北航工科数学分析杨小远-第9节有限闭区间上连讲义续函数的性质2学时
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有限闭区间上连续函数的性质
导数与微分
连续函数在闭区间上的导数和微 分概念是微积分中的基础，用于 研究函数的单调性、极值和曲线 的切线等。
积分方程
连续函数在微积分中用于解决积 分方程和微分方程的问题，如初 值问题和边值问题。
多元函数
连续的多元函数在微积分中用于 研究多维空间的几何特性和函数 的性质。
在实变函数中的应用
可测函数
幂函数和多项式函数
幂函数和多项式函数也是连续函数，在闭区间上具有连续的导数和积分。
幂函数的值域为$(0, +infty)$，多项式函数的值域为$(-infty, +infty)$， 满足有限闭区间上连续函数的性质。
幂函数的图像呈现出单调递增或递减的趋势，多项式函数的图像则根据多 项式的阶数和系数呈现出不同的形状。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数也是连续 函数，在闭区间上具有连续的
导数和积分。
指数函数和对数函数的值域 分别为$(0, +infty)$和$(infty, +infty)$，满足有限闭 区间上连续函数的性质。
指数函数和对数函数的图像分 别呈现出单调递增和单调递减 的趋势，在有限闭区间上表现
为上下波动的趋势。
05
有限闭区间上连续函数的实例
正弦函数和余弦函数
正弦函数和余弦函数是常见的连续函数，它们在闭区间上具有连续的导数和积分。
正弦函数和余弦函数在闭区间上的值域分别为$[-1,1]$和$[0,1]$，满足有限闭区间 上连续函数的性质。
正弦函数和余弦函数的图像是周期性的，周期为$2pi$，在有限闭区间上表现为重复 的波形。
连续函数的几何意义
连续函数在平面上的图像是一条连续 不断的曲线，没有间断点。
连续函数的性质
北航工科数学分析杨小远-第9节有限闭区间上连续函数的性质2学时
记 M x s u [ a p ,b ]f ( x ) ,m x i n [ a f ,b ]f ( x ) ,则 存 在 x * ,x * [ a ,b ] ,使
f(x*)M ,f(x*)m.
分析： 集合上确界定义： 1）xE, x M;
2) 0,yE: yM.
证明：设 Msupfx,则
f(x)-f(x0),
则称函数在集合E逐点连续.
进 一 步 ， 如 果 = i x 0 n f E { ,x 0 } > 0 ， 导 致 下 面 定 义 .
定 义 （ 2一 致 连 续 ） 设 f:E R ,
0,0, x1,x2 E ,|x1x2|:
|f(x 1 ) f(x 2 )|,
称 f在 E上 一 致 连 续 .
Ux0; x0 覆 盖 a,b.
x0a,b
n
存 在 有 限 个Uxi;xi 覆 盖 a,b. i=1
Mm 1iaxnMxi,xa,b,Uxi;xi : xUxi;xi , fxM.
定理2 若 f C a ,b ， 则 函 数 f 在 a ,b 上 有 界 .
推论4 f在 (a,b)一 致 连 续 ， f(x)在(a,b)上有界.
定 义 3（ 不 一 致 连 续 ）
设f :ER, 00, n N *,sn,tn E ， |sntn|n 1：
|f(sn)f(tn)|0,
则 称 f在 E 上 不 一 致 连 续 .
提出问题1： 有限闭区间上的连续函数是否一致连续？
问题I的分析：若 f C [ a ,b ] ,则 f 具 有 什 么 特 征 ？
存 在 U x i;x i/2 ,满 足 x 1 U x i;x i/2 ,
x 2 - x i x 2 x 1 x 1 x i x i/2 x i
f(x*)M ,f(x*)m.
分析： 集合上确界定义： 1）xE, x M;
2) 0,yE: yM.
证明：设 Msupfx,则
f(x)-f(x0),
则称函数在集合E逐点连续.
进 一 步 ， 如 果 = i x 0 n f E { ,x 0 } > 0 ， 导 致 下 面 定 义 .
定 义 （ 2一 致 连 续 ） 设 f:E R ,
0,0, x1,x2 E ,|x1x2|:
|f(x 1 ) f(x 2 )|,
称 f在 E上 一 致 连 续 .
Ux0; x0 覆 盖 a,b.
x0a,b
n
存 在 有 限 个Uxi;xi 覆 盖 a,b. i=1
Mm 1iaxnMxi,xa,b,Uxi;xi : xUxi;xi , fxM.
定理2 若 f C a ,b ， 则 函 数 f 在 a ,b 上 有 界 .
推论4 f在 (a,b)一 致 连 续 ， f(x)在(a,b)上有界.
定 义 3（ 不 一 致 连 续 ）
设f :ER, 00, n N *,sn,tn E ， |sntn|n 1：
|f(sn)f(tn)|0,
则 称 f在 E 上 不 一 致 连 续 .
提出问题1： 有限闭区间上的连续函数是否一致连续？
问题I的分析：若 f C [ a ,b ] ,则 f 具 有 什 么 特 征 ？
存 在 U x i;x i/2 ,满 足 x 1 U x i;x i/2 ,
x 2 - x i x 2 x 1 x 1 x i x i/2 x i
北京航空航天大学数值分析课程知识点总结
北京航空航天大学数值分析课程知识点总结1.2 误差知识与算法知识1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字设a 是准确值x 的一个近似值，记e x a =-，称e 为近似值a 的绝对误差，简称误差。
如果||e 的一个上界已知，记为ε，即||e ε≤，则称ε为近似值a 的绝对误差限或绝对误差界，简称误差限或误差界。
记r e x ae x x-==，称r e 为近似值a 的相对误差。
由于x 未知，实际上总把e a 作为a 的相对误差，并且也记为r e x a e a a -==，相对误差一般用百分比表示。
r e 的上界，即||r a εε=称为近似值a 的相对误差限或相对误差界。
定义设数a 是数x 的近似值。
如果a 的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位到它的第一位非零数字共有n 位，则称用a 近似x 时具有n 位有效数字。
1.2.3 函数求值的误差估计设()u f x =存在足够高阶的导数，a 是x 的近似值，则~()u f a =是()u f x =的近似值。
若'()0f a ≠且|''()|/|'()|f a f a 不很大，则有误差估计~~()'()()()'()()e uf a e a u f a a εε≈≈。
若(1)()'()''()...()0,()0k k f a f a fa f a -====≠，且比值(1)()()/()k k f a fa +不很大，则有误差估计[][]()~()~()()()!()()()!k kk k f a e u e a k f a u a k εε≈≈。
对于n 元函数，有误差估计~121~121(,,...,)()()(,,...,)()()nn i i i nn i i if a a a e u e a x f a a a u a x εε==?≈??≈?∑∑；若一阶偏导全为零或很小，则要使用高阶项。
27闭区间上连续函数的性质091.10.7
任一数 C , 至少有一点 ( a , b ), 使 f ( ) C.
证 作辅助函数
(x) f (x) C 则(x)C[a, b] , 且
(a) (b) ( A C )(B C ) 0
故由零点定理知, 至少有一点 ( a , b ), 使 ( ) 0, 即 f ( ) C .
即 f (x) 1 A
-X o X x
又 f ( x)在(,)内连续
f ( x)在[ X , X ]上连续，从而在[ X , X ]上有界
故存在常数 M1 0，使得
f ( x) M1, x [ X , X ]
取 M max{ M1, 1 A }，则 x (,)，均有
f (x) M.
记 f ( x) a0 xn a1xn1 an1x an,
且不妨设 a0 0, 由于
lim
x
f
(x)
lim
x
x n (a0
a1 x
an ) xn
,
故存在 x1 0, 使得 f ( x1) 0.
使得 f ( x1) 0.
又
lim
x
f
( x) lim
x
x n (a0
a1 x
an ) xn
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M
与最小值 m 之间的一切值 .
例2 证明方程 x e x3 1至少有一个不超过 4 的 正根 .
证令
x [0, 4]
显然
且
0
0
由零点定理 , 知 (0 ,4),
使 f ( ) 0, 原命题得证 .
例3 若 f ( x)在[a,b]上连续, a x1 x2 xn b
一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图.
证 作辅助函数
(x) f (x) C 则(x)C[a, b] , 且
(a) (b) ( A C )(B C ) 0
故由零点定理知, 至少有一点 ( a , b ), 使 ( ) 0, 即 f ( ) C .
即 f (x) 1 A
-X o X x
又 f ( x)在(,)内连续
f ( x)在[ X , X ]上连续，从而在[ X , X ]上有界
故存在常数 M1 0，使得
f ( x) M1, x [ X , X ]
取 M max{ M1, 1 A }，则 x (,)，均有
f (x) M.
记 f ( x) a0 xn a1xn1 an1x an,
且不妨设 a0 0, 由于
lim
x
f
(x)
lim
x
x n (a0
a1 x
an ) xn
,
故存在 x1 0, 使得 f ( x1) 0.
使得 f ( x1) 0.
又
lim
x
f
( x) lim
x
x n (a0
a1 x
an ) xn
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M
与最小值 m 之间的一切值 .
例2 证明方程 x e x3 1至少有一个不超过 4 的 正根 .
证令
x [0, 4]
显然
且
0
0
由零点定理 , 知 (0 ,4),
使 f ( ) 0, 原命题得证 .
例3 若 f ( x)在[a,b]上连续, a x1 x2 xn b
一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图.
高等数学讲义课件 第9节 闭区间上的连续函数的性质
a xb
(证明略)
o a1 2 b x
注: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f ( x) , m min f ( x) y
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 (a , b), 使 f ( ) 0.
例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S() C[, ] 因 S() 0, S() A 故由介值定理可知:
S( )
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
Conclusions:
设 f (x) C[a,b],则
1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
o
x
0 (, ),
使
S(0)
A. 2
作业 习 题八
第九节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1 在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [a , b] , 则 1 ,2 [a , b] , 使
f
(1 )
min
a xb
f
(
(证明略)
o a1 2 b x
注: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值
又如,
也无最大值和最小值
y 1
o
1x
y
2 1
o 1 2x
推论：在闭区间上连续的函数在该区间上有界.
证: 设
由定理 1 可知有
M max f ( x) , m min f ( x) y
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 (a , b), 使 f ( ) 0.
例3 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片.
提示: 建立坐标系如图.
y
则面积函数 S() C[, ] 因 S() 0, S() A 故由介值定理可知:
S( )
(a, b), 使 F ( ) f ( ) 0,
即 f ( ) .
Conclusions:
设 f (x) C[a,b],则
1. f (x) 在 [a ,b] 上有界; 2. f (x) 在 [a ,b] 上达到最大值与最小值; 3. f (x) 在 [a ,b] 上可取最大与最小值之间的任何值;
o
x
0 (, ),
使
S(0)
A. 2
作业 习 题八
第九节 闭区间上连续函数的性质
一、最值定理 二、介值定理
一、最值定理
定理1 在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f ( x) C [a , b] , 则 1 ,2 [a , b] , 使
f
(1 )
min
a xb
f
(
2.10有限闭区间上连续函数的性质
lim f ( x ) = lim f ( x ) = +∞
b−a 不妨〈 ∃δ > 0 不妨δ 〈 , ∀x ∈( a, a +δ ) ∪( b −δ , b) , f ( x) > M 2 f 在[ a +δ , b −δ ] 取得最下值η
⇒ f ( ξ ) ≤ f ( x0 ) < M < f ( x)
例9：设函数在闭区间［a,b］上连续 ：设函数在闭区间［ ］
x1 , x2 ........xn ∈[ a, b] , ∀λ1 > 0, λ2 > 0,........λn> 0，
λ1 + λ2 +⋯⋯+ λn = 1 ，
∃η ∈[ a, b] f (η) = λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) +⋯⋯+ λn f ( xn )
结论得证
x0 ∈[ a + δ , b − δ ] , ∀x ∈( a, a + δ ) ∪ ( b − δ , [a , b], 且f (a ) ⋅ f (b) < 0, 则∃ξ ∈ (a , b)，
使f (ξ ) = 0.
内至少有一个实根） （即方程 f ( x ) = 0 在 ( a , b )内至少有一个实根）
证明： 证明： 令 F ( x ) = f ( x ) − x ,
易见 F ( x ) ∈ C [ 0,1], F ( 0 ) = f ( 0 ) ≥ 0,
F (1) = f (1) − 1 ≤ 0.
若F (0) = 0或F (1) = 0, x * = 0或1.
若 F ( 0 ) > 0, F (1) < 0 , ∃ x * ∈ ( 0 ,1),
北航数学分析期中考题答案
北京航空航天大学2010－2011 学年第一学期期中《工科数学分析(I) 》试卷班号学号姓名成绩20XX年11月25日一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1) 计算极限21sin 11x x x x e解：221sin 1sin lim11sin 1x x x x x x x exx x ………….. （3分）=12…………… （2分） 2) 求下面无穷小的阶1tan 1sin 0xx x.解：tan sin 1tan1sin 1tan1sin1sin 1cos 1tan 1sin x xx x x xx x xx………………………（3分）1sin 1cos lim2x x x x为1阶 (2分)3) 假设cos sin 0xf x x求'f x.解：cos cos lnsin sin xx x f xe ……………….. (2分)2''cos ln sincosln sin 2cos cos sinln sin sin cos sinsinln sinsin x x x xxx f ee x x xx x x xx……….(3分)4) 假设sin ,cos .x t t y t t 求dy dx.解:dy dy dx dx dtdt(2分)cos sin cos sin t t ttt t(3分)5) 假设223,x f x x xe 求.nfx解:2'10212''22223232323nnx nn xxnnn xnfxx x e C x x e Cxx eCxx e(3分)212221231221112133nxn n xxnxx xen xe n n e ex n xn n(2分)6) 求ln f x x 在2x 的n 阶Taylor 展开,并写出peano 余项.解:2ln ln 22ln 2122ln 2ln 12x f xx x x (2分)1122ln 2ln 1ln 21222knk nk x x o x (3分)7) 假设函数x f xe , 判断函数的凹凸性.解''''x x fx ee (4分)凸函数 (1分)8) 已知1sin ,0,0,0.mx xf xm x x 为正整数. 求:m 满足什么条件，函数在0x 连续，m 满足什么条件，函数在0x可导.解:1m ，函数在0x 连续 (2分)2m，函数在0x可导数 (3分)二 证明下面问题（10分）假设1110,0,,2nn n x x xx 证明数列nx .证明: 1) 数列单调递减有下界(5分)1111,21110222nn nn nnn nnnnx x x x x x xx x xx2) (5分)11lim 2nnx bb b b,b三. 证明下面问题（10分） 假设数列nx 满足112nn nx x , 用Cauchy 收敛定理证明nx 收敛.证明 1) (5分)112112121,.......111........22211111112 (1).1222222nPn n Pn P nP n P nnn P n P n pn P P nn pN x x x x x x x x2) 柯西定理写正确5分10,ln /ln 21,,,npnN n N pN x x四. 证明下面不等式 (10 分)2sin 1,0,2xx ex x .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分2'''1sin ,0,2cos ,0,1sin ,0,x x xx F xe x xF x x e x x F xe x x2) (2分)''0,0,,F xx '00F 因此'0,0,F xx3) (2分)00F ,21sin 0,0,2xx F x ex x五. （10分）假设函数f x 和g x 在,a b 存在二阶导数，并且''0g x,且0f af bg a g b ，证明下面问题:1）在,a b 内0g x ；2） 在,a b内至少存在一点在,满足''''f f g g .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设,,0a b g. 则''111''222''''''12312331200,,00,,00,g ag g x a g x x a g bg g x b g x x b g x g x g x x x g x x x x矛盾,结论得证.2) 令''F xf xg x f x g x …….. ( 2分)'''''F xf xg xf xg x………………(2分)0F a F b'''''0F fg f g…………(1分)六 (10分) 假设函数f x 在0,1存在二阶导数,00,11,f f 并''010,f f 求解和证明下面问题.1) 写出f x 在0,1x x 的Lagrange 余项的Taylor 公式;2) 证明在0,1至少存在一点0,1满足''4f .证明 1) 下面每个式子2分'''211100,2f x f f xf x 介于0,x 之间.2'''1211111,2f xf f x f x 介于,1x 之间.2)'''2''2112''11100221112f x f f xf x f x f xf x 2分2''2''112''2''112''''2111111221111221max ,12fx fx f x f x f fxx 2分而221xx 在0,1区间上的最大值12, (2分)因此''''11max , 4.f f七 （10分）证明下面问题假设f x 定义在,a b上. 如果对,a b内任何收敛的点列nx 都有limn nf x 存在, 则f在,a b上一致连续.证明: 1) 写出不一致连续定义3分 如果f在,a b上不一致连续, 则010,,,,,n n n nn ns t a b s t f s f t n2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列),,,n ns t a b 则存在,,,lim lim k k kkn n n n kks t a b s t3) 下面结论4分构造11,,.......,,..........k k n n n n ns t s t z 数列收敛且极限为, (2分)则有已知条件lim n nf z 存在, 因此lim lim kk n n kkf s f t (2分)与1)矛盾.八 （10分）附加题 (下面两个题目任选其一)1) 假设函数11cos nnfx x, 证明下面问题a) 对于任意的自然数n , 方程12nfx在0,2中仅有一根.b) 设0,,2n x 满足12nnfx , 则lim .2nn x证明: 1) 5分01,02nnf f ,由介值定理10,,22nnnx fx . (3分)1'sin 1cos 0,0,2n nfxn x x x(2分)因此根唯一. 2) 5分由于1111arccos11,lim arccos 1,nn n n f f e nn n（2分）由极限的保号性11,,arccos 211arccos2n nnnN nN f nffxn（2分）单调性1arccos 2nx n和夹逼定理lim .2nnx （1分）2) 用有限覆盖定理证明下面问题 假设函数f x 定义在,a b , 对于0,x a b , 0lim xx f x 都存在, 则f x 在,a b 上有界.证明： 1）4分lim xx f x 存在，根据函数局部有界性,,,,,,xx xx x a b U x t U x f tM2）3分根据有限覆盖定理,,,xx a bU x a b，存在有限个1,,i kx i i U x a b3）3分取1max i x i kMM ，则,xa b ，1,i kx i i xU x ，则f x M 。
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第6章函数的 Riemann积分 与Lebesgue积 分初步
0 1
6.1定积分的基 本概念
0 2
6.2可积的条件
0 3
6.3微积分的基 本定理
0 4
6.4定积分的计 算：分部积分 与换元公式
0 5
6.5积分中值定 理
0 6
6.6关于定积分 的进一步讨论： Lebesgue定理
第6章函数的Riemann积分与Lebesgue积分 初步
10.3函数项级数的一 致收敛性
10.5幂级数
10.2函数序列的一致 收敛性
10.4函数项级数和函 数的性质
10.6幂级数的应用
第10章函数序列与函 数项级数
探索类问题
13
参考文献
参考文献
感谢聆听
A
9.1数项 级数的收
敛性
D
9.4一般 级数的收
敛问题
第9章数项级数
B
9.2正项 级数的比 较判别法
E
9.5绝对 收敛和条
件收敛
C
9.3正项 级数的其 他判别法
F
9.6级数 的乘法
第9章数项级数
*9.0章函数序列与函数项级数
第10章函数序列与函数项级数
10.1函数序列和函数 项级数的几个基本概念
05
2.5连续函 数
03
2.3函数的 基本概念和
性质
06
2.6函数极 限的其他形
式
第2章函数极限与连续
2.7收敛速度问题：无穷 小与无穷大的阶的比较
2.8函数的一致连续性
2.9有限闭区间上连续函 数的性质
*2.10关于函数极限和连 续的进一步讨论
探索类问题
05
闭区间上连续函数的性质
y f在(x)上有I 界
y 在x 上(1有, 2界) ，但无最值
定理1. (有界性与最大值最小值定理) 闭区间上连续函数在该区间上有界并且一定能取得最大、最小值
注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断点，结论不一定成立 .
例如, 无最大值和最小值 又如,
y
y y f (x)
1
o
1x
y
o a1 2 b x
第十节 闭区间上连续函数的性质
一、最大值最小值
设函数f (x)在区间I 上有定义，如果 x0 I ，对于 x I ，都有 f (x) f (x0)(或f (x) f (x0))，则称f (x0)是f (x)在区间I 上的最大值 （或最小值）分别记为M 或m
最大值和最小值统称为最值
y f在(x)上有I最值
内容小结
在 在 在 4. 当
上有界;
上达到最大值与最小值;
上可取最大与最小值之间的任何值;
时, 必存在
使
备用题 证明
正根 . 证： 令 显然
至少有一个不超过 4 的 且
根据零点定理 , 在开区间
内至少存在一点
原命题得证 .
y
条件:
1.函数连续；
b
2.两端点处的值异号.
oa
x
定理 3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) C [ a , b ] , 且 f (a) A ,
f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有
一点
使
证: 作辅助函数 ( x) f ( x) C
则 (x)C[a, b] , 且 (a) (b) ( A C)(B C)
2
1
也无最大值和最小值
北航数学分析期中考题-答案
北京航空航天大学第一学期期中《工科数学分析(I) 》试卷班号学号姓名成绩一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1) 计算极限21sin 11x x x x e解：221sin 1sin lim11sin 1x x x x x x x exx x ………….. （3分）=12…………… （2分）2) 求下面无穷小的阶1tan 1sin 0x x x .解：tan sin 1tan1sin 1tan1sin 1sin 1cos 1tan 1sin x xx x x xx x xx………………………（3分）1sin 1cos lim2x x x x 为1阶 (2分)3) 假设cos sin 0xf xx求'f x.解：cos cos ln sin sin xx x fxe ……………….. (2分)2''cos lnsin cosln sin 2cos cos sin lnsin sin cossin sinln sin sinx x x xxx f ee x x xx x x xx……….(3分)4) 假设sin ,cos .x t t y t t 求dy dx.解:dy dy dx dx dtdt(2分)cos sin cos sin t t ttt t(3分)5) 假设223,x f x x xe 求.nfx解:2'10212''22223232323nnx nn xxnnn xnfxx x e C x x e Cxx eCxxe(3分)212221231221112133nx n n xxnxx x en xe n n e ex n xn n(2分)6) 求ln f x x 在2x 的n 阶Taylor 展开,并写出peano 余项.解:2ln ln 22ln 2122ln 2ln 12x f xx x x (2分)1122ln 2ln 1ln 21222knk nk x x o x (3分)7) 假设函数x f xe , 判断函数的凹凸性.解''''x x fx ee (4分)凸函数 (1分)8) 已知1sin ,0,0,0.mx xf xm x x 为正整数.求:m 满足什么条件，函数在0x 连续， m 满足什么条件，函数在0x可导.解:1m ，函数在0x 连续 (2分)2m，函数在0x可导数 (3分)二 证明下面问题（10分）假设1110,0,,2nn n x x xx 证明数列nx .证明: 1) 数列单调递减有下界(5分)1111,21110222nn nn nnn nnnnx x x x x x xx x xx2) (5分)11lim 2nnx bb b b,b三. 证明下面问题（10分） 假设数列nx 满足112nn n x x , 用Cauchy 收敛定理证明n x 收敛.证明 1) (5分)112112121,.......111........22211111112 (1).1222222nPn n Pn P nP n P nnn P n P npn P P nn pN x x x x x x x x2) 柯西定理写正确5分10,ln /ln 21,,,npnN n N pN x x四. 证明下面不等式 (10 分)2sin 1,0,2xx ex x .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分2'''1sin ,0,2cos ,0,1sin ,0,x x xx F xe x xF x x e x x F xe x x2) (2分)''0,0,,F xx '00F 因此'0,0,F xx3) (2分)00F ,21sin 0,0,2xx F x ex x五. （10分）假设函数f x 和g x 在,a b 存在二阶导数，并且''0g x,且0f af bg a g b ，证明下面问题:1）在,a b 内0g x ；2） 在,a b内至少存在一点在,满足''''f f g g .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设,,0a b g. 则''111''222''''''12312331200,,00,,00,g ag g x a g x x a g b g g x b g x x b g x g x g x x x g x x x x矛盾,结论得证. 2) 令''F xf xg x f x g x …….. ( 2分)'''''F xf xg xf xg x………………(2分)0F a F b '''''0F fg f g…………(1分)六 (10分) 假设函数f x在0,1存在二阶导数,00,11,f f 并''010,f f 求解和证明下面问题.1) 写出f x 在0,1x x 的Lagrange 余项的Taylor 公式;2) 证明在0,1至少存在一点0,1满足''4f .证明 1) 下面每个式子2分'''211100,2f x f f xf x 介于0,x 之间.2'''1211111,2f xf f x f x 介于,1x 之间.2)'''2''2112''11100221112fx f f xf x f x f xf x 2分2''2''112''2''112''''2111111221111221max ,12fx fx f x f x f fxx 2分而221xx 在0,1区间上的最大值12, (2分)因此''''11max , 4.f f七 （10分）证明下面问题假设f x 定义在,a b 上. 如果对,a b 内任何收敛的点列n x 都有lim n nf x 存在, 则f在,a b上一致连续.证明: 1) 写出不一致连续定义3分 如果f在,a b上不一致连续, 则010,,,,,n n n nn ns t a b s t f s f t n2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列),,,n ns t a b 则存在,,,lim lim k kkkn n n n kks t a b s t3) 下面结论4分构造11,,.......,,..........k k n n n n ns t s t z 数列收敛且极限为, (2分)则有已知条件lim n nf z 存在, 因此lim lim kk n n kkf s f t (2分)与1)矛盾.八 （10分）附加题 (下面两个题目任选其一)1) 假设函数11cos nnfx x, 证明下面问题a) 对于任意的自然数n , 方程12nfx在0,2中仅有一根.b) 设0,,2n x 满足12nnfx , 则lim .2nn x证明: 1) 5分01,02nnf f ,由介值定理10,,22nnnx fx . (3分)1'sin 1cos 0,0,2n nfxn x x x(2分)因此根唯一. 2) 5分由于1111arccos11,lim arccos 1,nn n n f f e nn n（2分）由极限的保号性11,,arccos 211arccos2n nnnN nN f nffxn（2分）单调性1arccos 2nx n和夹逼定理lim .2nnx （1分）2) 用有限覆盖定理证明下面问题 假设函数f x 定义在,a b , 对于0,x a b , 0lim xx f x 都存在, 则f x 在,a b 上有界.证明： 1）4分lim xx f x 存在，根据函数局部有界性,,,,,,xx xx x a b U x t U x f tM2）3分根据有限覆盖定理,,,xx a bU x a b，存在有限个1,,i kx i i U x a b3）3分取1max i x i kMM ，则,xa b ，1,i kx i i xU x ，则f x M 。
有限闭区间连续函数的性质
(a,b),使p( ) 0.
例7. f :[0,1] [0,1], f C[0,1],
求证：x* [0,1],使f ( x* ) x* . 证明：令F ( x) f ( x) x,
易见F ( x) C[0,1], F (0) f (0) 0,
F (1) f (1) 1 0.
lim lim n
(bn an )
n
ba 2n
0.
满足： f (an ) 0, f (bn ) 0
由闭区间套定理：
[an ,bn ]，使得 lim an lim bn .
从而： n1
n
n
由f (an ) 0 f (bn )，令n ，f ( ) 0且f ( ) 0，
f ( ) 0.
根据柯西收敛准则，lim f ( x)存在; xa 同理 : lim f ( x)存在. xb
二、有界性定理
定理：f Ca,b, f在a,b上有界.
证明：若不然，设f ( x)在[a,b]上无上界.
n N * ,xn [a,b],使f ( xn ) n,
{ xn } [a, b], 有收敛子列{ xkn },
若F(0) 0或F(1) 0, x* 0或1. 若F(0) 0, F(1) 0,x* (0,1),
x[a ,b]
x[a ,b]
则必x* , x* [a,b],使f ( x* ) M , f ( x* ) m.
证明：
由于f有界, 故m, M为有限数, 根据上确界定义：
n N*,xn [a,b],使
M1 n
f (xn ) M,
xn [a,b], 有子列收敛，
设
lim
n
xkn
x* [a,b].
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分） 设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题 设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
工科数学分析,杨小远,数列极限
lim an a .
n
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意：
1. 0, 强调任意性, 而且是任意 小的一面;
2. 不等式 xn a 刻划了xn与a的 无限接近;
3. N与任意给定的正数有关, 只强调存在性.
N定义 :
0, N 0,当n N时, 恒有 xn a .
其中
: 任意的; : 存在.
几何解释:
a
2
a
a
x 2 x1 x N 1
x N 2 x3
x
当n N时, 所有的点 xn都落在(a , a )内.
只有有限个(至多只有N个) 落在其外.
注意：使用定义求极限的过程就是求解不等式.
n ( 1) 例1 证明 lim n n
1 n
n1 2 2 2 1 hn ， hn 2 n1
2 2 n 1 hn ， n 2 1， n1
2 2 N 2 1 1 2 2
2 2 0，N 2 2，n N时， n 1 n1
N使得当n N时恒有 xn a 1 ,
从而有 xn a
1 xn a xn a a xn a a
故 lim xn a .
n
lim 0，（ 0 ） 例7 证明: n n
1 1 分析: 设 1， an 0 ，N 1 n n 1
应记住的结果：
n
n
lim a 1 （仿例8）—当 a 1时和a 1时思考
n
lim n n 1
n
a lim n! n n!
闭区间上连续函数性质
n
，使 f ( x )
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ...... f ( x n )
2.设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a c d b ,试证明： 对 任 意 正 数 p和 q ； 至 少 有 一 点 [ c , d ] , 使
pf ( c ) qf ( d ) ( p q ) f ( ) .
f ( 1 ) min f f ( x ).
o
a
1
2 b
x
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
f (x) max{ m , M },
二、介值定理
定理 3(零点定理)设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，
且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a ) f ( b ) 0 ),
f ( b ) b . 证明 ( a , b ),
证
令 F ( x ) f ( x ) x , 则 F ( x ) 在 [ a , b ]上连续 ,
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b ) f (b ) b 0
由零点定理,
( a , b ),
a xb
max
f (x) M ,
a xb
min
f (x) m,
那末，对于 m 与 M 之间的任意一个数 C ，
在 a, b 内至少存在一点 ，
使得
f ( ) C ( a b ) .
例2
设函数
f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 且 f ( a ) a , 使得 f ( ) .
，使 f ( x )
f ( x 1 ) f ( x 2 ) ...... f ( x n )
2.设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续， a c d b ,试证明： 对 任 意 正 数 p和 q ； 至 少 有 一 点 [ c , d ] , 使
pf ( c ) qf ( d ) ( p q ) f ( ) .
f ( 1 ) min f f ( x ).
o
a
1
2 b
x
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.
f (x) max{ m , M },
二、介值定理
定理 3(零点定理)设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，
且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a ) f ( b ) 0 ),
f ( b ) b . 证明 ( a , b ),
证
令 F ( x ) f ( x ) x , 则 F ( x ) 在 [ a , b ]上连续 ,
而 F (a ) f (a ) a 0
F (b ) f (b ) b 0
由零点定理,
( a , b ),
a xb
max
f (x) M ,
a xb
min
f (x) m,
那末，对于 m 与 M 之间的任意一个数 C ，
在 a, b 内至少存在一点 ，
使得
f ( ) C ( a b ) .
例2
设函数
f ( x ) 在区间 [ a , b ] 上连续 , 且 f ( a ) a , 使得 f ( ) .
北航工科数学分析杨小远-第4节函数极限的定义与基本理论-2学时教学教材
性质3. (保序性)
设 lifm (x ) A ,lig m (x ) B ,则
x x 0
x x 0
(1)若 AB,存 在 0 ,当 x U o (x 0 ； )时 ,
f(x)g(x).
( 2 ) 若 存 在 0 , 当 x U o ( x 0 ； ) 时 , f ( x ) g ( x ) , 则
li f ( x m ) A li f ( x m ) li f ( x m ) A .
x x 0
x x 0
x x 0
例1 验证limx 不存.在 x0 x
y
证
x lim
limx
x x x0
x0
1
lim (1)1 x 0
x lim
limxlim11
x0 x
x x0
x0
o
x
1
左右极限存在但不相等, limf(x)不存. 在 x0
证明： 取 1 ,存 在 0 ,0 |x x 0 | ：
|f(x ) A | 1.
| f ( x ) | | f ( x ) A A | | f ( x ) A | | A |
1|A |M .
所 以 f ( x ) 在 x 0 的 邻 域 U o ( x 0 ;) 内 有 界 .
AB.
证明： 取 A B,由
2
lif m (x ) A ,lig m (x ) B ,知
x x 0
x x 0
AB
1 0 ,0|xx 0|
1:|f(x ) A |
; 2
2 0 ,0|x AB ; 2
m in {1 ,2 } ,0|xx 0 | :
f(x) AB,g(x) AB,
工科数学分析中的探索类问题及教学案例
ｏ 数介 值定 理 的应 用 ．
（ ）Ｈｅ ｅ ７ ｉ 定理 ： 函数 ， ｚ ｎ 设 （ ）定义在
［ ， ］ 在 这两个 剩 余 区间 中再 去 掉 中间 的 三分 之 １，
。
一
开 区间 ， 下 四个 闭 区 间． 余 如此 重 复 下 去 ， 次 去 每
ｕ。ｚ ； 一 ｛ （ｏ ） ｚ１ ０＜ — ｏ＜ 艿 ， ）
匙 ， 为科 学 的皇后 ” 数 学 被认 为是 科 学 的语 言 和 成 ． 思维 的 工具． 们 的授课 群体是 工科 的学 生 ， 教学 我 在 过程 中如果采 用与 传统数 学 系一样 的教学 模式 显然 是不 行 的． 工科 学 生更 关 心 的 是数 学 能 带 给他 们 什
么， 能解 决什 么 问题 ， 因此教学 的核 心是让 学生 体会
解， 强调 数学 的应用 性 ． 根据 数 学 分 析 的经 典 内容 ， 我 们设 置 了系列探 索类 问题 ， 括 ： 础理 论 问题 ， 包 基
１ 设 置 系列 探 索 类 问题 的 研 究
康 德说“ 自然科 学 的发展 ， 决 于其方 法和 内容 取
与数 学结 合 的程度 ， 学 成 为 打开 知 识 大 门的金 钥 数
下 面 极 限 ｌ ｆ ｘ） Ａ ｉ （ ＝ ｍ
Ｏ 、
掉 上次 区间 中的三分 之 一． 托 集 是 由所 有 区 间 中 康 被 去掉 的三分 之一 区间 以后 在 ［ ， ］ 剩余 的点 ． Ｏ１上 （）证 明被 去 掉 区间的 长度之 和为 １ 但 康 托集 ａ ，
有 无穷 多个 点． ．
断思 考” 这 看似 简单 的 回答却 给 出 了一个 真 理 ： ． 几
乎所 有 的伟 大发 现都 归 功 于不 断 的思 考． 因此 数 学 教育 要为学 生创 造一 种 环 境 ， 学 生 身 临其 境 地 介 使
（ ）Ｈｅ ｅ ７ ｉ 定理 ： 函数 ， ｚ ｎ 设 （ ）定义在
［ ， ］ 在 这两个 剩 余 区间 中再 去 掉 中间 的 三分 之 １，
。
一
开 区间 ， 下 四个 闭 区 间． 余 如此 重 复 下 去 ， 次 去 每
ｕ。ｚ ； 一 ｛ （ｏ ） ｚ１ ０＜ — ｏ＜ 艿 ， ）
匙 ， 为科 学 的皇后 ” 数 学 被认 为是 科 学 的语 言 和 成 ． 思维 的 工具． 们 的授课 群体是 工科 的学 生 ， 教学 我 在 过程 中如果采 用与 传统数 学 系一样 的教学 模式 显然 是不 行 的． 工科 学 生更 关 心 的 是数 学 能 带 给他 们 什
么， 能解 决什 么 问题 ， 因此教学 的核 心是让 学生 体会
解， 强调 数学 的应用 性 ． 根据 数 学 分 析 的经 典 内容 ， 我 们设 置 了系列探 索类 问题 ， 括 ： 础理 论 问题 ， 包 基
１ 设 置 系列 探 索 类 问题 的 研 究
康 德说“ 自然科 学 的发展 ， 决 于其方 法和 内容 取
与数 学结 合 的程度 ， 学 成 为 打开 知 识 大 门的金 钥 数
下 面 极 限 ｌ ｆ ｘ） Ａ ｉ （ ＝ ｍ
Ｏ 、
掉 上次 区间 中的三分 之 一． 托 集 是 由所 有 区 间 中 康 被 去掉 的三分 之一 区间 以后 在 ［ ， ］ 剩余 的点 ． Ｏ１上 （）证 明被 去 掉 区间的 长度之 和为 １ 但 康 托集 ａ ，
有 无穷 多个 点． ．
断思 考” 这 看似 简单 的 回答却 给 出 了一个 真 理 ： ． 几
乎所 有 的伟 大发 现都 归 功 于不 断 的思 考． 因此 数 学 教育 要为学 生创 造一 种 环 境 ， 学 生 身 临其 境 地 介 使
9-第9讲闭区间上连续函数的性质
引入
介质定理
？
推论 设 f (x) C ( [a, b] ), 则 f (x) 取得 介于其在 [a, b] 上的最大值 M 和最小 值 m 之间的任何一个值.
例2 证明方程 x5 – 3x =1, 在 x =1 与 x =2 之间 至少有一根.
证 令 f (x) = x5 – 3x –1, x[1, 2], 则 f (x)C( [1, 2] ), 又 f (1) = –3, f (2) = 25, f (1) f (2) < 0,
y
f (b)
如
何
y = f (x)
证 明
Oa
bx
？
f (a)
定理2 (介值定理)
设 f (x)C ( [a, b] ), f (a)＝A, f (b)＝B, 且 A B, 则对于 A, B 之间的任意一个数 C,
至少存在一点 (a, b), 使得 f () = C.
最大、最小值定理
先看一个图
f (by)
描 述
一
y = f (x)
下 这
Oa
bx
个 现
象
f (a)
f (x)C ( [a, b] ), f (a) f (b) < 0, f ( )＝0.
定理1 (根存在定理或零点定理)
设 f (x) C ( [a, b] ), 且 f (a) f (b) < 0,
则至少存在一点 (a, b), 使得 f ( )＝0.
y = f (x) [a, b] , 则
min f (x) f (a) , max f (x) f (b) .
x[a , b]
x[a , b]
y = f (x) [a, b] , 则
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Ux0; x0 覆 盖 a,b.
x0a,b
n
存 在 有 限 个Uxi;xi 覆 盖 a,b. i=1
Mm 1iaxnMxi,xa,b,Uxi;xi : xUxi;xi , fxM.
定理2 若 f C a ,b ， 则 函 数 f 在 a ,b 上 有 界 .
推论4 f在 (a,b)一 致 连 续 ， f(x)在(a,b)上有界.
记 M x s u [ a p ,b ]f ( x ) ,m xБайду номын сангаасi n [ a f ,b ]f ( x ) ,则 存 在 x * ,x * [ a ,b ] ,使
f(x*)M ,f(x*)m.
分析： 集合上确界定义： 1）xE, x M;
2) 0,yE: yM.
证明：设 Msupfx,则
矛盾，结论得证
提出问题2： 1)有限开区间上的连续函数是否一致连续？ 2)有限开区间上的连续与一致连续函数特征？
推论1 f在 (a,b)内一致f连 (a)， 续 f(b ， )存则 .在
证明： 根 据 f在 (a,b)内 一 致 连 续 ，
0, 0, x1,x2 (a,b),|x1x2|:
|f(x1)f(x2)|. x1,x2 (a,a/2),
f在 ( a ,b ) 连 续 ,且 f( a ) ,f( b ) 存 在 .
提 出 问 题 3 : f C a , b ,f 在 a , b 上 是 否 有 界 ？
由 函 数 的 连 续 性 ， x0[a,b],Ux0;x , 0
Mx 0,xUx0;x : fxMx.
0
0
0
x0E,0,,x00,xE,|xx0|:
f(x)-f(x0),
则称函数在集合E逐点连续.
进 一 步 ， 如 果 = i x 0 n f E { ,x 0 } > 0 ， 导 致 下 面 定 义 .
定 义 （ 2一 致 连 续 ） 设 f:E R ,
0,0, x1,x2 E ,|x1x2|:
|f(x 1 ) f(x 2 )|,
称 f在 E上 一 致 连 续 .
定 义 3（ 不 一 致 连 续 ）
设f :ER, 00, n N *,sn,tn E ， |sntn|n 1：
|f(sn)f(tn)|0,
则 称 f在 E 上 不 一 致 连 续 .
提出问题1： 有限闭区间上的连续函数是否一致连续？
问题I的分析：若 f C [ a ,b ] ,则 f 具 有 什 么 特 征 ？
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a 2b,b ].
重复上述步骤，得闭区间套：
n N * a, xx b n [a,b]:M n 1f(xn)M ,
所 以 x n [ a ,b ] ,有 子 列 收 敛 ， 设
lki mxnk x*[a,b]，Mn1k f(xnk)M.
令 k 可 知 f(x*)M .
同理可证： x* [a,b]： f(x*)m . 结论得证
连续函数应用：方程求根
x0 [a,b], 0,x0,x00,xx0x0: fxfx0/2.
当 x 1 ,x 2 U x 0 ;x 0:fx 1 fx 2 .
Ux0;x0/2覆 盖 闭 区 间 a,b.
x0 a,b
n U xi;xi
i1
/2覆盖a,b，取 min 1in
xi
/2.
x 1 ,x 2 a ,b ， 当 x 1 -x 2,
证明：反证法 假设f在I上不一致连续，
00, nN*,
sn,tna,b,
sntn
1： n
f(sn)f(tn)0.
由 于 s n a ,b ,必 有 收 敛 子 列 { s n k } ,
lki m snk sa,b.因此lni mtkn s.
limf(snk)f(tnk) f(s)f(s)0, k
证明： 由 推 论 1 ， f(a )， f(b )存 在 .
f(a) xa,
F (x)
f (x)
x(a,b),
f(b) xb.
结论得证
则 F (x)在 [a ,b ]有界f(x ， )在 (a ,b 所 )上以 .有
定理3 (最大值与最小值存在定理）
设fC[a,b],则f必能取到最大值 值 . 和
存 在 U x i;x i/2 ,满 足 x 1 U x i;x i/2 ,
x 2 - x i x 2 x 1 x 1 x i x i/2 x i
fx1fx2.
f C [ a ,b ] ,则 f在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
定理1（康托定理）若 f C [ a ,b ] ,则 f 在 [ a ,b ] 上 一 致 连 续 .
精品jing
北航工科数学分析杨小远-第9节有限 闭区间上连续函数的性质2学时
一、定义回顾
数学家海涅(Heine.H.E.)于1870年提出了函数一致连续性概念 这一概念是微积分发展史上重要理论成果 各类积分计算（定积分、重积分、曲线与曲面积分等） 函数项级数和函数的分析性质 含参变量积分
定义1(逐点连续) 设f:ER,
定理 4（零点存在定理） 若 fC[a,b],
且 f ( a ) f ( b ) 0 , 则 存 在 ( a , b ) ， 使 f () 0 .
证明： 不 妨 设 f(a)0 ,f(b )0 .
[a,b]二等分
f(ab)0,ab,
2
2
f(a 2b)0 [a 1,b 1][a,a 2b],
则 f在 (a,b)一 致 连 续 .
证明： 令 lif( m x ) A ,lif( m x ) B .
x a
x b
F
(x)
A
f (x)
xa, x(a,b),
B xb.
结论得证
F (x)在 [a,b]内 一 致 连 续 即f在(a,b)内一致连 . 续
推论3 f在(a,b)内一致连 续
0 x 1 a / 2 , 0 x 2 a / 2 ： |f ( x 1 ) f ( x 2 ) | .
根 据 柯 西 收 敛 准 ， lim f(x )存 在 .
x a
同理limf(x)存在. xb
结论得证
推论2 f C a ,b ,且 f( a ) 和 f( b ) 存 , 在