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西安交大复变函数课件5-1孤立奇点

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1-5复变函数课件 西安交通大学

1-5复变函数课件 西安交通大学

消去参数 y 得 : v 2 42 (2 u),
以原点为焦点,开口相左的抛物线.(图中红色曲线)
同理直线 y 的象为:
v 2 4 2 ( 2 u),
以原点为焦点,开口相右的 抛物线.(图中蓝色曲线)
14
4. 反函数的定义:
设 w f ( z ) 的定义集合为z 平面上的集合G , 函数值集合为w 平面上的集合G*, 那末 G * 中的 每一个点 w 必将对应着G 中的一个(或几个)点. 于是在 G * 上就确定了一个单值(或多值)函数 z ( w ), 它称为函数 w f ( z ) 的反函数, 也称 为映射 w f ( z ) 的逆映射.
5
2.映射的定义:
如果用 z 平面上的点表示自变量z 的值, 而用另一个平面w 平面上的点表示函数w 的 值, 那末函数 w f ( z ) 在几何上就可以看作 是把 z 平面上的一个点集G (定义集合) 变到 w 平面上的一个点集G * (函数值集合)的映射 (或变换).
6
这个映射通常简称为由 函数 w f ( z ) 所构成的映射.
2
π π 故线段 0 r 2, 映射为 0 4, , 4 2
17
例1 在映射 w z 下求下列平面点集在w 平面
2
上的象 :
(2) 双曲线 x 2 y 2 4;
解 令 z x iy, w u iv ,
则 u iv x 2 y 2 2 xyi,
放映结束，按Esc退出.
24
映射 w z 2 将 z 的辐角增大一倍 .
y
v
o

x
o
2
u
将 z 平面上与实轴交角为 的角形域映射成w 平面上与实轴交角为2 的角形域.

复变函数第五章留数

复变函数第五章留数
第五章 留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级

《复变函数》第5章

《复变函数》第5章

例: 对 f (z) z3 1.
f (1) 0, f (1) 3z 2 z 1 3 0
z 1 是 f (z)的一级零点.
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第7页
定理: z0 是 f (z)的m级极点
证:
f
(z)
(z
1 z0
)m
g
(z)
z0
是
f
1 的m级零点. (z)
f
复 变 函 数（第四版）
第五章 留 数
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用 *§4 对数留数与辐角原理
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第1页
§1 孤立奇点
1. 定 义
如果函数 f (z)在 zo处不解析, 但在 zo的某 一去心邻域 0 < | z－zo |<δ处处解析, 则称zo 为函数 f (z)的孤立奇点. 例：z 0 为 f (z) sin 1 的孤立奇点 .
5
2020/4/6
《复变函数》(第四版) 第五章
第4页
∴
z = 0 分别是 本性奇点.
sin z
z
,
sin z4
z
,
sin
1 z
的可去、3极、
(1) zo为 f(z)的可去奇点
相当于实函可去间断点
lim f (z)存在且有限
zz0
f (z)在zo点的某去心邻域内有界.
(2) zo为 f (z)的极点
例:
z
0
是
ez 1 z2
的一级极点.
z
1
是
(z 1)3 sin( z 1)
的二级零点.

复变函数与积分变换孤立奇点

复变函数与积分变换孤立奇点

复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
孤立奇点分类
1. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则称
孤立奇点z0为 f (z)的可去奇点.
f(z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +...,0<|z-z0|<d
1 定理：z0是f ( z )的m级极点 z0是 的m级零点 f ( z)
该定理为判断函数的极点提供了更为简单的判别方法.
例 1 函数1 sin z 有什么奇点? 如果是极点, 指出它的级.
解： 函数 1/sin z 的奇点显然是使 sin z=0 的点.故奇点是 z=k(k=0,1,2,…).由于(sin z)'|z=k= cos z|z=k= (1)k 0, 所以 z=k是 sin z 的一级零点, 也就是 1/sin z 的一级极点.
且g (z0) 0 时, 则z0是 f (z)的m级极点.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
如果z0为 f(z)的极点, 由(*)式知
lim f ( z ) .
z z0
1 g ( z) z0为f ( z )的m级极点 f ( z ) m ( z - z0 )
Complex Analysis and Integral Transform
sin z 例如 z 0是 的可去奇点。因为函数在z 0 z 的去心邻域内的洛朗级数 sin z 1 1 3 1 5 1 2 1 4 (z z z ) 1 z z z z 3! 5! 3! 5! sin z 中不含负幂项.如果定义 在 z 0的值为1, z sin z 则 在z 0点便为解析的了. z

西安交大复变函数课件5-1-1本性奇点

西安交大复变函数课件5-1-1本性奇点
sinh z 思考 z 0 是 3 的几级极点? z
注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .
21
三、函数在无穷远点的性态
1. 定义 如果函数 f (z ) 在无穷远点 z 的去心 邻域 R z 内解析, 则称点 为 f (z ) 的孤 y 立奇点. R o
x
22
1 1 (t ), 令变换 t : 则 f ( z ) f 规定此变换将: z t 映射为 z t 0,
z
ez 1 z 因为 lim lim e 1, z 0 z 0 z
8
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 ( z z0 ) 的最高幂为 ( z z0 ) , 即
1
m
f ( z ) cm ( z z0 ) c2 ( z z0 ) c1 ( z z0 )
3
孤立奇点的分类 依据 f (z ) 在其孤立奇点 z0 的去心邻域
0 z z0 内的洛朗级数的情况分为三类:
1．可去奇点;
1．可去奇点
2．极点;
3．本性奇点.
1) 定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z ) 的可去奇点.
4
说明: (1) z0若是f ( z )的孤立奇点 ,
c0 c1 ( z z0 )
m
2
1
( m 1, cm 0)
1 1 f ( z )f z ) m g ( z) , ggz)z ) , 0处解析,且g ( z0 ) 0 ( ( 在z ( (z z ) 或写成 0 ( z z )m
0

最新-西安交大复变函数课件5-习题课-PPT文档资料

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c)
设
f (z) P(z), P(z) Q(z)
及
Q(z) 在
z 0 都解析，
如果 P ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 , Q ( z 0 ) 0 ,那末 z 0
为一级极点, 且有Refs(z[),z0]Q P((zz00)).
13
3)无穷远点的留数
1.定义 设函数 f (z)在圆环域 0z内解析
成洛朗级数求 c 1
(3) 如果 z 0 为 f (z)的极点, 则有如下计算规则 a) 如果 z 0 为 f (z)的一级极点, 那末
R f ( z e )z 0 ] , s l z z [ 0 i ( z m z 0 ) f ( z z 0 )
12
b) 如果 z 0 为 f (z)的 m级极点, 那末 Rfe (z)z s 0 ,] [(m 1 1 )l z !z i0d d m z m m 1 1 [z( z 0 )m f(z)]
17
2）无穷积分
I R(x)dx.其中 R(x)是x的有理,分 函母 数
的次数至少比 数分 高子 两 ,且R的 (次 z)在 次实轴 没有孤.立奇点
任意一条简单闭曲线 C 的积分 f (z)dz 的值除
C
以 2i 后所得的数称为 f(z)在z0的留.数 记作 Ref(sz)[z,0]. (即f(z)在z0为中心的圆环 域内的洛朗级数中负 幂c项 1(zz0)1的系 .) 数
10
1)留数定理 设函数 f (z) 在区域 D内除有限个孤 立奇点 z1,z2, ,zn外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末
f (z) 的 m 级零点.
ii)零点与极点的关系

复变函数第五章(1)

复变函数第五章(1)

lim e
z 1
不存在
z 1 为本性奇点
1 (3) ( z 1) sin z 1
解：
注： 三角函数在复数域内是 无界的。
z 1为孤立奇点
1 ( z 1) sin 在z 1的去心邻域内的洛朗展开式为 z 1
1 1 n z 1 ( z 1) sin ( z 1) ( 1) z 1 ( 2n 1)! n 0
lim z0 是 f ( z ) 的极点的充要条件是 z z f ( z )
0
1 例1.2： f ( z ) 3 的孤立奇点类型。 z ( z 2)
解： f ( z )的孤立奇点： 0, z 2 z
对于点 z 0 有
1 f (z) 3 (z) z
在点z 0 处解析，且 (0) 0
( z) f (z) ( z)
则
(1) 当m n时，z0 为 f ( z ) 的(m n)级零点， (2) 当m n时，z0 为 f ( z ) 的(n m)级极点，
(3) 当m n时，z0 为 f ( z ) 的可去奇点。
注： 定理1.2与定理 .4均可看作定理 .5的特例， 1 1
n
洛朗展开式 cn ( z z0 ) n中含有无穷多个 z z0 )负幂项 ( .
则称 z 0 为 f (z ) 的本性奇点
结论： z0为f ( z )本性奇点 的充要条件是
z z0
lim f ( z ) 不存在(也不为）。
f ( z )的孤立奇点z0类型的判定:
(1)定义：根据f ( z )在 z0 的去心邻域0 z z0 内的洛朗展开式中负幂 项的多少
z z 0 m 当 n m 时， f ( z ) z z 0 m

复变函数与积分变换第五章

复变函数与积分变换第五章

解 函数 f (z) 除点 z 0, 1, 2 外,
在 z 内解析 . 因(sin z) cos z 在 z 0, 1, 2, 处均不为零.
所以这些点都是 sin z 的一阶零点,
故这些点中除1, -1, 2外, 都是 f (z)的三阶极点.
30
因 z2 1 (z 1)(z 1), 以1与- 1为一阶零点，
展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
公式知: f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
并且
f
(m)(z0 ) m!
c0
0.
（充分性） 由于 f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1);
f
( m ) ( z0 m!
)
c0
0.
故
邋 f (z) =
ゥ f (n) (z0 ) (z n= m n!
6
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
7
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim e z 1 lim ez 1, 作业2.4.8(洛必达法则)
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z

复变函数与积分变换51孤立奇点课件

复变函数与积分变换51孤立奇点课件
复变函数与积分变换51孤 立奇点课件
• 复变函数与积分变换概述 • 孤立奇点的性质 • 孤立奇点的计算方法 • 孤立奇点的应用 • 总结与展望
01
复变函数与积分变换概述
复数与复变函数
复数
由实数和虚数组成的数，表示为 a+bi，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位。
复变函数
以复数为自变量的函数，即定义在复数域上的 函数。
在复变函数中，洛朗兹变换可以用于计算孤立奇点的位置和性质。
通过将复平面上的函数映射到洛朗兹群上，可以更加方便地处理奇点的计算问题。
利用拉普拉斯变换计算孤立奇点
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为频域函数 的数学工具。
在处理具有不连续点的函数时，拉普拉斯变换非 常有用。
通过拉普拉斯变换，可以找到函数在无穷远处的 行为，从而确定孤立奇点的位置和性质。
应用
在解决某些积分问题时，可以通过消除可去奇点 来简化计算。
极点
定义
如果函数在某点的极限值为无穷大，则称该点为极点。
性质
在极点处，函数的值会趋于无穷大，且函数在该点的 左右极限值不相等。
应用
在解决积分问题时，可以通过计算极点的留数来得到 积分的值。
本性奇点
01
定义
如果函数在某点的极限值不存在 且不是无穷大，则称该点为本性 奇点。
时空奇点。孤立奇点在相对论中也有重要的应用，例如在描述黑洞和宇
宙大爆炸等极端物理现象时。
在工程中的应用
信号处理中的奇异点
在信号处理中，信号可能会在某些点上表现出奇异性，这些点被称为信号奇异点。孤立奇 点在信号处理中有广泛的应用，例如在语音识别、图像处理和数据压缩等领域。
控制工程中的奇异点

复变函数-孤立奇点

复变函数-孤立奇点

则 g ( z ) 在 z z0 内解析，且
g( z0 ) c m 0, 即
1 f (z) g( z ). m ( z z0 )
数学学院
定理2 设
f ( z ) 在 0 z z0 内解析，则
0
f ( z ) . z0 是 f ( z ) 的极点 lim z z
解
z i 和 z 1 是 f (z)的孤立奇点.
f ( z ) ( z 1)3 ( z i )1 ( z i )1 ( z 2),
所以, z i 是 f (z) 的1级极点,
z 1 是f (z)的3级极点.
数学学院
1 例4 求 f ( z ) z 的孤立奇点, 并指出奇点的类型. e 1
则 f ( z ) 在全平面解析 .
数学学院
(2) 极点 定义2 如果 f ( z )在 0 z z0 的Laurent
级数展开式中只含有有限个 z z 的负幂次项,即 0 只有有限个(至少一个)整数
m 0, 使得 c m 0, 则称
z0 是 f ( z ) 的极点. 如果存在正整数 m ,使得 c m 0,
lim f ( zn ) w0 .
n
数学学院
例6
证明 z 0 是 e
1 z
1 z
1 和 sin 的本性奇点. z
1 1 1 解 e 1 2 0 z , n z 2! z n! z 1 1 1 1 sin 3 5 0 z . 无穷多负幂项 z z 3! z 5! z
2. 由等价形式判别： 在点 z 的某去心邻域内有 0
f ( z ) ( z z0 ) m g( z ) ( m 1),

西安交通大学复数与复变函数教学PPT

西安交通大学复数与复变函数教学PPT

共轭复数运算的性质
3). z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
4). z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
西安交通大学
记
C={z | z=x+iy, x, y R }
y y
复数域
z x iy
P ( x, y)
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。 解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
例5. 用复数方程表示曲线：
1). ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2). y 5
解： ( x 1)2 ( y 2)2 | x 1 i ( y 2) |2 | z (1 2i ) |2 1） 所以，1）的方程为 或 z (1 2i ) 2e i , ( ) | z (1 2i ) | 2 2）
西安交通大学
4. 体现数学之美
简明 深刻
和谐
第一章 复数与复变函数
§1.复数及其运算
西安交通大学
1.复数
( x 2 1 0) 虚数单位： i 1 x, y 为实数 复数：z = x+iy, x =Re(z), z 的实部 y =Im(z), z 的虚部
z的共轭复数： z x iy
x(10 x ) 40
得到 x 5 15, 5 15 很长一段时间内不被人们所理睬。 令人困惑，250年几乎没有进展。

复变函数与积分变换孤立奇点

复变函数与积分变换孤立奇点

f(z)的m级零点.
例如当f(z)=z(z-1)3时,z=0与z=1是它的一级与 三级零点.
根据这个定义, 我们可以得到以下结论:
设f(z)在z0解析,则z0是f(z)的m级零点的充要条件是:
f
(n)( z
0)=0, (n=0,1,2,...,m-1),f
(m)( z
x Analysis and Integral Transform
如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域
0<|z-z0|<d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点.
– 非孤立奇点 函数的奇点并非都是孤立的. 例如 z=0 是函数 1 f ( z) 的非孤立奇点。换句话说, 在 z=0 的 sin 1 z
不论怎样小的去心邻域内总有 f (z)的奇点存在.
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
综上所述:
如果z0为f ( z )的可去奇点 lim f ( z )存在且有限;
z z0
如果z0为f ( z )的极点 lim f ( z ) ;
z z0
如果z0为f ( z )的本性奇点 lim f ( z )不存在且不为.
1 上式也可写成: f ( z ) g ( z) ， （*） m ( z - z0 )
其中
g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +...,
在 |z-z0|<d 内是解析的函数, 且 g (z0) 0 . 反过来, 当任何一个函数 f (z) 能表示为(*)的形式,
lim f ( z ) ， (不存在但为).

复变函数和积分变换第二版本-5.1 孤立奇点

复变函数和积分变换第二版本-5.1 孤立奇点

留
P102 定义
邻域 0|zz0| 内解析，则称 z 0 为 f (z) 孤立奇点。
数 5.1
及 其 应
例
f(z) sinz , z0为孤立奇点。 z
用 例 f(z)lnz, 原点及负实轴上的点均为奇点，
但不是孤立奇点。
10
§5.1 孤立奇点
第 三、孤立奇点
五
章 定义 设 z 0 为 f (z) 的奇点，且存在 0, 使得 f (z) 在去心
8
§5.1 孤立奇点
第
五 章
f(z)1(11z21z4)z2(1 1 z2)
2! 4!
4!
留 数
z0是 f (z) 的二阶零点。
及
其
应
用
f(z)(1z1z21z3 )z 1
2 ! 3 !
z2(11z1z2)
2! 3! 4!
z0是 f (z) 的二阶零点。
9
§5.1 孤立奇点
第 三、孤立奇点
五
章 定义 设 z 0 为 f (z) 的奇点，且存在 0, 使得 f (z) 在去心
五 章
根据函数在其孤立奇点的去心邻域的洛朗级数对奇点分类
留 定义 设 z 0 为 f (z) 的孤立奇点，将 f (z) 在 0|zz0| 内
数 及
P103
展开为洛朗级数： f(z) an(zz0)n,
其
n
应 用
(1) 若 n0, 有 an 0, ( 即不含负幂次项 )
则称 z 0 为 f (z) 的可去奇点。
留
数 且 (z0)0, 则 z 0 为 f (z) 的 N 阶极点。 P105 式(5.1)
及
其
事实上， z 0 为 f (z) 的 N 阶极点的充要条件(即定义)为：

复变函数第五章-1

复变函数第五章-1
（5.2）
17
[证] 若 z 0 是 f (z) 的m阶零点，那么 f (z) 可表成 设 (z) 在 z 0的泰勒展开式为
f ( z ) ( z z0 )m ( z )
( z ) C0 C1 ( z z0 ) C2 ( z z0 )2
其中C0 z0 0 。 从而f (z) 在z 0 的泰勒展开式为
1 1 1 1 2 n z 1 2!( z 1) n!( z 1)
1 z 1
此级数含有无限多个负次幂项，故 z 1 是函数 e
的本性奇点。
16
§5.1.2 函数的零点与极点的关系
m 定义5.2 若 f ( z ) ( z z0 ) ( z ) ， (z) 在 z 0 处解析，且 z0 0 ，m为某一正整数，那么称 z 0 为 f (z) 的
sin z sin z 如果约定 在 z 0 的值为1(即C0)，那么 在z0 z z 就成为解析的了。 sin z sin z 因为 z 0 是 的可去奇点，故当z→0时， z z 有有限极限。此极限为上面展开式中的常数项。可得
重要极限
sin z lim 1 z 0 z
6
(2)极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项，
由此可见：

如果补充定义 f (z) 在 z 0 的值为 f ( z0 ) C0 ，则 f (z) 在 z 0 解析。
因此，可去奇点的奇异性是可以除去的。
定理5.1′设 z 0 是 f (z) 的孤立奇点，则 z 0 是f (z) 的可去奇点 的充分必要条件是f (z) 在 z 0 的一个邻域内为有界。
0
[证]
必要性，因 z 0 是 f (z) 的可去奇点，故在 0 z z0 内有

《复变函数》(西安交大 第四版)第八讲.ppt

《复变函数》(西安交大 第四版)第八讲.ppt

(1) sin z 1 z2 z4 (1)n z2n
z
3! 5!
(2n 1)!
特点：没有负幂次项
ez
(2)
1
zn
z n1
1 1
z
z n1
z z n0 n! n0 n! z
Hale Waihona Puke 2!n!特点：只有有限多个负幂次项
1
(3)e z
1 z1
1
z2
1
zn
2!
n!
特点：有无穷多个负幂次项
定义 设z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0 的去心邻域内，
第八讲 留数
§5.1 孤立奇点
1. 定义 2. 分类 3. 性质 4. 零点与极点的关系
1. 定义
定义 若f (z)在z0处不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内解析,则称z0为f (z)的孤 ~~~立~~~奇~~点~.
例如
1
f (z) ez
----z=0为孤立奇点
f (z)
有无穷多个负幂次项，称z=z0为本~~~性~~奇~~点~ 。
3. 性质
z0为f (z)的可去奇点
f (z) cn(z z0 )n
n0
lim z z0
f (z) c0
补充定义：f (z0 ) c0 f (z)在z0解析.
z0为f (z)的m (m 1) 级极点
f (z) cn (z z0 )n ( cm 0, m 1 )
f (n)(z0 ) 0 (n 0,1,2,, m 1),
而
f (m)(z0 ) m!
c0
0
必要性得证！
充分性略！
例如 z 0与z 1均为f (z) z(z 1)3的零点。 又f '(z) (z 1)3 3z(z 1)2

《复变函数与积分变换》 孤立奇点 (2)

《复变函数与积分变换》 孤立奇点 (2)

0< t <
ϕ (t)
z0 = ∞
← →
t0 = 0
1 : R
ϕ ( t ) = ∑ c− n t n + c0 + ∑ cn t − n .
n =1 n =1
∞
∞
f (z)
注：把 ∞ 点的去心邻域内解析的函数 f ( z ) , 转化为 在 0 点的去心邻域内解析的函数 ϕ ( t ) .
∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 而 0 是 ϕ ( t ) 的孤立奇点 .
§5.1 孤 立 奇 点
五、无穷远点 ∞
∞ 的邻域： N ( ∞ ) = z ∈ C U {∞} 0 < R < z
0
1 1 = ( z − z 0 )m f ( z) g( z)
∞ 的去心邻域 ： N
{ ( ∞) = { z ∈ C
}
R < z < +∞
}
性质 1.5 f ( z ) 在 z0 点解析 , 则 z0 是 f ( z ) 的 m 级零点
.
Re s [ f ( z ), 1] =
1 5z − 2 ′ 2 lim ( z − 1) 2 = lim 2 = 2 z →1 z z ( z − 1)2 (2 − 1)! z →1
Ñ ∫
z =2
f ( z ) dz = 2π i Re s [ f ( z ), 0] + 2π i Re s [ f ( z ), 1] = 0
z →∞
无正幂项 ,
则 ∞是
lim f ( z ) 不存在 .
z →∞
（有限或无限都不存在）
§5.1 孤 立 奇 点 —— 无穷远点

5-1孤立奇点

5-1孤立奇点
Байду номын сангаас
由m级极点的定义可得
f z z z0
若令
m
[c m c m 1 z z0 c m 2 z z0 2 ]
2
则 gz 是在 z z0 内解析的函数， 且 gz0 c m 0， 从而f(z)的m级极点的定义也可以叙述成: 若 f z
z c0 c1 z z0 c2 z z0 , 其中 c0 z0 0。
于是 f
z c0 z z0 m c1 z z0 m1 c2 z z0 m2 ,
m1
f z0 0
f z c0mz z0
第五章 留数
本章先以洛朗级数为工具,研究解析函数的孤立奇点.然后引入 留数概念,介绍留数定理,应用留数定理计算沿闭曲线的积分以及 高等数学中计算复杂甚至不能计算的定积分和广义积分.
§1 孤立奇点 §2 留数 §3 留数在定积分计算上的应用
§1 孤立奇点
定义 如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某一个去心邻域
lim f z lim F z F z0 c0
z z0 z z0
所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果我们规定 那末在z0的邻域
f z0 c0
f z c0 c1 z z0 cn z z0
n
z z0 内就有
e e
zn
2n i
1; e e
zn
2n1 i
1;
e
1 zn
e
1 2 n i 2
i.
这说明:在函数f(z)的本性奇点z0的邻域内,对于任意给定的复数A, 总可以找到一个趋向于z0的数列,当z沿这个数列趋向于z0时,f(z)的值 趋向于A. f z 不存在但不为∞. 这实际是指,z趋向于zo时,f(z)的极限 lim z z

复变函数课件-5

复变函数课件-5

计算积分
C
由于 f (z)
zez z2 -
1
dz
,
C
为正向圆周|z|=2.
zez z2 -
1
有
两
个
一
级极点+1,-1,
而这两
个极点都在圆周|z|=2 内, 所以
C
zez z2 -
1
dz
2 i{Res[ f
(z),1] Res[ f
(z), -1]},
由规则1, 得
Res[
f
( z ),1]
lim( z
即z=是 f (z)的可去奇点, 极点或本性奇点, 完全看极
限 lim f (z) 是否存在(有限值), 为无穷大或即不存在又不 z
是无穷大来决定.
例题1 f (z) (z - 2)(z2 1). z 为唯一奇点：3阶极点 .
例题2
z-1
f (z) e z .
z 0与均为本性奇点 .
例题3
析, 称点为 f (z)的孤立奇点.
作变换 w把扩1充z平面上的去心邻域 R<|z|<+ 映射成
z
扩充w平面上原点的去心邻域：
0 | w | 1 .
R
f (z) f ( 1 ) (w)
w
lim f z lim w
z
w0
f (z)在无穷远点 z= 的奇点类型,
等价于 (w)在w=0的奇点类型。
z1
-1)
z z2
ez -1
lim
z1
z ez z 1
e 2
Res[
f
(z),
-1]
lim(z
z-1
1)
z z2

5-1孤立奇点

5-1孤立奇点

复 变 函 数 与 积 分 变 换
ez 1 对m Z讨论函数f ( z ) m 在z 0处的性质. z 1 有哪些奇点 ? 如果是极点, 例2 函数 sin z 指出它的阶数 . z 例3 求f ( z ) 的奇点， 2 z (1 z )(1 e )
如果是极点指出它的阶。 zn 例4 求 f ( z ) z ( n Βιβλιοθήκη 0)的极点。 e 1例如
f (z) e
1 z
----z=0为孤立奇点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 f (z) ----z=1为孤立奇点 z 1 1 f (z) 1 sin z ----z=0及z=1/n (n = 1 , 2 ,…)都是它的奇点
哈 尔 滨 工 程 大 学
1 但因为lim 0, 所以在z 0不论多么小的 n n y 去心邻域内,总有f ( z )的奇点存在，
故z 0不是 1 1 sin z 的孤立奇点。
复 变 函 数 与 积 分 变 换
o
x
这说明奇点 未必是孤立的。
哈 尔 滨 工 程 大 学
二、 孤立奇点的分类 以下将f (z)在孤立奇点的邻域内展成洛朗级 数，根据展开式的不同情况，将孤立点进行 分类。 定义 z0是f (z)的一个孤立奇点，在z0的去心 邻域内，若f (z)的洛朗级数
e z 1 z n 1 z z n 1 1 z z n 0 n ! z 2! n!
z 0是函数的一阶极点
复 变 函 数 与 积 分 变 换
1 2 1 n e 1 z z z 2! n!
1 z
1
z 0是函数的本性奇点
三、孤立奇点的性质
z 0
1 z
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(z) c0 c1(z z0 ) c2(z z0 )2 ,
16
其中 c0 (z0 ) 0,
从而f (z)在z0的泰勒展开式为 f (z) c0(z z0 )m c1(z z0 )m1 c2(z z0 )m2 展开式的前m项系数都为零 ,由泰勒级数的系数
( 0 z z0 ) 其和函数F(z)为在 z0 解析的函数.
(2) 无论 f (z) 在 z0 是否有定义, 补充定义 f (z0 ) c0 , 则函数 f (z) 在 z0 解析.
f
(z0 )
lim
zz0
f
(z)
f
(z)
F(z)
c0
,
, z
z z0 z0
5
2) 可去奇点的判定
(1) 由定义判断: 如果 f (z)在 z0 的洛朗级数无负 幂项则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
7
例4 说明 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
解 ez 1 1(1 z 1 z2 1 zn 1)
zz
2!
n!
1 1 z 1 zn1 , 0 z
2!
n!
无负幂项
所以 z 0 为 ez 1 的可去奇点. z
另解 因为 lim ez 1 lim ez 1,
lim f (z) .
zz0
例5
有理分式函数
f
(z)
z
3z 2 2(z 2)
,
z 0是二级极点, z 2 是一级极点.
10
2)极点的判定方法
(1) 由定义判别
f (z)的洛朗展开式中含有 z z0的负幂项为有限项.
(2) 由定义的等价形式判别
在点
z0 的某去心邻域内
f
(
z)
(
z
g(z) z0 )m
第一节 孤立奇点
一、孤立奇点的概念 二、函数的零点与极点的关系 三、函数在无穷远点的性态 四、小结与思考
一、孤立奇点的概念
定义 如果函数 f (z)在 z0不解析, 但 f (z)在 z0
的某一去心邻域 0 z z0 内处处解析, 则称
z0 为 f (z)的孤立奇点.
例1
z
0
是函数
1
ez
,
sin
或写成
f
(
z)f(
z(z)
1
z(0
)zmg1z(z0))m, gg(z()z在) z, 0处解析,且g
(
z0
)
0
那末孤立奇点 z0 称为函数 f (z) 的 m 级极点.
9
说明: (1) g(z) cm cm1(z z0 ) cm2(z z0 )2 特点: 1. 在 z z0 内是解析函数 2. g(z0 ) 0 (2) 如果 z0 为函数 f (z) 的极点 , 则
13
综上所述: 孤立奇点 可去奇点
洛朗级数特点 无负幂项
lim f (z)
z z0
存在且为 有限值
含有限个负幂项
m级极点 关于(z z0 )1的最高幂 为 (z z0 )m
本性奇点 含无穷多个负幂项
不存在 且不为
14
二、函数的零点与极点的关系
1.零点的定义 不恒等于零的解析函数 f (z)如果
能表示成 f (z) (z z0 )m (z), 其中 (z) 在 z0 解析且 (z0 ) 0, m为某一正整数, 那末 z0 称为
f (z) 的 m 级零点. 例6 z 0是函数 f (z) z(z 1)3的一级零点，
z 1是函数 f (z) z(z 1)3的三级零点. 注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.
z
的孤立奇点.
z
z
1是函数
z
1
1
的孤立奇点.
注意: 孤立奇点一定是奇点, 但奇点不一定是孤
立奇点.
2
例2 指出函数 f (z)
z2 1
在点
z
0的奇点特性.s源自nz解 函数的奇点为
z 0, z 1 k
(k 1, 2, )
因为 lim 1 0， k k
即在 z 0 的不论怎样小的去心邻域内, 总有 f (z) 的奇点存在, 所以z 0 不是孤立奇点.
z0 z
z0
所以 z 0 为 e z 1 的可去奇点. z
8
2. 极点 1) 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 z z0 的
负幂项, 其中关于 (z z0 )1的最高幂为 (z z0 )m , 即 f (z) cm(z z0)m c2(z z0)2 c1(z z0)1
c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
其中 g(z) 在 z0 的邻域内解析, 且 g(z0 ) 0.
(3) 利用极限 lim f (z) 判断 . z z0
11
课堂练习
求
z3
1 z2
z
1
的奇点,
如果是极点,
指出它的
级数.
答案
由于
z3
1 z2
z1
1 (z 1)(z 1)2
,
所以 : z 1是函数的一级极点,
z 1是函数的二级极点.
3
孤立奇点的分类 依据 f (z)在其孤立奇点 z0 的去心邻域 0 z z0 内的洛朗级数的情况分为三类: 1．可去奇点; 2．极点; 3．本性奇点. 1．可去奇点 1) 定义 如果洛朗级数中不含 z z0 的负幂项, 那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的可去奇点.
4
说明: (1) z0若是f (z)的孤立奇点, f (z) c0 c1(z z0 ) cn(z z0 )n .
(2) 判断极限lim f (z) : 若极限存在且为有限值, z z0 则 z0 为 f (z) 的可去奇点.
6
例3 sin z 1 1 z2 1 z4 中不含负幂项,
z
3! 5!
z
0
是
sin z z
的可去奇点
.
如果补充定义:
z 0 时, sin z 1, z
那末 sin z 在 z 0 解析. z
15
2.零点的判定
如果 f (z) 在 z0 解析, 那末 z0 为 f (z)的 m 级 零点的充要条件是
f (n)(z0 ) 0, (n 0,1,2, m 1); f (m)(z0 ) 0. 证 (必要性) 如果 z0 为 f (z)的 m 级零点
由定义: f (z) (z z0 )m (z) 设 (z)在z0的泰勒展开式为:
12
3. 本性奇点
如果洛朗级数中含有无穷多个z z0 的负幂项,
那末孤立奇点 z0 称为 f (z) 的本性奇点.
1
例如， ez
1
z 1
1
z2
1
zn
,
2!
n!
含有无穷多个z的负幂项 (0 z )
1
所以 z 0 为本性奇点，同时 lim e z 不存在. z0
特点: 在本性奇点的邻域内 lim f (z)不存在且不 z z0 为.