专题04_三角函数(学生版)

专题二 三角函数、解三角形、平面向量第1讲 三角函数的图象与性质【高考真题感悟】(2011·北京)已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．考题分析 本题主要考查利用二倍角公式和辅助角公式化简求解三角函数的解析式，并求三角函数在给定区间上的值域．考查了考生分析问题与解决问题的能力和运算求解能力．易错提醒 (1)对三角恒等变换公式掌握不牢，化简方向不明确．(2)求f (x )在给定区间上的值域，易忽视对函数单调性的讨论．【热点分类突破】题型一 三角函数的概念、诱导公式及基本关系式的应用 例1 已知点P (－3,4)是角α终边上的一点．求：sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2·sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α·tan 2(2π－α)tan(π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值．变式训练1已知点P (sin 3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．题型二 三角函数图象变换及函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象(如图所示)，求其解析式．变式训练2(2010·天津改编)右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R)在区间[－π6，5π6]上的图象．为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的________倍，纵坐标不变．题型三 三角函数图象与性质的综合应用例3 已知函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x －32，且f (0)＝32，f ⎝⎛⎭⎫π4＝12. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间；(3)函数f (x )的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称？变式训练3已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ) (0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求f ⎝⎛⎭⎫π8的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．【规律方法总结】1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间(1)将ω化为正．(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式(1)A ＝y max －y min 2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解．(2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．【名师押题我来做】1．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．2．求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．第2讲 三角变换与解三角形【高考真题感悟】(2011·山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．【热点分类突破】题型一 三角变换及求值例1 (1)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．变式训练1 (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°＝________； (2)已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14.求tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值．题型二 正、余弦定理 例2 (2011·大纲全国)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .变式训练2在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．题型三 正、余弦定理的实际应用例3 如图所示，为了测量正在海面匀速行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1 km 的两个观察点C ，D ，在某天10∶00观察到该航船在A 处，此时测得∠ADC ＝30°，3 min 后该船行驶至B 处，此时测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，则船速为______km/min. 变式训练3在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船航行速度是______千米/小时．【规律方法总结】1．证明三角恒等式的常用方法(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简． (2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)． (3)运用分析法，证明其等式成立． 2．三角恒等变形的基本思路(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”． (2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a ，b ，A 为例(1)当A 为直角或钝角时，若a >b ，则有一解；若a ≤b ，则无解．4.(1)三角形内角和定理：A ＋B ＋C ＝π. (2)A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C . (3)a ＝b cos C ＋c cos B .5．在△ABC 中，三边分别为a ，b ，c (a <b <c )(1)若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形． (2)若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 为直角三角形． (3)若a 2＋b 2<c 2，则△ABC 为钝角三角形．【名师押题我来做】1．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，π4－α是第一象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是________． 押题依据 同角三角函数的基本关系式，诱导公式及倍角公式都是高考的热点，本题题点设置恰当，难度适中，体现了对基础和能力的双重考查，故押此题．押题级别 ★★★★★解析：∵π4－α是第一象限角，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝513， 于是sin ⎝⎛⎭⎫π2－2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin 2⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1013. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知2sin A ＝3cos A .(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值． 押题依据 本题将三角函数、余弦定理及基本不等式巧妙地结合在一起，突出了对重点知识的重点考查．体现了高考题在知识的交汇处出题的理念，故押此题．押题级别 ★★★★★解：(1)∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ，即2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或－2(舍去)，又0<A <π，∴A ＝π3.由余弦定理，知b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A .又a 2－c 2＝b 2－mbc ，可得cos A ＝m2，∴m ＝1.(2)由余弦定理及a ＝3，A ＝π3，可得3＝b 2＋c 2－bc ，再由基本不等式b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤3，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π3＝34bc ≤334，故△ABC 面积的最大值为334.第3讲 平面向量【高考真题感悟】(2010·天津)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.解析：方法一 设BD ＝a ，则BC ＝3a ，作CE ⊥BA 交BA 的延长线于E ，可知∠DAC ＝∠ACE ，在Rt △ABD 中，sin B ＝1BD ＝1a.在Rt △BEC 中，CE ＝BC·sin B ＝3a·1a ＝3，∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACE ＝3AC.∴AD →·AC →＝|AD →|·|AC →|cos ∠DAC ＝AD·AC·3AC＝ 3.方法二 ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3BD →＝AB →＋3(BA →＋AD →)＝(1－3)AB →＋3AD →∴AC →·AD →＝[(1－3)AB →＋3AD →]·AD →＝(1－3)AB →·AD →＋3AD →2＝ 3.考题分析 本题考查了平面向量的线性运算、平面向量的数量积．若从深层考虑，又考查了平面几何的基本方法，体现了知识与能力的考查．是平面向量考查的一个重要方向．易错提醒 (1)从方法一的角度看，易忽视作辅助线，将问题分解．(2)从方法二的角度看，不能把AC →用AB →、AD →线性表示．(3)忽视AB →·AD →＝0，AD →2＝1这些隐含条件的应用．【热点分类突破】题型一 向量的有关运算问题例1 已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则mn ＝________.解析：方法一 |OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，不妨假设点C 在AB 上，且∠AOC ＝30°.以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，建立直角坐标系，则A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(0，3)，C 点坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，OC →＝mOA →＋nOB → (m ，n ∈R)，所以存在m ＝34，n ＝14使假设成立，此时m n＝3.方法二 由条件|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，可建立以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴的直角坐标系，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)．由OC →＝mOA →＋nOB →，得OC →＝(m ，3n )．又因为∠AOC ＝30°，点C 在∠AOB 内，可得3n m ＝tan 30°＝13，n m ＝13，即mn ＝3.探究提高 (1)由OA →·OB →＝0知OA ⊥OB ，所以建立坐标系是解决此类题目的关键．(2)熟练掌握向量的线性运算等．(3)向量坐标化，使实数运算得以体现．变式训练1如图，已知|OA →|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝4，OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，用OA →，OB →表示OC →，则OC →＝________________.解析：以O 为原点，OA →所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，那么OA →＝(2,0)，OC →＝(23，2)，OB →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，设OC →＝nOA →＋mOB →，即(23，2)＝⎝⎛⎭⎫2n －12m ，32m ，所以23＝2n －12m ，① 2＝32m .②将①②联立解得m ＝n ＝433，所以OC →＝433OA →＋433OB →.题型二 有关向量的平行、垂直问题 例2 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．(1)求|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，ka －b 与a ＋3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ 解：(1)因为a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，故a ＋3b ＝(7,3)，所以|a ＋3b |＝72＋32＝58.(2)据题意，有ka －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7,3)． 因为ka －b 与a ＋3b 平行，所以3(k －2)＋7＝0，解得k ＝－13.此时ka －b ＝⎝⎛⎭⎫－73，－1，a ＋3b ＝(7,3)， 则a ＋3b ＝－3(ka －b )，即此时向量a ＋3b 与ka －b 方向相反．探究提高(1)把向量坐标化，利用向量的坐标进行运算，使实数运算得以体现．(2)注意区别向量共线与向量垂直的坐标运算的不同，混淆两者的运算是丢分的一个重要因素．变式训练2已知点O (0,0)，A (2，1)，B (－2,7)，OP →＝OA →＋12BA →，又OQ →⊥OP →，且|OQ →|＝2，则Q 点的坐标为_______________解析：设Q (x ，y )，P (x 1，y 1)．由OP →＝OA →＋12BA →，得(x 1，y 1)＝(2,1)＋12(4，－6)＝(4，－2)．∵OQ →⊥OP →，且|OQ →|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝0，x 2＋y 2＝4，解得⎩⎨⎧x ＝255，y ＝455或⎩⎨⎧x ＝－255，y ＝－455.∴Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫255，455或⎝⎛⎭⎫－255，－455.题型三 向量与三角函数的综合应用例3 已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(3cos x ，cos x )且b ≠0，定义函数f (x )＝2a ·b －1.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)若a ∥b ，求tan x 的值； (3)若a ⊥b ，求x 的最小正值．思维启迪(1)根据已知求f (x )的解析式，再由三角函数的单调性求f (x )的单调递增区间；(2)由向量平行的充要条件求tan x 的值； (3)a ⊥b ⇒a ·b ＝0，得到关于x 的三角等式，进而求出x 的最小值．解：(1)f (x )＝2a ·b －1＝2(3sin x cos x ＋cos 2x )－1＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6)．由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z.∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6]，k ∈Z.(2)由a ∥b ，得sin x cos x －3cos 2x ＝0，∵b ≠0，∴cos x ≠0. ∴tan x －3＝0，∴tan x ＝ 3. (3)若a ⊥b ，则a ·b ＝0.∴3sin x cos x ＋cos 2x ＝0. ∵b ≠0，∴cos x ≠0.∴3tan x ＋1＝0，即tan x ＝－33. ∴x ＝k π＋5π6，k ∈Z.∴当k ＝0时，x 有最小正值5π6.探究提高向量与三角函数结合是高考命题的一大热点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简化运算过程．变式训练3已知θ为向量a 与b 的夹角，|a |＝2，|b |＝1，关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根．(1)求θ的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋3的最值． 解：(1)由已知条件，可得|a |2＝4，a·b ＝|a |·|b |cos θ＝2cos θ，θ∈[0，π]，∵关于x 的一元二次方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，∴Δ＝|a |2－4a·b ＝4(1－2cos θ)≥0，得cos θ≤12，解得θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π. (2)f (θ)＝2sin θcos θ－23cos 2θ＋3＝sin 2θ－3(2cos 2θ－1)＝sin 2θ－3cos 2θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3， ∵θ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，∴2θ－π3∈⎣⎡⎦⎤π3，5π3， 得sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3∈[－1,1]， ∴当θ＝5π12时，f (x )max ＝2；当θ＝11π12时，f (x )min ＝－2.【规律方法总结】1．利用数量积研究向量的平行和垂直设a ＝2.设〈a ，b 〉＝θ，则cos θ＝a ·b，3.【名师押题我来做】1．已知平面向量|a |＝2，|b |＝1，且(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，则a 与b 的夹角为________． 押题依据 本题主要考查向量的数量积、向量垂直的充要条件等基础知识及运算能力，属于中等偏易题．高考基本上每年都会涉及此类试题，且题型变化不大，大多以基本概念的考查形式命制，所以在备考中掌握基础知识，能熟练运算即可．押题级别 ★★★★★解析：因为(a ＋b )⊥⎝⎛⎭⎫a －52b ，所以a 2－52b 2－32a·b ＝0. 又因为|a |＝2，|b |＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以4－52－32a·b ＝0，所以a·b ＝1.又a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1，所以cos 〈a ，b 〉＝12.又a 与b 的夹角范围为[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.2．已知向量a ＝(2cos α，2)，b ＝(2,2sin α)．(1)若a ⊥b ，求α的取值集合；(2)求|a ＋b |的最大值及相应的α的取值集合． 押题依据 向量的垂直、平行是向量的重点内容，而向量与三角函数综合的题目是高考的一类热点题型．本题主要考查了向量垂直的充要条件，向量模的最值及灵活应用三角公式解决问题的能力，故押此题．押题级别 ★★★★★ 解：(1)由a ⊥b ，得a ·b ＝(2cos α，2)·(2,2sin α)＝4cos α＋4sin α＝0，∴tan α＝－1.∴α＝－π4＋k π，k ∈Z.故α的取值集合为{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z}．(2)由a ＝(2cos α，2)，b ＝(2,2sin α)，得a ＋b ＝(2cos α＋2,2sin α＋2)，∴|a ＋b |＝(2cos α＋2)2＋(2sin α＋2)2＝12＋82sin(α＋π4).当sin(α＋π4)＝1，即α＝π4＋2k π(k ∈Z)时，|a ＋b |取得最大值为22＋2. 故|a ＋b |的最大值为22＋2，相应的α的取值集合为{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z}．。

学而思高中完整讲义：三角函数.板块四.三角函数的综合题.学生版题型一：与三角恒等变换的综合题【例1】 函数2π()sin 24f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是 ．【例2】 设函数()22cos π2cos 32x f x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ，．⑴求()f x 的值域；⑵记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1f B =，1b =，c 求a 的值．【例3】 已知函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围；⑵当tan 2α=时，()35f x =，求m 的值．【例4】 已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；⑵若06()5f x =，0ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos2x 的值．【例5】 已知函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示．⑴求,ωϕ的值；⑵设()()4πg x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间．【例6】 已知函数()22sin 2sin cos cos f x x a x x x b =+⋅++02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[,2]，求a 、b 的值．【例7】 已知函数21cos cos 12y x x x =⋅+，R x ∈．（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例8】 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中0A >，0ω>，22ππϕ-<<），其部分图象如图所示． ⑴求()f x 的解析式； ⑵求函数()44ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值．【例9】 已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,13π⎛⎫⎪⎝⎭．⑴求实数a 、b 的值；⑵若0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值及此时x 的值．【例10】 设函数1()cos cos sin 22πf x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期； ⑵当0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例11】 已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．【例12】 已知函数22()2sin cos sin cos ()2222R x x x xf x a a =+-∈⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式；⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos 21sin 2xx+的值．题型二：与二次函数的综合题【例13】 已知4πx ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值【例14】 求函数222sin cos y x x =--的最大值和最小值。

三角函数求w类型及三角换元应用归类目录题型01平移型求w题型02单调区间及单调性求w题型03对称中心(零点)求w题型04对称轴型求w题型05对称轴及单调性型求w题型06“临轴”型求w题型07“临心”型求w题型08区间内有“心”型求w题型09区间内无“心”型求w题型10区间内最值点型求w题型11多可能性分析型求w题型12三角应用：三角双换元题型13三角应用：无理根号型题型14三角应用：圆代换型题型15三角应用：向量型换元高考练场题型01平移型求w【解题攻略】平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出ω值或者范围。

1(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2ωxω>0，将y=f x 的图像向右平移π4个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则ω的最小值等于()A.2B.4C.6D.82(2022·全国·高三专题练习)将函数f(x)=12sinωx+π6+2(ω>0)的图像向右平移π3个单位长度后与原函数图像重合，则实数ω的最小值是()A.2B.3C.6D.9【变式训练】1(2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试)将函数y=tanωx-1ω>0的图像向左平移2个单位长度后，与函数y=tanωx+3的图象重合，则ω的最小值等于()A.2-π2B.1C.π-2D.22(2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模)将函数f x =sinωx+π6(ω> 0)的图象向右平移π3个单位长度后与函数g x =cosωx的图象重合，则ω的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.53(2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)将f(x)=sinωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g(x)=cosωx的图象重合，则ω的最小值为()A.14B.12C.34D.32题型02单调区间及单调性求w【解题攻略】正弦函数在每一个闭区间2kπ-π2,2kπ+π2(k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间2kπ+π2,2kπ+3π2(k∈Z)上都单调递减余弦函数在每一个闭区间[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上都单调递减1(上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题)设ω>0，若函数f(x)=2sinωx在-π3,π4上单调递增，则ω的取值范围是2(广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，且f 3π8 =1，f x 在区间-3π8,-π4上单调，则ω的值为.【变式训练】1函数f x =A sin ωx +φ A >0,ω>0 ,若f x 在区间0,π2上是单调函数,且f -π =f 0 =-f π2则ω的值为()A.23B.23或2 C.13D.1或132若函数f (x )=4sin ωx ⋅sin 2π4+ωx 2+cos2ωx (ω>0)在-π2,2π3 上是增函数，则ω的取值范围是.3(2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C 卷)若函数f x =sin ωx +π3ω>1 在区间π,54π上单调递减，则实数ω的取值范围是.题型03对称中心(零点)求w【解题攻略】正弦函数对称中心(k π，0)(k ∈Z )余弦函数对称中心π2+k π，0 (k ∈Z )正切函数对称中心k π2，0 (k ∈Z )1(2023·全国·高三专题练习)设函数f (x )=2tan ωx -π6(ω>0)的图象的一个对称中心为π6,0 ，则f x 的一个最小正周期是()A.π2B.π13C.2π13D.2π72(2022秋·重庆·高三统考期中)若存在实数φ∈-π2，0 ，使得函数y =sin ωx +π6 (ω>0)的图象的一个对称中心为φ，0 ，则ω的取值范围为()A.13，+∞ B.13，1C.13，+∞D.1，43【变式训练】1(2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知f x =2tan ωx +φ ω>0,φ <π2,f 0 =233，周期T ∈π4,3π4 ,π6,0 是f x 的对称中心，则f π3的值为()A.-3B.3C.233D.-2332(2022秋·高三课时练习)已知函数f x =A cos ωx -3sin ωx ω>0 的部分图象如图，f x 的对称中心是k π2+π6,0k ∈Z ，则f π3=()A.23B.-23C.3D.-33(2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习)设函数f x =2tan ωx -π3ω>0 的图象的一个对称中心为π6,0，则f x 的一个最小正周期是()A.π3B.π4C.π5D.2π5题型04对称轴型求w【解题攻略】正弦函数对称轴x =π2+2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =-π2+2k π(k ∈Z )时，y min =-1余弦函数对称轴x =2k π(k ∈Z )时，y max =1；x =2k π+π(k ∈Z )时，y min =-11(2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习)已知函数f (x )=A cos ωx -3sin ωx (ω>0)的部分图象如图，y =f x 的对称轴方程为x =5π12+k π2k ∈Z ，则f 0 =()A.3B.2C.32D.12(2022·全国·高三专题练习)若x =π3是函数f x =cos ωx ω≠0 图象的对称轴，则f x 的最小正周期的最大值是()A.π6B.π3C.π2D.2π3【变式训练】1(2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习)已知函数y =sin x +a cos x 的图像关于x =π3对称，则函数y =a sin x +cos x 的图像的一条对称轴是()A.x =5π6B.x =2π3C.x =π3D.x =π62(“超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷数学试题)已知向量a=(sin ωx ,cos ωx ),b =(1,-1)，函数f (x )=a ⋅b ，且ω>12,x ∈R ，若f (x )的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是()A.712,1516 ∪1312,1916B.712,1116 ∪1112,1516C.12,712∪1112,1916D.12,1116∪1112,15163已知向量a =sin ωx ,cos ωx ,b =1,-1 ，函数f x =a ⋅b ，且ω>12,ω∈R ，若f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间3π，4π ，则ω的取值范围是A.712,，1516 ∪1312，1916 B.712,，1116 ∪1112，1516C.12，712∪1112，1916D.12，1116∪1112，1516题型05对称轴及单调性型求w1(2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 (ω>0)，对任意的x ∈R ，都有f (x +1)=f (-x )，且f (x )在区间-π4,π12上单调，则ω的值为.2(2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学(二)试题)已知函数y =sin (ωx +φ)(ω>0,φ∈(0,2π))的一条对称轴为x =-π6，且f (x )在π,4π3上单调，则ω的最大值为()A.52B.3C.72D.83【变式训练】1(四川省成都市新都区2020-2021学年高三诊断测试数学试题)已知函数f x =2sin ωx +φ ω>0 满足f π4=2，f π =0，且f x 在区间π4,π3 上单调，则ω的最大值为．2(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin ωx (ω>0)在-π6，π4上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为x =3π4，则ω的值可能是() A.13B.23C.1D.433(2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测)若直线x =π4是曲线y =sin ωx -π4(ω>0)的一条对称轴，且函数y =sin ωx -π4 在区间0，π12 上不单调，则ω的最小值为()A.9B.7C.11D.3题型06“临轴”型求w【解题攻略】若f x =A sin ωx +φ A ≠0,ω≠0 的图像关于直线x =x 0对称,则f x 0 =A 或f x 0 =-A .1(2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试)已知函数y =A sin ωx +φ +m A >0,ω>0,φ <π2的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为π2，直线x =π6是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是()A.y =4sin x +π6 B.y =2sin 2x +π6+2C.y =2sin 2x +π3+2 D.y =2sin x +π3+22(2023秋·高三课时练习)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0,φ ≤π2 ，x =-π8是函数f x 的一个零点，x =π8是函数f x 的一条对称轴，若f x 在区间π5,π4上单调，则ω的最大值是()A.14B.16C.18D.20【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)已知x =π3，x =π是函数f x =sin ωx +φ ω>0,π2<φ<3π2 图象上两条相邻的对称轴，则φ=()A.πB.3π4C.2π3D.π32(2023春·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =sin ωx +23cos 2ωx2-3ω>0 ，且f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2.若将函数f (x )的图象向右平移π3个单位后得到g (x )的图象，且当x ∈0,π4时，不等式2m 2-m ≥g x 恒成立，则m 的取值范围为()A.-∞,-1 ∪12,+∞ B.-∞,-12∪1,+∞ C.-∞,1-174 ∪1+174,+∞ D.-∞,0 ∪12,+∞3(2023春·四川成都·高三校联考阶段练习)已知直线x =x 1,x =x 2是函数f x =sin ωx +π6,(ω>0)图象的任意两条对称轴，且x 1-x 2 的最小值为π2，则f x 的单调递增区间是()A.k π+π6,k π+2π3,k ∈Z B.k π-π3,k π+π6,k ∈ZC.2kπ+π3,2kπ+4π3,k∈Z D.2kπ-π12,2kπ+5π12,k∈Z 题型07“临心”型求w【解题攻略】函数y=A sinωx+φ+B(A>0,ω>0)的性质：(1)y max=A+B，y min=A-B.(2)周期T=2πω.(3)由ωx+φ=π2+kπk∈Z求对称轴，由ωx+φ=kπk∈Z求对称中心.(4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπk∈Z求增区间；由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπk∈Z求减区间.1(2023春·广东珠海·高三校考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习)函数f x =A sinωx+φ+1，A>0,ω>0,φ <π2的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，且f x 的图象关于直线x=π12对称，则下列判断正确的是()A.函数y=f x 在-π6,π3上单调递减B.将f x 图象向右平移π3个单位与原图象重合C.函数y=f x 图象关于点-π6,0对称D.函数y=f x 的图象关于直线x=-5π12对称【变式训练】1(2023下·河南焦作·高三统考)已知函数f x =sinωx+cosωxω>0的图象的一个对称中心的横坐标在区间π4,π2内，且两个相邻对称中心之间的距离大于π3，则ω的取值范围为()A.0,3B.32,3C.0,32D.1,32(2023·云南红河·统考二模)已知函数f x =3tan ωx 2+π3(ω>0)的图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4，则ω=()A.2B.4C.8D.163(2021上·四川雅安·高三统考期末)已知函数f (x )=tan (ωx +φ)ω≠0,φ <π2，点2π3,0 和7π6,0 是其相邻的两个对称中心，且在区间5π6,4π3 内单调递减，则φ=()A.π6B.-π6C.π3D.-π3题型08区间内有“心”型求w【解题攻略】求w 的表达式时，wx +φ=k 1π(k 1∈z )中不要把k 1写成k ,因为后面还有一个k , wx +φ=k 2π(k 2∈z )中不要把k 2写成k ，否则不好研究w 的最小值.它们本身就不一定相等.1(天津市部分区2020届高考二模数学试题)若函数f (x )=cos (2x +φ)(0<φ<π)在区间-π6,π6 上单调递减，且在区间0,π6 上存在零点，则ϕ的取值范围是()A.π6,π2B.2π3，5π6C.π2,2π3D.π3，π22(2021春•商洛)已知函数f (x )=sin ωx 2+π14sin 3π7-ωx2(ω>0)在[0，π)上恰有6个零点，则ω的取值范围是()A.417,487B.347,417C.417,487D.347,417【变式训练】1(2022•湖北模拟)已知函数f (x )=cos ωx -π3 -12(ω>0)在区间[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是．2(云南省2020届高三适应性考试数学试题)若函数f x =2sin ωx +φ ω>0，π2<φ<π 图象过点0,3 ，f x 在0,π 上有且只有两个零点，则ω的最值情况为()A.最小值为13，最大值为43B.无最小值，最大值为43C.无最小值，最大值为73D.最小值为13，最大值为733(2021年全国高考甲卷数学(理)试题变式题16-20题)设函数f x =2sin ωx +φ -1(ω>0)，若对于任意实数φ，f x 在区间π4,3π4上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是．题型09区间内无“心”型求w【解题攻略】无“心”型求w ，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.1已知函数f x =sin2ωx -2cos 2ωx +1ω>0 ,x ∈R ，若函数f x 在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围为.2(天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +π6 sin ωx +2π3(ω>0)，(x ∈R )，若f (x )在区间π2,π内没有零点，则ω的取值范围是.【变式训练】1函数f (x )=sin ωx -12+cos 2ωx 2，且ω>12，x ∈R ，若f (x )的图像在x ∈(3π，4π)内与x 轴无交点，则ω的取值范围是.2(2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)将函数f x =sin x 的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,13(2022·全国·高三专题练习)将函数f x =cos x 的图象先向右平移56π个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g x 的图象，若函数g x 在π2,3π2 上没有零点，则ω的取值范围是()A.0,29 ∪23,89B.0,89C.0,29 ∪89,1D.0,1题型10区间内最值点型求w【解题攻略】极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。

专题：三角函数与解三角形一、 考试内容1. 任意角的三角函数；同角三角函数的基本关系式；正眩、余眩的诱导公式。

2. 两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角公式。

3. 正弦、余弦和正切函数的图像和性质；函数的奇偶性；函数尸Asin(sx+0)的图像；4. 正弦定理；余弦定理；利用正弦定理、余弦定理解三角形。

二、 常见的考题类型、高考命题趋势常见考题类型(1) 考查三角函数的图像和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图像变换、特征分析(对 称轴、对称屮心)等。

(2) 考查三角函数式的恒等变换，如利用有关公式求值和简单的综合问题等。

考点一：同角三角函数的关系【内容解读】同角三角函数的关系有平方关系和商数关系，在解题时要注意sin 26Z + cos 2£Z = l,这 是一个隐含条件，在解题时要经常能想到它。

利用同角的三角函数关系求解时，注意角所在象限，看是 否需要分类讨论。

【命题规律】在高考中，同角的三角函数的关系，一般以选择题和填空题为主，结合坐标系分类讨 论是关键。

例1、(全国)Q 是第四象限角，tan<7 = 一~ ,贝ijsino=()121 15 5 A ・一B. -----C.—D.551313点评：由正切值求正弦值或余眩值， sin OL用到同角二角函数公式：tana-,同样要能想到隐含C0S6Z条件：sin 2 6T +cos 2 <7 = 1 o例 2、(浙江)若 cos (7 + 2sin = - V5, W'J tan a =( )(A)丄(B) 2(C) 一丄(D) -222点评：对于给出正弦与余弦的关系式的试题，要能想到隐含条件：sin 26r + cos 2a = l,与它联系成 方程组，解方程组来求解。

练习 1、［2012 辽宁文】已•知sina-cosQ = A/^ ,(0,兀)，贝ijsin 2a =( )亠卄 sina + cosG 1 练习3、若 ------------ =-(A) -1(C)T(D) 1练习2、(重庆)若COSG =，且1疋(龙,乎)，贝0 tan cz 贝I 」tan a =(sina-cosG 2考点二：诱导公式与二倍角公式【命题规律】诱导公式的考查，一般是填空题或选择题，有时会计算特殊角的三角两数值，也有些 大题用到诱导公式。