应力状态就属于单向应力状态.(２)三个主应力中有两个不等于零,这种应力状态称为二向应力状态图[８３(b )].例如,横力弯曲梁内任一点(该点不在梁的表面)的应力状态就属于二向应力状态.(３)３个主应力均不等于零,这种应力状态称为三向应力状态.例如,钢轨受到机车车轮㊁滚珠轴承受到滚珠压力作用点处,还有建筑物中基础内的一点均属于三向应力状态.单向应力状态也称为简单应力状态,它与二向应力状态统称为平面应力状态;三向应力状态也称为空间应力状态.有时把二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态.工程中的构件在受力时,其危险点大多处于平面应力状态,因此本章将重点介绍平面应力状态.第二节 平面应力状态图８２所示的单元体,因外法线与z 轴重合的平面上其剪应力㊁正应力均为零,说明该单元体至少有一个主应力为零,因此该单元体处于平面应力状态.为便于研究,取其中平面a b cd 图84来代表单元体的受力情况[图８４(a )].任意斜截面的表示方法及有关规定如下.(１)用x 轴与截面外法线n 间的夹角α表示该截面.(２)α的正负号:由x 轴向n 旋转,逆时针转向为正,顺时针转向为负[图８４(b)]的α角为正).(３)σα的正负号:拉应力为正,压应力为负.。
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平面应力状态分析--主应力主平面详细推导
老和尚小方丈（storylee_dut@）大连理工大学+哈尔滨电机厂有限责任公司
平面应力状态有一个主应力为0，全部应力分量假设位于一个平面，鉴于市场上材料力学教材关于平面应力状态分析公式推导不尽详细，在此进行详细推导，为广大力学人士提供参考，敬请批评指正。
任意斜截面上的应力公式为：
α
τασσσσσα2sin 2cos 2
2xy y
x y x --++=（1）
ατασστα2cos 2sin 2
xy y
x +-=
（2）
式中，α为斜截面外法线n 与x 轴正向的夹角。
对于主平面方位的确定，根据主平面定义可知，主平面上的切应力为0，由（2）式得：
02cos 2sin 2
000
=+-=
ατασσταxy y
x （3）
即
y
x xy
σστα--
=22tan 0（4）
方程（4）有两个解，主平面方位角0α与 900+α，说明两个主平面互为垂直关系。
将公式（3）的解回代公式（1），可得另外两个主应力，代数值较大的记为max σ，较小的记为min σ，则
2
2
max 22xy y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=（5）
22
min
22xy
y x y x τσσσσσ+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+=（6）
关于公式（3）的解诸多材力教材没有此部分推导，本文列如下：
对于方程y
x xy
σστα--
=22tan 0更改等效形式0
02cos 22sin ασσταy
x xy
--
=（7）添加方程
1
2cos 2sin 0202=+αα（8）
联立（7）、（8）求得：
222
0222cos xy y x y x τσσσσα+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-±=（9）
22
2
022sin xy y x xy
τσστα+⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=
（10）
注意（9）、（10）公式正负号的对应，再将（9）、（10）代入公式（3）推得主应力计算公式（5）、（6），至此，详细推导完成！。