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Bezier 曲线什么是 Bezier 曲线？Bezier 曲线是一种数学曲线，由法国工程师 Pierre Bézier 于20世纪50年代发明。
它是计算机图形学中最基本和最常用的曲线之一。
由于其简单性和灵活性，Bezier 曲线被广泛应用于计算机图形、工业设计、动画制作等领域。
Bezier 曲线的特点Bezier 曲线由一系列控制点确定，并通过调整这些控制点的位置和参数来定义曲线的形状。
以下是 Bezier 曲线的一些特点：1.可调节性：调整控制点的位置和参数可以改变曲线的形状、弯曲程度和速度。
2.平滑性：Bezier 曲线能够平滑连接控制点，使得曲线在控制点之间呈连续曲率。
3.参数化形状：Bezier 曲线可以通过调整参数来生成无限多种形状，从简单的直线到复杂的曲线。
4.逼近性：Bezier 曲线可以用来逼近其他复杂的曲线，如圆弧、椭圆等。
Bezier 曲线的数学表达Bezier 曲线是通过插值和多项式生成的数学曲线。
根据控制点的个数，可以确定 Bezier 曲线的阶数。
一般情况下，Bezier 曲线的阶数等于控制点数减1。
对于一维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 1DBezier 1D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
对于二维的 Bezier 曲线，它可由以下公式表示：Bezier 2DBezier 2D其中，n 为阶数，t 为参数，Pi 为控制点，Bi, n(t) 为 Bezier 基函数。
Bezier 曲线的应用Bezier 曲线的应用非常广泛，以下是一些常见的应用场景：1.计算机图形学：Bezier 曲线可以用来绘制平滑的曲线和曲面，用于构建2D和3D图形。
2.工业设计：Bezier 曲线可以用来设计平滑的汽车车身、家具等产品。
3.动画制作：Bezier 曲线可以用来定义动画路径，使得动画流畅而自然。
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1、试推导三次Bezier曲线的一阶几何连续的拼接条件
答：
1）如图所示，设首段Bezier曲线由P0P1P2P3组成，第二段由Q0Q1Q2Q3组成
2）则两段曲线方程为：
3）满足零阶连续条件为：
4）满足一阶几何连续（光滑连续）的条件为：
，由此可得：
5）
2、计算由控制点P0（0，0，0）、P1（20，40，0）、P2（60，50，0）、P3（80，0，0）确定的三次Bezier曲线参数t＝0.5时曲线上点的值
答：
= [ 1/8 3/8 3/8 1/8 ] [ A B C D]T
将上式A、B、C、D以题目中P0、P1、P2、P3坐标代入，
得：[ x y z ] = [ 0，30，15 ]
3、如图所示形体，填写Brep表达的边表和环表，给出形体的点、边、环、面数目
注：只填写ABFE面上的边表
注：只填写ABFE 面和CDEF 面上的环表
该形体的顶点数为： ，边数为： ，环数为： ，面数为： 。
答案：
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（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
球域bézier曲线
球域Bézier曲线是一种几何建模技术，它用于描述三维空间中球形区域内的曲线。
这种曲线是通过使用Bézier曲线和Bézier曲面在球面上的投影来定义的。
球域Bézier曲线的基本思想是将球面分割成一系列小的曲面片，然后将每个曲面片近似为Bézier曲面。
通过将这些Bézier曲面连接起来，形成一条平滑的曲线。
球域Bézier曲线的定义需要使用球面坐标系。
在球面坐标系中，球心位于原点，x 轴和y轴分别与球面上的经线和纬线对应。
球面上的任意一点P可以用经度θ、纬度φ和半径r来表示。
球域Bézier曲线的参数形式可以用以下公式表示：
P(t) = (r(t) * sin φ1(t) * cos θ1(t), r(t) * sin φ1(t) * sin θ1(t), r(t) * cos φ1(t))
其中，t是参数，r(t)、φ1(t)和θ1(t)是Bézier曲线和曲面在球面上的投影。
通过调整Bézier曲线和曲面的控制点，可以改变球域Bézier曲线的形状和弯曲程度。
同时，通过调整参数t的范围，可以控制曲线的长度和方向。
球域Bézier曲线在三维建模、动画制作、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
它可以用于创建复杂的曲面和曲线，如地形、建筑物、植物等。
同时，球域Bézier曲线还可以
与其他几何建模技术结合使用，如NURBS、细分曲面等，以创建更加逼真的三维模型。
连续贝塞尔曲线连续贝塞尔曲线是一种在计算机图形学中常用的曲线绘制方法。
它通过控制点的位置和权重来定义曲线的形状，可以绘制出平滑且连续的曲线。
贝塞尔曲线是一种基于数学原理的曲线绘制方法，它通过控制点来定义曲线的形状。
在贝塞尔曲线中，有两种类型的控制点：锚点和控制点。
锚点是曲线的起点和终点，而控制点则决定了曲线的弯曲程度。
在绘制连续贝塞尔曲线时，我们需要至少三个锚点和两个控制点。
首先，我们需要确定曲线的起点和终点，这两个点将作为锚点。
然后，我们需要确定曲线的弯曲程度，这可以通过调整控制点的位置来实现。
在绘制连续贝塞尔曲线时，我们需要使用贝塞尔曲线的插值公式。
这个公式可以根据给定的控制点和权重来计算曲线上的点的位置。
通过不断调整控制点的位置和权重，我们可以得到不同形状的曲线。
绘制连续贝塞尔曲线的过程可以分为以下几个步骤：1. 确定锚点的位置。
锚点是曲线的起点和终点，我们需要确定它们的位置。
2. 确定控制点的位置。
控制点决定了曲线的弯曲程度，我们需要调整它们的位置来实现所需的形状。
3. 确定控制点的权重。
权重决定了控制点对曲线形状的影响程度，我们需要调整它们的值来实现所需的形状。
4. 计算曲线上的点的位置。
使用贝塞尔曲线的插值公式，我们可以计算出曲线上的点的位置。
5. 绘制曲线。
将计算出的点连接起来，就可以得到连续贝塞尔曲线。
绘制连续贝塞尔曲线需要一定的数学知识和计算能力，但它可以绘制出平滑且连续的曲线，非常适合在计算机图形学中使用。
通过调整控制点的位置和权重，我们可以绘制出各种形状的曲线，从简单的直线到复杂的曲线都可以实现。
总之，连续贝塞尔曲线是一种常用的曲线绘制方法，通过控制点的位置和权重来定义曲线的形状。
它可以绘制出平滑且连续的曲线，非常适合在计算机图形学中使用。
通过调整控制点的位置和权重，我们可以绘制出各种形状的曲线，实现丰富多样的图形效果。
Bezier曲线曲面的拼接Bezier曲线曲面是一种常见的计算机图形学中的曲线曲面构造方法。
其原理是通过数学公式来描述一个点集合的形状。
在实际应用中，我们通常需要根据实际需求来构造或者拼接Bezier曲线曲面。
本文将着重介绍Bezier曲线曲面的拼接方法。
一、Bezier曲线曲面的构造Bezier曲线曲面的构造方法很简单，只需要给定点的坐标和曲线方程即可。
其中，点的坐标用于描述曲线上的控制点位置，而曲线方程则用于描述控制点间的线段的形状。
对于一条Bezier曲线，它的方程可以表示为：$$P(u)=\\sum_{i=0}^{n}B_i^n(u)P_i$$其中，$n$代表控制点的数量，$P_i$表示第$i$个控制点的坐标，$B_i^n(u)$是权重多项式，它可以通过如下公式计算：$$B_i^n(u)={n\\choose i}u^i(1-u)^{n-i}$$这个公式包含两个部分。
第一部分是二项式系数$C_n^i={n\\choose i}$，它描述的是从$n$个点中选取$i$个点的组合数。
第二部分是$u^i(1-u)^{n-i}$，它描述的是每个控制点在曲线上占据的位置和弧长。
通过这两部分的组合，我们可以得到一个平滑连续的Bezier曲线。
对于一条Bezier曲面，它的方程可以表示为：$$P(u,v)=\\sum_{i=0}^{n}\\sum_{j=0}^{m}B_i^n(u)B_j^m(v)P_{ij}$$其中，$n$和$m$分别代表控制点的数量，$P_{ij}$表示第$i$行，第$j$列的控制点的坐标。
这个方程就是通过控制点的二维数组来描述空间中的三维曲面的。
二、Bezier曲线曲面的拼接当需要在一个三维场景中绘制复杂的曲面形状时，往往需要将不同的曲面拼接起来。
Bezier曲线曲面的拼接可以通过各种方法实现。
以下介绍两种常用的拼接方法。
1. 曲面连接法曲面连接法需要将拼接曲面共享一个相邻控制点，从而使得两个曲面连接处的网格点重合。
bezier曲线的拼接及其连续性
贝塞尔曲线是一种二次多项式曲线，它可以表示物体在三维空间中的运动状态，从而可以以精确的方式模拟物体的运动轨迹。
贝塞尔曲线可以非常精准地模拟物体的移动，如自然界中物体的运动曲线，如果使用椭圆形或抛物线，无论是位移还是移动的加速度都可以被精确地模拟出来。
这些特性决定了贝塞尔曲线在各种科学，工程和艺术领域的广泛应用，例如城市设计，动画，建筑，电影制作，图形设计，工业设计，舞蹈，等等。
因为它可以表达丰富多样，复杂形式、自然运动状态，更容易处理处理复杂动画和游戏平台中的小游戏功能。
贝塞尔曲线一般被研究为一簇控制点，通过理论分析可以证明，连接控制点的位置及其特性关系，可以用来提取参数表达的曲线。
为了确保曲线的连续性，贝塞尔曲线可以像串联火柴一样，用控制点和节点来表达曲线，控制点是具有控制功能的点，它控制曲线的变化，节点是分别由控件点定义的点，通过节点的相互连接，可以有条理的拼接出贝塞尔曲线，从而保证曲线的连续性。
贝塞尔曲线的连续性是贝塞尔曲线的重要特性之一，它决定了贝塞尔曲线的控制精度和平滑度。
也就是说，连续性是控制贝塞尔曲线的重要条件之一。
建立贝塞尔曲线的前提是形成一簇连续性好的控制点，然后，通过各个控制点将贝塞尔曲线拼接起来，最终形成具有良好连续性的曲线。
因此，要想实现质量不变的曲线，而且满足曲线连续性的要求，节点和控制点之间的位置及其特性关系对其求出来的曲线拼接结果至关重要。
贝塞尔曲线的拼接及其连续性是重要的，因为它可以表示物体的精确运动轨迹。
正是贝塞尔曲线的控制精度和平滑度，才有可能表达丰。
贝塞尔曲面的拼接研究2012 年 1 月Bezier曲线的连接及Bezier曲面的拼接摘要根据线动成面的思想由Bezier曲面的概念引入Bezier曲面的概念，Bezier 实际上是先由控制顶点生成一个方向（设为v方向）上的Bezier曲线，然后在已竟形成的Bezier曲线上寻找控制顶点，生成另一个方向（设为u方向）上的Bezier曲线，形成控制网格，Bezier曲面是对该控制网格的逼近。
同样，类似于Bezier曲线的性质介绍了Bezier曲面的端点性质、边界线位置、凸包性等比较常见的几个性质。
几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10次。
所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来。
同样的，复杂的曲面用Bezier曲面相互拼接起来实现。
根据光滑连续性的条件考虑连接处的光滑，从而实现Bezier曲线的光滑连接以及Bezier曲面的拼接。
关键词：光顺连续性、Bezier曲线的连接、Bezier曲面的拼接、服装仿真1 引言在虚拟现实和视景仿真应用中，天空仿真是必不可少的内容。
无论是地面还是空中、海上的视景仿真，天空背景的真实感对用户来说能大大提高视觉享受和沉浸感。
但是就目前来看，大部分软件和仿真平台对真实天空的模拟还都不太尽人意，例如著名的VEGA 仿真平台，不同气候条件下的天空仅仅是在不同颜色背景下几层贴上云纹理的平面，从地面上看去，云层明显的有一条水平的终结线。
而一旦进入这些云层，就更加明显的感到是穿过了几层毫无体积感的纹理平面。
在现实生活中，人们对天空是再熟悉不过了。
真实的天空是非常复杂的，从视觉角度分析，就有霞、雾、晕、晴、阴等等各种自然现象，而且整个天球在空间上也不是均匀体现某种颜色的，而是随着每天时间和天气状况的不同，有着千变万化的变化。
所以要完全仿真真实的天空，不仅要有图形学方面的知识，还要具备天文和大气物理学的知识，由于我们对这些知识不甚了了，只能对天空的仿真进行简化。
简述bezier曲线的性质一、 bezier曲线的定义1． bezier曲线的概念： bezier曲线就是函数y=f(x)， y=f(-x)，f(x)随x的变化而变化，并且所有这些随机点的集合都包含在一条直线上。
2． bezier曲线的图象： bezier曲线可以由点M(x， y)表示，由点M'(x'， y')表示，由点O(x， y)表示，因为这四个点都属于[-x，0]，这样，它们围成了一个四边形，我们称这个四边形为[-x， 0]A ∪[0， y]B ∩[0， -y]的bezier曲线图象。
3． bezier曲线的性质：①当x→0时， bezier曲线是开口向上的抛物线，②当x→0时， bezier曲线是以y轴为中心对称的双曲线，③当x→0时， bezier曲线是倾斜的;若y=f(x)， f(-x)， f(x)是直线，这是一条平行线;4． bezier曲线的拐点：曲线上某一点到x轴、 y轴的距离相等，或该点既不在x轴上，也不在y轴上，则称这一点是bezier曲线的拐点。
拐点有三类：一类是x=0， y=0;第二类是x=y=0;第三类是x=0， y=y=0。
4． bezier曲线的应用：在线性规划问题中，需要确定使得目标函数值达到最大的水平或垂直线段， bezier曲线可以帮助我们做出正确选择， bezier曲线也可以帮助我们分析解决一些实际问题，如果求极值的问题，求两条或多条实际可行线段交点的问题，通过使实际可行线段交点最小来分析问题和找到最佳点。
总之， bezier曲线是我们解决实际问题的有力工具。
5．综合练习，解答1．利用bezier曲线，讨论函数在某一点的取值范围，再由此判断函数的单调区间; 2．求已知函数f(x)的图象与其一阶导数f'(x)的图象的交点坐标; 3．利用bezier曲线及其图象求下列各函数的一阶导数; 4．已知一元二次方程x=1/2-1/3，用bezier曲线法求解; 5．讨论函数f(x)=-x-7/x是否为增函数，并说明理由。
ae 常见曲线AE常见曲线Adobe After Effects（简称AE）作为视频处理和特效制作软件中的大佬，其动画制作和控制的能力也不可小觑，其中曲线编辑器是其中的重要工具之一。
曲线可以很好地表现出动画素材的速度、角度、透明度、颜色等属性的变化，因此深入了解AE常用曲线是非常有必要的。
一、Bezier曲线在AE中，大部分曲线默认使用的是Bezier曲线。
Bezier曲线的特点是自由度高，可以随意调整曲线的弹性和速率。
在AE中，Bezier曲线默认使用的是贝赛尔曲线。
1.1 控制点贝赛尔曲线由起始点、终止点和中间的贝塞尔点（控制点）组成，控制点的位置可以影响曲线的弯曲程度。
在AE中，在工具栏中选择Bezier曲线工具（Ctrl+B）后，拖动曲线即可添加控制点。
选中控制点可以拖动它来调整曲线。
1.2 曲线类型AE中的Bezier曲线有线性Bezier曲线、光顺Bezier曲线、尖顶Bezier曲线、光顺角Bezier曲线四种类型。
- 线性Bezier曲线：两个控制点位置相同，产生一条连续的直线。
- 光滑Bezier曲线：控制点相互作用形成的动态曲线，光滑的弧度感觉很自然。
- 尖顶Bezier曲线：由两个一光滑一锐利的Bezier点共同构成，曲线简单。
- 光滑角Bezier曲线：两个钝角轮廓（外环）的控制点构成的光滑段的曲线。
二、Ease In和Ease Out曲线用于控制运动的加速和减速，让动画更加自然，使得运动不再是匀速的。
2.1 Ease InEase In效果即从静止开始慢慢加速的过程，就像物体启动后开始加速一样，通常用Ease In的曲线效果可以使得初始的运动增加快感，良好的Ease In效果可以许多动画的一大亮点。
在AE中，要使用Ease In效果，需要在特效控制器栏中找到物体运动路径的选项并调整Ease In。
Ease In效果有三种类型：加速Ease In、移动Ease In和贝塞尔Ease In。
贝塞尔曲线的连接与制作
贝塞尔曲线，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。
当然在一些比较成熟的位图软件中也有贝塞尔曲线工具，如PhotoShop 等。
在Flash4中还没有完整的曲线工具，而在Flash5里面已经提供出贝塞尔曲线工具。
问题
如图这些绿色的点我们希望用光滑的曲线连接它们。
解决方案
大致思路就是先算出相邻原始点的中点，在把相邻中点连成的线段平移到对应的原始点，以平移后的中点作为控制点，相邻原始点为起始点画贝塞尔曲线，这样就保证了连接处的光滑。
而贝塞尔曲线本身是光滑的，所以就把这些原始点用光滑曲线连起来了。
实验结果
看起来连接的还是比较光滑的。
Bezier曲线的绘制实验报告一、程序实现环境1操作系统：Windows XP 、Windows72.编程语言：C++3.程序实现环境：Visual C++ 6.0二、算法思想三、使用说明程序界面如下图：用户可以在编辑框中输入4个控制点的坐标，也可以通过在绘图区内直接通过鼠标的单击指定4个控制点的位置，输入4个控制端点后，单击“画Bezier曲线”按钮即可绘制Bezier曲线。
四、实验结果五、程序代码（关键代码）void CMFC_BezierCurve2Dlg::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point) {if(pointOrd==1) //原点(490,270){m_p1_x = point.x - 490;m_p1_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==2){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p1_x, 270-m_p1_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p2_x = point.x - 490;m_p2_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==3){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p2_x, 270-m_p2_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p3_x = point.x - 490;m_p3_y = 270 - point.y;}if(pointOrd==4){CDC *pDC=GetDC();pDC->MoveTo(490+m_p3_x, 270-m_p3_y);pDC->LineTo(point.x, point.y);m_p4_x = point.x - 490;m_p4_y = 270 - point.y;}pointOrd++;UpdateData(FALSE);CDialog::OnLButtonDown(nFlags, point);}voidGetCnk (int n, int *c){inti,k;for(k=0; k<=n; k++){c[k]=1;for(i=n; i>=k+1; i--) c[k]=c[k]*i;for(i=n-k; i>=2; i--) c[k]=c[k]/i;}}void CMFC_BezierCurve2Dlg::GetPointPos(intControlN, double t, int *c) {int k, n=ControlN-1;double Bernstein;Pt.x=0.0; Pt.y=0.0;for(k=0; k<ControlN; k++){Bernstein=c[k]*pow(t,k)*pow(1-t,n-k);Pt.x += ControlP[0][k].x * Bernstein;Pt.y += ControlP[0][k].y * Bernstein;}}void CMFC_BezierCurve2Dlg::OnButtonDrawBeziercurve(){UpdateData();pointOrd=1;CDC *pDC=GetDC();ControlP[0][0].x=m_p1_x;ControlP[0][0].y=m_p1_y;ControlP[0][1].x=m_p2_x;ControlP[0][1].y=m_p2_y;ControlP[0][2].x=m_p3_x;ControlP[0][2].y=m_p3_y;ControlP[0][3].x=m_p4_x;ControlP[0][3].y=m_p4_y;pDC->MoveTo(490+m_p1_x, 270-m_p1_y);pDC->LineTo(490+m_p2_x, 270-m_p2_y);pDC->LineTo(490+m_p3_x, 270-m_p3_y);pDC->LineTo(490+m_p4_x, 270-m_p4_y);int *C, i;intControlN=4, m=500;C=new int[ControlN];GetCnk (ControlN-1, C);for(i=0; i<=m; i++){GetPointPos(ControlN, (double)i/(double)m, C);pDC->SetPixel(490+Pt.x, 270-Pt.y, 255);}}两段Bezier曲线的拼接实验报告一、程序实现环境1操作系统：Windows XP 、Windows72.编程语言：C++3.程序实现环境：Visual C++ 6.0二、算法思想三、使用说明程序界面如下图：用户可以在编辑框中输入4个控制点的坐标，也可以通过在绘图区内直接通过鼠标的单击指定4个控制点的位置，输入4个控制端点后，单击“画Bezier曲线”按钮即可绘制Bezier曲线。
