人教版高中数学必修二导学案：第二章第一节平面

高二数学必修2 2.1.1平面学案主备人: 审核:数学组日期2020年9月【学习目标】1、借助实例，体会生活中平面与立体几何中平面的异同，理解平面的描述性概念及其特性；通过观察和乡下生活中物体运用长方体模型感知点、直线、平面及其位置关系，探索、理解并掌握平面基本性质的三条公理。

2、会把文字语言转化为图形语言和符号语言，发展学生的数学语言交流能力。

【学习重难点】重点：点、线、面的理解与表示以及平面三个公理难点：公理的运用【知识】1、平面的概念:2、平面的画法及表示：3、点与线、点与面、线与面的关系：【学法指导】注意数学符号语言的运用【学习内容】课本43页例1（画图并解答，写在下面）课本43页课后练习1、2、3、4（1,2,3写书上。

4写在下面）4（1） （2） （3）思考：已知：EF ∩GH ＝P ，E ∈AB ，F ∈AD ，G ∈BC ，H ∈CD,则P 点的位置为（ ）变式：若α∩β＝l ，点 A 、B ∈α，C ∈β，试画出平面 ABC 与平面α、β的交线．【学习小结】数学语言的运用以及三个公理的应用【达标检测】1 下面是一些命题的叙述语,其中命题和叙述方法都正确的是（ ）A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ．C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈．D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ．2．下列推断中，错误的是（ ）A ααα⊂⇒∈∈∈∈lB l B A l A ,,,．B ．AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A,B,C 不共线βα,⇒重合D ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,3．两个平面把空间最多分成___部分，三个平面把空间最多分成__ 部分．【学习反思】：。

2.1.1平面[学习目标] 1.了解平面的概念及表示方法.2.理解平面的公理1、公理2、公理3.3.会用符号语言准确表述几何对象的位置关系.知识点一平面的概念1.几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.思考一个平面能把空间分成几部分？答因为平面是无限延展的，一个平面把空间分成两部分.知识点二点、线、面之间的关系1.直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与数学符号的对应关系：思考若A∈a，a⊂α，是否可以推出A∈α？答根据直线在平面内定义可知，若A∈a，a⊂α，则A∈α.知识点三平面的基本性质及作用思考(1)两个平面的交线可能是一条线段吗？(2)经过空间任意三点能确定一个平面吗？答(1)不可能.由公理3知，两个平面的交线是一条直线.(2)不一定.只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面.题型一三种语言间的相互转化例1用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于P A，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝P A，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.反思与感悟 1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪训练1根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.题型二共面问题例2证明：空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.证明(1)如图①，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面α.因为O∈a，M∈a，所以a⊂α.同理可证b⊂α，c⊂α.(2)如图②，设直线a，b，c，d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G.因为a∩b＝M，所以直线a和b确定平面α.因为a∩c＝N，b∩c＝Q，所以点N，Q都在平面α内，所以c⊂α.同理可证d⊂α，所以直线a，b，c，d共面于α.综合(1)(2)，知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内.反思与感悟在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪训练2已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.证明如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.题型三点共线与线共点问题例3如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.反思与感悟点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练3 如图所示，在四面体A －BCD 中，E ，G 分别为BC ，AB 的中点，F 在CD 上，H 在AD 上，且有DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3，求证：EF ，GH ，BD 交于一点.证明 ∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点，∴GE ∥AC . 又∵DF ∶FC ＝DH ∶HA ＝2∶3， ∴FH ∥AC ，从而FH ∥GE . 故E ，F ，H ，G 四点共面. ∵FH ∥AC ，DH ∶DA ＝2∶5， ∴FH ∶AC ＝2∶5，即FH ＝25AC .又∵E ，G 分别为BC ，AB 的中点， ∴GE ＝12AC ，∴FH ≠GE ，∴四边形EFHG 是一个梯形， GH 和EF 交于一点，设为O .∵O ∈GH ，GH ⊂平面ABD ，O ∈EF ，EF ⊂平面BCD ， ∴O 在平面ABD 内，又在平面BCD 内，∴O 在这两个平面的交线上，而这两个平面的交线是BD ，且交线只有这一条， ∴点O 在直线BD 上. 故EF ，GH ，BD 交于一点.分类讨论思想例4 三个平面将空间分成几部分？请画出图形.分析 平面具有无限延展性，任一平面都将空间分为两部分.可先对两个平面在空间中的位置分类讨论，再让第三个平面以不同的情况介入，分类解决.解 (1)当平面α、平面β、平面γ互相平行(即α∥β∥γ)时，将空间分成4部分，如图①所示. (2)当平面α与平面β平行，平面γ与它们相交(即α∥β，γ与其相交)时，将空间分成6部分，如图②所示.(3)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线重合时，将空间分成6部分，如图③所示. (4)当平面α、平面β、平面γ都相交，且三条交线共点，但互不重合时，将空间分成8部分，如图④所示.(5)当平面α、平面β、平面γ两两相交，且三条交线平行时，将空间分成7部分，如图⑤所示.解后反思本题在解答过程中，采用了从简单到复杂的处理方法.1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是()A.黑板面B.乒乓球桌面C.篮球的表面D.平静的水面答案C解析平面的各部分都是“平”的，那么不能作为平面的部分只能是“曲”的，所以黑板面、乒乓球桌面、平静的水面均可作为平面的一部分，而篮球的表面是一个曲面，不能作为平面的一部分.2.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为()A.P⊂l⊂αB.P∈l∈αC.P⊂l∈αD.P∈l⊂α答案D解析点与线之间是元素与集合的关系，用∈表示；线与面之间是集合与集合的关系，用⊂表示.3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是()答案A解析B中直线a不应超出平面α；C中直线a不在平面α内；D中直线a与平面α相交.4.下列图形表示两个相交平面，其中，画法正确的是()答案D解析A中没有画出平面α与平面β的交线，也没有完全按照实、虚线的画法法则作图，故A不正确；B，C中交线的画法不对，且实、虚线的画法也不对，故B，C都不正确.5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定_______个平面.答案(1)4(2)7解析(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.一、选择题1.下列有关平面的说法正确的是()A.平行四边形是一个平面B.任何一个平面图形都是一个平面C.平静的太平洋面就是一个平面D.圆和平行四边形都可以表示平面解析我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一个平面，故A项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故B项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故C项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故D项正确.2.如图，用符号语言可表示为()A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝AB.α∩β＝m，n∈a，m∩n＝AC.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β＝m，n∈a，A∈m，A∈n答案A解析α与β交于m，n在α内，m与n交于A.3.下列说法正确的是()A.经过三点确定一个平面B.两条直线确定一个平面C.四边形确定一个平面D.不共面的四点可以确定4个平面答案D解析对于A，若三点共线，则错误；对于B项，若两条直线既不平行，也不相交，则错误；对于C项，空间四边形就不止确定一个平面.4.一条直线和直线外的三点所确定的平面有()A.1个或3个B.1个或4个C.1个，3个或4个D.1个，2个或4个答案C解析若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.5.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC.A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合解析∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.故α∩β＝A的写法错误.6.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中()A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线答案B解析如图①②所示，A、C、D均不正确，只有B正确.7.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是()A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，A，M四点共面D.D1，D，O，M四点共面答案D解析在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴选项A，B，C均正确，D不正确.二、填空题8.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M_______l.答案∈解析因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.9.平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，点P∈β，且P∉l，又MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ＝_______.答案直线PR解析如图，MN⊂γ，R∈MN，∴R∈γ.又∵R∈l，∴R∈β.又∵P∈γ，P∈β，∴β∩γ＝PR.10.若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.答案共线解析∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB⊂β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.11.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.答案36解析正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个.三、解答题12.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.13.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1相交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.证明如图所示，连接A1B，CD1.显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.所以BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.所以平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.因为A1C∩平面ABC1D1＝Q，所以Q∈平面ABC1D1.又因为A1C⊂平面A1BCD1，所以Q∈平面A1BCD1.所以Q∈BD1，即B，Q，D1三点共线.第11页共11页。

2.1.1平面【教学目标】1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系；2.掌握有关平面的三个公理；3.会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.1.1平面》课件“新课导入”部分，让学生结合问题进行思考。

通过互相交流，引入本节课要学习的知识.二、自主学习知识点一平面1．平面的概念(1)平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．(2)立体几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的．如课桌面、黑板面、平静的水面等都给我们平面的局部形象．2．平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.3.平面的表示方法(1)用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.(2)用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.(3)用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.知识点二点、直线、平面之间的关系点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上A∈l点A在直线l外A∉l点A在平面α内A∈α点A在平面α外A∉α直线l在平面α内l⊂α直线l在平面α外l⊄α平面α，β相交于l α∩β＝l知识点三平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上问题1几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案没有．平行四边形．问题2直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？答案点和直线，平面的位置关系可用数字符号“∈”或“∉”表示，直线和平面的位置关系，可用数学符号“⊂”或“⊄”表示．问题3直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？答案前者不在，后者在．问题4观察下图，你能得出什么结论？答案不共线的三点可以确定一个平面．问题5观察正方体ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点A、B吗？答案不是，平面ABCD与平面BCC1B1相交于直线BC.探究点1 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．解在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.在(2)中，α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩l＝P，b∩l＝P.反思与感悟借助集合中的符号来表示几何中点、线、面的关系就是几何中的符号语言，符号语言的运用简洁明了地表达了几何中的各元素的关系，比文字语言更适合于几何关系的表示，因此，要逐步适应并掌握．探究点2平面性质的应用例2已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证明方法一(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．方法二(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．反思与感悟证明点、线共面问题，一般先由部分点线确定一个平面，再证其他的点和线在所确定的平面内．例3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图所示．求证：P、Q、R三点共线．证明方法一∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．反思与感悟证明多点共线的方法是利用公理3，只需说明这些点都是两个平面的公共点，则必在这两个面的交线上．也可考虑为点P、R确定一条直线，Q也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题的常用方法．四、当堂测试1．若A∈平面α，B∈平面α，C∈直线AB，则()A．C∈αB．C∉αC．AB⊄αD．AB∩α＝C答案 A解析因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α.又因为C∈直线AB，所以C∈α.2．下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面答案 D解析A选项中，三点若在同一直线上就不能确定一个平面；B中，这一点在直线上不能确定一个平面；空间四边形ABCD就不是平面图形，故C错.3．把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上．(1)A∉α，a⊂α________.(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________.(3)a⊄α，a∩α＝A________.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________.答案(1)C(2)D(3)A(4)B4．空间两两相交的三条直线可以确定的平面数是________．答案1或35.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________．答案P∈直线DE解析因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2——判定点共面、线共面的依据；公理3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．4．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．。

§2.2.1 直线与平面平行的判定学习目标：知识与技能:理解并掌握直线与平面平行的判定定理.过程与方法：掌握由“线线平行”证得“线面平行”的数学证明思想；进一步培养观察能力、空间想象力和类比、转化能力，提高逻辑推理能力. 情感态度价值观:培养认真、仔细、严谨的学习态度，建立“实践―理论―再实践”的科学研究方法.学习重难点学习重点:直线与平面平行的判定定理的归纳与应用.学习难点:直线与平面平行的判定定理的探索过程与应用.使用说明及学法指导:1、先浏览教材,再逐字逐句仔细审题，认真思考、独立规范作答，不会的先绕过，做好记号；2、A级是自主学习,B级是合作探究,C级是提升知识链接：1|、空间中直线与平面有几种位置关系？位置关系图形表示符号表示公共点情况平面是平行的呢？新知探究：1、实例探究（A级)实例1：如图5-1，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边l与墙所在的平面位置关系如何？图5-1实例2：如图5-2，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线l与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？图5-22、观察归纳，形成概念(A级)两个实例中的直线l为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？请作图把这一结论表示出来.探究1(B级)：能否用平面外一条直线平行于此平面内一条直线，来判断这条直线与这个平面平行呢？思考一:如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b（1）直线a和b共面吗？（2）直线a与平面α相交吗？（3）直线a与平面α具有怎样的位置关系？ab思考二：通过上述分析，我们可以得到判定直线与平面平行的一个定理，你能用文字语言表上述定理称为直线与平面平行的判定定理思考三：用符号语言如何表示上述定理；思考四：上述定理的实质是通过______________平行证明直线与平面平行3、辨析讨论，深化概念探究2(B级)：判断下列命题是否正确,若不正确,请用图形语言或模型加以表达（1）直线a与平面α不平行，即a与平面α相交．（）（2）直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b．（）（3）直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α．（）注：1) 定理中______个条件缺一不可.2)定理可简记为___________________________随堂练习1 课本55页第一题1、典型例题例1(A 级) 如图，空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD .题后反思：运用定理的关键是找平行线 找平行线常用的方法是_________________例2（B 级）:如图，三棱柱ABC －111A B C 中，M 、 N 分别是BC 和11A B 的中点，求证:MN ∥平面11AAC C题后反思：运用定理的关键是找平行线 找平行线常用的方法是_________________2、变式练习1).已知四棱锥S-ABCD,四边形ABCD 是平行四边形，S 是平面ABCD 外一点,M 为SC 的中点. 求证:SA//平面MDBC 1ACB 1BMN A 1 A BDE F CSMD2)、如图，在长方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点,试判断BD 1与平面AEC 的位置关系，并证明1). 直线与平面平行判定定理：2).应用定理的关键是________________找平行线常用的方法是__________________________________________________3). 转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.C【励志良言】生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行.A1 A 1级)如图，在正方体ABCD ——A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC 与C1D 1的中点。

第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1平面1.理解平面的概念，会画一个平面及会表示平面.2.会用符号语言表示空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)3.掌握三个公理并会简单应用．(难点、易混点)平面阅读教材P40至P41“思考”以上的内容，完成下列问题．1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD．【思考】立体几何中的平面与平面几何中的平面图形有何区别？【提示】立体几何中的平面与平面几何中的平面图形的区别：(1)平面图形如三角形、正方形、梯形等，它们有大小之分；(2)立体几何中的平面是无大小、厚薄之分的，是不可度量的，无大小，无面积．它可以无限延展，没有边界．平面的基本性质阅读教材P41“思考”以下至P43“练习”以上的内容，完成下列问题．填表公理内容图形符号公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l【练习】(1)过三个点的平面的个数是()A．0B．1C．2 D．1或无数(2)如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点【解析】(1)当三点不共线时，根据公理2知，过三点的平面有1个．当三点共线时，过三点的平面有无数个．故选D.(2)由公理3知，两个平面只要有一个公共点，就有一条过该点的公共直线，故选D.【答案】(1)D(2)D[探究问题]1．能否说多个平面重叠在一起比一个平面厚呢？2．为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车？3．两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？【探究提示】1．不能．平面是无厚薄的，无论多少个平面重叠在一起仍然是一个平面．2．撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点共有三个，且不在同一条直线上，根据公理2可知，可确定一个平面．3．不一定．当三点在同一条直线上时，不能判定两个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共线的三点确定一个平面，可知两平面重合．[探究成果]1．平面的概念与以前学习的“点”、“线”、“集合”的概念一样，只是一个描述性的不加严格定义的概念．平面是无大小、无厚薄、无所谓面积的．2．公理2可作为确定一个平面的依据，条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”，特别注意“不共线”这一条件易被忽视，公理2又可表述为：不共线的三点确定一个平面．关键词：文字语言、符号语言、图形语言用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD相交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC.【思路点拨】根据条件，适当确定其中的某一个平面，然后根据点、线、面的位置关系，将其附着于固定平面上，注意图形的立体感，要将被遮挡部分用虚线表示．【自主解答】(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.用图形表示：(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.图形表示：1．解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”、“∉”、“⊂”、“⊄”、“∩”的意义．2．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的区别．[变式训练]1．完成下列各题：(1)将下列文字语言转化为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内．②直线a经过平面α外一点M.③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转化为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a.②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.【解】(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①②关键词：同一法证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．【思路点拨】由两条相交直线确定一个平面，再证第三条直线在确定的平面内，也可利用平面重合法证明．【自主解答】已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1、l2、l3在同一平面内．证法1：(纳入平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．证法2：(辅助平面法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内；(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．[变式训练]2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．【证明】如图所示．由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l ＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．点共线、线共点问题关键词：平面的交线公理3如图2－1－1，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．图2－1－1【思路点拨】证明AB与CD的交点在α与β的交线l上．【自主解答】因为梯形ABCD中，AD∥BC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，所以AB，CD必定相交于一点．如图，设AB∩CD＝M.又因为AB⊂α，CD⊂β，所以M∈α，且M∈β，所以M∈(α∩β)．又因为α∩β＝l，所以M∈l，即AB，CD，l共点．线共点与点共线的证明思路：(1)证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证这点重合，从而得三线共点；(2)证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．图2－1－2[变式训练]3．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q.AC∩α＝R，如图2－1－2所示．求证：P，Q，R三点共线．【证明】∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC 与平面α的交线上．∴P，Q，R三点共线．1．三种语言的相互转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．2．证明点线共面的常用方法有：纳入法、同一法．3．点共线与线共点的证明思路(1)点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此在两个平面的交线上．(2)线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的表示是()A．A∈l，l∉αB．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α【解析】点A在直线l上，应表示为A∈l，直线l不在平面α内，应表示为l⊄α.【答案】B2．(2014·福州高一检测)下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．一条直线和一个点可以确定一个平面C．四边形是平面图形D．两条相交直线可以确定一个平面【解析】A错误，不共线的三点可以确定一个平面．B错误，一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．C错误，四边形不一定是平面图形．D正确，两条相交直线可以确定一个平面．【答案】D3．下列推理错误的是()A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α与β重合【解析】当l⊄α，A∈l时，也有可能A∈α，如l∩α＝A，故C错．【答案】C图2－1－34．如图2－1－3所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E 两点．(1)求作直线AB与平面α的交点P；(2)求证：D，E，P三点共线．【解】(1)直线AB与平面α的交点P，如图所示．(2)证明：∵D∈AC，E∈BC，∴DE⊂平面ABC，又D∈α，E∈α，∴DE⊂α，∴DE为α与△ABC的交线，又P∈AB，AB⊂平面ABC且P∈α.∴P在α与△ABC的交线DE上，∴D，E，P三点共线．教学反思：平面基本性质的三个公理中符号语言掌握的不好，还需要进一步训练，特别是线在面内时，表示错误较多。

最新人教版高中数学必修2第二章《平面》教案第二章点、直线、平面之间的位置关系本章教材分析本章将在前一章整体观察、认识空间几何体的基础上，以长方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中点、直线、平面之间的位置关系；通过大量图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，初步体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并用来解决一些简单的推理论证及应用问题.本章主要内容：2.1点、直线、平面之间的位置关系，2.2直线、平面平行的判定及其性质，2.3直线、平面垂直的判定及其性质.2.1节的核心是空间中直线和平面间的位置关系.从知识结构上看，在平面基本性质的基础上，由易到难顺序研究直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系.本章在培养学生的辩证唯物主义观点、公理化的思想、空间想象力和思维能力方面，都具有重要的作用.2.2和2.3节内容的编写是以“平行”和“垂直”的判定及其性质为主线展开，依次讨论直线和平面平行、平面和平面平行的判定和性质；直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定和性质.“平行”和“垂直”在定义和描述直线和直线、直线和平面、平面和平面的位置关系中起着重要作用.在本章它集中体现在：空间中平行关系之间的转化、空间中垂直关系之间的转化以及空间中垂直与平行关系之间的转化.2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面整体设计教学分析平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换.三维目标1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质.2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题.3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣.重点难点三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题.推进新课新知探究提出问题①怎样理解平面这一最基本的几何概念;②平面的画法与表示方法;③如何描述点与直线、平面的位置关系？④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示;⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？⑧自己总结三个公理的有关内容.活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等.②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示.③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外.④确定一条直线需要几个点？⑤引导学生观察教室的门由几个点确定.⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性.⑦文字语言、图形语言、符号语言.⑧平面的基本性质小结.讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错).②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD （图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC （图5）.图4 图5③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内.公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则a?α.图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交.若A∈a,B∈a,且A?α,B∈α,则a?α.如图（图7）.⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理.公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.如图（图8）.图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一.⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征.现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）.问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理 3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l.图9公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法.⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.⑧“平面的基本性质”小结：应用示例思路1例1 如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.图10活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在（2）中，α∩β=l,a?α,b?β,a∩l=P,b∩l=P.变式训练1.画图表示下列由集合符号给出的关系：(1)A∈α,B?α,A∈l,B∈l;(2)a?α,b?β,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.解：如图11.图112.根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l，直线AB?α，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，F?l;（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，B?a，C∈β，C?a. 答案：如图12.图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来.(2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来.例2 已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.图13证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b 上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内,同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面.又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C.于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个.变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,图14∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,b?α.∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.而B、F∈c，C、E∈d,∴c、d?α,即a、b、c、d在同一平面内.点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线.思路2例1 如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路.解：如图16所示，连接CB，∵C∈β,B∈β,∴直线CB?β.图16∵直线CB?平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB.设直线CB与直线EF交于D,∵α∩β=EF,∴D ∈α,D ∈平面ABC.∵A ∈α,A ∈平面ABC ，∴α∩平面ABC=直线AD.变式训练1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C ，请画出直线DE 与平面α的交点P ，并指出点P 与直线BC 的位置关系.图17解：AD 和AC 是相交直线，它们确定一个平面ABC ，它与平面α的交线为直线BC ，DE ?平面ABC ，∴DE 与α的交点P 在直线BC 上.2.如图18，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，图18(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2)设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.解：(1)设M 、N 、P 三点确定的平面为α，则α与平面AA 1B 1B 的交线为直线MP ，设MP∩A 1B 1=R ，则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线，设RN∩B 1C 1=Q ，连接PQ ，则PQ 是所要画的平面α与平面BB 1C 1C 的交线.如图18.(2)正方体棱长为8 cm ，B 1R=BM=4 cm ，又A 1N=4 cm ，B 1Q=31A 1N, ∴B 1Q=31×4=34（cm ）.在△PB 1Q 中，B 1P=4 cm ，B 1Q=34cm ，∴PQ=10342121=+Q B P B cm. 点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2 已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.解：如图19,∵A 、B 、C 是不在同一直线上的三点,图19∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P，且AB?β,∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,同理可证：Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三点共线.变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点.证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，图20∵l1?β，l2?β，且l1、l2不平行,∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，则P∈l1?α,P∈l2?γ,∴P∈α∩γ=l3.∴l1、l2、l3相交于一点P.点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3.知能训练画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图21,图21∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.∴EF为所求.拓展提升O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上.解：如图22,连接A1C1、AC，图22因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1.又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即P∈AO1.点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上.课堂小结1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性.作业课本习题2.1 A组5、6.设计感想本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例.。

第二章第一节平面三维目标1.能够利用生活中的实物感知平面；2.会用图形语言、文字语言、符号语言表示平面，了解平面的基本性质及作用；3.通过对实物模型的认识，提升空间想象能力.____________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，请举出更多实例，并回答平面的含义是什么.问题2. 平面的含义是什么？问题3.平面的画法及表示是什么?问题4．请用图形语言和符号语言表示：公理1、公理2、公理3，并思考它们分别有什么作用？【学做思2】1. 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系．图1 图22.求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 达标检测* 1.下面给出四个命题：① 一个平面长4m ，宽2m ； αβalA Bαβa l Pb③一个平面的面积是252m ；④ 一条直线的长度比一个平面的长度大，其中正确命题的（ ）A.0B.1C.2D.3 2.下列命题正确的是（）A 经过三点确定一个平面B 经过一条直线和一个点确定一个平面C 四边形确定一个平面D 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面3. （1）不共面的四点可以确定几个平面？ （2）共点的三条直线可以确定几个平面？4.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。

（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。

（ ） （2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

（ ） （3）经过两条相交直线，有且只有一个平面。

（ ） （4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 （ ） *5.正方体1111D C B A ABCD 中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点BD AC O 、,交于点M ， 求证：点M O C 、、1共线.M O B 1C 1D 1A 1D C B赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF-aaBE1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°-aaBE挖掘图形特征：x-aa E-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM .（1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求△AMN 的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；CE的值.（3）求AE－变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．。

2．1.1 平面1．知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面． 2．能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系．3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个数．1．平面________α，β，γ等来表示，如上图a 中的平面记为平面________(表示平面的平行四边形的对角线的顶点中的平面记为平面AC 或平面BD用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点中的平面记为平面ABC 或平面____等用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的____)来表示，的平面可记作平面ABCD习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．【做一做1】 如图所示的平行四边形MNPQ 表示的平面不．能记为( )A ．平面MNB ．平面NQPC ．平面αD ．平面MNPQ2．点、线、面的位置关系的表示A是点，l，m是直线，α，β是平面．文字语言符号语言图形语言A在l上____A在l外____A在α内____A在α外____l在α内____l在α外____或l，m相交于A ______l，α相交于A ______α，β相交于l______从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示；(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“”表示；(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“⊄”表示．【做一做2－1】若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α之间的关系可记为() A．M∈a，a∈αB．M∈a，aαC．M a，aα D．M a，a∈α【做一做2－2】平面α与平面β相交于直线m，用符号语言表示为__________．3．公理1文字语言如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内图形语言符号语言 A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α____作用判断点在平面内 判断直线在平面内 用直线检验平面公理1的内容反映了直线与平面的位置关系．“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”．从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集．这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内．【做一做3】 已知直线m 平面α，P m ，Q ∈m ，则( ) A ．P α，Q ∈α B ．P ∈α，Q α C ．P α，Q α D ．Q ∈α4．公理2 文字语言 过____一条直线上的三点，有且只有一个平面图形语言符号语言 A ，B ，C 三点______有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α作用确定平面 证明点共面(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”． (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．【做一做4】 三点可确定平面的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．1或无数个5．公理3 文字语言如果两个不重合的平面有一个______，那么它们有且只有一条过该点的公共____图形语言符号语言P∈α∩βα∩β＝l且____作用(1) 判定平面相交(2) 证明点共线(3) 证明线共点公理3反映了两个平面的位置关系．条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．【做一做5】如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点答案：1．延展平行四边形2虚线(1)希腊字母(2)英文字母(3)BCD(4)顶点【做一做1】A2．A∈l A l A∈αAαlαlαl∩m＝A l∩α＝Aα∩β＝l【做一做2－1】 B【做一做2－2】α∩β＝m3．两点lα【做一做3】D4．不在不共线【做一做4】D5．公共点直线P∈l【做一做5】D1．对平面的理解剖析：几何中的平面是一个只描述而不定义的最基本的原始概念．生活中的平面是比较平整、有限的；而几何中所说的平面是从生活中常见的平面中抽象、概括出来的，是理想的、绝对平整的、无限延伸的．几何中的平面无大小、厚薄之分，是不可度量的，可以向四周无限延伸．总结起来，平面应具有如下特点：(1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的；(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．生活中的一些物体通常呈平面形状，如课桌面、黑板面等都给我们以平面的形象．这种借助于实例引入平面的概念是必要的，对几何中平面的无限延展性可以联系直线的无限延伸性来理解，即任何一个平面都把空间分成两部分．2．公理2的推论剖析：由公理2可以得到三个推论，如下表．语言形式推论1 推论2 推论3文字语言经过一条直线和直线外的一点有且只有．．．．一个平面经过两条相交直线有且．．只有．．一个平面经过两条平行直线有且．．只有．．一个平面一条直线和其外一点确．定．一个平面两条相交直线确定．．一个平面两条平行直线确定．．一个平面图形语言符号语言A a有且只有一个平面α，使A∈α，aαa∩b＝P有且只有一个平面α，使aα，bαa∥b有且只有一个平面α，使aα，bα下面仅证明推论2，另两个推论自己证明．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．已知：直线a∩b＝P.求证：经过直线a，b有且只有一个平面．证明：①如图所示，在直线a，b上分别取与P不同的点A和B，则A，B，P是不共线的三点，则过这三点有且只有一个平面α.∵A∈a，P∈a，A∈α，P∈α，∴aα.同理，bα，∴平面α是经过直线a，b的一个平面．②假设经过直线a，b还有一个平面β，那么A，B，P三点也一定在平面β内．这样过不共线的三点A，B，P就有两个平面α和β，这与公理2矛盾．∴经过相交直线a，b只有一个平面α.由①和②，知经过直线a，b有且只有一个平面．这三个推论与公理2的作用相同，都是确定平面的依据．对于两两平行的三条直线，当它们共面时，确定1个平面；当它们不共面时，它们中任意两条直线确定一个平面，则此时可确定3个平面．综上可得，两两平行的三条直线确定1个或3个平面．3．辨析三种数学语言剖析：文字语言比较自然生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明确地叙述出来，教材上的概念、定理等多以文字叙述；图形语言易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用；符号语言简洁、精练，能够明确地表达空间中点、线、面之间的关系．符号语言是数学中常用的一种语言，要熟练地掌握符号语言、文字语言、图形语言之间的转化．题型一：判断确定平面的个数【例1】一条直线和直线外三个点最多能确定的平面个数是()A．4 B．6 C．7 D．10反思：确定平面的问题要利用公理2及三个推论，要想确定的平面最多，那么条件中每一组能确定平面的元素都要利用起来．本题容易产生的错误是先在已知直线上任取两点，这样共5个点构成了一个四棱锥，四棱锥的4个侧面，2个对角面，再加上底面共有7个平面，误选C；或者是认为这5个点中任取3个点可确定一个平面，一共有10种取法，误选D.错因都是把题中的条件作了转换，由原来的一条直线转换成两个点，那么错解中确定的某些平面只包含这两个点中的一个，这是不符合题意的．题型二：数学语言的转换【例2】用文字语言和符号语言表示下图．反思：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形，有几个平面且位置关系如何，有几条直线且位置关系如何，图中的直线和平面的位置关系如何，有几点且在哪条直线或哪个平面上等，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．本题易误解：符号语言为m∩n＝A，A∈α.此时还表示图a，b，c三种情形．答案：【例1】A【例2】解：文字语言：平面α内两直线m和n相交于点A.符号语言：mα，nα，且m∩n＝A.1．圆上任意三点可确定的平面有()A．0个B．1个C．2个D．1个或无数个2．两两相交且共点的三条直线可确定________个平面．3．用符号语言和文字语言分别表示下面的图形．4．用文字语言表示下列符号语言，并画图表示：α∩β＝m，aα，bβ，a∩m＝P，b∩m＝P.5．用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)点A在直线l上，点B不在直线l上；(2)平面α与平面β相交于过点A的直线l.答案：1．B 2.1或33．解：符号语言：lα，m∩α＝M.文字语言：直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点M.4．解：用文字语言表示为：分别在两相交平面α，β内的两条直线a和b相交，且交点P在平面α，β的交线m上．如图所示．5．解：(1)符号语言：A∈l，B l，如图所示．(2)符号语言：α∩β＝l，A∈l，如图所示．。

2.1.1 平面的性质一、温故思考【自主学习·质疑思考】 （一）．平面 （Ⅰ）平面的概念几何里所说的平面，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的，但是几何里的平面是 的，同时它还具有以下几个特点：①平面是平的；②平面是没有厚度的；③平面是没有边界的；④平面是有空间点、线组成的无限集合；⑤平面图形是空间图形的重要组成部分。

(Ⅱ)平面的画法⑴水平放置的平面通常画成一个 ，它的锐角通常画成 ，并且横边长等于其邻边长的 ，如图1；⑵如果一个平面被另一个平面挡住了，为了增强它的立体感，被挡住部分用 画出来，如图2所示；跟平面几何不同的是，在立体几何中，添加辅助线的时候遵循的原则是“眼见为实，眼不见为虚”。

(Ⅲ)平面的表示图2DABC图1为了表示平面，我们常把希腊字母,,αβγ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面α、平面β；也可以用代表平面的平行四边形的顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图1所示，平面通常可以表示为： 。

（二）．空间几何的符号语言体系平面内有无数个点，平面可以看做点的集合；如果点A 在平面β内，记作 ；点A 不在平面β内，记作 。

平面内的直线可以看成点的集合；点P 在直线l 上（或直线l 经过点P ），记作 ；点P 在直线l 外（或直线l 不经过点P ），记作 。

平面内的直线可以看成平面的子集；如果直线l 上的所有点都在平面α内，就说直线l 在平面α内，或者说平面α经过直线l ，记作 ；否则就说直线l 在平面α外，记作 。

平面内任意一个点可以看成两条直线的公共点，如果点P 是直线1l 和2l 的公共点，称点P 是直线1l 和2l 的交点，记作 ，这是一个记号，请注意和集合语言中的区别。

平面内任意一条直线可以看成两个平面的公共线，如果直线l 是平面α和β的公共线，称直线l 是平面α和β的交线，记作 。

如果直线l 和平面α有且仅有一个公共点P ，称P 为直线l 和平面α的交点，记作 。

2.2.2 平面与平面平行的判定学习目标：1. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；2. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；3. 进一步体会转化的数学思想.学习过程：一、学情调查 情境导入复习1：直线与平面平行的判定定理是__________________________________.图形语言：符号语言：复习2：两个平面的位置关系有___种，分别为_______和_______.讨论：两个平面平行的定义是两个平面没有公共点,怎样证明两个平面没有公共点呢?你觉得好证吗?二、问题展示 合作探究两个平面平行的判定定理问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？结论：两个平面平行的问题可以转化为 与 平行的问题.问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？试试：在长方体中，回答下列问题⑴如图6-1，AA AA B B '''⊂面,AA '∥面BB C C ''，则面AA B B ''∥面BB C C ''吗？图6-1⑵如图6-2，AA '∥EF ，AA '∥DCC D ''面，EF ∥DCC D ''面，则A ADD ''面∥DCC D ''面吗？图6-2⑶如图6-3，直线A C''和B D''相交，且A C''、B D''都和平面ABCD平行(为什么)，则平面''''∥平面ABCD吗？A B C D图6-3反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？新知：两个平面平行的判定定理定理：图形：如图6-4所示，α∥β.图6-4反思：⑴定理的实质是什么?⑵用符号语言把定理表示出来.※典型例题例1 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：（1）E，F，B，D四点共面；（2）平面MAN//平面EFDB．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面AB1D1//平面C1BD．例2如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，M为OA的中点，N为BC 的中点．求证：直线MN//平面OCD．小结：证明面面平行，只需证明线线平行，而且这两条直线必须是相交直线.三、达标训练 巩固提升1．下列说法正确的是 （ ）A ．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行B ．平行于同一平面的两条直线平行C ．如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行D ．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ ）A ．α、β都平行于直线lB ．α内存在不共线的三点到β的距离相等C ．、m 是α内两条直线，且∥β，m ∥βD ．、m 是两条异面直线，且∥α，m ∥α，∥β，m ∥β3. 平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A ．α内有无穷多条直线都与β平行B ．直线∥α，∥β，且不在α内也不在β内C ．直线α⊂a ，直线β⊂b ，且β//a ，α//bD ．α内的任何直线都与β平行4．下列说法正确的是 （ ）A. 垂直于同一条直线的两条直线平行B. 平行于同一个平面的两个平面平行C. 平行于同一条直线的两个平面平行D. 平行于同一个平面的两条直线平行5．不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则 （ ）A ． α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于αC ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一条边与α平行6．已知直线a 、b ，平面α、β, 且a// b ，a//α，α//β，则直线b 与平面β的位置关系为．7．已知a 、b 、c 是三条不重合直线，a 、β、g 是三个不重合的平面，下列说法中： ⑴ a ∥c ，b ∥c ⇒a ∥b ； ⑵ a ∥g ，b ∥g ⇒a ∥b ； ⑶ c ∥α，c ∥b ⇒α∥β；⑷ g ∥α，g ∥b ⇒α∥β； ⑸ a ∥c ，α∥c ⇒a ∥α； ⑹ a ∥g ，α∥g ⇒a ∥α 其中正确的说法依次是 ．8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．E FA B CDA 1B 1C 1D 1。

2.2.2 直线与平面平行、平面与平面平行的判定【使用说明与学法指导】1.先仔细阅读教材P54-P57，再思考问题梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系2.认真预习，限时30分钟规范完成预习部分，并总结规律方法3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，准备课上讨论质疑【重点难点】重点:平面与平面平行的判定定理及应用。

难点：平面与平面平行的判定定理及应用。

【学习目标】（1）理解并掌握平面与平面平行的判定定理,进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；（2）自主学习，合作交流，让学生在发现中学习.（3）激情投入，高效学习，充分享受学习数学的快乐。

【预习案】一、复习回顾问题1：平面与平面有什么样的位置关系？并画图.2.如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点，求证：PD//平面MAC．3. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，11C D 的中点，求证：EF //平面11BB D D ．二.基础知识梳理1．平面与平面平行的判定定理： 文字语言：图形语言：符号语言：三 预习自测1.若平面β内有一条直线与平面α平行，那么α ，β平行吗？2．若平面β 内有两条直线与平面α 平行，那么α ，β平行吗？【我的疑惑】【探究案】探究一.1.已知正方体1111ABCD A B C D求证：平面11AB D∥平面1C BD2.如图，正方体ABCD–A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点. 求证：平面AMN∥平面EFDB.探究二3.如图：A、B、C为不在同一直线上的三点，1AA∥1BB∥1CC，1AA=1BB=1CC求证：平面ABC//平面111A B C【当堂检测】.//)4(;)3(;)2(;// )1()( .1ααααααa a l l l l 内一直线平行，则和平面若一直线平行么另一条也与这个平面线与一个平面平行，那两条平行线中的一条直内的任意一直线平行与平面平行，则与平面若直线则内，上有无数个点不在平面若直线下列命题正确的个数是2.α、β、γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同直线，则有一下列命题，不正确的是 .(1).b ac b c a //////⇒⎭⎬⎫ (2) b a b a //////⇒⎭⎬⎫γγ (3) βαβα//////⇒⎭⎬⎫c c （4）βαγβγα//////⇒⎭⎬⎫(5)a c a c //////αα⇒⎭⎬⎫(6) αγγα//////a a ⇒⎭⎬⎫3如图K39－3，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点． (1)求证：MN ∥平面PAD ；(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，求异面直线PA 与MN 所成的角的大反思~领悟：面面平行通常可以转化为线面平行，线面平行转化为线线平行来处理. 【小结】1.知识方面2.数学思想方法个个个个3D. 2C. 1B. 0A.。

高中数学(必修二)导学案第一章：平面直角坐标系1.1 坐标系的引入- 了解平面直角坐标系的基本概念- 掌握点在平面直角坐标系中的坐标表示方法1.2 平面直角坐标系上的距离公式- 了解平面直角坐标系上两点之间距离的公式- 掌握如何使用距离公式计算两个点之间的距离1.3 直线的斜率- 了解直线斜率的概念及其计算方法- 掌握如何根据两点坐标计算直线的斜率第二章：二次函数2.1 二次函数的图像和性质- 了解二次函数的基本概念和特点- 掌握根据二次函数的参数确定二次函数图像的方法2.2 二次函数的最值和零点- 了解二次函数最值和零点的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据二次函数求解实际问题2.3 二次函数与一次函数的比较- 了解二次函数和一次函数的基本概念及其图像特点- 掌握如何比较二次函数和一次函数的大小关系第三章：三角函数3.1 任意角及其测量- 了解任意角的基本概念及其测量方法- 掌握如何将任意角的三角函数转化为其它角度的三角函数3.2 常用角的三角函数值- 掌握常用角的三角函数值及其推导方法- 掌握如何根据三角函数值求解实际问题3.3 三角函数的图像和性质- 了解三角函数的图像及其性质- 掌握如何根据三角函数图像解决实际问题第四章：概率统计4.1 随机事件与概率- 掌握随机事件和概率的基本概念和运算法则- 掌握如何计算简单事件的概率4.2 条件概率和独立性- 了解条件概率和独立性的基本概念及其计算方法- 掌握如何根据条件概率和独立性计算事件的概率4.3 离散型随机变量及其分布律- 了解离散型随机变量及其分布律的概念- 掌握如何根据分布律计算离散型随机变量的期望值和方差以上是本章节的导学内容，希望同学们认真学习，做好课后习题。

祝学习愉快！。

第二章第一节平面三维目标1.能够利用生活中的实物感知平面；2.会用图形语言、文字语言、符号语言表示平面，认识平面的基天性质及作用；3.经过对实物模型的认识，提高空间想象能力.____________________________________________________________________________目标三导学做思 1问题 1. 生活中常有的如黑板、平坦的操场、桌面、沉静的湖面等等，都给我们以平面的印象，请举出更多实例，并回答平面的含义是什么.问题 2. 平面的含义是什么？问题 3.平面的画法及表示是什么?问题 4．请用图形语言和符号语言表示：公义1、公义 2、公义3，并思虑它们分别有什么作用？【学做思2】1.如图，用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的地点关系．图1图2a2. 求证：两两订交且可是同一点的四条直线必在同一平面内.a lBAP bl达标检测* 1. 下边给出四个命题：①一个平面长 4 m，宽 2 m；② 2个平面重叠在一同比一个平面厚；③一个平面的面积是25 m2；④ 一条直线的长度比一个平面的长度大，此中正确命题的（）A.0B.1C.2D.32.以下命题正确的选项是（）A经过三点确立一个平面B经过一条直线和一个点确立一个平面C四边形确立一个平面D两两订交且不共点的三条直线确立一个平面3.（ 1）不共面的四点能够确立几个平面？（2）共点的三条直线能够确立几个平面？4.判断以下命题能否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×” 。

（ 1）平面α与平面β订交，它们只有有限个公共点。

（）（ 2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。

（）（ 3）经过两条订交直线，有且只有一个平面。

（）（ 4）假如两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（）* 5. 正方体ABCD A1B1C1D1中，对角线 A1C 与平面 BDC1交于点 O, AC、 BD 交于点M，求证：点 C1、 O、M 共线.D1C1 A1B1DOCMA B。

2.2.2平面与平面平行的判定【教学目标】1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理；2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《2.2.2平面与平面平行的判定》课件“新课导入”部分，结合实际操作过程并通过互相交流问题，思考本节课要学习的平面与平面平行的判定知识.二、自主学习知识点平面与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号平面与平面平行的判定定理一个平面内的两相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行问题1三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定．问题2三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．问题3如图，平面BCC1B1内有多少条直线与平面ABCD平行？这两个平面平行吗？答案无数条，不平行．探究点1面面平行的判定定理例1下列四个命题：(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(2)若平面α内有无数条直线分别与平面β平行，则平面α与平面β平行；(3)平行于同一直线的两个平面平行；(4)两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平行；其中正确的个数是______________．答案0反思与感悟在判定两平面是否平行时，一定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．探究点2平面与平面的判定定理的应用例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：平面EFG∥平面BDD1B1.证明如图，连接SD，SB，∵F、G分别是DC、SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，同理，EG∥平面BDD1B1.又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.反思与感悟判定两个平面平行，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．四、当堂测试1．平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行答案 D解析若两个平面α、β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的，而B中两条直线可能是平行于交线l的直线，也不能判定α与β平行，C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的．2．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．其中正确的命题是()A．①②B．②④C．①③D．②③答案 B解析①中的两条直线有可能平行，相交或异面，故①不正确；②正确；③中一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行，故③不正确，④正确．3.如图，已知在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．答案平行解析在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理可证EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1中点．能否同时D1，B两点作平面α，使面α∥面PAC？证明你的结论．解能作出满足条件的平面α，其作法如下：如图，连接BD1，取AA1中点M，连D1M，则BD1与D1M所确定的平面即为满足条件的平面α.证明如下：连接BD交AC于O，连接PO，则PO∥D1B，故D1B∥平面PAC.又因为M为AA1中点，故D1M∥PA，从而D1M∥平面PAC.又因为D1M∩D1B＝D1，D1M⊂α，D1B⊂α，所以α∥面PAC.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．。

2.1.1 《平面》导学案编写人：审核：高二数学组编写时间：班级：组别：组名：姓名：一、学习目标：1. 了解平面的描述性概念；2. 掌握平面的表示方法和基本画法；3. 掌握平面的基本性质；4. 能正确地用数学语言表示点、直线、平面以及它们之间的关系。

二、学习重、难点：学习重点:1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

学习难点:平面基本性质的掌握与运用。

三、使用说明及学法指导:通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，从而较好地完成本节课的学习目标。

四、知识链接:生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？试写在下面的空白处。

五、学习过程:问题1、平面含义问题2、平面的画法问题3、平面的表示平面通常用希腊字母（）等表示，如（）等，也可以用表示平面的平行四边形的（）来表示，如（ ）等。

如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成（ ） 问题４、点与平面的关系：平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。

点A 在平面α内，记作：点B 在平面α外，记作：A 例1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的题号后打 √ ，否则打 ×:1）、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )2）、平面有边界； ( )3）、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )4）、菱形的面积是 4cm 2； ( )5）、一个平面可以把空间分成两部分. ( )问题5、点动成线、线动成面.联系集合的观点，点和直线、平面的位置关系怎么表示？直线和平面呢?⑴点A 在平面α 内，记作A α∈ ；点 B 在平面α外，记作B α∉ .⑵点 P 在直线l 上，记作（ ），点P 在直线l 外，记作（ ）.⑶直线l 上所有点都在平面α内,就说（ ），或者说（ ），记作（ ），否则，就说（ ），记作（ ）。

问题6如果直线l 与平面α有一个公共点，直线l 是否在平面α内？如果直线l 与平面α有两个公共点呢？公理1：文字语言：符号语言：图形语言：公理1作用：判断直线是否在平面内问题7公理2：文字语言：符号语言：图形语言：公理2作用：确定一个平面的依据。