西安交大版复变函数第一章课件

1.1 复数的代数形式的定义: 满足：i2=-1
对于∀ x, y ∈ R, 称 z = x + yi或 z = x + iy 为复数.
实部 记做：Rez=x
虚部 记做：Imz=x
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数;
当 y = 0 时, z = x + 0i, 我们把它看作实数 x.
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1.4 极坐标表示（三角表示） y
复数 z = x + iy 可以用复平
y
z = x + iy
z = (x, y)
面上的点向量oz 表示.
uur
o
x
x
z = x + iy ⇔ 向量oz ⇔（r,θ）
x = r cosθ y = r sinθ z = r(cosθ + i sinθ )
1.5 指数表示
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关于 ∞ 的四则运算规定如下 :
(1) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞, (α ≠ ∞)
(2) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞, (α ≠ ∞)
(3) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅α = ∞, (α ≠ 0)
(4)除法 :
α ∞
=
0,
∞ α
=
∞,
(α
≠
∞),Biblioteka α = ∞,(α ≠ 0) 0
用来表示复数 , 通常把横轴叫实轴或 x 轴, 纵轴
叫虚轴或 y 轴. 这种用来表示复数的平 面叫复平
面.
复数的向量表示法
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点 ( x, y) 表示 .
y z = x + iy
y
z = (x, y)
复数 z = x + iy 可以用复平
面上的点向量oz 表示.
由欧拉公式：eiθ = cosθ + i sinθ
z = reiθ
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1.6 复球面表示
(1) 南极、北极的定义
取一张复平面
再做一个与复平面切于原点 z = 0 的球面,
通过 O 作垂直于复平面的
N
直线与球面相交于另一点 N ,
我们称 N 为北极,
与北极N对应的O称为
南极,也可用 S表示.
z
OS
y
特别当x = 0, y = 0 时, 0 = 0 + 0i.
当 x = 0, y ≠ 0 时, z = iy 称为纯虚数;
C = {z | z = x + iy, x, y ∈ R}称为为复数集
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1.2 复平面表示
复数 z = x + iy 与有序实数对 ( x, y) 成一一
对应. 因此, 一个建立了直角坐标系 的平面可以
i7 = i4 ⋅ i3 = −i; ……
一般地，如果 n是正整数, 则
i4n = 1, i4n+1 = i, i4n+2 = −1, i4n+3 = −i.
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复数的Hamilton(代数对）形式的定义
1835年， Hamilton给出如下定义： 称一个有序数对z=(x,y)为一个复数。其中
x,y为实数。 要注意，因为复数是“有序数对”，所以一般地
课程要求
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§1.1 复数
1、复数的概念 2、复数的各种表示方法 3、复数的运算
1、复数的概念
实例 : 方程 x2 = −1在实数集中无解. 为了解方程的需要, 引入一个新数 i,
称为虚数单位. 对虚数单位的规定: (1) i2 = −1; (2) i 可以与实数在一起按同样的法则进行
四则运算.
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虚数单位的特性:
i1 = i;
i2 = −1;
i3 = i ⋅ i2 = −i;
i4 = i 2 ⋅ i 2 = 1;
i5 = i4 ⋅ i1 = i;
i6 = i4 ⋅ i 2 = −1; i8 = i4 ⋅ i4 = 1;
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例1 实数m取何值时, 复数 (m2 − 3m − 4) + (m2 − 5m − 6)i 是(1)实数; (2)纯虚数. 解 令 x = m2 − 3m − 4, y = m2 − 5m − 6, (1) 如果复数是实数 , 则y = 0,
由m2 − 5m − 6 = 0知m = 6或m = −1. (2) 如果复数是纯虚数 , 则x = 0且y ≠ 0,
由m2 − 3m − 4 = 0知m = 4或m = −1. 但由y ≠ 0知m = −1应舍去. 即只有m = 4.
x 无穷多幅角，θ1是其中一个，则
Argz = θ1 + 2kπ
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幅角θ：Argz = θ
若 − π < θ0 ≤ π , θ0为Argz的主值，记为θ0 = arg z z = 0时，幅角不确定
arg
z
=
arctg
±
π 2
y x
arctg
y
±π
x
π
x > 0, y任意
x = 0, y任意 z ≠ 0 x < 0, y任意 x < 0, y = 0
P(z)
z
这个假想的 点称为“复
OS
z
x
数无穷远
x
点” 记作 ∞. 因而球面上的北极 N 就是复数∞的几何表示.
复平面加上 ∞后称为扩充复平面，记作C∞
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包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数¥来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
（x,y) ≠（y,x) 。 (x,y)=x+iy 实部 Rez=x 虚部：Imz=y 虚单位 (0,1)=i 数零0=(0,0)=0+0i
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实数 x =(x,0) = x+i⋅0
复数虚数非纯纯虚虚数数zz==(0(,xy,)y)==0x++i⋅iy⋅(yy
≠ 0) (x ≠
0,
y
≠
0)
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2、复数的各种表示法 i-虚单位
x
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(2) 复球面的定义
球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数.
N
用来表示复
数的这个球面称 为复球面.
全体复数与 复球面-{N}成一 一对应关系.
P(z)
z
OS
z
x
x
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(3) 扩充复平面的定义
N
我们规定: 北极 N与一个模为无 穷大的假想的 点对应
o
x
x
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1.3 向量表示
复数 z = x + iy 可以用复平 面上的点向量oz 表示.
uur z = x + iy ⇔ 向量oz
y z = x + iy
y
z = (x, y)
o
x
x
(1) z = r = x2 + y2 x ≤ z y ≤ z z ≤ x + y
(2) 幅角θ：Argz = θ tg( Argz) = y