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y
e xy x
f
30°
n
（2） 求主应力和主单元体的方位
y
1
3
xy
x
22.5°
因为x < y,所以0= -22.5°与min对应
例题6 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位.
解: （1）求主平面方位
3 xy
45°
1
因为 x = y,且 x > 0 所以0=-45°与max 对应
（2）求主应力
y n
e
x
a
yx
x xy
f
e
x
x
xy
α
α n
α
α
ayx
f
y
e
x
a
y
yx x
xy
f
n
x
2.符号的确定（Sign convention）
e
x
xy
α
n
α
α
α
ayx
f
y
t
（1）由x轴转到外法线n,逆时针转向时为正
（2）正应力仍规定拉应力为正 （3）切应力对单元体内任一点取矩,顺时针转为正
e
x
xy
α
n
α
α
不难看出 即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数
二、最大正应力及方位 （Maximum normal stress and it’s direction）
1.最大正应力的方位（The direction of maximum normal stress ） 令
0 和 0+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大正应力
所在的平面,另一个是最小正应力所在的平面.
2.最大正应力（Maximum normal stress）
将 0和 0+90°代入公式
得到max和min (主应力）
下面还必须进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角
若约定 | 0 | < 45°即0 取值在±45°范围内
则确定主应力方向的具体规则如下
（1）当x> y 时,0 是x与max之间的夹角
1 = ,2 = 0 , 3 = -
平面应力状态分析
y
y yx xy
x
x
z
y yx
x xy
平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx
一、斜截面上的应力（Stresses on an oblique section）
1.截面法（Section method）
假想地沿斜截面 e-f 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象
（2）当x<y 时,0 是x与min之间的夹角
（3）当x=y 时,0 =45°,主应力的方向可由单元体上切应
力情况直观判断出来
二、最大切应力及方位 (Maximum shearing stress and it’s direction)
1.最大切应力的方位（The direction of maximum shearing stress ） 令
1 和 1+90°确定两个互相垂直的平面,一个是最大切应力
所在的平面,另一个是最小切应力所在的平面.
2.最大切应力（Maximum shearing stress ）
将1和 1+90°代入公式
得到max和min
比较
和
可见
例题4 简支梁如图所示.已知 m-m 截面上A点的弯曲正应力和
切应力分别为 =-70MPa, =50MPa.确定A点的主应力及主平面
的方位.
m
m a
l
A
解： 把从A点处截取的单元体放大如图
A
1 3
因为 x < y ，所以 0= 27.5°与min对应
3
0
A
x
1
例题5 图示单元体,已知 x =-40MPa,y =60MPa,xy=-50MPa.试求e-f截面上的应力情
况及主应力和主单元体的方位.
解:（1）求 e-f 截面上的应力
α
ayx
f
y
t
eHale Waihona Puke Baidu
dA
dAcos α
a dAsinf
3.任意斜截面上的应力(The stress acting on any inclined plane)
设斜截面的面积为dA , a-e的面积为dAcos, a-f 的面积为 dAsin
对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得
化简以上两个平衡方程最后得
