北航工科数学分析杨小远-第9节有限闭区间上连续函数的性质2学时
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ch1-9闭区间上连续函数的性质
则 ∃x1 > 0 , 使 f ( x1 ) > 0 则 ∃x 2 < 0, 使 f ( x 2 ) < 0
由零点定理， 由零点定理，得
∃ξ ∈ ( x2 , x1 ), 使 f (ξ ) = 0 即方程有实根. 即方程有实根
福州大学数计学院
13
定理3(介值定理) 在闭区间[a,b]上连续 , 定理3(介值定理) 设 f(x) 在闭区间 3(介值定理 上连续
第二类间断点
处的左、 如果 f ( x )在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 .
福州大学数计学院
3
对于连续函数，极限符号与函数符号可以交换， 因为 lim f ( x) = f ( x0 ) = f (lim x) .
x → x0 x → x0
连续的定义
复习
定义1 内有定义， 定义1 设 f ( x ) 在 U ( x 0 , δ ) 内有定义， 若 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ，那末就称 f ( x ) ∆x → 0 连续， 为的连续点。 在点 x0 连续， 称 x0 为的连续点。 定义2 内有定义, 定义 设函数 f ( x ) 在 U ( x0 , δ ) 内有定义 若 lim f ( x ) = f ( x0 ) x→ x→ x 连续. 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续
至少有一根 .
另例 证明 方程 x 3 − 6 x + 2 = 0 在 (－3,－2) , ( 0,1) ,
( 2,3) 内各有一个实根 .
福州大学数计学院
10
例2 证 明 方 程 x + e x = 0 在 区 间 ( − 1, 1)内 )内
有限闭区间上连续函数的性质
导数与微分
连续函数在闭区间上的导数和微 分概念是微积分中的基础，用于 研究函数的单调性、极值和曲线 的切线等。
积分方程
连续函数在微积分中用于解决积 分方程和微分方程的问题，如初 值问题和边值问题。
多元函数
连续的多元函数在微积分中用于 研究多维空间的几何特性和函数 的性质。
在实变函数中的应用
可测函数
幂函数和多项式函数
幂函数和多项式函数也是连续函数，在闭区间上具有连续的导数和积分。
幂函数的值域为$(0, +infty)$，多项式函数的值域为$(-infty, +infty)$， 满足有限闭区间上连续函数的性质。
幂函数的图像呈现出单调递增或递减的趋势，多项式函数的图像则根据多 项式的阶数和系数呈现出不同的形状。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数也是连续 函数，在闭区间上具有连续的
导数和积分。
指数函数和对数函数的值域 分别为$(0, +infty)$和$(infty, +infty)$，满足有限闭 区间上连续函数的性质。
指数函数和对数函数的图像分 别呈现出单调递增和单调递减 的趋势，在有限闭区间上表现
为上下波动的趋势。
05
有限闭区间上连续函数的实例
正弦函数和余弦函数
正弦函数和余弦函数是常见的连续函数，它们在闭区间上具有连续的导数和积分。
正弦函数和余弦函数在闭区间上的值域分别为$[-1,1]$和$[0,1]$，满足有限闭区间 上连续函数的性质。
正弦函数和余弦函数的图像是周期性的，周期为$2pi$，在有限闭区间上表现为重复 的波形。
连续函数的几何意义
连续函数在平面上的图像是一条连续 不断的曲线，没有间断点。
连续函数的性质
1.10闭区间上连续函数的性质
第十节
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
2 1
o 1 2x
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
内容小结
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
作业
P73 2；4.
一点
使
证: 作辅助函数
φ( x) f ( x) C
则(x) C[ a , b ] , 且
φ(a)φ(b) (A C)(B C)
y y f (x) B C A
o a bx
第一章
闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使
f
(1)
min
a xb
f
(x)
y y f (x)
f
(2 )
max
a xb
f
(x)
(证明略)
o a1 2 b x
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断
点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
2 1
o 1 2x
推论. 在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
证: 令
,则
f (x1) f (x2) [ f (x1) f (x2 )]2 0
当
时, 取
或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
内容小结
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
作业
P73 2；4.
一点
使
证: 作辅助函数
φ( x) f ( x) C
则(x) C[ a , b ] , 且
φ(a)φ(b) (A C)(B C)
y y f (x) B C A
o a bx
闭区间上连续函数的性质
这说明 定理4. 定理4.
在( 0 , 1 ] 上不一致连续 .
上一致连续. 上一致连续.
学
(证明略) 证明略)
哈 尔 滨 工 程 大 学
备用题 正根 . 证： 令 显然
证明
至少有一个不超过 4 的
且
在开区间 根据零点定理 ,
学
内至少存在一点
原命题得证 .
例. 设 f (x) 定义在区间
哈 尔 滨 工 程 大 学
哈 尔 滨 工 程 大 学
关于最值定理的说明： 关于最值定理的说明：
连续的函数, 在闭区间 [a,b] 上连续的函数 一定能取得它的最大值和 最小值。 最小值。 可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。 可在区间内部取得最值，也可在区间端点取得最值。 区间内部取得最值 区间端点取得最值
y y
哈 尔 滨 工 程 大 学
二、最值定理
定理 1(最值定理 设 f ∈ C [a , b],则存在 x m , x M ∈ [a , b]使得 最值定理) 则存在 最值定理
f ( x m ) ≤ f ( x ) ≤ f ( x M ) (a ≤ x ≤ b) ；
这里, 这里 f ( x m ) 和 xm 分别称为 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上的最小值 和最小值点; 分别称为 和最小值点 f ( x M ) 和 x M 分别称 为 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上 的最大值和最大值点.
例2. 设函数 在 x = 0 连续 , 则 a =
2 , b= e . a (1− cos x) a 1 2 − 1− cos x ~ x 提示: = 提示 f (0 ) = lim− 2 x→ 0 2 x2
学
f (0+ ) = lim+ ln (b + x2) = ln b x→0 a =1 = ln b 2
2.10有限闭区间上连续函数的性质
lim f ( x ) = lim f ( x ) = +∞
b−a 不妨〈 ∃δ > 0 不妨δ 〈 , ∀x ∈( a, a +δ ) ∪( b −δ , b) , f ( x) > M 2 f 在[ a +δ , b −δ ] 取得最下值η
⇒ f ( ξ ) ≤ f ( x0 ) < M < f ( x)
例9：设函数在闭区间［a,b］上连续 ：设函数在闭区间［ ］
x1 , x2 ........xn ∈[ a, b] , ∀λ1 > 0, λ2 > 0,........λn> 0，
λ1 + λ2 +⋯⋯+ λn = 1 ，
∃η ∈[ a, b] f (η) = λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) +⋯⋯+ λn f ( xn )
结论得证
x0 ∈[ a + δ , b − δ ] , ∀x ∈( a, a + δ ) ∪ ( b − δ , [a , b], 且f (a ) ⋅ f (b) < 0, 则∃ξ ∈ (a , b)，
使f (ξ ) = 0.
内至少有一个实根） （即方程 f ( x ) = 0 在 ( a , b )内至少有一个实根）
证明： 证明： 令 F ( x ) = f ( x ) − x ,
易见 F ( x ) ∈ C [ 0,1], F ( 0 ) = f ( 0 ) ≥ 0,
F (1) = f (1) − 1 ≤ 0.
若F (0) = 0或F (1) = 0, x * = 0或1.
若 F ( 0 ) > 0, F (1) < 0 , ∃ x * ∈ ( 0 ,1),
闭区间上连续函数性质71193.pptx
例1 证明方程x3-x2+1=0在区间(- 1 1)内至少有一个根
证明 设 f(x)=x3-x2+1 则f(x)在闭区间[- 1 1]上连续
并且
f(-1)= - 1 <0 f(1)=1 >0
根据零点定理 在(- 1 1)内至少有一点x 使得 f(x)=0
即
x 3-x 2+1=0
这说明方程x3-x2+1=0在区间(- 1 1)内至少有一个根是x
第7页/共12页
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一 点x 使f(x)=0
注零点
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二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一 点x 使f(x)=0
第9页/共12页
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 那么在开区间(a b)内至少一 点x 使f(x)=0
❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于f(a)与f(b)之间的任意一个 数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C >>>
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一、有界性与最大值最小值定理
❖最大值与最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x) 如果有x0I 使得对于任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0))
则称f(x0)是函数f(x)在区间I上的最大值(最小值)
工科数学分析教程.上册(杨小远[等]编著)PPT模板
第6章函数的 Riemann积分 与Lebesgue积 分初步
0 1
6.1定积分的基 本概念
0 2
6.2可积的条件
0 3
6.3微积分的基 本定理
0 4
6.4定积分的计 算：分部积分 与换元公式
0 5
6.5积分中值定 理
0 6
6.6关于定积分 的进一步讨论： Lebesgue定理
第6章函数的Riemann积分与Lebesgue积分 初步
10.3函数项级数的一 致收敛性
10.5幂级数
10.2函数序列的一致 收敛性
10.4函数项级数和函 数的性质
10.6幂级数的应用
第10章函数序列与函 数项级数
探索类问题
13
参考文献
参考文献
感谢聆听
A
9.1数项 级数的收
敛性
D
9.4一般 级数的收
敛问题
第9章数项级数
B
9.2正项 级数的比 较判别法
E
9.5绝对 收敛和条
件收敛
C
9.3正项 级数的其 他判别法
F
9.6级数 的乘法
第9章数项级数
*9.0章函数序列与函数项级数
第10章函数序列与函数项级数
10.1函数序列和函数 项级数的几个基本概念
05
2.5连续函 数
03
2.3函数的 基本概念和
性质
06
2.6函数极 限的其他形
式
第2章函数极限与连续
2.7收敛速度问题：无穷 小与无穷大的阶的比较
2.8函数的一致连续性
2.9有限闭区间上连续函 数的性质
*2.10关于函数极限和连 续的进一步讨论
探索类问题
05
有限闭区间连续函数的性质
(a,b),使p( ) 0.
例7. f :[0,1] [0,1], f C[0,1],
求证：x* [0,1],使f ( x* ) x* . 证明：令F ( x) f ( x) x,
易见F ( x) C[0,1], F (0) f (0) 0,
F (1) f (1) 1 0.
lim lim n
(bn an )
n
ba 2n
0.
满足： f (an ) 0, f (bn ) 0
由闭区间套定理：
[an ,bn ]，使得 lim an lim bn .
从而： n1
n
n
由f (an ) 0 f (bn )，令n ，f ( ) 0且f ( ) 0，
f ( ) 0.
根据柯西收敛准则，lim f ( x)存在; xa 同理 : lim f ( x)存在. xb
二、有界性定理
定理：f Ca,b, f在a,b上有界.
证明：若不然，设f ( x)在[a,b]上无上界.
n N * ,xn [a,b],使f ( xn ) n,
{ xn } [a, b], 有收敛子列{ xkn },
若F(0) 0或F(1) 0, x* 0或1. 若F(0) 0, F(1) 0,x* (0,1),
x[a ,b]
x[a ,b]
则必x* , x* [a,b],使f ( x* ) M , f ( x* ) m.
证明：
由于f有界, 故m, M为有限数, 根据上确界定义：
n N*,xn [a,b],使
M1 n
f (xn ) M,
xn [a,b], 有子列收敛，
设
lim
n
xkn
x* [a,b].
9-第9讲闭区间上连续函数的性质
ma
y m a3
m a2
mb
y = f (x) m a5 m a6
a a1
a2 a3 O a4
a5 a6 b x
m a4
x m [ a ,b ] m a m a x ,m a a 1 ,m x a 2 ,m a 3 { ,m a 4 ,m a 5 ,m a 6 ,m b }
x m [ a ,b ] m in m a ,m ia 1 n ,m a 2 ,m { a 3 ,m a 4 ,m a 5 ,m a 6 ,m b }
定理 (最大值和最小值定理)
若 f (x) C ( [a, b] ) , 则它在该闭区间 上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .
在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大 值和最小值.
推论 若 f (x)C( [a, b] ), 则 f (x) 在 [a, b] 上有界.
例3 证明方程 x = a sin x + b ( a > 0, b > 0 ) 至少有一个不超过 a + b 的正根.
证 问题归(结 0,a为 b]上 在求方程的 . 根 设 f (x) = x a sin x b , x[ 0, a + b ],
则 f (x)C( [ 0, a + b ] ),
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
y m a3
m a2
mb
y = f (x) m a5 m a6
a a1
a2 a3 O a4
a5 a6 b x
m a4
x m [ a ,b ] m a m a x ,m a a 1 ,m x a 2 ,m a 3 { ,m a 4 ,m a 5 ,m a 6 ,m b }
x m [ a ,b ] m in m a ,m ia 1 n ,m a 2 ,m { a 3 ,m a 4 ,m a 5 ,m a 6 ,m b }
定理 (最大值和最小值定理)
若 f (x) C ( [a, b] ) , 则它在该闭区间 上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 .
在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大 值和最小值.
推论 若 f (x)C( [a, b] ), 则 f (x) 在 [a, b] 上有界.
例3 证明方程 x = a sin x + b ( a > 0, b > 0 ) 至少有一个不超过 a + b 的正根.
证 问题归(结 0,a为 b]上 在求方程的 . 根 设 f (x) = x a sin x b , x[ 0, a + b ],
则 f (x)C( [ 0, a + b ] ),
掌握无穷小量的比较，能熟练运用等价无穷小量计算相应的 函数极限。了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。 ▪ 理解极限存在准则。能较好运用极限存在准则和两个重要极 限求相应的函数极限。 ▪ 理解函数在一点连续以及在区间上连续的概念，会判断函数 间断点的类型。了解基本初等函数和初等函数的连续性以及 闭区间上连续函数的性质（介值定理、最值定理）。
闭区间上连续函数的性质
y f ( x)
E 非空有界数集.(因为 E [a, b], 且 b E ).
由确界原理,E 有下确界. 设 x0 inf E. (i) 先证 x0 (a, b). 因 f (a ) 0, f (
存在 0, 使 f ( x) 0, x [a, a ); f ( x) 0, x (b , b]. 所以 x0 a, x0 b. 即 x0 (a, b).
必有实根 . 例3. 证明任意奇次代数方程
设 证： p( x ) x 2 n 1 a0 x 2 n a1 x 2 n 1 a 2 n 1 x a 2 n ,
可见p( x ) C ( ,). a0 a1 a2n1 a2 n 2 n 1 p( x ) x (1 2 2n 2n1 ) x x x x lim p( x ) , lim p( x ) .
由上确界定义，
1 n N , xn [a, b], s.t . M f ( xn ) M n { xn } [a , b], 有收敛子列{ xnk }, 设 lim xn x1 [a , b].
k
k
1 M f ( xnk ) M nk
令k 可知f ( x1 ) M .
x
x
可以看出，一致连续要求函数变化不要“太陡”
20
例6 cos x在 , 上一致连续；
证明：
x1 x2 x1 x2 cos x1 cos x2 2sin sin 2 2 x1 x2 x1 x2 cos x1 cos x2 2sin sin x1 x2 2 2
定理3.1.8 设 f ( x ) C[a, b] f ( x ) 在[a,b]上有界.
E 非空有界数集.(因为 E [a, b], 且 b E ).
由确界原理,E 有下确界. 设 x0 inf E. (i) 先证 x0 (a, b). 因 f (a ) 0, f (
存在 0, 使 f ( x) 0, x [a, a ); f ( x) 0, x (b , b]. 所以 x0 a, x0 b. 即 x0 (a, b).
必有实根 . 例3. 证明任意奇次代数方程
设 证： p( x ) x 2 n 1 a0 x 2 n a1 x 2 n 1 a 2 n 1 x a 2 n ,
可见p( x ) C ( ,). a0 a1 a2n1 a2 n 2 n 1 p( x ) x (1 2 2n 2n1 ) x x x x lim p( x ) , lim p( x ) .
由上确界定义，
1 n N , xn [a, b], s.t . M f ( xn ) M n { xn } [a , b], 有收敛子列{ xnk }, 设 lim xn x1 [a , b].
k
k
1 M f ( xnk ) M nk
令k 可知f ( x1 ) M .
x
x
可以看出，一致连续要求函数变化不要“太陡”
20
例6 cos x在 , 上一致连续；
证明：
x1 x2 x1 x2 cos x1 cos x2 2sin sin 2 2 x1 x2 x1 x2 cos x1 cos x2 2sin sin x1 x2 2 2
定理3.1.8 设 f ( x ) C[a, b] f ( x ) 在[a,b]上有界.
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记 M x s u [ a p ,b ]f ( x ) ,m x i n [ a f ,b ]f ( x ) ,则 存 在 x * ,x * [ a ,b ] ,使
f(x*)M ,f(x*)m.
分析： 集合上确界定义： 1）xE, x M;
2) 0,yE: yM.
证明：设 Msupfx,则
f(x)-f(x0),
则称函数在集合E逐点连续.
进 一 步 ， 如 果 = i x 0 n f E { ,x 0 } > 0 ， 导 致 下 面 定 义 .
定 义 （ 2一 致 连 续 ） 设 f:E R ,
0,0, x1,x2 E ,|x1x2|:
|f(x 1 ) f(x 2 )|,
称 f在 E上 一 致 连 续 .
Ux0; x0 覆 盖 a,b.
x0a,b
n
存 在 有 限 个Uxi;xi 覆 盖 a,b. i=1
Mm 1iaxnMxi,xa,b,Uxi;xi : xUxi;xi , fxM.
定理2 若 f C a ,b ， 则 函 数 f 在 a ,b 上 有 界 .
推论4 f在 (a,b)一 致 连 续 ， f(x)在(a,b)上有界.
定 义 3（ 不 一 致 连 续 ）
设f :ER, 00, n N *,sn,tn E ， |sntn|n 1：
|f(sn)f(tn)|0,
则 称 f在 E 上 不 一 致 连 续 .
提出问题1： 有限闭区间上的连续函数是否一致连续？
问题I的分析：若 f C [ a ,b ] ,则 f 具 有 什 么 特 征 ？
存 在 U x i;x i/2 ,满 足 x 1 U x i;x i/2 ,
x 2 - x i x 2 x 1 x 1 x i x i/2 x i
fx1fx2.
f C [ a ,b ] ,则 f在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
定理1（康托定理）若 f C [ a ,b ] ,则 f 在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
f在 ( a ,b ) 连 续 ,且 f( a ) ,f( b ) 存 在 .
提 出 问 题 3 : f C a , b ,f 在 a , b 上 是 否 有 界 ？
由 函 数 的 连 续 性 ， x0[a,b],Ux0;x , 0
Mx 0,xUx0;x : fxMx.
0
0
0
0 x 1 a / 2 , 0 x 2 a / 2 ： |f ( x 1 ) f ( x 2 ) | .
根 据 柯 西 收 敛 准 ， lim f(x )存 在 .
x a
同理limf(x)存在. xb
结论得证
推论2 f C a ,b ,且 f( a ) 和 f( b ) 存 , 在
定理 4（零点存在定理） 若 fC[a,b],
且 f ( a ) f ( b ) 0 , 则 存 在 ( a , b ) ， 使 f () 0 .
证明： 不 妨 设 f(a)0 ,f(b )0 .
[a,b]二等分
f(ab)0,ab,
2
2
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a,a 2b],
证明：反证法 假设f在I上不一致连续，
00, nN*,
sn,tna,b,
sntn
1： n
f(sn)f(tn)0.
由 于 s n a ,b ,必 有 收 敛 子 列 { s n k } ,
lki m snk sa,b.因此lni mtkn s.
limf(snk)f(tnk) f(s)f(s)0, k
x0 [a,b], 0,x0,x00,xx0x0: fxfx0/2.
当 x 1 ,x 2 U x 0 ;x 0:fx 1 fx 2 .
Ux0;x0/2覆 盖 闭 区 间 a,b.
x0 a,b
n U xi;xi
i1
/2覆盖a,b，取 min 1in
xi
/2.
x 1 ,x 2 a ,b ， 当 x 1 -x 2,
n N * a, xx b n [a,b]:M n 1f(xn)M ,
所 以 x n [ a ,b ] ,有 子 列 收 敛 ， 设
lki mxnk x*[a,b]，Mn1k f(xnk)M.
令 k 可 知 f(x*)M .
同理可证： x* [a,b]： f(x*)m . 结论得证
连续函数应用：方程求根
有限闭区间上连续函数的性质
一、定义回顾
数学家海涅(Heine.H.E.)于1870年提出了函数一致连续性概念 这一概念是微积分发展史上重要理论成果 各类积分计算（定积分、重积分、曲线与曲面积分等） 函数项级数和函数的分析性质 含参变量积分
定义1(逐点连续) 设f:ER,
x0E,0,,x00,xE,|xx0|:
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a 2b,b ].
重复上述步骤，得闭区间套：
[ a , b ] [ a 1 , b 1 ] [ a 2 , b 2 ] [ a n , b n ] , ln i(m bnan)ln ib m 2na0. 满足：f(an)0,f(bn)0
证明： 由 推 论 1 ， f(a )， f(b )存 在 .
f(a) xa,
F (x)
f (x)
x(a,b),
f(b) xb.
结论得证
则 F (x)在 [a ,b ]有界f(x ， )在 (a ,b 所 )上以 .有
定理3 (最大值与最小值存在定理）
设fC[a,b],则f必能取到最大值 值 . 和
矛盾，结论得证
提出问题2： 1)有限开区间上的连续函数是否一致连续？ 2)有限开区间上的连续与一致连续函数特征？
推论1 f在 (a,b)内一致f连 (a)， 续 f(b ， )存则 .在
证明： 根 据 f在 (a,b)内 一 致 连 续 ，
0, 0, x1,x2 (a,b),|x1x2|:
|f(x1)f(x2)|. x1,x2 (a,a/2),
则 f在 (a,b)一 致 连 续 .
证明： 令 lif( m x ) A ,lif( m x ) B .
x a
x b
F
(x)
A
f (x)
Байду номын сангаас
xa, x(a,b),
B xb.
结论得证
F (x)在 [a,b]内 一 致 连 续 即f在(a,b)内一致连 . 续
推论3 f在(a,b)内一致连 续
f(x*)M ,f(x*)m.
分析： 集合上确界定义： 1）xE, x M;
2) 0,yE: yM.
证明：设 Msupfx,则
f(x)-f(x0),
则称函数在集合E逐点连续.
进 一 步 ， 如 果 = i x 0 n f E { ,x 0 } > 0 ， 导 致 下 面 定 义 .
定 义 （ 2一 致 连 续 ） 设 f:E R ,
0,0, x1,x2 E ,|x1x2|:
|f(x 1 ) f(x 2 )|,
称 f在 E上 一 致 连 续 .
Ux0; x0 覆 盖 a,b.
x0a,b
n
存 在 有 限 个Uxi;xi 覆 盖 a,b. i=1
Mm 1iaxnMxi,xa,b,Uxi;xi : xUxi;xi , fxM.
定理2 若 f C a ,b ， 则 函 数 f 在 a ,b 上 有 界 .
推论4 f在 (a,b)一 致 连 续 ， f(x)在(a,b)上有界.
定 义 3（ 不 一 致 连 续 ）
设f :ER, 00, n N *,sn,tn E ， |sntn|n 1：
|f(sn)f(tn)|0,
则 称 f在 E 上 不 一 致 连 续 .
提出问题1： 有限闭区间上的连续函数是否一致连续？
问题I的分析：若 f C [ a ,b ] ,则 f 具 有 什 么 特 征 ？
存 在 U x i;x i/2 ,满 足 x 1 U x i;x i/2 ,
x 2 - x i x 2 x 1 x 1 x i x i/2 x i
fx1fx2.
f C [ a ,b ] ,则 f在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
定理1（康托定理）若 f C [ a ,b ] ,则 f 在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
f在 ( a ,b ) 连 续 ,且 f( a ) ,f( b ) 存 在 .
提 出 问 题 3 : f C a , b ,f 在 a , b 上 是 否 有 界 ？
由 函 数 的 连 续 性 ， x0[a,b],Ux0;x , 0
Mx 0,xUx0;x : fxMx.
0
0
0
0 x 1 a / 2 , 0 x 2 a / 2 ： |f ( x 1 ) f ( x 2 ) | .
根 据 柯 西 收 敛 准 ， lim f(x )存 在 .
x a
同理limf(x)存在. xb
结论得证
推论2 f C a ,b ,且 f( a ) 和 f( b ) 存 , 在
定理 4（零点存在定理） 若 fC[a,b],
且 f ( a ) f ( b ) 0 , 则 存 在 ( a , b ) ， 使 f () 0 .
证明： 不 妨 设 f(a)0 ,f(b )0 .
[a,b]二等分
f(ab)0,ab,
2
2
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a,a 2b],
证明：反证法 假设f在I上不一致连续，
00, nN*,
sn,tna,b,
sntn
1： n
f(sn)f(tn)0.
由 于 s n a ,b ,必 有 收 敛 子 列 { s n k } ,
lki m snk sa,b.因此lni mtkn s.
limf(snk)f(tnk) f(s)f(s)0, k
x0 [a,b], 0,x0,x00,xx0x0: fxfx0/2.
当 x 1 ,x 2 U x 0 ;x 0:fx 1 fx 2 .
Ux0;x0/2覆 盖 闭 区 间 a,b.
x0 a,b
n U xi;xi
i1
/2覆盖a,b，取 min 1in
xi
/2.
x 1 ,x 2 a ,b ， 当 x 1 -x 2,
n N * a, xx b n [a,b]:M n 1f(xn)M ,
所 以 x n [ a ,b ] ,有 子 列 收 敛 ， 设
lki mxnk x*[a,b]，Mn1k f(xnk)M.
令 k 可 知 f(x*)M .
同理可证： x* [a,b]： f(x*)m . 结论得证
连续函数应用：方程求根
有限闭区间上连续函数的性质
一、定义回顾
数学家海涅(Heine.H.E.)于1870年提出了函数一致连续性概念 这一概念是微积分发展史上重要理论成果 各类积分计算（定积分、重积分、曲线与曲面积分等） 函数项级数和函数的分析性质 含参变量积分
定义1(逐点连续) 设f:ER,
x0E,0,,x00,xE,|xx0|:
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a 2b,b ].
重复上述步骤，得闭区间套：
[ a , b ] [ a 1 , b 1 ] [ a 2 , b 2 ] [ a n , b n ] , ln i(m bnan)ln ib m 2na0. 满足：f(an)0,f(bn)0
证明： 由 推 论 1 ， f(a )， f(b )存 在 .
f(a) xa,
F (x)
f (x)
x(a,b),
f(b) xb.
结论得证
则 F (x)在 [a ,b ]有界f(x ， )在 (a ,b 所 )上以 .有
定理3 (最大值与最小值存在定理）
设fC[a,b],则f必能取到最大值 值 . 和
矛盾，结论得证
提出问题2： 1)有限开区间上的连续函数是否一致连续？ 2)有限开区间上的连续与一致连续函数特征？
推论1 f在 (a,b)内一致f连 (a)， 续 f(b ， )存则 .在
证明： 根 据 f在 (a,b)内 一 致 连 续 ，
0, 0, x1,x2 (a,b),|x1x2|:
|f(x1)f(x2)|. x1,x2 (a,a/2),
则 f在 (a,b)一 致 连 续 .
证明： 令 lif( m x ) A ,lif( m x ) B .
x a
x b
F
(x)
A
f (x)
Байду номын сангаас
xa, x(a,b),
B xb.
结论得证
F (x)在 [a,b]内 一 致 连 续 即f在(a,b)内一致连 . 续
推论3 f在(a,b)内一致连 续