二次bezier曲线

Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
• 设P0、P02、P2是一条 抛物线上顺序三个不 同的点。过P0和P2点 的两切线交于P1点， 在P02点的切线交P0P1 和P2P1于P01和P11， 则如下比例成立：
• 当P0，P2固定，引入参数t，令上述比值为t:1-t)， 即有：
• t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的 第一、二条边，它们是两条一次Bezier曲线。将 一、二式代入第三式得：
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在 给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
• 当n=3时，de casteljau算法递推出 的Pik呈直角三角形， 对应结果如图所示。 从左向右递推，最右 边点P03即为曲线上的 点。
• 当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、 P2三点定义的一条二次Bezier曲线。并且表明： 这二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个 顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次 Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控 制点定义的三次Bezier曲线P03可被定义为分别 由(P0,P1,P2)和(P1,P2,P3)确定的二条二次 Bezier曲线的线性组合，由(n+1)个控制点 Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定 义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1) 次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：

二次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线
摘要：
一、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线的定义
二、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线的性质
三、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线在实际应用中的区别和联系
正文：
二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线是数学中常见的曲线类型，它们都属于贝塞尔曲线的一种。

一、定义
二次贝塞尔曲线，又称椭圆，是平面内到两个固定点F1、F2 的距离之和为常数2a 的点的轨迹。

三次贝塞尔曲线，又称双曲线，是平面内到两个固定点F1、F2 的距离之差为常数2a 的点的轨迹。

二、性质
二次贝塞尔曲线的性质包括：1.焦点到椭圆上任一点的距离之和为常数；
2.椭圆的离心率小于1；
3.椭圆的面积公式为S=πab。

三次贝塞尔曲线的性质包括：1.焦点到双曲线上任一点的距离之差为常数；2.双曲线的离心率大于1；3.双曲线的面积公式为
S=πab/√(a^2+b^2)。

三、实际应用
二次贝塞尔曲线在实际应用中常用于绘制圆润的图形，如在计算机图形学
中用于绘制光滑的曲线和表面。

而三次贝塞尔曲线在实际应用中则常用于表示两个变量之间的关系，如在物理学中用于描述电磁波的传播。

二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线虽然都属于贝塞尔曲线，但在性质和应用上存在明显的区别。

贝塞尔曲线坐标算法1. 什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学函数，用于描述平滑的曲线形状。

它由两个或多个控制点组成，通过这些控制点来确定曲线的形状和路径。

贝塞尔曲线最常见的应用是在计算机图形学中，用于绘制平滑的曲线和路径。

2. 贝塞尔曲线的分类根据控制点的数量，贝塞尔曲线可以分为以下几类：•二次贝塞尔曲线：由两个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的直线。

•三次贝塞尔曲线：由三个控制点确定，路径为一条平滑弯曲的曲线。

•高阶贝塞尔曲线：由四个或更多个控制点确定。

在本文中，我们将重点讨论二次和三次贝塞尔曲线。

3. 贝塞尔曲线坐标算法3.1 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1和结束点P2确定。

要计算二次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^2 * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t^2 * P2其中，t的取值范围为0到1。

当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P2。

3.2 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线由起始点P0、控制点P1、控制点P2和结束点P3确定。

要计算三次贝塞尔曲线上的点坐标，可以使用以下公式：B(t) = (1 - t)^3 * P0 + 3 * (1 - t)^2 * t * P1 + 3 * (1 - t) * t^2 * P2 + t^3 * P3同样地，t的取值范围为0到1。

当t为0时，B(t)等于起始点P0；当t为1时，B(t)等于结束点P3。

4. 应用示例4.1 绘制二次贝塞尔曲线假设我们有一个起始点P0(100, 100)，一个控制点P1(200, 50)，和一个结束点P2(300, 100)。

我们想要绘制一条连接这三个点的二次贝塞尔曲线。

首先，我们需要确定曲线上的一系列点。

可以选择一个步长值，例如0.01，然后使用上述公式计算每个t值对应的坐标点。

在这个例子中，t的取值范围为0到1，所以我们可以从0开始，每次增加0.01，直到达到1。

S (t ) P (t ) dt
10.1.1 曲线的表示 1. 显式表示
一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数 平面曲线显式表示的一般形式是 y f ( x) 一条直线方程 y mx b 每一个x值只对应一个y值
Computer Graphics
用显式方程不能表示封闭或多值曲线
10.1.1 曲线的表示
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
在三维空间中，曲线的参数方程为 t [0,1] P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) 1.位置矢量 曲线上任一点的位置矢量可表示为 2.切矢量
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t ))
P(t) z y △P
P (t ) ( x(t ), y(t ), z(t )) ， t [0,1]
y(t )和 z (t )分别为 t的显式函数， 其中 x(t )， 即每一个 t 对应空间一个点 ( x(t ), y(t ), z(t ))
(10.3)
通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表多种不 同的量，如时间、角度等。 连接 P0 ( x0 , y0 ) 和 P1 ( x1 , y1 )两点的直线段的参数方程可写为
2 隐式表示
平面曲线隐式表示的—般形式：
f ( x, y) 0
Computer Graphics
例如，二次隐式方程的—般形式可写成
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
(10.1)
该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。 三维空间曲线的隐式表示式为交面式:
f ( x, y, z ) 0 g ( x, y, z ) 0

1 ) i i,n(
P 1 )P 1 ) P 1 ) 0B 0 ,n( 1B 1 ,n( nB n ,n(
Bezier曲线通过特征多边形的起点和终点。
P n
（2）一阶导数
n! i1 ni ni1 i Bi,n (t) (i t (1 t) (n i)( 1 t ) t ) i!(n i)! n(n 1)! t i1 (1 t)(n1)(i1) (i 1)!((n 1) (i 1))! n(n 1)! t i (1 t)(n1)i i!((n 1) i)! n(Bi1,n1 (t) Bi,n1 (t))
Bezier曲线的拼接及其连续性
组员：栗周亚（主讲）樊凯 葛序理 牛辰光
顾超锋
尹顺源
Bezier曲线
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲
线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bézier 构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲 面的设计方法。Bézier方法将函数逼近同 几何表示结合起来，使得设计师在计算机 上就象使用作图工具一样得心应手。
Q (t ) n Pi ( Bi 1,n 1 (t ) Bi ,n 1 (t ))
i 0
n
n((P1 P0 ) B0,n 1 (t ) ( P2 P1 ) B1,n 1 (t ) ( Pn Pn 1 ) Bn 1,n 1 (t )) n ( Pi Pi 1 ) Bi 1,n 1 (t )
(5)几何不变性
曲线的形状仅与特征多边形各顶点 的相对位置有关，而与坐标系的选 择无关。
三次Bezier曲线的插值
插值要求得到的曲线精确的通过采样点，四个控制点决定 一条Bezier曲线，插值M个点(M>4)设计到曲线拼接连续性 的问题，要求达到切线连续。

n次Bezier曲线是计算机图形学和计算机辅助设计中常见的一种曲线表示方法，它可以用来描述平滑的曲线轨迹。

它的数学表达式可以通过一些简单的数学运算来得到，下面我们将详细介绍n次Bezier曲线的数学表达式。

1. 一次Bezier曲线的数学表达式假设有两个控制点P0和P1，那么一次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t) * P0 + t * P1, 0 <= t <= 12. 二次Bezier曲线的数学表达式假设有三个控制点P0、P1和P2，那么二次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2 * t * (1-t) * P1 + t^2 * P2, 0 <= t <= 13. 三次Bezier曲线的数学表达式假设有四个控制点P0、P1、P2和P3，那么三次Bezier曲线的数学表达式为：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3 * t * (1-t)^2 * P1 + 3 * t^2 * (1-t) * P2 + t^3 * P3, 0 <= t <= 14. 一般情况下的n次Bezier曲线的数学表达式对于一般情况下的n次Bezier曲线，其数学表达式可以通过递归的方式来计算，具体而言，它的数学表达式为：B(t) = Σ(i=0, n) C(n, i) * (1-t)^(n-i) * t^i * Pi, 0 <= t <= 1其中，C(n, i)表示组合数，其计算公式为：C(n, i) = n! / (i! * (n-i)!)5. 数学表达式的意义通过上述的数学表达式，我们可以看出，n次Bezier曲线的数学表达式是基于控制点和参数t的多项式表达式。

在计算机图形学和计算机辅助设计中，我们可以通过调整控制点的位置和参数t的取值，来获得不同形状的曲线。

6. 总结通过本文的介绍，我们了解了n次Bezier曲线的数学表达式，以及它的计算方法。

化 为二 次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次 １ ３ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线之 间的拼接 问题 ， 并分别给 出了二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均
匀 Ｂ样条 曲线的拼接 的 ， Ｇ１ ， Ｇ２ 光滑拼接 条件．
关键词 ： Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线 ， Ｂ样条 曲线 ； Ｂ ｏ ， ｉ ｅ ｒ 构造方法； 光滑拼接 ； 中图分类号 ： Ｔ Ｐ ３ ９ １
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
６ ３
二次 Ｂ ６ ｚ ｉ ｅ ｒ曲线与三次非均匀 Ｂ样条 曲线的拼接
赵
摘
菲 ，张贵仓 ，葸海英
（ 西 北师范大学 数学与统计学院 ，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
要： 利用 Ｂ样条 曲线的 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 构造 方法， 把二次 Ｂ ￣ ｚ ｉ ｅ ｒ 曲线与三次非均 匀 Ｂ样条 曲线的拼接转
＝
（
＋
＋
，
，
６ ４
数学教学研究
第３ ２卷第 １ １ 期
２ ０ １ ３年 １ １ 月
ｗ ， ｗ ， ＋ 南 ） ，
其 中
（ 口， ｂ ， Ｃ ， ）
＝
这里 有
一
一
” ＋１一 ‰
（ Ｒ０ ， Ｒ１ ， Ｒ２ ， Ｒ３ ） 一（ （ １ －ｌ １ ） 一 ３ ＋１ １ 一 ２ ， Ｚ ２ 一 ２ ＋（ １ 一 ２ ） ｒ ｎ 一 １ ， ｒ ｎ 一１ ， ￡ ３ ｒ 一 １ ＋（ １ — — ｌ ３ ） ｒ ） ，
（ ｌ —Ｕ ｔ ｒ － １ ， ｒ ｒ ｝ １ 一 ，
科２ 一“ ” ＋ １ ， ， ｒ 卜 ３一 ｚ ‘ ２ ） ，

i 0 1
1 1 P0 p (t ) [t 1] P 1 0 1
Bezier曲线的矩阵表示—二次Bezier曲线
n 2, 控制点序列: P0 , P1 , P2 p(t ) Pi Bi , 2 (t ) (1 t ) 2 P0 2t (1 t ) P1 t 2 P2
Bezier曲线的拼接
两条Bezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，p3与Q0
重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。
Bezier曲线的生成
Bezier曲线的缺点
1、特征多边形的顶点个数n+1决定了Bezier曲线的阶 次，即只能生成n次曲线，不灵活。 2、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的 控制明显减弱。 3、 由于基函数在区间(0,1)上均不为0。因此Bezier曲 线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变 任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线 做局部修改成为不可能。
Bezier曲线的性质－对称性、凸包性、几何不变性、 变差缩减性
(1)对称性 : * 取P i P n i ( 2)凸包性 i 0,1, , n
*
有C * (t ) P i Bi , n (t ) P i Bi , n (t ) C (t )
i 0 i 0
n
n
B
i 0 n
n
i ,n
(t ) 1, 且Bi , n (t ) 0
n
(3)几何不变性
ua P ) i Bi , n (t ) P i Bi , n ( ba i 0 i 0 ( 4)变差缩减性
Bezier曲线的矩阵表示—一次Bezier曲线
n 1, 控制点序列: P0 , P 1 p (t ) Pi Bi ,1 (t ) P0 (1 t ) P t [0,1] 1t

一、概述二次bezier曲线是计算机图形学中常用的曲线表示方法，它具有许多优良的特性，例如平滑性、易于计算、自由度高等。

在实际应用中，我们经常需要对bezier曲线进行求导，以得到曲线在不同参数下的斜率、曲率等信息。

本文将着重讨论二次bezier曲线的二阶导数，探讨其计算方法及实际意义。

二、二次bezier曲线的定义二次bezier曲线是由三个控制点P0、P1、P2定义的曲线，其参数方程可以表示为：B(t) = (1-t)^2 * P0 + 2t * (1-t) * P1 + t^2 * P2其中t为参数，取值范围通常为[0,1]。

三、二次bezier曲线的一阶导数我们首先回顾一下bezier曲线的一阶导数计算方法。

对二次bezier曲线B(t)进行求导，可以得到其一阶导数B'(t)，其参数方程为：B'(t) = 2 * (P1 - P0) * (1 - t) + 2 * (P2 - P1) * t四、二次bezier曲线的二阶导数接下来我们将重点讨论二次bezier曲线的二阶导数计算方法。

对一阶导数B'(t)再进行求导，可以得到二阶导数B''(t)。

其参数方程为：B''(t) = 2 * (P2 - 2 * P1 + P0)五、二次bezier曲线的二阶导数计算方法1. 直接计算一种计算二次bezier曲线二阶导数的方法是直接对参数方程进行求导。

这种方法较为简单直接，但需要进行大量繁琐的代数运算，容易出现计算错误。

2. 利用一阶导数另一种计算二次bezier曲线二阶导数的方法是利用一阶导数的计算结果。

我们可以先计算出bezier曲线的一阶导数，然后根据一阶导数的参数方程，再次进行求导，得到二阶导数的参数方程。

这种方法比较简洁高效，且避免了繁琐的代数运算，能够减少出错的可能性。

六、二次bezier曲线二阶导数的实际意义二次bezier曲线的二阶导数反映了曲线在参数空间中的弯曲程度，即曲线的曲率。

bezier曲线代码实现一、什么是贝塞尔曲线？贝塞尔曲线是一种数学曲线，它使用一组控制点来定义一条曲线。

它在计算机图形学、汽车设计和电子游戏等领域得到了广泛的应用。

二、贝塞尔曲线的类型1. 二次贝塞尔曲线：由三个点定义，包括起始点、控制点和结束点。

2. 三次贝塞尔曲线：由四个点定义，包括起始点、两个控制点和结束点。

三、贝塞尔曲线的实现1. 二次贝塞尔曲线的实现：```pythonimport pygamedef quadratic_bezier(points, num_divisions):x0, y0 = points[0]x1, y1 = points[1]x2, y2 = points[2]for i in range(num_divisions):t = i / num_divisionsx = (1 - t)**2 * x0 + 2 * (1 - t) * t * x1 + t**2 * x2y = (1 - t)**2 * y0 + 2 * (1 - t) * t * y1 + t**2 * y2pygame.draw.line(screen, (255, 255, 255), (x, y), (x, y))```2. 三次贝塞尔曲线的实现：```pythonimport pygamedef cubic_bezier(points, num_divisions):x0, y0 = points[0]x1, y1 = points[1]x2, y2 = points[2]x3, y3 = points[3]for i in range(num_divisions):t = i / num_divisionsx = (1 - t)**3 * x0 + 3 * (1 - t)**2 * t * x1 + 3 * (1 - t) * t**2 * x2 + t**3 * x3y = (1 - t)**3 * y0 + 3 * (1 - t)**2 * t * y1 + 3 * (1 - t) * t**2 * y2 + t**3 * y3pygame.draw.line(screen, (255, 255, 255), (x, y), (x, y))```四、总结贝塞尔曲线是一种非常有用的数学工具，它可以被用于多种领域。

Ｃ ｅ ｕ ’ａ ｄ Ｗ ａ ｇ Ｇｕ ｊｎ ｈ ｎＪ ｎ ’ ｎ ｎ ｏ ｉ 。
’ Ｉ ｓｉｕｅｏ Ｃ ｍｐｕ ｅ ａ ｉ ｎｄ Ｉ ｇｅＰｒ ｃｓｉ ｇ，Ｄｅ ａｒｍｅ ｔｏ ａｈｅ ｉｓ，Ｚｈ ｊ ａ ｇ ｉｅ ｓｔ （ ｎ ｔｔ ｔ ｆ ｏ ｔｒＧｒ ｐｈ ｃａ ｍａ ｏ ｅ ｓｎ ｐ ｔ ｎ Ｍ ｔ ｍａｔｃ ｆ ｅ ｉ ｎ Ｕｎｖ ｒｉｙ，Ｈａ ｚ ｏ ３ ０ ２ ） ｎｇ ｈ ｕ １ ０ ７
规 避 障 碍 物 的 Ｇ２ 续 有 理 二 次 Ｂ ｚｅ 样 条 曲线 连 ６ｉｒ
陈 ， 瑾” 军 王国
”（ 江 大 学数 学 系计 算 机 图 象 图形 研 究 所 杭 州 ３０ ２ ） 浙 １０ ７
（ 波工 程 学 院理 学 院 宁波 ３ １ ） 宁 １ ｂ ｒａ ｐｒ ａ ｈ ｈａ ｅ ｔ ｏｌｏ ｎ ｄ ａ ｔ ｇ ｓ：１ ｔｉ ｕ ｖ ｓ ｃ ｓ ｒ ｃ ｅ ｙ ｏｕ ｐ ｏ ｃ ｖ ｈｅ ｆ ｌ ｗｉ ｇ ａ ｖ ｎ ａ ｅ ）ｉ ｓＧ ｃ ｔｎ ｕｓｂｕｔｗｉｈ ｌ ｏｎ ｉ ｕｏ ｔ ｏｗ
关 键 词 ： Ａ Ｄ； 理 ２次 Ｂ ｚ ｒ 线 ； 续 ； 径 规 划 ； 碍物 规 避 Ｃ Ｇ 有 ６ｉ 曲 ｅ Ｇ 连 路 障
中 图 法 分类 号 ：ＴＰ ９ ３１
Ａｎ Ｏｂ ｔｃｅ Ａｖ ｉｉｇＲａｉｎ ｌ ａ ｒ ｔｃＢ６ ｉｒＳ ｌ ｅＣｕ ｖ ｔ ｓａ ｌ — ｏｄ ｎ ｔ ａ ｏ Ｑｕ ｄ ａｉ ｚｅ ｐｉ ｒ ｅｗｉｈ Ｇ Ｃ ｎ ｉ ｕｔ ｎ ｏｔ ｉ ｎ ｙ
（ ａ ｕ ｔ ｃｅ ｃ ，Ｎｉ ｇ ｏＵ ｉ ｅｓｔ ｆ Ｔ ｃ ｎ ｌｇ Ｆ ｃｌ ｏ Ｓ ｉ ｅ ｙｆ ｎ ｎ ｂ ｎ ｖ ｒｉ ｏ ｅｈ ｏｏ ｙ，Ｎｉｇ ｏ ３ ５ １ ） ｙ ｎ ｂ １ ２ １

当K (s) 0时， ( s) K ( s) 称为曲线在 P (s)点的曲率 半径。
1
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
Computer Graphics
由于 T (s)和T (s s) 都是单位长度，所以圆心角 与其对应的圆弧长 h (图 10.3)大小相等。弧长 h 和 | T |的极限相同，因此 lim | | 1 ，所以 0
cos (cos 2

sin 2 ) (cos 2 sin 2 ) (1 t 2 ) (1 t 2 ) 2 2 2 2
y y



取角度θ为参数时，x和 y的关系如图10.1(a)所 示；取t为参数时，x和 y的关系如图10.1(b)所 示，其中θ和t为等距取 值。
0
(a) 1.0 x
S (t ) P (t ) dt
0
t
可看作是曲线从 P (0) 到 P (t )
0
的折线长度的极限。记 P (0) 为 P0 ， P (t ) 为 Pn ，在曲线从 P 到 Pn 之间沿着递增 的方向，取n－1个点 的折线，它的长度为
P 1, P 2, , Pn1
n
，把相邻点用直线段连接起来，得到曲线 ，当
dT dT ds ds KN dt ds dt dt
dt 同方向
dT dT | | N KN ds ds
，其中K
KN称为曲线的曲率矢量。
10.1.2 参数曲线的切矢量、弧长、法矢量和曲率
Computer Graphics
矢量 B T N 垂直于T 和N，把B 称为单位副法线矢量。 过曲线上任一点有三个两两垂直的单位矢量T、N、B，它们满足 B T N T N B 、 N B T 。把通过给定点且分别包含切矢量T和主法矢量N，主 法矢量N和副法矢量B，副法矢量B和切矢量T的平面分别称之为密切平 面、法平面和从切平面，如图10.4所示。

二次贝塞尔曲线。

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当然在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲...===========================================贝塞尔曲线，以及用鼠标和贝塞尔曲线交互的例子分享问：coreldraw中有个贝塞尔曲线,其中贝塞尔指的是一个人？一种函数？一种公...答：转载这段时间感觉很蛋疼。

svg 贝塞尔曲线方程SVG贝塞尔曲线是一种在二维坐标系中表示平滑曲线的方法，它通过控制点来调整曲线的形状。

SVG贝塞尔曲线有两种类型：二次贝塞尔曲线（Quadratic Bezier Curve）和三次贝塞尔曲线（Cubic Bezier Curve）。

1. 二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线是由两个控制点定义的，一个是起始点（Start Point），另一个是结束点（End Point）。

这两个点之间的线段被称为“手柄”，用于调整曲线的形状。

二次贝塞尔曲线的方程如下：B(t) = (1 - t)² * P0 + 2 * (1 - t) * t * P1 + t² * P2其中，t是一个介于0和1之间的参数，表示从起始点到结束点的相对位置；P0、P1和P2分别是起始点、中间点和结束点的坐标。

通过改变t的值，可以得到曲线上不同的点。

2. 三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线是由三个控制点定义的，分别是起始点（Start Point）、中间点（Control Point）和结束点（End Point）。

这三个点之间的线段被称为“手柄”，用于调整曲线的形状。

三次贝塞尔曲线的方程如下：B(t) = (1 - t)³ * P0 + 3 * (1 - t)² * t * P1 + 3 * (1 - t) * t² * P2 + t³ * P3其中，t是一个介于0和1之间的参数，表示从起始点到结束点的相对位置；P0、P1、P2和P3分别是起始点、中间点、结束点和另一个控制点的坐标。

通过改变t的值，可以得到曲线上不同的点。

除了二次和三次贝塞尔曲线外，SVG还支持更高阶的贝塞尔曲线，如四次、五次等。

这些高阶贝塞尔曲线的方程可以通过递归或矩阵运算得到。

总之，SVG中的贝塞尔曲线是一种强大的绘图工具，通过控制点的位置和切线方向，可以生成各种平滑的曲线。

在实际应用中，可以根据需要选择合适的贝塞尔曲线类型和阶数，以满足不同的绘图需求。

贝兹曲线怎么生成面贝兹曲线是一种被广泛应用于计算机图形学中的工具，常常用来描述不规则形状的曲线或曲面。

在计算机图形学中，贝兹曲线被广泛应用于三维建模和动画制作中，可以用于生成各种复杂的几何体和表面。

下面是贝兹曲线生成面的一些方法和应用。

1. Bezier曲面生成方法贝兹曲面是一种二次或三次曲面，因此生成贝兹曲面的方法包括二次和三次贝兹曲面生成方法。

一般情况下，贝兹曲面的控制点由一系列的点组成，贝兹曲面自身则由这些控制点确定。

具体生成方法如下：1.1 二次贝兹曲面生成方法二次贝兹曲面生成方法将一系列的控制点组合成一个平面曲面。

该曲面的控制点通常由四个三维向量组成，形成一个四边形控制网格。

其中，曲面的每个点都可以由四个三维控制点确定。

1.2 三次贝兹曲面生成方法三次贝兹曲面生成方法将一系列的控制点组合成一个空间曲面。

该曲面的控制点通常由一个四边形控制网格组成，其中，每个点都可以由四个三维向量决定。

为了生成这个曲面，需要计算每个控制点在空间中的坐标。

2. Bezier曲面应用贝兹曲面在计算机图形学中有广泛的应用。

一些常见的应用包括：2.1 三维建模将二次或三次贝兹曲面应用于三维建模是其最常见的应用之一。

贝兹曲面可以用于创建各种形状的三维物体。

通过控制控制点的数量和位置，可以创建出不同形状和大小的三维物体。

2.2 动画制作贝兹曲面同样可以被用于动画制作。

通过几帧贝兹曲面的过渡，动画制作人员可以创造出相对平滑和自然的动画序列。

2.3 光滑逼近另一个贝兹曲面常用的应用是光滑逼近。

光滑逼近是一种处理离散数据的方法，它可以用于构建光滑的曲面。

因为贝兹曲面可以用少量的控制点来表示平滑的曲线和曲面，所以它被广泛应用于光滑逼近。

总结：贝兹曲线生成面的方法包括二次和三次贝兹曲面生成方法。

通过控制不同的控制点数量和位置，可以创建出不同形状和大小的三维物体。

此外，贝兹曲面还可以被用于动画制作和光滑逼近。

这些应用使贝兹曲面在计算机图形学和三维建模领域中得到广泛的应用。

二次贝塞尔曲线什么是二次贝塞尔曲线二次贝塞尔曲线（Quadratic Bezier Curve）是一种数学曲线，由两个控制点和一个起点组成。

它可以用来描述平滑的曲线形状，常用于计算机图形学、动画设计等领域。

二次贝塞尔曲线的特点是它的路径是由一条直线和一个抛物线组成的。

其中起点为直线的起点，终点为直线的终点，而控制点则决定了抛物线的形状。

二次贝塞尔曲线的公式二次贝塞尔曲线可以通过以下公式来表示：其中，P0为起始点坐标，P1为控制点坐标，P2为结束点坐标，t为参数取值范围在0到1之间。

如何绘制二次贝塞尔曲线要绘制二次贝塞尔曲线，需要确定起始点、结束点和控制点的位置，并根据上述公式计算出相应的坐标。

首先，在画布上确定起始点和结束点的位置。

然后，在这两个点之间选择一个合适的位置作为控制点。

控制点的位置将决定曲线的形状。

接下来，根据公式计算出曲线上的各个点的坐标，并将它们连接起来。

可以通过增加t的步长来绘制更精细的曲线。

二次贝塞尔曲线的应用二次贝塞尔曲线在计算机图形学和动画设计中有广泛的应用。

在计算机图形学中，二次贝塞尔曲线可以用来描述平滑的曲线路径，例如绘制自然弯曲的边界、创建动画效果等。

在动画设计中，二次贝塞尔曲线可以用来控制物体运动轨迹，使其具有流畅而自然的动作。

通过调整控制点的位置，可以实现不同形状和速度的运动效果。

此外，在字体设计、插值函数、数据可视化等领域也常常使用二次贝塞尔曲线。

三次贝塞尔曲线什么是三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线（Cubic Bezier Curve）是一种数学曲线，由四个控制点和一个起点组成。

与二次贝塞尔曲线类似，三次贝塞尔曲线也常用于计算机图形学、动画设计等领域。

三次贝塞尔曲线的特点是它的路径是由两条贝塞尔曲线组成的。

其中起点为第一条贝塞尔曲线的起点，终点为第二条贝塞尔曲线的终点，而两个控制点则决定了两条贝塞尔曲线的形状。

三次贝塞尔曲线的公式三次贝塞尔曲线可以通过以下公式来表示：其中，P0为起始点坐标，P1和P2为第一条贝塞尔曲线的控制点坐标，P3和P4为第二条贝塞尔曲线的控制点坐标，t为参数取值范围在0到1之间。

2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 递推性
Jn,n-i(u)= Jn,i(1-u)
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 J’n,i(u)=n{Jn-1,i-1(u)- Jn-1,i(u)} 递推性Jn,i(u)=(1-u)Jn-1,i(u)- uJn-1,i-1(u)
•不适合于外形设计

xj
1.2 提出Bezier曲线的理由
• 参数样条曲线不 适合于外形设计 • 三次样条曲线采 用Hermit基函数， 如果用其他基函 数，就可以得到 另外的曲线。
1.3 Bezier曲线的产生和发展
• Peire.Bezier(1910~2000)23岁进入法国雷诺 汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线 和数控钻床、铣床的组装调试。50岁开始 研究集合化的曲面构造方法。1962年、 1968年研制成功UNISURF和SURFAPT原型 系统。 • De Casteljau工作于Citroen公司，1959年提 出了Bezier方法。但未象Bezier一样公开发 表。所以曲线称为Bezier曲线。
i=0: Jn-1,i-1(u)=0 i=n: Jn-1,i(u)=0
2.2 Bezier曲线的几何性质
n 由r (u ) J n ,i (u )Vi , 0 u 1 有 i 0
' r (0) n(V 1 V 0 )
同理可得，当 u=1 时
' r (1) n(V n V n1 )
r (u ) J n ,i (u )Vi 0 u 1
i 0
n
i i J n,i (u) Cn u (1 u)ni