Bezier曲线B样条曲线

Bzeie‎r曲线和B‎S plin‎e曲线 ‎‎目录一、 重述 .................................................. 错误！未定义书签。

二、r曲线 和 ........................ 错误！未定义书签。

r曲线 定义 ............................... 错误！未定义书签。

r曲线 性质 ............................... 错误！未定义书签。

2.3 三次Bez‎ier曲线 .................... 错误！未定义书签。

2.3.1 ‎ 三次‎r 算法错误！未定义书签。

2.3.2 三次‎r 算法.错误！未定义书签。

2.3.3 两种Bez‎ier算法 ‎..... 错误！未定义书签。

r曲线 ............................... 错误！未定义书签。

三、n e曲线 和 ‎...................... 错误！未定义书签。

n e曲线 定义 ............................. 错误！未定义书签。

3.2 B样条性质........................................ 错误！未定义书签。

3.3 均匀B样条‎......................................... 错误！未定义书签。

3.4 三次B样条‎ 算法.......................... 错误！未定义书签。

3.4 ‎ 三次样‎条 算法‎错误！未定义书签。

3.5 两种BSp‎line .................... 错误！未定义书签。

四、r曲线与e曲线 区别和联系错误！未定义书签。

1、 述算法 ‎ ‎ ‎........ 错误！未定义书签。

一、 重述‎ 两 ‎ ‎ ‎两 ‎ 一 ‎ ‎ ‎ ‎ 两 ‎ ‎ 两 ‎。

（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。

下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。

de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。

Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。

以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。

二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。

由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。

用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。

de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。

这一算法可用简单的几何作图来实现。

3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。

这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。

采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。

Bezier曲线、B样条曲线和NURBS曲线0.概述1. 贝塞尔曲线（Bezier Curve）：贝塞尔曲线由一组控制点和控制点上的权重组成。

贝塞尔曲线的阶数由控制点的数量决定，阶数为n的贝塞尔曲线需要n+1个控制点。

贝塞尔曲线具有局部控制的特性，即曲线上的一段由相邻的几个控制点决定，不受其他控制点的影响。

贝塞尔曲线的计算相对简单，但在变形过程中可能会出现形状扭曲的问题。

2. B样条（B-Spline）： B样条曲线是一种基于分段多项式的曲线表示方法。

与贝塞尔曲线不同，B样条曲线的每个控制点都有一个关联的基函数。

这些基函数决定了曲线上每一点的形状。

B样条曲线的阶数可以是任意的，较高阶的B样条曲线能够更灵活地描述复杂的曲线形状。

B样条曲线具有良好的局部控制性和平滑性，可以很好地避免贝塞尔曲线的形状扭曲问题。

3. NURBS曲线（Non-Uniform Rational B-Spline Curve）：NURBS曲线是对B样条曲线的扩展，它引入了有理权重的概念。

NURBS曲线的每个控制点都有一个关联的权重，这些权重可以调节曲线上各个点的影响程度。

NURBS曲线能够表示更复杂的曲线形状，如圆弧和椭圆等。

总的来说Bezier曲线中的每个控制点都会影响整个曲线的形状，而B样条中的控制点只会影响整个曲线的一部分，显然B样条提供了更多的灵活性；Bezier和B样条都是多项式参数曲线，不能表示一些基本的曲线，比如圆，所以引入了NURBS，即非均匀有理B样条来解决这个问题；贝塞尔曲线适用于简单的曲线形状设计，B样条曲线具有更好的局部控制和平滑性，适用于复杂曲线的建模而NURBS曲线在B样条的基础上引入了有理权重，可以更准确地描述各种曲线形状Bezier曲线是B样条的一个特例，而B样条又是NURBS的一个特例1.Bezier曲线1.1 贝塞尔曲线的历史:贝塞尔曲线于 1962 年，由法国工程师皮埃尔·贝济埃（PierreBézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计,贝塞尔曲线最初由保尔·德·卡斯特里奥于1959年运用德卡斯特里奥算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。

1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。

Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。

如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。

在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。

其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。

2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。

若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。

端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。

b样条曲线和bezier曲线区别他们的区别主要有以下4点：
1、Bezier曲线的基函数次数等于控制顶点数减1。

B样条曲线基函数次数与控制顶点数无关；
2、Bezier曲线的基函数是Beinstein基函数，它是个多项式函数。

B样条曲线的基函数是多项式样条。

3、Bezier曲线是一种特殊表示形式的参数多项式曲线。

B样条曲线则是一种特殊表示形式的参数样条曲线。

4、Bezier曲线缺乏局部性质，即修改任意一个控制顶点都会对曲线整体产生影响。

B样条曲线具有性质，即修改一个控制顶点只会对几段曲线产生影响。

NURBS曲线和贝塞尔曲线1. 引言在计算机图形学中，曲线是一种重要的数学工具，用于描述平面或空间中的形状。

NURBS（Non-Uniform Rational B-Spline）曲线和贝塞尔（Bezier）曲线是两种常见的曲线表示方法。

它们在计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）、动画和游戏开发等领域中被广泛应用。

本文将介绍NURBS曲线和贝塞尔曲线的原理、特点以及应用。

2. NURBS曲线2.1 原理NURBS曲线是一种基于B样条（B-spline）的数学表示方法，它通过控制点和权重来描述一条平滑的曲线。

与贝塞尔曲线不同，NURBS曲线可以具有非均匀节点向量，这使得它更加灵活。

2.2 特点•控制点与权重: NURBS曲线由一系列控制点和对应的权重组成。

每个控制点都有一个权重值，用于调整其对整个曲线的影响程度。

•非均匀节点向量: 节点向量决定了参数空间中的曲线形状。

NURBS曲线允许节点向量非均匀，从而可以创建更加复杂的曲线形状。

•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。

这使得NURBS曲线具有较好的局部编辑性。

•数学精度: NURBS曲线可以通过增加控制点数量来提高其数学精度，从而更好地逼近所需的形状。

2.3 应用NURBS曲线在计算机图形学和CAD领域中得到广泛应用。

它们常用于描述和绘制复杂的二维和三维形状，如汽车外壳、船体、人体模型等。

此外，NURBS曲线还被用于动画和游戏开发中的角色建模、场景设计等方面。

3. 贝塞尔曲线3.1 原理贝塞尔曲线是一种基于贝塞尔多项式的数学表示方法。

它通过控制点来定义一条平滑的曲线。

贝塞尔曲线具有递归性质，即高阶贝塞尔曲线可以由低阶贝塞尔曲线递归计算得到。

3.2 特点•控制点: 贝塞尔曲线由一系列控制点组成，这些控制点决定了曲线的形状。

•局部控制: 修改一个控制点只会影响其附近的局部区域，不会对整个曲线产生影响。

这使得贝塞尔曲线具有较好的局部编辑性。

计算机图形学实验报告实验名称 Bezier曲线和样条曲线的生成算法评分实验日期年月日指导教师姓名专业班级学号一、实验目的1、复习Bezier曲线和B样条曲线的参数表示法。

2、编程实现用二次Bezier曲线绘制。

3、编程实现用三次Bezier曲线绘制和分段光滑Bezier曲线图形的绘制。

4、用三次B样条函数绘制曲线。

二、实验要求1、编程实现在屏幕上绘制出两次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。

2、现在屏幕上绘制出三次Bezie曲线的几何图形和特征多边形图形，对于直线和曲线设置不同的线形和颜色。

1、编程实现用分段三次Bezier曲线绘制光滑Bezier曲线图形。

1、编程实现在屏幕上绘制出三次B样条函数绘制曲线。

2、编程实现在屏幕上绘制出光滑连接的三次B样条曲线。

三、关键算法及实现原理1、二次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(P0-2P1+P2)t2+(-2P0+2P1)t+P0X(t)=(X0-2X1+X2)t2+(-2X0+2X1)t+X0Y(t)=(Y0-2Y1+Y2)t2+(-2Y0+2Y1)t+Y0其中P0、P1、P2为三个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2)。

2、次Bezier曲线的计算公式为：P(t)=(-P0+3P1-3P2+P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P1)t+P0X(t)= (-X0+3X1-3X2+X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X1)t+X0Y(t)= (-Y0+3Y1-3Y2+Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y1)t+Y0其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。

3、三次B样条函数绘制曲线的计算公式为：P(t)=[(-P0+3P1-3P2+3P3)t3+(3P0-6P1+3P2)t2+(-3P0+3P2)t+(P0+4P1+P2)]/6X(t)=[(-X0+3X1-3X2+3X3)t3+(3X0-6X1+3X2)t2+(-3X0+3X2)t+(X0+4X1+X2)]/6Y(t)=[(-Y0+3Y1-3Y2+3Y3)t3+(3Y0-6Y1+3Y2)t2+(-3Y0+3Y2)t+(Y0+4Y1+Y2)]/6其中P0、P1、P2、P3为四个已知的点，坐标分别为(X0、Y0)、(X1、Y1)、(X1、Y2) 、(X3、Y3)。

贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。

本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。

一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。

其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。

贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。

2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。

3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。

在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。

二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。

B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。

B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。

2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。

3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。

相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。

1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

§4.3 贝塞尔曲线和B 样条曲线在前面讨论的抛物样条和三次参数样条曲线，他们的共同特点是：生成的曲线通过所有给定的型值点。

我们称之为“点点通过”。

但在实际工作中，往往给出的型值点并不是十分精确，有的点仅仅是出于外观上的考虑。

在这样的前提下，用精确的插值方法去一点点地插值运算就很不合算；另外，局部修改某些型值点，希望涉及到曲线的范围越小越好，这也是评价一种拟合方法好坏的指标之一。

针对以上要求，法国人Bezier 提出了一种参数曲线表示方法，称之为贝塞尔曲线。

后来又经Gorgon, Riesenfeld 和Forrest 等人加以发展成为B 样条曲线。

一、贝塞尔曲线贝塞尔曲线是通过一组多边折线的各顶点来定义。

在各顶点中，曲线经过第一点和最后一点，其余各点则定义曲线的导数、阶次和形状。

第一条和最后一条则表示曲线起点和终点的切线方向。

1.数学表达式n+1个顶点定义一个n 次贝塞尔曲线，其表达式为：)()(0,t B p t p ni n i i ∑== 10≤≤t),...,2,1,0(n i p i =为各顶点的位置向量，)(,t B n i 为伯恩斯坦基函数i n i n i t t n i n t B ---=)1()!1(!!)(,2.二次贝塞尔曲线需要3个顶点，即210,,p p p ，将其代入曲线表达式：2,222,112,00)(B p B p B p t p ++=220202,021)1()1()!02(!0!2t t t t t B +-=-=--=-21212,122)1(2)1()!12(!1!2t t t t t t B -=-=--=-22222,2)1()!22(!2!2t t t B =--=-221202)22()21()(p t p t t p t t t p +-++-=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=21020010221211p p p t t 10≤≤t 2102)21(2)1(2)(tp p t p t t p +-+-=')(222)0(0110p p p p p -=+-=' 0)0(p p =)(222)1(1221p p p p p -=+-=' 2)1(p p =当21=t 时： 21021041214141)412212()412121(21p p p p p p p ++=+⋅-⋅++⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛)](21[21201p p p ++= 02210212)2121(2)121(221p p p p p p -=⋅+⋅-+-=⎪⎭⎫⎝⎛'3.三次贝塞尔曲线三次贝塞尔曲线需要4个点，即0p 、1p 、2p 、3p 。