工程数学《复变函数》(第四版)课件 1-6 西安交大

2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4

于是 z1z2 z1 z2
Argz1z2 Argz1 Argz2 （两个数集相同）
指数形式：z1 r1e i1 z2 r2e i 2 则
1
几何意义：
从几何上看, 两复数对应的向量分别为
z1 ,
z2 ,
先把 z1 按逆时针方向旋转一个角 2 ，再把它的模扩大到 r2倍
• 当 z2 =1 时，乘法变成了旋转。
12
§5 复变函数
1.定义
设G是一个复数 z x iy 的集合. 如果有一个确定的法则
存在，对于集合G 中的每一个复数z ，就有一个或几个复数
w u iv与之对应，那么称 w是z的函数，记为 w f z
单值的 多值的 定义集合 函数值集合
• 复变函数 w = f (z)可以看做一元函数来研究，也可以
10
简单曲线或若尔当（Jardan）曲线: 没有重点的连续曲线
简单闭曲线： za zb的简单曲线
重点
不简单、不闭
z a
zb
例
简单、闭
简单、不闭
不简单、闭
11
单连通域：复平面上的一个区域B，如果在其中任作一条 简单闭曲线，而曲线的内部总属于B 。
多连通域：非单连通域。
多连通域
单连通域
多连通域
简单说，单连通域为无洞区域，多连通域为有洞区域
x x(t)
y
, y(t)
t
[a,
b]
则由
u v
u(x, y) v(x, y)
得 C的参数方程
u u[x(t), y(t)] u(t)
v
v[x(t),
y(t)]
v(t)
15
例 函数 w 1 把z平面上的曲线 x 1, ( x 1)2 y2 1 z

e iw + e − iw 得 e 2 iw − 2 ze iw + 1 = 0, , 由 z = cos w = 2
方程的根为 e iw = z + z 2 − 1, 两端取对数得
Arccos z = −iLn(z + z2 − 1).
同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式:
e +e cos iy = = ch y 2 −y y e −e sin iy = = i sh y 2i
y
−y
所以
cos(x + iy) = cos x ch y − i sin x sh y, sin( x + iy) = sin x ch y + i cos x sh y.
iii)公式
cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 sin( z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 sin 2 z + cos2 z =1
由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy. 但当z为纯虚数iy时, 我们有
Ln( z1z2 ) = Ln z1 + Ln z2 z1 Ln = Ln z1 − Ln z2 z2
ii)对数函数的解析性. 就主值ln z而言, 其中ln|z|除原点外在其它 点都是连续的, 而arg z在原点与负实轴上都不 连续. 因为若设z=x+iy, 则当z<0时,
y→0
lim− arg z = −π , lim+ arg z =π .

19
2. 幂函数的解析性
(1) 幂函数 z 在复平面内是单值解析 的,
n
n1 ( z ) nz .
n
( 2) 幂函数 z 是多值函数, 具有n个分支.
1 n
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 1 1 1 Ln z 1 n 1 n z z en zn . n
20
1 (3) 幂函数 w z ( 除去 b n 与 两种情况外) n 也是一个多值函数 ,
b
当 b 为无理数或复数时 , 是无穷多值的 .
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的,
( z b ) bz b1 .
21
四、三角函数和双曲函数
1. 三角函数的定义
因为 e iy cos y i sin y,
将两式相加与相减, 得
e iy cos y i sin y,
e iy e iy cos y , 2
数取复值的情况.
e iy e iy sin y . 2i
现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变
22
e iz e iz 我们定义余弦函数为 cos z , 2 e iz e iz 正弦函数为 sinz . 2
指数函数exp z 可以用e 来表示. e z e x (cos y i sin y )
z
注意 e z 没有幂的意义, 只是代替 exp z 的符号.
3
根据加法定理, 可以推出exp z 的周期性, exp z 的周期是2ki ,
即 e z 2 ki e z e 2 ki e z . (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 e x所没有的.