北京航空航天大学数学分析
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北京航空航天大学数学分析(下)期中考试试题
2007年5月20日
班级 学号 姓名
一、填空题 (每小题5分,共20分)
1．
02
20
x y x
y
→→+＝
2． 设
()2
1010x f x x x ππ
--<≤⎧=⎨+<≤⎩ 以2π为周期， 则其Fourier 级数在点x π=
处收敛于
3． 方程 ''3'23-++=x
y y y e 的通解是
4. 幂级数 2
111(
1)
n n n x n ∞
=⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑ 的收敛域是
二、单项选择(每小题5分,共10分)
1. 在下列四个反常积分中， 条件收敛的积分是： 【 】 A ．1+∞
⎰ B .
1
1x
dx x +∞
+⎰
C .
1
1
ln dx x x +∞
⎰
D . 21cos x dx x +∞⎰
2. 若
()()
00
00
lim lim ,,lim lim ,x x y y y y x x f x y f x y →→→→存在但是不相等，则 【 】
A ．
()
00
lim ,x x y y f x y →→一定不存在 B .
()
l i m ,x x y y f x y →→一定存在
C .
()
lim ,x x y y f x y →→存在性无法判断 D .
()00
lim ,0
x x y y f x y →→=
三、计算题（本题40分，每小题10分）
(1) 把函数 ln(1)
1x x ++ 展开成关于x 的幂级数（请注明收敛区间）。
(2) 证明 2
2
400
lim x y xy x y →→+ 不存在。
(3) 设
,x z y f x y y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数，求 2z x y ∂∂∂。
（4）设 ()u x 由方程组 (,),(,,)0,(,)0u f x y g x y z h x z === 所确定，其中,,f g h 都
有连续的一阶偏导数且 0,0
g h y z ∂∂≠≠∂∂，求 d d u x 。
四、证明题（10分）
设(,)z f x y =在有界闭区域 D 内有二阶连续偏导数，且 ''''0,''0xx yy xy f f f +=≠。
证明(,)z f x y =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得。
五、证明题（10分）
设
()()
,f x y x y ϕ=，其中(0)0ϕ=，在0u =的附近满足 2
()u u ϕ≤，
求证(,)f x y 在（0，0）处可微。
六、论述题（10分）
简述你学习数学分析课程的感想与体会（200字左右）。
七、加选题（10分）
设,:n
E R f E R ⊂→，且 f 在E 上一致连续，证明：
若{}k P E ⊂是柯西序列，则(){}
()k f P f E ⊂也是一个柯西序列。
数学分析(下)期中考试试题
八、填空题 (每小题5分,共20分)
1． 求22
2
2
lim
x x y x y →∞+＝
2． 设()2
1010x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则其以2π为周期的Fourier 级数在点x π=处收敛
于
3． 'tan cos +=y y x x 的通解为 4． 设()f x =, 则此函数在
()1,1,1的梯度为
九、单项选择(每小题5分,共20分) 3. 对二元函数(),f x y 的如下四个命题：
1) (),f x y 在点()00,x y 连续
2) (),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续 3) (),f x y 在点()00,x y 可微
4)
(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在
则下列逻辑推理关系正确的是： 【 】
Ａ．3)2)1)⇒⇒ Ｂ. 2)3)1)⇒⇒ Ｃ．3)4)1)⇒⇒ D . 3)1)4)⇒⇒
4. 设线性无关的函数 (),1,2,3=i y x i 都是微分方程
()()()
'''++=y p x y q x y f x 的特解，则方程的通解为 【 】 A ．()()()
112233c y x c y x c y x ++ B .
()()()112223()()++-c y x c y x y x y x
C .
()()()()
11221231c y x c y x c c y x ++-- D .
()()()
11223c y x c y x y x ++
5. 已知反常积分 20sin m x
dx x +∞
⎰ 收敛，则m 的取值范围是 【 】
A ． 12≤≤m
B ． 23<≤m
C . 02<<m
D . 13<<m
6. 若
()()
00
00
lim lim ,,lim lim ,x x y y y y x x f x y f x y →→→→存在但是不相等，则 【 】
A ．
()
00
lim ,x x y y f x y →→一定不存在 B .
()
00
l i m ,x x y y f x y →→一定存在
C . ()
lim ,x x y y f x y →→存在性无法判断 D .
()00
lim ,0
x x y y f x y →→=
十、计算题（本题30分）
(1) 将函数
()2
f x x =+在
[]2,6上展为正弦级数.
(2) 求下列常微分方程的通解：''3'23-++=x
y y y e
(3) 设
,x y z f xy g y x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭，其中(,),()f u v g t 有连续二阶导数或偏导数，求2z x y ∂∂∂
十一、 问题分析（15分）
设函数()()()()()
222
,0,0,0,0,0x y
x y x y f x y x y ⎧≠⎪
+=⎨⎪=⎩
讨论此函数在原点的连续性、偏导数的存在性、可微性。
十二、 证明题（15分）
设,:n
E R f E R ⊂→，f 在E 上一致连续，证明：
若{}n
k P R ⊂是柯西序列，则(){}()k f P
f E ⊂也是一个柯西序列。
十三、 加选题（10分）
设(),f x y 在[][],,a b c d ⨯上连续，函数序列
(){}k
x φ在[],a b 上一致收敛，且
(),1,2,3,....k
c x
d k φ≤≤=，试证：(){}()(){},k
k
F x f x x φ=在[],a b 上一致收敛。
