西安交大复变函数课件3-5柯西积分公式.

π
π
2i π ecos cos(sin )d π ecos sin(sin )d
0
π
因为 ez dz 2π i,
z 1 z
ez
dz 2i
π ecos cos(sin )d
π ecos sin(sin )d
z 1 z
0
π
比较两式得 π ecos cos(sin )d π . 0
第二页，共19页。
2
积分曲线 C 取作以 z0 为中心, 半径为很小的 的正向圆周 z z0 ,
由 f (z)的连续性,
在 C 上函数 f (z)的值将随着 的缩小而逐渐
接近于它在圆心 z0 处的值,
C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
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14
课堂练习
计算积分
ez z 3 z(z2 1) dz.
答案 有三个奇点 z 0, z 1, z 1
z
3
ez z(z2
dz 1)
i(e
e 1
2).
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15
四、小结与思考
柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西–古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在
边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函
数的重要工具.
柯西积分公式:
f (z0 )
1 2i
f (z) dz. C z z0
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16
思考题
柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推 广到无界区域中?

2! f (z) 可得 f ( z0 ) 3 dz . C 2i ( z z0 )
17
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证 n! f (z) ( n) f ( z0 ) dz . n 1 2i C ( z z0 )
[证毕]
z
1
ez 2 (z i) 2 dz (z i)
i
C1
y
i
2i e (1 i )e , 2 ( 2 1)! ( z i ) 2
z i

C
x
o
C2
i
22
同理可得 于是
C
2
e (1 i )e i , 2 2 dz ( z 1) 2
则 0, ( ) 0,
C
z0
D
2
当 z z0 时,
f ( z ) f ( z0 ) .
设以 z0 为中心, 半径为 R ( R ) 的正向圆周K : z z0 R全在 D内,
1 f (z) 则 | dz f ( z0 ) | C 2i z z0 1 f (z) 1 f ( z0 ) | dz dz | K K 2i z z0 2i z z0 1 f ( z ) f ( z0 ) | K dz | 2 z z0
C
z0 R
K
D
3
f ( z ) f ( z0 ) 1 ds K 2 z z0


2πR
K ds .
所以:
1 f (z) | dz f ( z0 ) | 0 C 2i z z0
[证毕]
1 f (z) f ( z0 ) dz 柯西积分公式 C 2i z z0

显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为 任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法 分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f

⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4



ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

1 的不解析点 z 2 , z 4
2
在 z 3 内，分别作圆周
C1 : z 2
1 1 , C2 : z 2 , 2 2
由复合闭路原理及柯西积分公式
5

1 1 1 dz dz dz 2 2 z 3 z 4 C1 z 4 C2 z 4

z dz . z 2 (9 z )( z i )
2
解
(1) 令 f ( z )
z 9 z2
则 f ( z ) 在闭圆盘 z 2 上解析，
函数
f (z) 在 z 2 上只有不解析点 z i . zi
4
由柯西积分公式与复合闭路定理知
z z 9 z 2 dz dz z 2 (9 z 2 )( z i ) z 2 z ( i ) z 9 z 2 dz 【此步可以不写】 z ( i )

2
0
f ( z0 R ei ) d ，故结论成立.
【推论 2】 设 f ( z ) 在由简单闭曲线 C1 、 C 2 所围成的二 连域 D 内解析， C 2 在 C1 的内部， f ( z ) 在
上连续； z0 为 D 内一点，则 D D C1 C 2
f ( z0 )
作业： P100 7(1) (8);8(1),(2)*,(3),(4),(5)* （第三章习题）
9
§3.5 独立作业:
计算下列积分 （1）

z 2
3z 2 z dz ;（2） dz ； 2 z 2 (5 z )( z i ) zi
（3）
cos z ez ； （4） dz z 1 z z 2 z i dz .

a 2 b2 1 ab x x 2 1
解得 a x, 所以
b x2 1
1 2ix x 2 1 ( x i x 2 1)
西安交通大学
例3.证明 | z1 z2 |2 | z1 z2 |2 2(| z1 |2 | z2 |2 ), 并说明几何意义 证：| z1 z2 |2 ( z1 z2 )( z1 z2 )
y Im( z )
所以，2）的方程为
Im( z ) 5
z z 10i 0
zz zz ,y 方程较复杂时，一般用： x 2 2i
西安交通大学
例6 说明下列方程所表示的平面图形.
1. z 2i z 2 2. z 1, Im z 0
解：
1. z 2i z 2
再将模变到原来的r2倍
y
r1r2
z1 z2
r2
2
z2 1 2
r1 z1
1 2
o
1
x
西安交通大学
类似得
z1 r1 i (1 2 ) e . z2 r2
从而
两个复数商的模等于它们模的商； 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.
西安交通大学
2）复数的乘幂与方根 n次幂
z r e z .z ...z
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
18世纪： 1. 欧拉（L.Euler）建立复数理论，

柯西积分定理如果被积函数在d内有奇点sin微分方程物理问题天体力学柯西积分公式拉格朗日级数如果在区域内处处解析定理311柯西积分公式将接近于随着减小三典型例题sin在复平面上处处解析是被积函数在内唯一奇点sin原式四小结
§3.3 柯西积分公式
数学系 樊晓香
一、问题的提出
回顾：柯西积分定理
若f z在闭域D上解析， C为D的边界，则
二、柯西积分公式
定理3.11 (柯西积分公式) 如果f z在区域D内处处解析，
C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，
z0为C内的任一点，则
1 f (z)
f (z0 ) 2 π i
dz C z z0
D
C
z0
---解析函数可用复积分表示。
或
C
f (z) z z0
在C
内部唯一的奇点。
如果被积函数 F z在C 内部有两个及两个以上奇点时，
就不能直接应用柯西积分公式.
先找 C 内唯一的奇点，再找解析函数 f z
五、布置作业
课本 P143 10,12.
补充题：
计算积分
ez dz,C : z r (r 1, 2)
C z(z 1)(z 2)
d z=2 πi
f (z0 )
---复积分的重要计算公式。
分析：函数 f (z)在 K 上 的值将随 着 的缩小而逐渐接近于
它在圆心 z0 处的值,
C Kz0
D
f (z) dz将接近于 f (z0 ) dz (随着 减小)
K z z0
K z z0
而
K
f (z0 ) dz z z0
C f z dz 0

复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2

C
f( z
z) z0
dz
将接近于
C
f (z0 )dz. z z0
( 缩小)
C
f (z0 )dz z z0
f (z0 ) C
z
1 z0
dz
2if
( z0
).
二、柯西积分公式
定理
如果 f(z) 在区域 D 内处处解析,C 为 D
的边界曲线（正向简单闭）, z0 为 C 内任一点,
f(z0 )
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
复习：柯西－古萨基本定理
设曲线 C 是单连通区域 B 的边界 f(z)在B上解析
B
C
c f(z)dz 0.
问题：设z0是B内的一点, 求C
f(z) dz z z0
z0
C
B
分析：
如果
f
(z) 在 B内解析, 那末
R K
ds
2π .
上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就
可以任意小,
根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,
所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.
f
(z0 )
1 2i
f (z) dz
C z z0
柯西积分公式
[证毕]
关于柯西积分公式的说明:
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
1 2i sin z
2i
z0
0;
(2)
z
4
z
1
1
z
2
3
dz.
1 dz
2 dz 2i 1 2i 2

2π (cos n i sin n )d
0
0;
所以
z z0
r
(z

1 z0
)n1
dz

2i, 0,
n 0, n 0.
结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.
20
三、积分的性质
复积分与实变函数的定积分有类似的性质.
(1) f (z)dz f (z)dz;

{u[x(t), y(t)]x(t) v[x(t), y(t)]y(t)}dt

i {v[x(t), y(t)]x(t) u[x(t), y(t)]y(t)}dt



{u[
x(t
),
y(t
)]

iv[
x(t
),
y(t
)]}{x(t
)

iy(t )}dt


由f (z) ux ivx vy iuy在 D 内连续,可知
ux，vx，vy，uy在 D 内连续 由f (z) 在 D 内解析，可知 uy vx，vy ux
f (z)dz 0 c
G (vx uy )dxdy 0 G (ux vy )dxdy 0
k 1
10
由于f (z)在C上连续，从而 u, v 在C上连续,
且
0 时,
有max 1k n
xk
0, max 1k n
yk
0
于是下式右端极限存在,且有
n
n
f ( k )zk [u(k ,k )xk v(k ,k )yk ]
k 1
k 1
n
3) C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy.

2
sin z 4 z 是D内的一个点, C是任意一条含 z 在内部区域
0
定理2.5 设f (z)是单连通区域D上的解析函数 ,
sin
z
0
1 f (z) 2 f ( z0 ) dz . C 2πi z z0
z 1
sin z 2 4 i. 2i 2 z 1
f
(n)
n! f (z) ( z0 ) dz n 1 2πi C ( z z0 )
( n 1,2,3,),
z0
高阶导数公式
C
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f ( n ) ( z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一
确定。
说明:
f (z) dz 3) 高阶导数公式的应用: 可求积分 n 1 ( z z0 ) C
柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理 设B为单连通域，则 f (z)在B内解析 Morera定理
C
C
f ( z )dz 0, C为 B内任何一条闭曲线。
则 f (z)在B内解析 。
设B为单连通域， 如f (z)在B内连续， 且对 B内任
何一条简单闭曲线C, 有
f ( z )dz 0,
典型例题
例4. 计算积分
zi
1 1 z z 2 1 dz. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2


解 由 Cauchy积分公式 ,
1 f (z) 1 , C是任意一条含 1 z( z i ) z0 是D内的一个点 z0 在内部区域 2 z0 i , z ( z(或可求长 1) ) Jordan z ( z曲线 ,i则 )( z i ) zi 的分段光滑

解析函数的无穷可微性
定理3.11 设 D 是一个有界区域，其边界为 C C 是一条围线；当 D 为 （当 D为单连通区域时， C 就是一条复合闭路），如果函 多连通区域时， 数 f (z ) 在 D内解析，在闭区域 D D C 上连续， 则 f (z ) 在区域 D内有任意阶导数，且
f
(n)
1 例 计算复积分 z 3 z 2 4 dz 1 解 因为 z 2 4 的不解析点为 z 2 {z | z 3}，于是， 在 z 3内，我们分别以 z 2为心，1 为半径作
2
1 1 圆周 C 1 : z 2 和C 2 : z 2 2 2
由复合闭路原理及柯西积分公式

例如
C
f ( z) 2 i ( n ) dz f (a) n 1 ( z a) n!
1 2 i |z a|1 ( z a)3 dz 2! (1) '' |z a 0
例
cos z 计算 dz 5 | z| 2 ( z 1)
解：
cos z |z|2 ( z 1)5 dz (cos z ) 2 i 4! 5 i 12
第三节 柯西积分公式
本节，我们先介绍解析函数在区域内的取值用 它在区域边界上的取值表示的一个公式， 即柯西积分公式，然后，用柯西积分公式作为 工具来研究解析函数的无穷可微性，最后再给 出几个重要的结论．
定理3.10 设 D 是一个有界区域，其边界为 C C 是一条围线；当 D 为 （当 D为单连通区域时， C 就是一条复合闭路），如果函 多连通区域时， 数 f (z ) 在 D 内解析，在闭区域 D D C 上连续， 则对任意 z D ，总有
1 lim 0 z P ( z )