第二章 复习学案

主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间：第二章变化率与导数（复习）【学习目标】1、理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念，会求给定函数在某个区间上的变化率。

2、理解导数的概念及其几何意义，求函数的导数。

3、理解函数平均变化率和瞬时变化率的概念，会求给定函数在某个区间上的变化率。

4、理解导数的概念及其几何意义，求函数的导数。

【重点、难点】 重点：函数的求导难点：复合函数的导数【使用说明与学法指导】1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案；2、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1导数对一般的函数)(x f y =来说，在自变量x 从0x 变到1x 的过程中，记01x x x -=∆，)()(01x f x f y -=∆它的平均变化率为_________________当0→∆x 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数)(x f y =在0x 点的_______________,称瞬时变化率为函数)(x f y =在0x 点的_____________.记作___________________________________________. 1、2、 求导法则若函数)(x f 、)(x g 有导数，则[]_______________)()(='±x g x f 若函数)(x f 、)(x g 有导数，则[]_______________)()(='x g x f若函数)(x f 、)(x g 有导数，0)(≠x g 则_______________)()(='⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f4、复合函数的导数如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='xy【合作探究】1、求曲线221y x =+在()1,3P -处的切线方程.2、求过点)3,1(-P 且与曲线y x 22=相切的直线方程.3、过原点作曲线x y e =的切线，求切线方程.4、若()03f x '=-，求()()0003lim h f x h f x h h→+--.【巩固提高】1求正弦曲线sin y x =上切线斜率等于12的点的坐标.2求函数lg y x =在点()1,0处的切线方程.3．已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示， 那么函数f (x )的图象最有可能的是( )4、设()0sin f x x =，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=， ，()()1n n f x f x +'=，n ∈N ，则f 2011(x)=（ ）A ．sin xB ．sin x -C ．cos xD ．cos x -A BCD。

《世界的气候》学案第二课时一、学习目标1、运用“热带气候类型分布图”，说出热带主要气候类型的分布：运用热带代表地点的气温年变化曲线和各月降水量柱状图，描述热带气候类型代表地点的气候特点。

2、运用“北半球温带气候类型分布图”，说出温带主要气候类型的分布：运用温带代表地点的气温年变化曲线和各月降水量柱状图，描述温带气候类型代表地点的气候特点。

3、运用“世界气候类型分布图”，说出寒带气候及高原山地气候的分布，简要描述其气候特点。

二、重点难点主要气候类型的分布。

三、导学问题1．由于气温和降水分布具有一定的规律性，因而气候类型分布具有一定的规律性。

从低纬到高纬，依次分布着热带气候、温带气候和寒带气候。

2．热带气候四种热带气候的分布：(1)甲地气候类型分布_____在附近，其气候特点______。

乙地气候类型主要分布在_____地区，其气候特点是______。

造成甲、乙两地气候差异的主要因素是______。

(2)丙地气候类型主要分布在中纬度地区亚欧大陆_____，其气候特点是______。

丁地气候类型主要分布在中纬度地区亚欧大陆_____，其气候特是____。

造成丙、丁两地气候差异的主要因素是_______。

(3)在甲地区的高山地带有白雪皑皑的景观，其影响气候的因素是______________________________。

(4)分组搜集气候与景观、气候与传统服饰、气候与建筑特色、气候与饮食文化方面的图片资料，使用“学乐师生”APP拍照，分享给全班同学。

四、参考资料热带雨林在温暖多雨的热带自然形成的、富有厚茎藤本、木质和草质附生植物的常绿森林生物群落。

优越而稳定的环境为数以万计的生物种类提供最佳生存和发展条件。

热带雨林是树木的王国，种类极其丰富，通常在4000平方米内可以找到直径10厘米以上乔木达40～100种。

它们较均匀混合生长，一般缺乏明显优势种类。

各种树木的外貌彼此却很相似。

树干粗直犹如圆柱，在近树梢处才有分枝，浅色树皮薄而光滑。

第二章一元二次方程 复习【教学目标】知识与技能通过复习一元二次方程的有关概念及其解法，归纳，总结出不同类型的一元二次方程应用不同的解法，提高解题效率。

过程与方法通过对一元二次方程的根与系数关系复习，培养学生的知识应用能力情感、态度与价值观经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。

【教学重难点】教学重点一元二次方程的解法以及根与系数的复习教学难点灵活运用一元二次方程的解法进行解题【导学过程】【创设情景，引入新课】某校团委准备举办学生绘画展览,为了美化画面,在长为30cm 、宽为20cm 的矩形画面四周镶上宽度相等彩纸,并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等。

求彩纸的宽度。

（审题列式导入课题。

）【自主探究】二）知识回顾（1）定义：只含有_____个未知数，且未知数的最高次数是____的整式方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式是____________。

其中____叫二次项，_____是二次项系数；_____叫一次项,______是一次项系数；______叫常数项。

3、将方程 化为一元二次方程的一般形式是：_____________，它的二次项系数是____，一次项系数是___，常数项是___.4、在下列方程2222)2(,01,1,012x x x x x y x =-=-=+=+ 中，是一元二次方程的有 。

课堂练习，归纳一元二次方程的解法用适当的方法求解下列方程(1)3)10(2=-x (2)0362=+-x x(3)041092=-+x x(4)0522=-x x若方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个根21,x x ，那么这两个根与方程的系数有什么关系？(1)已知一元二次方程01322=--x x 的两个根为21,x x ，则=+21x x __________;(2)若0=x 是方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的解，则=m ____________;(3)已知52-是一元二次方程042=+-c x x 的一个根，则方程的另一个根是________。

八年级物理上册第二章《复习课》导学案我的幼儿园教学设计意图是为了让孩子们在愉快的氛围中学习和成长，通过丰富多彩的活动，培养他们的观察力、思维能力和创造力。

本节课的设计方式是以游戏为主，结合故事和实物，让孩子们在动手动脑的过程中掌握知识。

活动的目的是让孩子们能够主动参与学习，提高他们的自我表达能力，培养他们的团队协作精神。

教学目标是让孩子们能够认识和区分不同的动物，了解它们的特点和生活习性。

通过观察、操作和交流，让孩子们提高观察力，培养他们的语言表达能力和思维能力。

教学难点是让孩子们能够正确地表达自己所观察到的动物的特点和生活习性。

教学重点是让孩子们能够积极参与观察和交流，提高他们的观察力和语言表达能力。

为了准备好这节课，我准备了各种动物的图片、模型和视频，还有孩子们喜欢的贴纸和奖励小礼物。

第一步，我通过一个有趣的故事引入，让孩子们了解到动物们的生活环境和特点。

第二步，我展示各种动物的图片和模型，让孩子们观察并说出它们的特点。

第三步，我组织孩子们进行小组活动，让他们互相交流自己所观察到的动物的特点。

第四步，我邀请孩子们上台展示他们的观察结果，并给予他们贴纸和小礼物的奖励。

第五步，我通过视频展示一些动物的生活习性，让孩子们进一步了解它们。

第六步，我组织孩子们进行一个小游戏，让他们在游戏中复习所学的知识。

活动重难点是让孩子们能够正确地表达自己所观察到的动物的特点和生活习性。

课后反思及拓展延伸：通过这节课，我发现孩子们对动物非常感兴趣，他们在观察和交流中表现出了很高的积极性。

我也发现有些孩子在对动物特点的描述上还存在一些困难，需要在课后进一步引导和帮助。

在拓展延伸方面，我计划让孩子们在家里观察一种动物，并记录下它的特点和生活习性，下节课分享给大家。

这样可以培养孩子们的观察力和记录能力，同时也能让他们更好地了解动物。

通过这节课，我希望孩子们能够提高观察力，培养他们的语言表达能力和思维能力，同时也让他们更加了解和喜爱动物。

被子植物的一生一、复习目标:1、 理解种子萌发的环境条件和自身条件.2、 学会完成“种子萌发的环境条件”的探究，尝试用抽样检测的方法测定种子的发芽率。

3、 明确花的结构，认识花的主要部分是雌蕊和雄蕊；4、 理解受精的概念及过程，明确受精后子房的发育及果实和种子形成过程。

二、复习过程：(一)种子的萌发环境条件： 充足的 1、种子萌发的条件 一定的 适宜的自身条件：具有______、__________的胚和供胚发育的_________，还要度过___________。

2、萌发的环境条件：假设一般是根据已有的________和_________作出的，有时还需要查阅资料。

3、测定种子的发芽率利用的是______________，种子的发芽率的计算公式：___________________，重复测定_____次，取这几次的_______作为测定结果。

发芽率超过________才适合播种。

4、种子萌发的过程：________：根尖吸收水和无机盐的主要部位________：根生长最快的部位 ________：不断分裂产生新细胞 ______：保护生长点幼叶 叶芽轴 茎 枝条 芽原基 侧芽 _______ 无机盐：____________等________ 叶片通过光合作用制造 根生长最快的部位是伸长区，生长迅速的根在测量的时候能比较明显。

如下图1、根尖中，伸长最快的部位是 ，植株生长的内在基础(根的生长)是有区的细胞 使细胞数目增多和 区的细胞 使细胞体积增大。

2、芽中也有 组织，它可发育为 、 和 ，它们构成枝条，新芽又不断形成新的枝条，使植株的地上部分不断繁茂，形成“万千枝条”。

3、植株生长需要 、 和 。

根向下生长，从土壤中吸收_____。

茎向上生长并长出新叶，通过光合作用制造 。

4、肥料（化肥或动物粪）为植物的生长提供 ，植物生长需要量多的是 、 、 的无机盐。

5、如图是木本植物茎的结构模式图，请据图回答：木本植物茎的最外层是_______，________内侧是________，形成层里面比较坚硬的是_________，中央比较疏松的是______。

第2章一元二次函数、方程和不等式知识系统整合规律方法收藏1．比较数(式)的大小依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．2．利用基本不等式证明不等式(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．即：①x，y都是正数．②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．③x与y必须能够相等(等号能够取到)．(2)构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．4．解一元二次不等式的步骤当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的一般步骤如下：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；(3)由图象写出不等式的解集．特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a 转变为－a 再进行求解．5．一元二次不等式的实际应用不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解题的一般步骤是：(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题． (2)简化假设：精选问题中的关键变量． (3)列出关系式：建立变量间的不等关系式． (4)求解：运用数学知识解相应不等式．(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给出问题的答案．学科思想培优一、常数代换法[典例1] 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( )A ．5 B.143 C.92D ．2解析 因为x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y ＋1＋yx＋5≥24x 1＋y ·1＋y x ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y x ，x ＋y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝13时，等号成立，因此1x ＋41＋y 的最小值为92.故选C.答案 C 二、消元法[典例2] 设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________．解析 解法一：由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，故y 2xz ＝(x ＋3z )24xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋x z ＋9z x ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2x z ·9z x ＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y 2xz 的最小值为3.解法二：由x －2y ＋3z ＝0，得x ＝2y －3z ，x y＝2－3zy＞0.y 2xz ＝y 2(2y －3z )z ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3z y ·3z y ≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫2－3z y ＋3z y 2＝3.当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号，即y2xz 的最小值为3.答案 3 三、配凑法1．从和或积为定值的角度入手配凑某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、加法结合律等常规运算和技巧．[典例3] 设x >0，y >0，x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解 ∵x >0，y >0，x 2与y 22的和为定值，∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝2x 2·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324，当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时取等号，即x 1＋y 2的最大值为324.[典例4] 已知x ，y ，z 为正数，且满足xyz (x ＋y ＋z )＝1，求(x ＋y )(y ＋z )的最小值． 解 由条件得x ＋y ＋z ＝1xyz，则(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝y (x ＋y ＋z )＋xz ＝y ·1xyz ＋xz ＝1xz ＋xz ≥2，当且仅当1xz＝xz ，即xz ＝1时取等号，故(x ＋y )(y ＋z )的最小值为2.[典例5] 设a 1，a 2，a 3，…，a n 均为正实数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .证明 为了约去a 2k a k ＋1中的分母，可考虑配上一项a k ＋1，于是有a 21a 2＋a 2≥2a 1，a 22a 3＋a 3≥2a 2，…，a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1，a 2na 1＋a 1≥2a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取等号．以上不等式相加，化简，可得原不等式成立．2．从取等号的条件入手配凑在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值来进行配凑． [典例6] 设a ，b ，c ＞0，a ＋b ＋c ＝1，求3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值． 解2·3a ＋1≤2＋3a ＋12＝3a ＋32，2·3b ＋1≤3b ＋32，2·3c ＋1≤3c ＋32.以上三式相加，并利用a ＋b ＋c ＝1，得2(3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1)≤6，故3a ＋1＋3b ＋1＋3c ＋1的最大值为3 2.四、判别式法在“三个二次”问题中的应用一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在“三个二次”问题中的重要性．1．求变量的取值范围[典例7] 不等式(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． ①若m 2－2m －3＝0，则m ＝－1或m ＝3.当m ＝－1时，不符合题意；当m ＝3时，符合题意．②若m 2－2m －3≠0，设y ＝(m 2－2m －3)x 2－(m －3)x －1<0对任意x ∈R 恒成立． 则m 2－2m －3<0，Δ＝b 2－4ac ＝5m 2－14m －3<0， 解得－15<m <3.故实数m 的取值范围是－15<m <3.2．求最值[典例8] 已知正实数a ，b 满足a ＋2b ＋ab ＝30，试求实数a ，b 为何值时，ab 取得最大值．解 构造关于a 的二次方程，应用“判别式法”．设ab ＝y ， ①由已知得a ＋2b ＋y ＝30. ②由①②消去b ，整理得a 2＋(y －30)a ＋2y ＝0， ③对于③，由Δ＝(y －30)2－4×2y ≥0，即y 2－68y ＋900≥0，解得y ≤18或y ≥50，又y ＝ab ＜30，故舍去y ≥50，得y ≤18.把y ＝18代入③(注意此时Δ＝0)，得a 2－12a ＋36＝0，即a ＝6，从而b ＝3.故当a ＝6，b ＝3时，ab 取得最大值18.3．证明不等式[典例9] 已知x ，y ∈R ，证明：2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．证明 不等式可变形为y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5>0，将不等式左边看作关于y 的二次函数，令z ＝y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5，则关于y 的一元二次方程y 2＋2xy ＋2x 2－4x ＋5＝0的根的判别式Δ＝4x 2－4(2x 2－4x ＋5)＝－4(x －2)2－4<0，即Δ<0.则对于二次函数z ＝y 2＋2xy ＋2x2－4x ＋5，其图象开口向上，且在x 轴上方，所以z >0恒成立，即2x 2＋2xy ＋y 2－4x ＋5>0恒成立．五、含变量的不等式恒成立问题[典例10] 对于满足0≤p ≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值范围．解 原不等式可化为x 2＋px －4x －p ＋3＞0， 令y ＝x 2＋px －4x －p ＋3 ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3＞0(p ＝0)，4(x －1)＋x 2－4x ＋3＞0(p ＝4)，解得x ＞3或x ＜－1.故x 的取值范围是x <－1或x >3.。

导学案主备人：魏岚学案执行人： ____________ 时间：2012年11月20 H 课题第二章复习回顾课型问题解决课课时1上课时间教材分析本单元主要内容包括长度和体积的测量、质量和密度的概念、密度的测量、新材料及其应用，其中密度是日常生活中应用广泛的一个概念，也是贯穿本章的一个核心概念。

因此在学习过程中采用科学探究的方法，让学生溶入到学习过程中，充分体会学习物理的乐趣，调动学习的积极主动性，同时强调应用所学知识解决实际问题的能力。

学情分析学生先学长度.体积和质量，然后从熟悉的现实生活提出问题，引导学生大胆猜想，给出实验方案，再对实验数据分析处理，得出密度概念，最后交流讨论。

通过科学探究的全过程，既加深对知识点理解，又加强了实验技能的培养。

教学目标1.在掌握刻度处.量筒和量杯的使用，会测物体的长度和体积。

2.认识质量的概念，会用天平测质量。

3.通过探究理解密度大概念，会用密度知识解决实际问题。

4.初步了解纳米材料和“绿色能源”。

5.结合密度概念，体会科学探究的过程。

教学重难点刻度处，量筒，量杯，天平的使用；探究密度概念的实验，密度知识的应用。

关键问题实验探究密度的概念教学方法引导，实验，归纳，练习教学准备教师准备：《问题导读生成评价单》、《问题训练评价单》。

学生准备：直尺、学生尺、游标卡尺，米尺，量杯、量筒等文具。

教学过程设计程序设计时创设教师行为期望的学生行为间情境检查预习效果3分钟创设效果检查情境教师:这一章，我们学习了物质的尺度.质量和密度，下面由学术助理安排检查《问题训练评价单》的预习情况.在学术助理安排下,按要求接受检查.并查找自己的不足，及时纠正。

创设情境引入新课5分钟创设问题情境提出问题：学完以后，还有哪些问题需要交流？学生组内合作讨论、交流解决问题。

学生思考，鼓励学生自己去寻找，讨论，列举学习中存在的疑难点和问题，小组内交流。

问题生成合作探究7分钟创设自主探索情境【学术助理】通过交流同学们生成了一些问题，下面请大家走进《问题训练评价单》，并根据问题分组讨论探究.教师巡视，个性化指导。

第2章烃和卤代烃网络构建：专题归纳提升一、同分异构体数目的快速判断方法1.等效氢法分子中完全对称的氢原子互为“等效氢原子”，分子中含有几种等效氢原子，其一元取代物的同分异构体就有几种。

2．定一(或二)移一法确定有机物分子二元取代物的同分异构体数目时，可固定一个引入的原子或原子团，移动另一个；确定有机物分子三元取代物的同分异构体数目时，可先固定2个原子或原子团，再移动另一个。

3．换元法若有机物分子含有n 个可被取代的氢原子，则m 个取代基(m <n )的取代产物与(n －m )个取代基的取代产物种数相同。

例1 已知二氯丙烷有4种同分异构体，则六溴丙烷同分异构体的数目是( )A ． 4种B ．5种C ．6种D ．7种【解析】 C 3H 6Cl 2有四种同分异构体，由丙烷的二元取代物与六元取代物同分异构体数目相等，故六溴丙烷同分异构体的数目为4。

【答案】 A二、由相对分子质量推求烃分子式的方法1.各类烃的通式(见下表)2.“商值通式”判断在掌握各类烃的通式的基础上，由相对分子质量推求烃的分子式可采用如下的“商值通式”判断法，其规律是：假设某烃的相对分子质量为M r ，则有：(1)若M r 能被14整除，可推知为烯烃或环烷烃(通式均为C n H 2n )，其商为碳原子数。

(2)若M r ＋2能被14整除，可推知为炔烃或二烯烃(通式均为C n H 2n －2)，其商为碳原子数。

(3)若M r －2能被14整除，可推知为烷烃(通式为C n H 2n ＋2)，其商为碳原子数。

(4)若M r ＋6能被14整除，可推知为苯或苯的同系物(通式为C n H 2n －6)，其商为碳原子数。

(5)12个氢原子相当于1个碳原子的相对原子质量，所以相对分子质量较大的烃(C n H m )其分子式也可能为C n ＋1H m －12。

例2 若A 是相对分子质量为128的烃，则其分子式可能是________或________。

第二章 平面向量复习学案20170625【本章整合】【要点梳理】 一、向量的概念1．向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量．数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量．2．有向线段：带有方向的线段叫做有向线段．3．向量的长度（模）：向量AB 的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作AB ．4．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．5．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．若向量a 、b 是两个平行向量，那么通常记作a ∥b ．平行向量也叫做共线向量．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a ，都有0∥a ．6．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 、b 是两个相等向量，那么通常记作a =b ．【例1】若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a |a |＝b ．其中正确的是（ ）．A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤【例2】如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（ ）A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线【例3】如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是（ ）． A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个（不含AB →本身）B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个（不含AB →本身） C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍 D ．CB →与DA →不共线 二、向量的加、减法1．已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB=a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b AB BC AC =+=．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法．这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则．2．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a +0=0+a =a3．公式及运算定律： ①12231++...+n A A A A A A=0②|a +b |≤|a |+|b |③a +b =b +a ④（a +b ）+c = a +（b +c ）4．相反向量：①我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作－a ．a 和－a 互为相反向量．②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量．③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a ＋（－a ）=（－a ）＋a =0． ④如果a 、b 是互为相反的向量，那么a =－b ，b =－a ，a ＋b =0．⑤我们定义a －b = a ＋（－b ），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【例4】向量（AB →＋MB →）＋（BO →＋BC →）＋OM →等于（ ）． A ．BC → B ．AB → C ．AC → D ．AM →【例5】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（ ）．A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠0【例6】若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示向量BC →为（ ）A ．a ＋bB ．－a －bC ．－a ＋bD ．a －b【例7】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →．三、数乘向量1．向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘．记作λa ，它的长度与方向规定如下：①|λa|=|λ||a|，②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，的方向与a 的方向相反；λ=0时，λa =0．2．运算定律：①λ（ua ）=（λu ）a ②（λ＋u ）a =λa ＋u a ③λ（a ＋b ） =λa ＋λb ④（－λ）a =－（λa ） =λ（－a ） ⑤λ（a －b ） =λa －λb3．定理：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b =λa ，那么a 与b 共线．相反，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即| b |=μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b = u a ；当a 与b 反方向时，有b =－u a ．则得如下定理：向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa ．【例8】点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于（ ）．A ．23B ．32C ．－23D ．－32【例9】在△ABC 中，已知D 为AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝（ ）．A ．23B ．13C ．－13D ．－23【例10】已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0 ．求证：G 是△ABC 的重心．四、平面向量基本定理1．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2．我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．向量a 与b 的夹角：已知两个非零向量a 和b ．作OA =a ，OB=b ，则A O B θ∠=（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角．当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，a 与b 反向．如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．3．补充结论：已知向量a 、b 是不共线的两个向量，且m 、n ∈R ，若m a ＋n b =0，则m =n =0． 【例11】已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足（x －y ）e 1＋（2x ＋y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于（ ）．A ．3B ．－3C ．6D ．－6【例12】如图，在△AOB 中，OA →＝a 、OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a 、b表示向量OP →．五、正交分解与坐标表示1．正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）．即若a =11(,)x y ，b =22(,)x y ， 则a ＋b =1212(,)x x y y ++，a －b =1212(,)x x y y --．3．实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．即若a =11(,)x y ，则λa =11(,)x y λλ．4．当且仅当x 1y 2－x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线． 5．从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线，则OC OA OB λμ=+，其中λ+μ=1．【例13】（1）设向量a 、b 的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a －b ＋c 的坐标．【例14】平面内给定三个向量a ＝（3，2）、b ＝（－1，2）、c ＝（4，1）， （1）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；（2）若（a ＋k c ）∥（2b －a ），求实数k ．【例15】已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →．【例16】若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝（1，0），求向量a 、b 的坐标．六．数量积（内积）1．已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a •b 即a •b =|a ||b |cos θ．其中θ是a 与b 的夹角，|a |cos θ（|b |cos θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．2．a •b 的几何意义：数量积a •b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．数量积的运算定律：①a •b = b •a ②（λa ）•b =λ（a •b ）=a •（λb ） ③（a + b ）•c =a •c + b •c ④（a +b ）² = a ²+2a •b +b ² ⑤（a －b ）² = a ²－2a •b +b ² ⑥（a +b ）•（a －b ）= a ²－b ²． 4．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a •b =1212x x y y +．则： ①若a =(,)x y ，则|a |²=22x y +，或|a|=．如果表示向量a 的有向线段的起点和中点的坐标分别为11x y （，）、22x y （，），那么a =2121x x y y --（，），|a． ②设a =11x y （，），b =22x y （，），则a ⊥b 12120x x y y ⇔+=⇔a •b =0． 5．设a 、b 都是非零向量，a =11x y （，），b =22x y （，），θ是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos ||||a ba b θ⋅==．【例17】若|a |＝4，|b |＝3，a •b ＝－6，则a 与b 的夹角等于（ ）． A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【例18】若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为（ ）． A ．2 B ． 3 C ．2 3D ．4【例19】已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．【例20】已知a ＝（1，2），b ＝（1，λ）分别确定λ的取值范围，使得： （1）a 与b 夹角为90°；（2）a 与b 夹角为钝角；（3）a 与b 夹角为锐角．第二章 平面向量复习学案20170625答案解析【例1】若a 为任一非零向量，b 为其单位向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ．其中正确的是（ ）．A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤答案：D 解析：|a |与|b |大小关系不能确定，故①错，a 与其单位向量平行②正确．a ≠0， ∴|a |＞0，③正确．|b |＝1，故④错．由定义知⑤正确． 【例2】如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（ ）A ．|AB →|＝|EF →| B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EC →共线答案：C 解析：当菱形ABCD 与其他两个菱形不共面时，BD 与EH 异面，故选C ． 【例3】如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，则下列说法中错误的是（ ）．A ．图中所标出的向量中与AB →相等的向量只有1个（不含AB →本身）B ．图中所标出的向量中与AB →的模相等的向量有4个（不含AB →本身）C ．BD →的长度恰为DA →长度的3倍D ．CB →与DA →不共线答案：D 解析：易知△ABC 和△ACD 均为正三角形．对于A ，向量AB →＝DC →；对于B ，|AB →|＝|DC →|＝|DA →|＝|CB →|＝|CA →|；对于C ，△BAD 是顶角为120°的等腰三角形，则|BD →|＝3|DA →|；对于D ，CB →∥DA →成立，故D 是错误的．【例4】向量（AB →＋MB →）＋（BO →＋BC →）＋OM →等于（ ）．A ．BC →B ．AB →C ．AC →D ．AM →答案：C 解析：原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →． 【例5】△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，则下面结论正确的是（ ）．A ．AE →＝AD →＋F A →B ．DE →＋AF →＝0C ．AB →＋BC →＋CA →≠0D ．AB →＋BC →＋AC →≠0 答案：D【例6】若平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示向量BC →为（ ）．A ．a ＋bB ．－a －bC ．－a ＋bD ．a －b答案：B 解析：解法一：BC →＝BA →＋AC →＝OA →－OB →＋（－2OA →）＝－OA →－OB →＝－a －b ．解法二：∵b ＋BC →＝OC →＝－a ，∴BC →＝－a －b ．【例7】已知等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，M 为斜边中点，设CM →＝a ，CA →＝b ，试用向量a 、b 表示AM →、MB →、CB →、BA →．解：如图所示， AM →＝CM →－CA →＝a －b ，MB →＝AM →＝a －b ，CB →＝CA →＋AB →＝b ＋2AM →＝b ＋2a －2b ＝2a －b ， BA →＝－2AM →＝－2（a －b ）＝2b －2a ．【例8】点C 在线段AB 上，且AC →＝25AB →，若AC →＝λBC →，则λ等于（ ）．A ．23B ．32C ．－23D ．－32答案：C 解析：∵AC →＝25AB →＝25（AC →＋CB →），∴AC →＝23CB →＝－23BC →，∴λ＝－23，故选C ．【例9】在△ABC 中，已知D 为AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝（ ）．A ．23B ．13C ．－13D ．－23答案：A 解析：解法一：∵A 、D 、B 三点共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．解法二：∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →，∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23（CB →－CA →）＝13CA →＋23CB →＝13CA →＋λCB →，∴λ＝23，故选A ．【例10】已知G 是△ABC 内的一点，若GA →＋GB →＋GC →＝0．求证：G 是△ABC 的重心．解：如图，∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴GA →＝－（GB →＋GC →）()以GB →，GC →为邻边作平行四边形BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，∴GD →＝－GA →， 又∵在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于E ，∴BE →＝EC →，GE →＝ED →， ∴AE 是△ABC 的边BC 的中线，且|GA →|＝2|GE →|，∴G 为△ABC 的重心．【例11】已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足（x －y ）e 1＋（2x ＋y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 的值等于（ ）．A ．3B ．－3C ．6D ．－6答案：C 解析：由623x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得33x x =⎧⎨=-⎩，∴x －y ＝6，故选C ．【例12】如图，在△AOB 中，OA →＝a 、OB →＝b ，设AM →＝2MB →，ON →＝3NA →，而OM 与BN 相交于点P ，试用a 、b 表示向量OP →．解：OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23（OB →－OA →）＝a ＋23（b －a ）＝13a ＋23b ．∵OP →与OM →共线，令OP →＝tOM →，则OP →＝t ⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ． 又设OP →＝（1－m ）ON →＋mOB →＝34a •（1－m ）＋mb∴⎩⎨⎧ t 3＝34(1－m )23t ＝m，∴⎩⎨⎧m ＝35t ＝910．∴OP →＝310a ＋35b ．【例13】（1）设向量a 、b 的坐标分别是（－1，2）、（3，－5），求a ＋b ，a －b ，2a ＋3b 的坐标；（2）设向量a 、b 、c 的坐标分别为（1，－3）、（－2，4）、（0，5），求3a －b ＋c 的坐标． 解：（1）a ＋b ＝（－1，2）＋（3，－5）＝（－1＋3，2－5）＝（2，－3）；a －b ＝（－1，2）－（3，－5）＝（－1－3，2＋5）＝（－4，7）；2a ＋3b ＝2（－1，2）＋3（3，－5）＝（－2，4）＋（9，－15）＝（－2＋9，4－15）＝（7，－11）．（2）3a －b ＋c ＝3（1，－3）－（－2，4）＋（0，5）＝（3，－9）－（－2，4）＋（0，5）＝（3＋2＋0，－9－4＋5）＝（5，－8）． 【例14】平面内给定三个向量a ＝（3，2）、b ＝（－1，2）、c ＝（4，1）， （1）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ；（2）若（a ＋k c ）∥（2b －a ），求实数k ．解：（1）∵a ＝mb ＋nc ，∴（3，2）＝m （－1，2）＋n （4，1）＝（－m ＋4n ，2m ＋n ）．∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝32m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59n ＝89．（2）∵（a ＋kc ）∥（2b －a ），又a ＋kc ＝（3＋4k ，2＋k ），2b －a ＝（－5，2）， ∴2×（3＋4k ）－（－5）×（2＋k ）＝0．∴k ＝－1613．【例15】已知A 、B 、C 三点的坐标分别为（－1，0）、（3，－1）、（1，2），并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，求证：EF →∥AB →．解：设E （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），依题意有：AC →＝（2，2）、BC →＝（－2，3）、AB →＝（4，－1）．因为AE →＝13AC →，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23．因为BF →＝13BC →，所以BF →＝⎝⎛⎭⎫－23，1．因为（x 1＋1，y 1）＝⎝⎛⎭⎫23，23，所以E ⎝⎛⎭⎫－13，23． 因为（x 2－3，y 2＋1）＝⎝⎛⎭⎫－23，1，所以F ⎝⎛⎭⎫73，0．∴EF →＝⎝⎛⎭⎫83，－23． 又因为4×⎝⎛⎭⎫－23－83×（－1）＝0，所以EF →∥AB →． 【例16】若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝（1，0），求向量a 、b 的坐标． 解：设a ＝（m ，n ），b ＝（p ，q ），则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋n 2＝1p 2＋q 2＝1m ＋p ＝1n ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12q ＝－32n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝p ＝12q ＝32n ＝－32．故a ＝（12，32）、b ＝（12，－32）或a ＝（12，－32）、b ＝（12，32）．【例17】若|a |＝4，|b |＝3，a •b ＝－6，则a 与b 的夹角等于（ ）． A ．150° B ．120° C ．60° D ．30°答案：B 解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，∴θ＝120°． 【例18】若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为（ ）． A ．2 B ． 3 C ．2 3D ．4答案：C 解析：a 在b 方向上的投影为|a |cos ＜a ，b ＞＝4×cos30°＝23．【例19】已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，c ＝2a －3b ，d ＝m a ＋b ，若c ⊥d ，求实数m 的值．解：a •b ＝|a ||b |cos60°＝1．因为c ⊥d ，所以c •d ＝0，即（2a －3b ）•（ma ＋b ） ＝2ma 2＋（2－3m ）a •b －3b 2＝2m －12＋2－3m ＝0，解得m ＝－10． 【例20】已知a ＝（1，2），b ＝（1，λ）分别确定λ的取值范围，使得： （1）a 与b 夹角为90°；（2）a 与b 夹角为钝角；（3）a 与b 夹角为锐角． 解：设＜a ，b ＞＝θ，（1）由a ⊥b 得λ＝－12．（2）cos θ＝1＋2λ5(1＋λ2)，由cos θ＜0且cos θ≠－1得λ＜－12．（3）由cos θ＞0且cos θ≠1，得λ＞－12，且λ≠2．。

章节复习第二章运动的世界一．知识结构二．知识要点1．机械运动：物理学里把物体位置的变化叫机械运动。

2．参照物：在研究机械运动时，被选作标准的物体叫参照物。

3．匀速直线运动：快慢不变，经过的路线是直线的运动叫匀速直线运动4、速度：是表示运动快慢的物理量。

在匀速直线运动中，速度等于运动物体单位时间内通过的路程。

计算公式是。

V=s/t单位是：米/秒，千米/时（1米/秒＝3.6千米/时）5、平均速度：在变速运动中，用来表示平均运动快慢的物理量。

计算公式是：v=s总/t总6、时间和路程的计算：t=s/v，s = v t三．课堂练习【例1】一首歌中唱道“小小竹排江中游，巍巍青山两岸走”，前后句中物体运动的参照物分别指什么？【分析】竹排在江中移动，显然是对江岸即地球而言；青山在走，是由于竹排在运动时，竹排上的人感觉到的，是以自己即竹排为参照物。

【解答】前句竹排运动的参照物是地球。

后句青山运动的参照物是竹排。

【例2】一位跳伞运动员在下落过程中，看到身旁的直升飞机在向上运动，直升飞机相对地面的运动是A．一定上升B．一定下降C．一定静止D．无法判定【分析】跳伞员看到直升机在向上运动时是以自身作参照物。

由于跳伞员相对地球是在向下运动，若直升机相对地球向上运动或静止时，跳伞员都会看到直升机与自身距离变大，即看到直升机向上运动。

若直升机相对地球向下运动，且下降速度比跳伞员下降速度慢，跳伞员同样会看到直升机与自身距离变大，即认为直升机向上运动。

由此可见，跳伞运动员无法依据自己看到的现象来判定直升机相对地球的运动情况。

【解答】D【说明】若跳伞员看到直升机下降，则根据自身参照物对于地球处于下降的状态就可以判断直升机相对地球在下降，而且下降速度比跳伞员下降速度还要大。

【例3】第一次世界大战期间，一名法国飞行员在2000米高空驾机飞行时，在脸旁抓到一颗德国子弹。

据你判断，这颗子弹是从法国飞机的哪个方向射来的？（当时飞机的速度约为几十米/秒，子弹出膛速度约为几百米/秒。