复变函数 复习课件 西安交大第四版共81页文档

消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o

x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.

---级数的部分和
▪ 若z0 D ln i m sn (z0 ) s(z0 ),称 级 数(1)在z0收 敛, 其 和 为s(z0 ), ln i m sn (z0 )不 存 在 ， 称 级 数(1)在z0发 散 。
且
u u ( ) ( )
y y x x
v x
dx
v y
dy
u y
dx
u x
dy
v
d v(
x,
y)
( x, y)
u
u
v(x, y)
( dx dy) c ()
y ( x0 , y0 )
x
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v u v u 满 足C R方 程. x y y x
u iv在D内 解 析.
n0 n! n0 n!
n0 n!
(3)
n1
(1)n
收
敛
，
n
n1
1 2n
收
敛
，
n1
(
(1)n n
i 2n
)收 敛.
又 (1)n 条 件收 敛，原 级数 非 绝对 收 敛. n1 n
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例3
讨论
z
n
的
敛散性。
n0 n!
解
令 z r,
zn
rn er
n0 n! n0 n!
1. 复数列的极限 2. 级数的概念
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1. 复数列的极限
定义 设复数列{：n}(n 1,2,),其中n＝an ibn,
又设复常数： a ib，
若 0, N 0, n N , 恒 有n ，
那 么称 为 复 数 列{n }当n 时 的 极 限 ，
记

z1 z2 z2 z1
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3
z1 ( z2 z3 ) = ( z1 z2 ) z3
分配律
z1 ( z2 + z3 ) = z1 z2 + z2 z3
9
⑤ 设 z x iy, 定义 z的共轭复数z x iy. 共轭复数的性质： i) ii)
x x1 t x 2 x1 y y1 t y 2 y1
t
∴它的复数形式的参数方程为
z x yi z1 t z2 z1 t
由z1 到 z 2 直线段的参数方程为
20
z1 z 2 1 特别地，取 t , 则线段 z1 z2 的中点为 z 2 2
z1 5 5i 3 4i 5 5i 3 4i 3 4i z 2 3 4i
z1 求 与 z2
z1 z 2
25 1 3i z , 求 Rez , Im z 与 zz . 例2 设 i 1 i
复 变 函 数
教师： 赵璐 邮箱：zhaolu.nan@
课程介绍
• 研究对象：复变函数（自变量为复数的函数） • 主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，
具体地就是复数域上的微积分。
· 学习方法：复变函数中许多概念、理论、和方
法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之 间有许多相似之处，但又有不同之点，在学习中 要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的 那些性质与结果。
x1 x2 y1 y2 i x2 y1 x1 y2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 2 x1 x2 y1 y2 2 Rez1 z2

显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
︵︵
D
︵
E
︵
︵ ︵ AEBBEAA AEB BB BEA AA,
︵
︵
AAFBBFA AA AFB BB BFA,
22
2 不定积分 f z 的原函数的一般表达式 F z C（其中C为 任意常数），称为 f z 的不定积分，即
f zdz Fz c （其中C为任意常数）
例如 sinzdz cos z c 其中c为任意常数
（换元积分法 分部积分法）
例 z sinzdz z d cos z z cos z cos zdz
二、复合闭路定理
设 f z在多连通域D内解析，C是D内的一条简单闭曲线，
C1, C2 , , Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互
不相交，且以C, C1, C2 , , Cn 为边界的区域全包含于D，
则
n
⑴
f zdz
C
k 1 Ck
f zdz
C1
n
⑵ f zdz f zdz 0
设f z在单连通域B内解析，则F z在B内是一解析函数，
且Fz f z, 即F z为f z的原函数. 证明
24
定理三
设f z在单连通域B内解析，Gz为f z的一个原函数，
则
z1 z0
f
zdz
Gz1 Gz0 .
解析函数的积分计算公式
证
z z0
f zdz,Gz均为f

⑴
⑵
f z dz
C k 1
n
Ck
f z dz
C3
C1

C
f z dz
n
k 1 C

k
f z dz 0

C2
C
D
12
2z 1 在内的任何正 dz, 为包含圆周 z 1 例4 计算 2 z z
向简单闭曲线.
解 据复合闭路原理得
2z 1 2z 1 2z 1 dz 2 dz 2 dz 2 z z z z z z c1 c2
0
0 1
C1 C2
C3
z1
2 zdz zdz zdz
C C2 1 C3 1
1 1 tdt 1 it idt i 1 i 0 0 2 2
8
三、积分的性质
i ii iii
f z dz
C
C 1
f z dz

C
4



ux t , yt xt vx t , yt yt dt

i v x t , y t x t u x t , y t yt dt
uxt , yt ivxt , yt xt iyt dt
⑴ 当 f z 是 连 续 函 数 而C 是 光 滑 曲 线 时, ⑵
C C C

C
f z 第二型曲线积分 dz一 定 存 在.
C
f z dz u iv d x iy u dx vdy i v dx udy
f z dz可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。

n 0, 1, 2,

2
2n
Arg ( z1 z2 ) 2k k 0, 1, 2, 2 3 代入上式 2m n 2k 2 2
要使上式成立,必须且只需 k=m+n+1.
定理2
两个复数的商的模等于它们的模的商， 两个复数的商的辐角等于被除数与除 数的辐角之差。
a
b
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 z 0 的球面, 点 球面上一点S 与原点重合,
记作
可用向量OP表示z x iy .
x2 y2 ,
y
P(x,y)
z r

z 0 OP 0
o
x
x

z tan( z=0时，辐角不确定。 0时， Argz ) y / x
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 0 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 y x 0, y R arctan x 计算 x 0, y 0 arg z argz(z≠0) 2 y 的公式 arctan x 0, y 0 x y x 0, y 0 arctan 2 x 2

当z落于一,四象限时，不变。


P4 例1.1
当z落于第三象限时，减
当z落于第二象限时，加
。
。
由向量表示法知
z2 z1 — 点z1与z2之间的距离
由 此 得: z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1
y
(z)
z1

二 复合闭路变形原理
柯西古萨定理的推广
当闭合曲线内部包围被积函数 的奇点，该积分通常不为零，但仍 有一定的规律可以研究。
1 闭路变形原理 2 复合闭路变形原理
1 闭路变形原理
1 ：设函数 (z) 在多连通域 内解析 灰色为奇点， f D ,
2：C （深蓝色）及 1（紫色） C 为 D 内的任意两条简单闭 曲线(逆时针方向为正 ), 3： C 及 C1 为边界的区域 以 D1（浅蓝色）全含于. D
y
0 2i 2i 0 4 i
C1
C2

o
1
x

1 例5 求 C ( z a )n dz , C为含 a 的任一简单闭路 , n 为整数 . a 解 因为 a 在曲线 内部,
C1
故可取很小的正数 ,
使 C1: z a 含在 Γ 内部,
1 在以 C C1 为边界的复连通域 ( z a )n 内处处解析 ,
第二种形式更适用于计算积分，通常用于被积函 数在 C 内有一个奇点 z0，该奇点在被积函数解 析式的分母。 高阶导数公式是柯西积分公式的推广，柯西积 分公式是高阶导数公式当 n=0 时的情形。
( n)
等号右边的分式形式复杂难记，可看做是高等 数学中函数泰勒级数里 (z-z0)n 的系数。
例 11
cos z 计算 dz 5 ( z 1) | z| 2
ez ez dz dz 2 2 2 2 ( z 1) ( z 1) | z i| 1 | z i| 1
e z /[(z i ) 2 ] e z /[(z i ) 2 ] dz dz 2 2 ( z i) ( z i) | z i| 1 | z i| 1 2i e 2i e 2 (2 1)! ( z i ) z i (2 1)! ( z i ) 2 z i

1)对于未指明方向的曲线z (t ) x(t ) iy(t )， 默认以参数t 增大的方向为正方向。
2)对于闭合曲线，默认以 逆时针方向为正。 例：闭合曲线，圆 z (t ) R cost iR sin t
其默认正方向是t 增大方向，同时也是逆 时针方向。
二 复变函数积分的定义
f (z
k 1
n
k
) Δ z k [u ( k , k ) iv ( k , k )](Δ xk i Δ yk )
k 1 n
n
[u ( k , k ) Δ xk - v( k , k ) Δ yk ] i [v( k , k ) Δ xk u ( k , k ) Δ yk ]
飞奔出教室
C C C C C

此法主要思路是利用自变量与函数的实部虚部x,y,u,v 的形式化为第二类曲线积分。相当于用横纵坐标。 详细证明如下:
详细证明：设复数 z k ( k , k ), Δ zk Δ xk i Δ yk ,
则:
n
f ( z ) u ( x, y ) iv ( x, y )
2
1
1 i
y x2
o
1
x
解(2)： 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z ( t ) t (0 t 1),
于是 Re z t , dz dt ,
1到1+i直线段的参数方程为 z ( t ) 1 it (0 t 1),
于是 Re z 1, dz idt ,


定义：函数f(z)定义域为D，曲线C在D内， 起点A，终点B。 1）分割曲线C， A=z0,z1,...,zk-1,zk,...,zn=B

1 z 4
1 1 1 f z 3 z z 1 z 4
在1 z 4内 :
1 1 1, z 4
1 1 z 1 z 1 1 z
1 1 1 1 2 z z z
例3 把 f z z 3e 在 0 z 内展成洛朗级数。
2 3 n z z z z 解 e 1 z 2! 3! n!
1 z
1 1 1 z 1 1 3 2 f z z 3 1 z z 2 3 z 2! z 2! 3! 4! z 3! z 12
1 1 z z 4 dz z 1
解法2（柯西积分公式）
1 z 1z 4 dz dz z z 1z 4 z z 3 C1
C2

1 1 2i 2i z 1 z 4 z z 4 z 0 z 1
（2） 洛朗级数
（3）
1
其中 z 0 及 cn n 0,1,2, 为常数。
规定 当且仅当2、 3收敛， 1收敛.
设2收敛域为: z z0 R2 ;
即为前面讨论的级数；
n
对于（3），
c 1 z z 0 c n z z 0

n
称为 f z 在以 z 0为中心的圆环域 R1 z z0 R2内的洛朗展
开式。 右端级数（洛朗级数）中，正整数次幂部分称为洛朗级数的 解析部分；负整数次幂部分称为洛朗级数的主要部分。
⑵ 洛朗级数是泰勒级数的推广。
当 f z 在 z 0 不解析但在 z 0 的去心邻域内解析时可用洛朗级数 展开，展开式是唯一的，展开时尽量用间接展开法。

例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析：
1 z; 2 f z e x cos y i sin y ; 3 z Rez .
解 1 x iy
u v 1, 1 x y
u v x y
所以函数在复平面内处处不可导，处处不解析。 13
z x iy, ( z x iy )
2 定义是指在点可导的概念，如果f z 在区域 D内处处 可导，则称 f ( z ) 在D内可导。 例1 求f z z 2的导数 . 解
2 f z z f z z z z 2 lim lim 2 z z lim z 0 z 0 z 0 z z
复 变 函 数
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第二章 解析函数
§1 解析函数的概念 §2 函数解析的充要条件 §3 初等函数
f z 在x iy可导可微
？
u x, y ，v x, y 在 x, y 可微.
f z u x, y iv x, y
2
§1 解析函数的概念
一、复变函数的导数与微分
1 导数
, 定义 设函数 w f z 定义于区域 D, z0为D中的一点
z0 z点不出 D的范围 , 如极限
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim 存 在, z 0 z
则称 f ( z )在 z0可导, 这个极限值称为 f ( z )在 z0的导数。
9
由于k的任意性 , 得
hz0 z hz0 当z 0时,比 值 的极限不存在 . z
hz z 仅在z 0处可导 , 而在其他点都不可导 .
2
所以
hz z 在复平面内处处不解析

本文详细讲解了复变函数中的几个重要知识点，包括复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。复合闭路定理涉及多连通域内的简单闭曲线，通过该定理可以计算某些复变函数沿闭路的积分。柯西积分公式则提供了计算解析函数沿闭路积分的方法，并给出了解析函数的一个积分表达式，是研究解析函数的有力工具。高阶导数公式描述了解析函数的导数的计算方法。此外，还探讨了与C-R方程相关的知识点，包括充要条件和充分条件。充要条件指出，若复函数在某区域内可导，则其必须满足C-R方程。而充分条件则提供了判断复函数是否可导的一种依据。这些知识的性质和应用。

《复变函数》(西安交大第四版)第一章 复数与复变函数§1．复数及其代数运算复数：iy x z +=， 1-=i ——虚数单位． )Re(z x =——实部， )Im(z y =——虚部．两复数相等是指实部、虚部分别相等．复数间不能比较大小． 复数的代数运算：, 111y i x z += 222 y i x z +=．加法：)( )(212121y y i x x z z +++=+； 减法：)( )(212121y y i x x z z -+-=-； 乘法：)(x )(2112212121y x y i y y x x z z ++-=⋅；除法：0)(z ,22222211222222121222121≠+-+++==yx y x y x i yx y y x x z z z z z z ．复数的运算满足交换律、结合律和分配律． 共轭复数：iy x z +=，iy x z -=． 满足：(1) 212121212121zz z , ,z z z z z z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=±=±； (2) z z =；(3) 22y x z z +=⋅； (4) x z z 2=+， y i z z 2=-． 例1．设 ii i z ---=1 31，求 Re(z)，Im(z) 与 z z ⋅ ．解：i i i i i i i i i i z 21232323)1)(1()1( 3)( ))(1(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-+----=， Re(z) = 23，Im(z)= 21-， 254149 =+=z z ．§2．复数的几何表示1．复平面平面上建立直角坐标系xoy ，这样 (1) iy x z += ,( x −−−→←应对一一x 轴——实轴， y 轴——虚轴． 两轴所在平面称为复平面． (2) 复数 z= x+ iy 可用从原点指向点 (x, y ) 的向量表示． z 的摸：22yx r z +==． 22zzz z ==．辐角：当 0≠z 时，向量 z 与x 轴正向的交角θ，记Argz =θ． xx y Argz tg =)(．辐角主值：Argz 的主值 0arg θ=z ，满足 πθπ≤<-0． 这样，Z)(k ,2arg ∈+=πk z Argz ． 注：当 0=z 时，辐角不定．复数的加减法运算与向量的加减法法则一致．(3) 三角表示法：Argz ,z r ),sin (cos ==+=θθθi r z ． (4) 指数表示法：1sin cos sin cos eArgz, ,z r ,22i =+=+====θθθθθθθi re z i ．例1．将 31iz -= 化成三角表示式和指数表示式．解：3argz ,3rgz) tg(a ,231π-=-==+==z r ．∴ 32e z ,3sin 3cos 2i i z πππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=． 平面曲线0) ,(=y x F 可用复数形式的方程表示，且一些常见曲线用复数形式表示时形式简单． 例2．将直线方程 32=-y x 化为复数形式． 解：)(i21y ),(21z z z z x -=+=， 代入方程得：6) 21() 21(=-++z i z i ．例3．求下列方程所表示的曲线：(1) 11=--i z ； (2) 4)Im(=+z i ．解：(1) y i x z +=，方程变为：1)1()1(=-+-i y x ． 即 1)1()1(22=-+-y x ——圆．(2) 设y i x z +=，则 [])1(Im )Im(=-+=+i y x z i 3-= ——直线． 3-o 1 22．复球面 （略）．§3．复数的乘幂与方根 设 111111)sin (cos θθθi er i r z =+=， 222222)s i n (c o s θθθi e r i r z =+=， 则)(2121212121θθθθ+=⋅=i i i er r er er z z ；)(2121212121θθθθ-==i i i er r er e r z z ．若θθθi rei r z =+=)sin (cos ， z 的n 次幂：θn i nner z =；又 )2()]2sin()2[cos(πθπθπθk i rek i k r z +=+++=， z 的n 次方根：nk i nnnk er nk i nk r z w )2( 2sin2cos πθπθπθ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++==， )1n , 1, ,0(-= k ．例1．求 10)1(i -．解：4ie21π－=-i ， 10)1(i -()i 32e32e22i4i1010-===--ππ．例2．求 31i -．解：)]4isin(2k )4[cos(2k 21ππππ-+-=-i ，∴31i-)]42(31sin)42(31[cos26ππππ-+-=kik，)21,,0(=k．即)12sin12(cos26ππiw-=，)127sin127(cos261ππiw+=，1215sin1215(cos262ππiw+=．§4．区域1．区域邻域：0)(}{),(><-∈=δδδzzCzzU；去心邻域：}{),ˆ(δδ<-<∈=zzCzzU；区域：连通的开集称为区域．区域D的边界点P、边界D∂．区域的边界可能由几条曲线和一些孤立点所组成．闭区域D：区域D连同它的边界D∂．⎩⎨⎧⊂中．不能包含于任何一个圆无界点集：；有界点集：R),U(zEE区域2．单连域与多连域平面曲线C：b)t(a)()(≤≤⎩⎨⎧==tyytxx可改写成：b)t(a),()()(≤≤+==tiytxtzz．（复数形式）称C为连续曲线，若)()(tytx、连续；称C为光滑曲线，若)()(tytx''、连续、且不同时为0；称C为分段光滑曲线，若C由几段光滑曲线连接而成．称连续曲线C为（简单）闭曲线，若C是一条无重点（除端点外）的闭曲线．⎩⎨⎧有洞区域．：非单连域的区域，即多连域，即无洞区域．部均属于内任一简单闭曲线的内是区域，且：单连域DBBBB单连域B多连域D§5．复变函数1．复变函数定义：设CG⊂．若存在一确定的法则，对于每个Giyxz∈+=，按此法则，总有一个或几个相应的复数ivuw+=与z对应，则称w是z的函数，记Gz),(∈=zfw．G ——定义域；{}GzzfG∈=)(*——值域．⎩⎨⎧==为多值函数．多值函数：否则，称为单值函数；值，称值对应一个单值函数：每个)()(zfwzfwwz例：2zw=是单值函数；zw=是多值函数．iv u w += 与 iy x z += 的对应关系 )(z f w = 等价于关系：⎩⎨⎧==),,(),,(y x v v y x u u （两个二元实函数）．例：3y v 2,3x u ),3()23(23=-=+-=-=故y i x z w ． 2．映射复变函数在几何上表示映射．选择两个复平面：z 平面和w 平面．G)(z ,∈−→−w z f． z ——原象； w ——象．Z W例1：函数z w= 的映射．此映射将Z 平面上的图形映射成关于x 复变函数的反函数：*→=G G z f w :)(，反函数：G w f z =-:)(1由)(w z ϕ=构成的映射称为逆映射． 显然，*∈∀=G w )],([w f w ϕ； G z )],([∈∀=z f z ϕ．§6．极限和连续性1．极限定义：设)(z f w =在) ,ˆ(0r z U内有定义．若有常数C A ∈，使得：r <<-<>∃>∀δδε0z z 0 0, 0, 当，ε<-A z f )(，称为当 0z z →时)(z f 的极限是A ，记作A z f zz =→)(lim 0．定理一．设) ,() ,()(y x iv y x u z f +=，00iv u A +=，000iy x z +=． 则A z f zz =→)(lim 00)y ,(lim 00u x u y y x x =⇔→→， 0)y ,(lim 00v x v y y x x =→→． 证：20200)()(z z y y x x -+-=- ， 2020)()(A f(z)v v u u -+-=-．000y y x x 0z z →→⇔→-∴及； 00v v u u 0A f(z)→→⇔→-及．例1．求 zz iz ++→1 lim 1 ．解：22222211111)(y x y i y x x yx iy x z zz z f +-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+-+=+=+=． 2222 v ,1y x yy x x u +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=， i 1z 0+=． 由于23)y ,(lim 11=→→x u y x ，21)y ,(lim 11-=→→x v y x ，i iz 2123f(z)lim 1 -=∴+→． 由定理一，可得极限的四则运算法则．定理二．若 A z f z z =→)(lim 0，B z g zz =→)(lim 0， 那么：(1) B A z g z f z z ±=±→)]()([lim 0； (2) AB z g z f z z =→)]()([lim 0； (3) 0)(B ,)()(lim 0≠=→BA z g z f zz ．2．连续性定义：若 )()(lim 0 0z f z f zz =→，则称)(z f 在0z 处连续． 若)(z f 在区域D 内处处连续，则称)(z f 在D 内连续．定理三．函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在000iy x z += 处连续的充要条件为：) ,(y x u 、) ,(y x v 在)y ,(00x 处连续．证：) ,() ,()(lim )(000000 00y x iv y x u iv u z f z f A z z +=+===→．例．)ln()()(22xy i y x z f ++=，这里 22y x u +=处处连续， 0 xy )ln(>=在xy v 处连续， 所以)(z f 在0xy > 处连续．由定理二、三可得如下结果．定理四．两个连续函数的和、差、积、商（分母不等于0）仍然是连续函数；连续函数的复合函数仍为连续函数．例：(1) 复多项式 nn z a z a z a a z P w ++++== 2210)( 处处连续； (2) 有理函数 mm n n zb z b z b b z a z a z a a z Q z P w ++++++++==22102210)()( 在分母不等于0处连续．注：若)()(lim 0 0z f z f Cz z z =∈→， 则称)(z f 在曲线C 上0z 点处连续．结论：若C 是一条闭曲线或包括端点的曲线，而)(z f 在C 上连续， C 则)(z f 在C 上有界：) C (z ,)(∈≤M z f ．。

共轭复数运算的性质
3). z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
4). z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
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记
C={z | z=x+iy, x, y R }
y y
复数域
z x iy
P ( x, y)
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例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
例5. 用复数方程表示曲线：
1). ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2). y 5
解： ( x 1)2 ( y 2)2 | x 1 i ( y 2) |2 | z (1 2i ) |2 1） 所以，1）的方程为 或 z (1 2i ) 2e i , ( ) | z (1 2i ) | 2 2）
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4. 体现数学之美
简明 深刻
和谐
第一章 复数与复变函数
§1.复数及其运算
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1.复数
( x 2 1 0) 虚数单位： i 1 x, y 为实数 复数：z = x+iy, x =Re(z), z 的实部 y =Im(z), z 的虚部
z的共轭复数： z x iy
x(10 x ) 40
得到 x 5 15, 5 15 很长一段时间内不被人们所理睬。 令人困惑，250年几乎没有进展。

解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
Байду номын сангаас
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
特别地, 特别地 当 w = f ( z ) = z 时,
dw = dz = f ′( z0 ) ⋅ ∆z = ∆z ,
dw dw d w = f ′ ( z 0 ) ⋅ ∆ z = f ′ ( z 0 ) ⋅ d z , 即 f ′( z 0 ) = dz z = z0
数 = 函 w= f (z)在z0可 与 z0可 是 价 . 导 在 微 等 的
当点沿不同的方向使 ∆z → 0时, 极限值不同 ,
故f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
6
例3 问f ( z ) = x + 2 yi是否可导？ 是否可导？ 解
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f lim = lim ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ( x + ∆x ) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi = lim ∆z → 0 ∆z y
所以 f ( z ) = x + 2 yi的导数 不存在 .
o
∆x = 0
y
z
∆y = 0
x
8
2.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导. 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 证

n0
lim
n
cn
z0n
0
因而存在正数M,
使对所有的n, 有 cnz0n M ,
如果 z z0 ,
那末 z q 1, 而 z0
由正项级数的比较判别法知:
cn z n
cn z0 n
zn z0 n
Mqn .
cnzn c0 c1z c2z2 cnzn
n0
故级数 cnzn 是绝对收敛的.
12
例2 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ), 问常数 a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处
解析?
解 u 2x ay, u ax 2by,
x
y
v 2cx dy, v dx 2 y,
x
y
欲使 u v , u v , x y y x
f
(z)
1 2π
i
K
f
( ) d
z
,
其中 K 取正方向.
因为积分变量 取在圆周K 上, 点 z 在 K 的内部,
所以 z z0 1.
z0
则
1 z
1 z0 1
1 z z0
z0
26
1 z0
1
(z
z0 ) ( z
z0
z0 )2 z0
( z
z0 )n z0
n0 (
1 z0)n1 (z
内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含
于 D, z0 为C 内任一点, 那末
f
( z0
)
1 2π
i
C
f (z) z z0
dz.
C z0
D
3
*计算方法： 公式不但提供了计算某些复变函 数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数 的一个积分表达式.

&" 平面点集
"!##, 的"’邻域%满足关系&#’#,&’" 的 点# 的 全 体 称 为 点 #, 的一个"’邻域!而 满 足 ,’&#’#,&’" 的 点# 的 全 体 称为点#, 的一个去心"’邻域%
"&#内点%设 . 是一平面点集!#,*.!若存在#, 的 某 个 邻 域 也 包含于 .!则称#, 为 . 的内点%
在 三 角 表 式 示 中 !利 用 欧 拉 公 式 %)$! #456!$$678! 可 得 ##))$! !
称 为 复 数# 的 指 数 表 示 式 % 以上复数的不同表示法仅是形 式上的差异!它们 各 有 其 特
点%复数及其运算 的 几 何 解 释 可 以 从 向 量 表 示 法 得 到!复 数运算中模与幅角的变化规律可以由三角或指数表示法
记为####!& !即
#! #&
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#!!!!&&&$$""&&!"&
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’!!"& $"&&
%
".#复 数 的 共 轭 及 性 质
设##!$$"!称 !’$" 为 复 数 # 的 共 轭 复 数!记 为 # 或
## !即##!’$"!它有如下性质%
" # !#!/#&##!/#&!#!#&##!!#&!##!&
!
!$!,

3
u
x2 y2 4
z1 i
y
z2 1 2i
z3 1
z1 z2 z3 O
Im z y 0 Re z x 0 z 1
v
Im w 2xy 0
w2
w u2 v2 1
O
x
w1 w3
u
w1 1 w2 3 4i w3 1
复变函数
函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2y2, v=2xy
x x(t)
y y(t) ( t )
所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。
令z x(t) iy(t)
( t )
z z(t)
参数表达式 复数表达式
复变函数
2.光滑曲线 设曲线C的参数方程为: z x(t) iy(t)
( t )
又在α≤t≤β上，x’(t)和y’(t)连续且
当反函数单值时z [ f (z)] z G (一般z [ f (z)])
复变函数
当函数(映射)w f (z)和其反函数(逆映射)
z (w)都是单值的，则称函数(映射)w f (z)
是 一 一 的 。 也 称 集 合G与 集 合G 是 一 一 对 应 的 。
例4 已知映射 w 1 ,判断 : z平面上的曲线 x2 y2 1被
三.用复数表达式表示常见区域
1.单位圆内部 z 1
复变函数
2.圆环域
r1 z z0 r2其中r1，r2都是大于0的实数
3.带状区域
x1 Rez x2
y1
Imz
y2
4.角形域 1 arg z 2
5.上半平面 Imz 0
6.左半平面 Rez 0
§5 复变函数
复变函数