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简述bezier曲线的特点
贝塞尔曲线是一种常见的计算机图形学曲线，其特点如下：
1. 可控性强
贝塞尔曲线是通过一系列控制点来定义的，控制点的位置会直接影响曲线的形状。
因此，可以通过调整控制点的位置来实现对曲线的微调和变形。
2. 线性变换下不变性
贝塞尔曲线在进行平移、旋转、缩放等线性变换时，其形状不会发生改变。
这使得贝塞尔曲线在计算机图形学中使用非常广泛。
3. 高阶平滑
贝塞尔曲线可以通过增加控制点的数量来提高曲线的平滑性。
在使用二次或三次贝塞尔曲线时，可以通过增加控制点来获得非常平滑的曲线。
4. 自然美感
贝塞尔曲线的形状可以通过控制点的位置来自由调整，因此可以创造出各种不同的图形。
在正确的使用下，贝塞尔曲线可以创造出非常自然美观的图形。
5. 应用广泛
贝塞尔曲线在计算机图形学中广泛应用，比如在Photoshop和Illustrator中使用的绘制曲线工具，以及3D建模软件中的平滑曲线工具等等。
此外，在基于贝塞尔曲线的动画和视频编辑中，也有广泛的应用。
简述bezier曲线的性质对于一条单摆曲线，如果存在一点P(x， y)使得Q(x， y)=P，那么这个曲线叫做平面内的bezier曲线。
它是曲线中一个重要的图形，是数学中常用的工具。
bezier曲线的概念及几何意义：1、性质1，在某点P（ x， y）， P（ y， x）两点之间的所有bezier曲线的积的集合；经验表明，在平面内，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。
因此，根据这个原理，当n不为0时，两曲线差别的总和为1。
因此我们将一条已知曲线P（ x， y）向左或向右平移一个固定值M（ x， y）后得到的曲线称为bezier曲线。
在曲线上，对于任意的M，都有：经验表明，在曲线上，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。
因此我们将一条已知曲线P（ x，y）向左或向右平移一个固定值M（ x， y）后得到的曲线称为bezier 曲线。
在曲线上，对于任意的M，都有：当m<N时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差一段距离；当m>N时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差一段距离；当M=N时，对应点坐标在x=M处时，曲线与原曲线相差无穷远。
3、性质2：当a， b， c， d， e为五个整数，并且a＜b＜c＜d＜e时， bezier曲线上存在唯一的bezier 点P（ x， y）；经验表明，在平面内，把一条已知曲线的一个点N（ t， n）任意向左或向右移动相同的距离，得到的曲线和原曲线比较，就可以发现：两者差别的总和正好等于原曲线长度的四倍，即：曲线和原曲线的差别=所移动的距离÷原曲线的长度。
标题：Excel中的贝塞尔曲线模板一、概述Excel作为一款功能强大的电子表格软件，除了常规的数据处理和图表绘制功能外，还可以通过一些技巧和插件实现更加复杂和美观的图形效果。
其中，贝塞尔曲线是一种常用的曲线绘制方式，可以用于制作平滑曲线图或者美化图表。
本文将介绍如何在Excel中使用贝塞尔曲线模板，以及实现一些基本的曲线效果。
二、Excel中贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线是一种数学曲线，由四个点来控制，分别为起始点、终止点和两个控制点。
在Excel中，我们可以通过插入形状的方式来实现贝塞尔曲线的绘制，也可以通过VBA代码进行自动绘制。
贝塞尔曲线的特点是可以实现平滑的曲线效果，非常适合用来绘制复杂的图形。
三、在Excel中绘制贝塞尔曲线的方法1. 利用插入形状功能a. 在Excel工作表中选择“插入”菜单下的“形状”选项。
b. 在形状选项中选择“线条”下的“自由曲线”或“曲线”选项。
c. 依次点击工作表来绘制出四个控制点，然后双击完成曲线的绘制。
2. 利用VBA代码进行绘制a. 打开Excel的开发者工具，新建一个模块。
b. 编写VBA代码，通过控制点的坐标来自动绘制贝塞尔曲线。
c. 运行代码，即可在工作表中看到绘制出的贝塞尔曲线。
四、在Excel中实现贝塞尔曲线的基本效果1. 平滑曲线图a. 通过绘制贝塞尔曲线，我们可以实现平滑曲线图的效果，使得图表更加美观。
b. 可以根据需要调整控制点的位置，来实现不同的曲线效果。
2. 美化图表a. 将绘制的贝塞尔曲线放置在图表中，可以使得图表的整体风格更加时尚和吸引人。
b. 通过微调控制点的位置和曲线的弯曲程度，来实现不同的美化效果。
五、注意事项1. 控制点的选择a. 在绘制贝塞尔曲线时，需要合理选择控制点的位置，来保证曲线的顺滑和美观。
b. 可以通过拖动控制点的位置来实时调整曲线的形状，以达到最佳的效果。
2. 曲线的调整a. 如果曲线的形状不理想，可以随时对控制点进行调整，来改变曲线的弯曲程度和方向。
贝塞尔曲线：贝塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
当然在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop等。
在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。
贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。
滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
十九世纪六十年代晚期，Pierre Bézier应用数学方法为雷诺公司的汽车制造业描绘出了贝塞尔曲线。
贝塞尔曲线就是这样的一条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。
在历史上，研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”~也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产生皮筋伸引一样的变换，带来视觉上的冲击。
19世纪70年代，法国数学家Pierre Bézier第一个研究了这种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此按照这样的公式绘制出来的曲线就用他的姓氏来命名~是为贝塞尔曲线。
【作用】由于用计算机画图大部分时间是操作鼠标来掌握线条的路径，与手绘的感觉和效果有很大的差别。
即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。
这一点是计算机万万不能代替手工的工作，所以到目前为止人们只能颇感无奈。
使用贝塞尔工具画图很大程度上弥补了这一缺憾。
【发现者】“贝赛尔曲线”是由法国数学家Pierre Bézier所发现，由此为计算机矢量图形学奠定了基础。
它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
【贝赛尔工具】“贝赛尔”工具在photoshop中叫“钢笔工具”；在CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”。
Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。
贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。
贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。
贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。
2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。
与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。
这些基函数决定了曲线上每一点的形状。
B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。
B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。
3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。
NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。
NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。
总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。
bezier 曲线拟合算法
贝塞尔曲线（Bezier Curve）是一种数学曲线，常用于图形设计和计算机图形学中的曲线拟合。
贝塞尔曲线可以通过控制点来描述曲线的形状。
在曲线拟合中，常用的一种算法是贝塞尔曲线拟合算法，其基本想是通过调整控制点的位置来逼近给定的数据点集合。
以下是一个简单的贝塞尔曲线拟合算法的步骤：
1.给定一组数据点集合，这些点将成为贝塞尔曲线要拟合的目标。
2.选起始控制点和结束控制点，这两个控制点定义了曲线的起始和
结束位置。
3.根据需求选择其他控制点的数量，每个控制点都会对曲线形状产
生影响。
4.根据控制点的位置，使用贝塞尔曲线公式计算出曲线上的各个点。
5.使用某种误差度量方法（例如最小二乘法），将拟合曲线与原始数
据点进行比较，并调整控制点的位置以减小误差。
6.重复步骤4和步骤5，直至达到满意的拟合效果或收敛。
需要注意的是，贝塞尔曲线拟合算法的具体实现方式可能因应用环境和需求而有所差异，这里只是提供了一种基本的算法框架。
在实际应用中，您可以根据具体情况进行调整和优化。
同时，还有其他的曲线拟合算法，如多项式拟合、样条曲线等，您也可以根据自己的需求选择适合的算法。
贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。
它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。
贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。
2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。
•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。
•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。
在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。
3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。
要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。
3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。
要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。
当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。
4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。
我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。
首先，我们需要确定曲线上的一系列点。
可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。
在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。
NURBS曲线和贝塞尔曲线1. 引言在计算机图形学中，曲线是一种重要的数学工具，用于描述平面或空间中的形状。
NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）曲线和贝塞尔（Bezier）曲线是两种常见的曲线表示方法。
它们在计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）、动画和游戏开发等领域中被广泛应用。
本文将介绍NURBS曲线和贝塞尔曲线的原理、特点以及应用。
2. NURBS曲线2.1 原理NURBS曲线是一种基于B样条（B-spline）的数学表示方法，它通过控制点和权重来描述一条平滑的曲线。
与贝塞尔曲线不同，NURBS曲线可以具有非均匀节点向量，这使得它更加灵活。
2.2 特点•控制点与权重: NURBS曲线由一系列控制点和对应的权重组成。
每个控制点都有一个权重值，用于调整其对整个曲线的影响程度。
•非均匀节点向量: 节点向量决定了参数空间中的曲线形状。
NURBS曲线允许节点向量非均匀，从而可以创建更加复杂的曲线形状。
•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。
这使得NURBS曲线具有较好的局部编辑性。
•数学精度: NURBS曲线可以通过增加控制点数量来提高其数学精度，从而更好地逼近所需的形状。
2.3 应用NURBS曲线在计算机图形学和CAD领域中得到广泛应用。
它们常用于描述和绘制复杂的二维和三维形状，如汽车外壳、船体、人体模型等。
此外，NURBS曲线还被用于动画和游戏开发中的角色建模、场景设计等方面。
3. 贝塞尔曲线3.1 原理贝塞尔曲线是一种基于贝塞尔多项式的数学表示方法。
它通过控制点来定义一条平滑的曲线。
贝塞尔曲线具有递归性质，即高阶贝塞尔曲线可以由低阶贝塞尔曲线递归计算得到。
3.2 特点•控制点: 贝塞尔曲线由一系列控制点组成，这些控制点决定了曲线的形状。
•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。
这使得贝塞尔曲线具有较好的局部编辑性。
实验名称： Bezier曲线
组别： 作者： 日期：
一、 预习：实验内容及要求
实现了Bezier曲线的绘制，其中多项式系数的值由函数GetCnk计算，沿曲线路径的坐标
位置由函数GetPointPr计算，最后由BezierCurve函数通过OpenGL画点功能实现曲线绘
制。这里绘制的是一个包含4个控制点的三次Bezier曲线，为了更好的表现曲线的性质，
其控制多边形用细线画出。
二、 实验步骤及过程（可以附算法）
#include
#include
#include
class Pt3D{
public:
GLfloat x,y,z;
};
void GetCnk(GLint n, GLint *c)
{
GLint i,k;
for(k=0;k<=n;k++){
c[k]=1;
for(i=n;i>=k+1;i--) c[k]=c[k]*i;
for(i=n-k;i>=2;i--) c[k]=c[k]/i;
}
}
void GetPointPr(GLint *c, GLfloat t, Pt3D *Pt, int ControlN, Pt3D *ControlP)
{
GLint k,n=ControlN-1;
GLfloat Bernstein;
Pt->x=0.0; Pt->y=0.0; Pt->z=0.0;
for(k=0; k
Pt->x += ControlP[k].x*Bernstein;
Pt->y += ControlP[k].y*Bernstein;
Pt->z += ControlP[k].z*Bernstein;
}
}
void BezierCurve(GLint m, GLint ControlN, Pt3D *ControlP)
{
GLint *C,i;
Pt3D CurvePt;
C = new GLint[ControlN];
GetCnk(ControlN-1, C);
glBegin (GL_POINTS);
for(i=0;i<=m;i++){
GetPointPr(C,(GLfloat)i/(GLfloat)m, &CurvePt, ControlN, ControlP);
glVertex2f(CurvePt.x, CurvePt.y);
}
glEnd();
delete [] C;
}
void initial(void)
{
glClearColor (1.0, 1.0, 1.0, 0.0);
}
void Display(void)
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
GLint ControlN=4,m=500;
Pt3D
ControlP[4]={{-80.0,-40.0,0.0},{-10.0,90.0,0.0},{10.0,-90.0,0.0},{80.0,40.0,0.0}};
glPointSize(2);
glColor3f(0.0, 0.0, 0.0);
BezierCurve(m,ControlN,ControlP);
glBegin (GL_LINE_STRIP);
for(GLint i=0;i<4;i++)
glVertex3f(ControlP[i].x,ControlP[i].y,ControlP[i].z);
glEnd();
glFlush();
}
void Reshape(GLint newWidth, GLint newHeight)
{
glViewport(0,0,newWidth,newHeight);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(-100.0,100.0,-100.0,100.0);
}
void main(void)
{
glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);
glutInitWindowPosition(100, 100);
glutInitWindowSize(400, 400);
glutCreateWindow("Bezier曲线");
initial();
glutDisplayFunc(Display);
glutReshapeFunc(Reshape);
glutMainLoop();
}
三、 实验结果及分析（可另加附页）
四、 教师评价
指导教师签名：
