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高中数学的解析函数的概念与性质分析解析函数是高等数学中的一个重要概念，它在数学分析以及其他领域中都有广泛的应用。
解析函数不仅有着深刻的理论性质，还与实际问题的建模和求解密切相关。
本文将从概念和性质两个方面进行解析函数的分析，旨在帮助读者更好地理解这一概念。
一、解析函数的概念解析函数指的是在某个区域内具有导数的复数函数。
具体来说，设D是复平面上的一个区域，如果对于D内的每个z，函数f(z)在D内可导，则称f(z)为D上的解析函数。
从这个定义可以看出，解析函数是复平面上一类特殊的函数，它具有良好的连续性和光滑性质。
二、解析函数的性质1. 解析函数的充分条件解析函数的充分条件是柯西—黎曼方程（Cauchy-Riemann equation）。
设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是D上的函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数，x、y是实数。
如果u(x, y)和v(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，并且满足如下条件：∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂x那么f(z)在D上解析。
2. 解析函数的导数解析函数的导数具有一些特殊的性质。
如果f(z)在D上解析，那么它的导数f'(z)也在D上解析，并且满足如下条件：f'(z) = ∂u/∂x + i∂v/∂x这个公式表明，解析函数的导数仍然是解析函数。
3. 解析函数的积分解析函数的积分也是解析函数。
这个性质可以通过格林公式（Green's theorem）得到证明。
格林公式是数学分析中的重要定理，它建立了解析函数和曲线积分之间的关系。
4. 解析函数的唯一性如果两个解析函数在某个区域内相等，那么它们在整个区域上都相等。
这个性质可以通过利用解析函数的连续性和导数的唯一性得到证明。
综上所述，解析函数是复平面上一类重要的函数，具有许多重要的性质。
它们不仅在数学分析中有深刻的理论意义，还在物理学、工程学等应用领域中发挥着重要作用。
解析函数的等价条件综述程晓亮;张旭;苗艳【摘要】解析函数包括单变量解析函数、多变量解析函数.本文讨论单变量解析函数的若干等价命题,进而讨论了多变量解析函数及解析映照等问题.【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】5页(P46-50)【关键词】解析函数;等价命题;柯西-黎曼方程【作者】程晓亮;张旭;苗艳【作者单位】吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平136000;吉林师范大学数学学院,吉林四平136000【正文语种】中文【中图分类】O186解析函数的理论经过法国数学家柯西、德国数学家黎曼和维尔斯特拉斯的开创性工作，历经众多数学家的努力，目前已经形成了非常系统的理论.1825年，柯西给出了函数f(z)在z平面上的单连通区域D内解析的柯西积分定理[1-2]，即当C为D 内任意一条围线时，积分年，维尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数指的是在区域内每一个小圆盘上都能表示成幂级数的和的函数，即对于D中的任意点z0，在任意圆盘U={|z-z0|lt;r}⊂D中该函数可表示为收敛幂级数的和的形式[1-2]，即这也就是通常所说的泰勒级数.1851年，黎曼论证了复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析的充要条件是其实部和虚部的二元实函数u(x,y)和v(x,y)的偏导数满足=，=-，也就是我们现在所说的柯西-黎曼方程(C-R条件)[2].关于解析函数的不同定义在20世纪被证明是等价的，下面就是解析函数的定义及等价命题.若f(z)在z0的某邻域内可导，称f(z)在z0解析，z0为该函数的解析点.若函数f(z)在z0处不解析，但在z0的任一邻域总有f(z)的解析点，则称z0为f(z)的奇点[1-2].定义1.1[2] 若函数f(z)在区域D内每一点都解析，则称f(z)在区域D内解析，f(z)是区域D内的一个解析函数，也叫全纯函数或正则函数.根据解析函数的定义，从函数的实部和虚部满足的C-R方程和共轭调和关系，复积分和幂级数展开等角度分析解析函数概念的等价性.命题2.1[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：(1) 二元函数u(x,y),v(x,y)在区域D内可微；(2) 函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内满足C-R方程.证明⟹设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在z=x+iy处的导数为a+ib，则⟹因为二元函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内可微且满足C-R方程，有命题2.2[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：(1) 二元函数u(x,y)与v(x,y)具有连续的偏导数；(2) 函数u(x,y)，v(x,y)在区域D内满足C-R方程.证明⟹设f(x)在区域D内解析，由解析函数的无穷可微性得到f ′(z)在区域D内也解析，所以f ′(z)在区域D内连续，即u(x,y)与v(x,y)的偏导数，，，在区域D内连续，C-R方程成立.⟹设，，，在区域D内连续，由二元实函数可微的充要条件可知，二元函数u(x,y)与v(x,y)在区域D内可微，则f(z)在区域D内解析得证.命题2.3[2-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：在区域D内函数v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数.证明⟹因为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析，则由C-R方程⟹由已知得f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数.由共轭调和函数的定义知道u(x,y),v(x,y)具有二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程+=0，+=0,且，，，连续，又因为u(x,y),v(x,y)满足C-R方程，故f(z)在区域D内解析.命题2.4[1-4] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：(1) f(z)在区域D内连续;(2) 对任一围线C，只要C及其内部全含于D内，就有证明⟹设C是一条围线，D为C的内部，函数f(z)在D内解析，在上连续，则⟹设F(z)=f(ζ)dζ(z0∈D)在D内解析，且F′(z)=f(z)(z∈D).由于解析函数F(z)的导函数F′(z)还是解析的，得到f(z)在D内解析.命题2.5[1-2] 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其区域D内解析的充要条件是：f(z)在D 内任一点z0的一个完全属于D的邻域内可展成关于z-z0的幂级数，即泰勒级数. 证明⟹设f(z)在区域D内解析，a∈D,只要圆K：|z-a|lt;r⊂D则f(z)在K内能展成幂级数f(z)且展式唯一.⟹由阿贝尔定理，幂级数在其收敛圆多变量解析函数是当今数学研究的热点问题，被广泛的应用于流体力学、物理学等各个方面，下面我们就对多变量解析函数的定义进行研究.定义3.1[5] 称函数f(z)在点z∈Cn是解析的(全纯的)，如果它在这个点的某个邻域中为C-可微.定义3.2(全纯映射)[5] 设D为Cn中的一个区域， f=(f1，…，fm)：D→Cm；如果这个映射的每个分量fμ(μ=1，2，…，m)在D中全纯，则称此映射为全纯的.特别的，如果D⊂C,则称f为全纯曲线.如果U为z∈Cn的一个邻域，f:U→Cm为全纯映射，则对具任意充分小的|h|的向量h∈Cm成立展开式f(z+h)=f(z)+df(h)+o(h)，C-线性映射，df(h)=f ′(z)h称为映射f在点z的微分，其中f ′(z)=为雅可比矩阵，而h是列向量.定义3.3(双全纯映射)[5] 称区域D⊂Cm的映射为双全纯是说，如果它在D中全纯并且有逆映射g=f-1，它在G=f(D)中全纯.雅可比Jf(z)≠0当且仅当f在点z为局部双全纯.特别的，由此得到，任意全纯的相互一一映射f:D→f(D)为双全纯.在ngt;1时，双全纯性质与共形性质并不相同.命题3.1[5] 函数f(z)是全纯的充要条件是它满足C-R条件证明由全纯函数的Riemann定义，即f(z)在z∈Cn全纯是指f(z)在该点邻域具有所有一阶偏导数，k=1，2，…，n．即=，=-(C-R方程).命题3.2[5] 函数f(z)是C-可微(全纯)的充要条件是它满足2n个实方程的方程组=，=-，v=1，2，…，n.证明由全纯函数的Riemann定义知f(z)在该点邻域具有所有一阶偏导数，k=1，2，…，n．命题3.3[5] 函数f(z)是C-可微(全纯)的充要条件是它满足n个复方程组命题3.4[5] 函数f(z)是全纯的，它可展开为多重幂级注如果向量值函数解析，那么其中的每个分量函数解析；每个分量函数解析，其中的每个变量都解析.如果向量值函数F:(f1(z1，…zn),…，fm(z1，…，zn))是解析的，根据定义有：F中的每个分量函数f1(z1，…，zn),…，fm(z1，…，zn)是解析的；也就是F的每一个分量函数fi(z1，…zn)都解析，得到对任意变量zi解析，即=0.定理4.1(黎曼存在与唯一性定理)[1-2] 扩充z平面上的单连通区域D，其边界点不止一点，则有一个在D内的单叶解析函数ω=f(z)，它将D共形映射成单位圆|ω|lt;1；且当复合条件f(a)=0，f′(a)gt;0(a∈D)时，这种函数f(z)就只有一个.在C2中映射(z1,z2)→(z1,2z2)为双全纯，然而并不是共形的，而共形映射z→z/|z|2既不是全纯的也不是反全纯的.双全纯映射f:D→G=f(D)也称为(全纯)同构，而存在这种映射的区域D和G被称为双全纯等价.区域D到自身的全纯同构被称做(全纯)自同构.关于平面单连通区域的黎曼定理不可能推广到空间区域.这与在ngt;1时的超定条件有关：对区域Cn的映射f=(f1，…，fn)，柯西-黎曼条件=0由关于n个未知复函数的n2个复微分方程组成.关于单变量解析函数和多变量解析函数的定义及其比较以及相关问题的讨论，还可参阅其他文献[6-10].【相关文献】[1]沙巴特.单复变函数[M].北京：高等教育出版社，2010.[2]钟玉泉.复变函数论[M].北京：高等教育出版社，2004.[3]梁会.解析函数的几种等价条件及其应用[J].毕节学院学报,2010,25(2):49-51.[4]马雪雅.解析函数的几个等价命题及其应用[J].新疆师范大学学报,2006,25(2):103-104.[5]沙巴特.多复变函数[M].北京：高等教育出版社，2007.[6]李庆忠,程晓亮. 多复变量解析函数的一个形式化公式[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版),2015,36(3):5-7.[7]王丽颖. 复变函数可微的又一充要条件及其应用[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版),2006,26(3):55-57.[8]徐助跃,杨先林,蒋利群. 关于解析函数等价定理的几点注记[J]. 华中师范大学学报(自然科学版),2012,46(4):401-405.[9]龚昇.多复变数的双全纯映照[J]. 数学进展,1994,23(2):115-141.[10]RUDIN W.实分析与复分析[M].北京：机械工业出版社，2006.。
初中数学重要知识点的归纳与解析函数的性质与应用方法解析初中数学重要知识点的归纳与解析：数学是一门基础学科，对于初中学生而言，掌握好数学的重要知识点是学习这门学科的基础。
在初中数学中，函数的性质与应用方法是数学学习的核心内容之一。
本文将对初中数学中函数的性质与应用方法进行归纳与解析，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、函数的定义及基本性质函数是数学中的一个重要概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在数学中，我们通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为函数值或因变量。
函数有以下基本性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是所有满足条件的自变量的集合，而值域是所有可能的函数值的集合。
在具体问题中，我们需要根据实际情况确定函数的定义域和值域。
2. 单调性：函数的单调性表示函数在定义域内的变化趋势。
可以分为增函数（自变量增大，函数值也增大）、减函数（自变量增大，函数值减小）和常值函数三种情况。
3. 奇偶性：函数的奇偶性表示函数关于原点的对称性。
奇函数以原点为对称中心，即f(-x) = -f(x)，而偶函数以y轴为对称轴，即f(-x) =f(x)。
二、常见的函数类型及其性质在初中数学中，常见的函数类型包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
我们来逐一介绍它们的性质。
1. 一次函数：一次函数也称为线性函数，其定义为f(x) = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
一次函数的图像为一条直线，具有以下性质：- 斜率的意义：斜率表示了函数图像的倾斜程度，其绝对值越大，倾斜程度越大。
- 截距的意义：截距表示了函数图像与y轴的交点在纵坐标上的位置。
2. 二次函数：二次函数是自变量的平方与自变量的一次项之和，其定义为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，具有以下性质：- 开口方向：若a > 0，则抛物线开口向上；若a < 0，则抛物线开口向下。
中学数学论文题目总集1、数学中的研究性学习2、数字危机3、中学数学中的化归方法4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用8、浅谈中学数学中的反证法9、数学选择题的利与弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策15、中学数学教学中的创造性思维的培养16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型18、中学数学教学设计前期分析的研究19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练与培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博与概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论对原函数存在条件的试探分块矩阵的若干初等运算函数图像中的对称性问题泰勒公式及其应用微分中值定理的证明与应用一元六次方程的矩阵解法‘数学分析’对中学数学的指导作用“1”的妙用“数形结合”在解题中的应用“数学化”及其在数学教学中的实施“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例Cauchy中值定理的证明及应用Dijkstra最短路径算法的一点优化与改进Hamilton图的一个充分条件HOLDER不等式的推广与应用n阶矩阵m次方幂的计算及其应用R积分与L积分的联系与区别Schwarz积分不等式的证明与应用Taylor公式的几种证明及若干应用Taylor公式的若干应用Taylor公式的应用Taylor公式的证明及其应用Vandermonde行列式的应用及推广艾滋病传播的微分方程模型把数学与生活融合起来伴随矩阵的秩与特殊值保持函数凸性的几种变换变量代换在数学中的应用不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索不等式证明的若干方法不等式证明中导数有关应用不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想，探求，论证彩票中的数学常微分方程的新的可解类型常微分方程在一类函数项级数求与中的应用抽奖活动的概率问题抽屉原理及其应用抽屉原理及其应用抽屉原理思维方式的若干应用初等变换在数论中的应用初等数学命题推广的几种方式传染病模型及其应用从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广从统一方程看抛物线、椭圆与双曲线的关系存贮模型的若干讨论带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应用导数的另外两个定义及其应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用导数在不等式证明中的应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广迪克斯特拉(Dijkstra)算法及其改进第二积分中值定理“中间点”的性态对均值不等式的探讨对数学教学中开放题的探讨对数学教学中开放题使用的几点思考对现行较普遍的彩票发行方案的讨论对一定理证明过程的感想对一类递推数列收敛性的讨论多扇图与多轮图的生成树计数多维背包问题的扰动修复多项式不可约的判别方法及应用多元函数的极值多元函数的极值及其应用多元函数的极值及其应用多元函数的极值问题多元函数极值问题二次曲线方程的化简二元函数的单调性及其应用二元函数的极值存在的判别方法二元函数极限不存在性之研究反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系反循环矩阵与分块对称反循环矩阵范德蒙行列式的一些应用方差思想在中学数学中的应用及探讨方阵A的伴随矩阵放缩法及其应用分块矩阵的应用分块矩阵行列式计算的若干方法分析近年三角各种题型，提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试辅助函数的应用辅助函数在数学分析中的应用辅助元法在中学数学中的应用复合函数的可测性概率的趣味应用概率方法在其他数学问题中的应用概率论的发展简介及其在生活中的若干应用概率论在彩票中的应用概率统计在彩票中的应用概率统计在实际生活中的应用概率在点名机制中的应用概率在中学数学中的应用高等几何知识对初等几何的指导作用高等数学在不等式证明中的应用高观点下的中学数学高阶等差数列的通项，前n项与公式的探讨及应用高中数学教学中的类比推理高中数学开放题及其编制问题高中数学实践“问题解决”的几点思考高中数学研究性学习的课题选择高中数学研究性学习教学及其设计给定点集最小覆盖快速近似算法的进一步研究及其应用构建数学建模意识培养创新思维构造的艺术关联矩阵的一些性质及其应用关于2004年全国高教杯大学生数学建模竞赛题的探究与拓展关于2循环矩阵的特征值关于Gauss整数环及其推广关于g-循环矩阵的逆矩阵关于不等式在中学的选修的处理关于不等式证明的高等数学方法关于传染病模型的建立与分析关于二重极限的若干计算方法关于反函数问题的讨论关于非线性方程问题的求解关于函数一致连续性的几点注记关于矩阵的秩的讨论_关于两个特殊不等式的推广及应用关于幂指函数的极限求法关于扫雪问题的数学模型关于实数完备性及其应用关于数列通项公式问题探讨关于椭圆性质及其应用地探究、推广关于线性方程组的迭代法求解关于一类非开非闭的商映射的构造关于一类生态数学模型的几点思考关于圆锥曲线中若干定值问题的求解初探关于置信区间与假设检验的研究关于中学数学中的图解方法关于周期函数的探讨哈密尔顿图初探函数的一致连续性及其应用函数定义的发展函数级数在复分析中与在实分析中的关系函数极值的求法函数幂级数的展开与应用函数项级数的收敛判别法的推广与应用函数项级数一致收敛的判别函数最值问题解法的探讨蝴蝶定理的推广及应用化归中的矛盾分析法研究环上矩阵广义逆的若干性质积分中值定理的再讨论积分中值定理正反问题‘中间点’的渐近性基于高中新教材的概率学习基于集合论的中学数学基于最优生成树的海底油气集输管网策略分析级数求与的常用方法与几个特殊级数与级数求与问题的几个转化级数在求极限中的应用极限的求法与技巧极值的分析与运用极值思想在图论中的应用集合论悖论几个广义正定矩阵的内在联系及其区别几个特殊不等式的巧妙证法及其推广应用几个学科的孙子定理几个重要不等式的证明及应用几个重要不等式在数学竞赛中的应用几何CAI课堂教学软件的设计几何画板与圆锥曲线几何画板在高中数学教学中的应用几类数学期望的求法几类特殊线性非齐次微分方程的特殊解法几种特殊矩阵的逆矩阵求法假设检验与统计推断简单平面三角剖分图交错级数收敛性判别法及应用交通问题中的数学模型解题教学换元思想能力的培养解析几何中的参数观点经济学中蛛网模型的数学分析居民抵押贷款购房决策模型矩阵变换在求多项式最大公因式中的应用矩阵的单侧逆矩阵方幂的正反问题及其应用矩阵分解矩阵可交换成立的条件与性质矩阵秩的一些性质与某些数学分支的联系矩阵中特征值、特征向量的几个问题的思考具有不同传染率的SI流行病模型的研究均值不等式在初高等数学中的应用均值极限及stolz定理开放性问题编制的原则柯西不等式的推广及其应用柯西不等式的应用与推广柯西不等式的证明及妙用柯西不等式的证明及应用空间曲线积分与曲面积分的若干计算方法空间旋转曲面面积的计算拉格朗日中值定理n元上推广立体几何的平面化思考利用导数解题的综合分析与探讨利用级数求极限连锁经营企业效益模型邻接矩阵在判断Hamilton性质中的一些应用留数定理及应用论辅助函数的运用论概率论的产生及概率对实际问题解释与应用论数学分析课程对中学数学的功能及应用论数学史及其应用罗尔定理的几种类型及其应用幂级数与欧拉公式幂零矩阵的性质与应用幂零矩阵的性质及其应用幂零矩阵的性质及其应用模糊集合与经典集合的简单比较模糊数学在学校教学评估中应用平面与空间中的Pick定理齐次马尔柯夫链在教学评估中的应用浅谈导数在中学数学教学中的应用浅谈分类讲座及其解题应用浅谈极值问题及其解法浅谈在解题中构造“抽屉浅谈中学生数学解题能力的培养求极限的若干方法求极值的若干方法全概率公式的推广与应用全概率公式的优化及应用人口性别比例的统计与概率分析若干问题的概率解法若干问题的概率论解法的探索三对角行列式及其应用三角函数的解题应用三角函数最值问题的研究三种积分概念的极限式定义与确界式定义的比较山核桃造林及管理的数学模型上、下极限的定义、性质及其应用实变方法在经典微积分中的应用实分析计算中的几种方法实际问题解决中数学语言能力的培养实数完备性定理的等价性证明及其应用试论四分块矩阵试以斐波那契数列为例谈谈中学生数学兴趣的培养输电阻塞模型的灵敏度分析及算法的改进树在数据结构中的简单应用数理统计在教育管理中的应用数理统计在生产质量管理中的两个应用数列求与问题的探讨数学变式教学的认识与实践数学猜想及其培养途径数学的对称美及其在中学数学解题中的应用数学分析中的化归思想数学分析思想在中学数学解题中的应用数学分析在初等数学中的应用数学分析中求极限的方法数学高考内容分布及命题趋向数学归纳法的初探数学归纳法的七种变式及其应用数学归纳法的原理推广及应用数学归纳法及其一些非常见形式与归纳途径数学建模在生物领域的应用（没做）数学建模中的排队论模型数学竞赛的解题策略数学竞赛中的抽屉原理数学竞赛中的图论问题数学开放题的设计与教学建议数学开放性问题的编拟与解决数学课程改革与教师观念的转变数学模型方法在教学中的应用及其价值数学模型在人口问题中的应用数学认知结构与数学教学数学史对数学教育的启示数学史上对方程求根公式的探索及其现代意义数学史在中学数学教学中的运用数学文化在中学数学教学中的渗透数学问题提出与CPFS结构关系的研究数学游戏及其价值数学中的游戏因素及其对于数学的影响四面体中不等式的探究泰勒公式的应用泰勒公式及其应用泰勒公式及其应用泰勒公式在若干数学分支中的应用泰勒展开的应用探讨导数在函数单调性中的应用探讨平面三角的实际应用探讨线性规划最优整数解的解法特殊欧拉图的判定同余理论在数学竞赛中的应用头脑风暴法及其在数学课堂教学的运用凸函数的若干性质凸函数的拓展凸函数的性质及其应用凸函数的性质与应用凸函数及其在不等式证明中的应用凸函数以及一类内积表达的函数的凸性凸函数在不等式中的一个特殊应用图的余树是树的条件研究图与矩阵的运算图解法在资源分配中的应用浅析图论在高中数学中的若干应用图论在数学模型中的应用图论在中学数学竞赛中的应用椭圆的几个特征及其在天体、物理中的应用网络可靠度计算新法微分方程平衡点的稳定性及在力学中的应用微分中值定理的背景及证明微分中值定理的逆问题及其渐近性微分中值定理的探讨及应用微分中值定理的推广及其应用微分中值定理的证明及其应用微积分的某些实际应用微积分理论在中等数学中的影响及其应用微积分在行列式计算中的应用、数学中的研究性学习2、数字危机3、中学数学中的化归方法4、高斯分布的启示5、a2+b2≧2ab的变形推广及应用6、网络优化7、泰勒公式及其应用8、浅谈中学数学中的反证法9、数学选择题的利与弊10、浅谈计算机辅助数学教学11、论研究性学习12、浅谈发展数学思维的学习方法13、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法14、数学教学中课堂提问的误区与对策15、中学数学教学中的创造性思维的培养16、浅谈数学教学中的“问题情境”17、市场经济中的蛛网模型18、中学数学教学设计前期分析的研究19、数学课堂差异教学20、浅谈线性变换的对角化问题21、圆锥曲线的性质及推广应用22、经济问题中的概率统计模型及应用23、通过逻辑趣题学推理24、直觉思维的训练与培养25、用高等数学知识解初等数学题26、浅谈数学中的变形技巧27、浅谈平均值不等式的应用28、浅谈高中立体几何的入门学习29、数形结合思想30、关于连通性的两个习题31、从赌博与概率到抽奖陷阱中的数学32、情感在数学教学中的作用33、因材施教因性施教34、关于抽象函数的若干问题35、创新教育背景下的数学教学36、实数基本理论的一些探讨37、论数学教学中的心理环境38、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则39、不等式证明的若干方法40、试论数学中的美41、数学教育与美育42、数学问题情境的创设43、略谈创新思维44、随机变量列的收敛性及其相互关系45、数字新闻中数学应用46、微积分学的发展史47、利用几何知识求函数最值48、数学评价应用举例49、数学思维批判性50、让阅读走进数学课堂51、开放式数学教学52、浅谈中学数列中的探索性问题53、论数学史的教育价值54、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学55、微分方程组中的若干问题56、由“唯分是举”浅谈考试改革57、随机变量与可测函数58、二阶变系数齐次微分方程的求解问题59、一种函数方程的解法60、积分中值定理的再讨论1、浅谈菲波纳契数列的内涵与应用价值2、一道排列组合题的解法探讨及延伸3、整除与竞赛4、足彩优化5、向量的几件法宝在几何中的应用6、递推关系的应用7、坐标方法在中学数学中的应用8、小议问题情境的创设9、数学概念探索启发式教学10、柯西不等式的推广与应用11、关于几个特殊不等式的几种巧妙证法及其推广应用12、一道高考题的反思13、数学中的研究性学习15、数字危机16、数学中的化归方法17、高斯分布的启示18、的变形推广及应用19、网络优化20、泰勒公式及其应用21、浅谈中学数学中的反证法22、数学选择题的利与弊23、浅谈计算机辅助数学教学24、数学研究性学习25、谈发展数学思维的学习方法26、关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法27、数学教学中课堂提问的误区与对策28、中学数学教学中的创造性思维的培养29、浅谈数学教学中的“问题情境”30、市场经济中的蛛网模型31、中学数学教学设计前期分析的研究32、数学课堂差异教学33、浅谈线性变换的对角化问题34、圆锥曲线的性质及推广应用35、经济问题中的概率统计模型及应用36、通过逻辑趣题学推理37、直觉思维的训练与培养38、用高等数学知识解初等数学题39、浅谈数学中的变形技巧40、浅谈平均值不等式的应用41、浅谈高中立体几何的入门学习42、数形结合思想43、关于连通性的两个习题44、从赌博与概率到抽奖陷阱中的数学45、情感在数学教学中的作用46、因材施教与因性施教47、关于抽象函数的若干问题48、创新教育背景下的数学教学49、实数基本理论的一些探讨50、论数学教学中的心理环境51、以数学教学为例谈谈课堂提问的设计原则52、不等式证明的若干方法53、试论数学中的美54、数学教育与美育55、数学问题情境的创设56、略谈创新思维57、随机变量列的收敛性及其相互关系58、数字新闻中的数学应用59、微积分学的发展史60、利用几何知识求函数最值61、数学评价应用举例62、数学思维批判性63、让阅读走进数学课堂64、开放式数学教学65、浅谈中学数列中的探索性问题66、论数学史的教育价值67、思维与智慧的共享——从建构主义到讨论法教学68、方程组中的若干问题69、由“唯分是举”浅谈考试改革70、随机变量与可测函数71、二阶变系数齐次微分方程的求解问题72、一种函数方程的解法73、微分中值定理的再讨论74、学生数学学习的障碍研究；75、中学数学教育中的素质教育的内涵；76、数学中的美；77、数学的与谐与统一----谈论数学中的美；78、推测与猜想在数学中的应用；79、款买房问题的决策；80、线性回归在经济中的应用；81、数学规划在管理中的应用；82、初等数学解题策略；83、浅谈数学CAI中的不足与对策；84、数学创新教育的课堂设计；85、中学数学教学与学生应用意识培养；86、关于培养与提高中学生数学学习能力的探究；87、运用多媒体培养学生88、高等数学课件的开发89、广告效益预测模型；90、最短路网络；91、计算机自动逻辑推理能力在数学教学中的应用；92、在中学数学教学中的应用93、最优增长模型94、学生数学素养的培养初探95、浅析先行中学数学教育的弊端96、城市道路交通发展规划数学模型；97、函数逼近98、数的进制问题99、无穷维矩阵与序列Bannch空间的关系100、多媒体课件教学设计----若干中小学数学教学案例101、一维，二维空间到欧氏空间102、初中数学新课程数与代数学习策略研究103、初中数学新课程统计与概率学习策略研104、对中学数学研究性学习开展过程及其途径的思考105、数列运算的顺序交换及条件106、歇定理的推广与应用107、解析函数的各种等价条件及其应用108、特征函数在概率论中的应用109、数学史与中学教育110、让生活走进数学，数学方法的应用将数学应用于生活——谈xx111、数学竟赛中的数论问题112、新旧教材的对比与研究113、近世代数在中学数学中的应用114、随机变量分布规律的求法115、简述概率论与数理统计的思想方法及其应用116、无穷大量存在的意义117、中学数学竞赛中参数问题118、例谈培养数学思维的深刻性119、圆周率与中学数学史120、从坐标系到向量空间的基121 谈谈反证法122、一致连续性的判断定理及性质123、课堂提问与思维能力的培养124、数学高考试题的演变看中学数学教育改革125、函数及其在证明不等式中的应用126、极值的讨论及其应用127、正难则反,从反面来考虑问题128、实数的构造,完备性及它们的应用129、数学创新思维的训练130、简述期望的性质及其作用131、简述概率论与数理统计的思想与方法132、穷乘积133、递推式求数列的通项及与134、划归思想在数学中的应用135、凸函数的定义性质及应用136、行列式的计算方法137、可行解的表式定理的证明138、直觉思维在中学数学中的应用139、高等数学在中学数学中的应用140、充分挖掘例题的数学价值与智力开发功能141、数学思想方法的一支奇葩-----数学猜想初探142、关于实变函数中叶果罗夫定理的鲁津定理的证明143、于黎曼积分的定义144、微分方程的历史发展145、概率论发展史及其简单应用146、中学数学教学中创新思维的培养策略147、数学教学中使用多媒体的几点思考148、矩阵特征值的计算方法初探149、数形结合思想及其应用150、关于上、下确界,上、下极限的定义,性质及应用151、复均方可积随机变量空间的讨论152、浅谈中学数学的等价转换153、车灯线光源的优化设计模型154、中学数学中的变式教学设计155、欧几里得第五公设产生背景及其对数学发展影响156、中学数学问题解决的学习策略研究分法157、抽屉原理的应用及推广158、浅议函数迭代及其表达式159、加强数形结合,提高解题能力160、函数性质的应用161、初等函数的值域162、中学数学应用意识的研究163、中数学新课程空间与图形学习策略与研究164、谈分类讨论及解题应用165、排序方法及其应用166、数学应用意识的培养看数学基础教育改革167、函数的凸性及其在不等式中的应用168、建构主义理论指导下的数学教学案例169、中学课程数学教学思想方法教学初探170、大学生数学素质教育思考171、数学归纳法教学探究172、师范学生高等数学课程内容设置的探讨173、统计学在证券市场中的应用174、关于全概率公式及其应用的研究175、数学开放式教学的基本理念与策略176、变量代换法与常微分方程的求解177、奥赛中组合计算方法及应用178、代数结构中同态及同构的性质179、综述十八世纪著名数学家及其工作180、谈谈不定方程181、从不定方程到孙子兵法182、略谈我国古代的数学成就。
高中数学函数解析式摘要：一、函数解析式的概念二、函数解析式的求法三、函数解析式的应用四、高中数学函数解析式的解题技巧五、总结正文：一、函数解析式的概念函数解析式，又称为函数表达式，是用一个式子表示出函数x 与y 之间的关系。
在数学中，函数是一种将一个数或一个变量映射到另一个数或变量的规则。
在函数中，x 表示自变量，y 表示因变量。
函数解析式可以帮助我们了解函数的性质，如单调性、凹凸性等。
二、函数解析式的求法求函数解析式的方法有很多，常见的方法有以下几种：1.直接法：通过观察函数的图形或已知的数据，直接写出函数的解析式。
2.代入法：将自变量的值代入函数的解析式，求得因变量的值，然后根据函数的定义，确定函数的解析式。
3.待定系数法：假设函数的解析式为y=ax^2+bx+c（a≠0），通过已知的数据，求解出系数a、b、c 的值，从而得到函数的解析式。
4.微积分法：利用微积分的知识，求出函数的导数，然后通过积分求得函数的解析式。
三、函数解析式的应用函数解析式在实际应用中具有重要意义，它可以帮助我们：1.理解函数的性质：通过解析式，我们可以了解函数的单调性、凹凸性、极值、最值等性质。
2.求解函数的零点：函数的零点是使函数值为零的自变量值，通过求解解析式，我们可以找到函数的零点。
3.绘制函数的图形：通过解析式，我们可以使用数学软件或手工绘制出函数的图形，便于观察函数的性质。
4.求解实际问题：通过建立函数关系式，我们可以解决实际问题，如求解速度与路程的关系、求解物体的位移等。
四、高中数学函数解析式的解题技巧在高中数学中，求函数解析式是一个重要的考点，以下是一些解题技巧：1.观察法：观察函数的图形或已知的数据，发现函数的规律，直接写出函数的解析式。
2.代入法：将自变量的值代入函数的解析式，求得因变量的值，然后根据函数的定义，确定函数的解析式。
3.待定系数法：假设函数的解析式为y=ax^2+bx+c（a≠0），通过已知的数据，求解出系数a、b、c 的值，从而得到函数的解析式。
二次函数的解析式与应用一、引言二次函数是高中数学中重要的内容之一，也是数学与实际问题联系最为紧密的部分之一。
二次函数的解析式及其应用是我们学习和掌握二次函数的关键。
本文将主要阐述二次函数的解析式的推导方法以及二次函数在实际问题中的应用。
二、二次函数的解析式二次函数是指函数的表达式为y=ax^2+bx+c的函数形式。
现将介绍如何通过一些特殊情况来确定二次函数的解析式。
1. 两点法确定二次函数的解析式当已知二次函数经过两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)时，可用以下步骤确定二次函数的解析式：（1）将两个点的坐标带入二次函数的一般式y=ax^2+bx+c，得到两个方程：y1=ax1^2+bx1+c 、y2=ax2^2+bx2+c。
（2）由求解方程组得到a、b和c的值。
（3）将a、b和c的值代入二次函数的一般式，得到确定的解析式。
2. 顶点法确定二次函数的解析式当已知二次函数的顶点坐标为V(h, k)时，可用以下步骤确定二次函数的解析式：（1）用一般式表示二次函数，得到方程y=a(x-h)^2+k。
（2）将已知顶点的坐标代入方程，得到k=a(h-h)^2+k，化简可得k=a(h^2)+k。
（3）将等式两边的k相消得到a(h^2)=0，求解得到a的值。
（4）将a的值代入方程y=a(x-h)^2+k，得到确定的解析式。
三、二次函数的应用二次函数在实际问题中有着广泛的应用，包括经济学、物理学、几何学以及工程学等领域。
以下介绍二次函数在这些领域的应用案例。
1. 经济学中的应用二次函数可以用来描述某些经济学模型，如成本函数、利润函数等。
例如，假设某企业的生产成本与产量之间存在二次关系，可以利用二次函数来表达成本与产量之间的关系，并通过函数的最小值点来确定最佳产量，以达到成本最小化的目标。
2. 物理学中的应用二次函数可以用来描述某些物理学模型，如自由落体运动、弹性碰撞等。
例如，利用二次函数可以确定抛体的轨迹、计算弹性物体的反弹高度以及描述物体在重力作用下的振动等。
解析函数的各种等价条件及其应用1引言解析函数是复变函数研究的主要对象，对于解析函数的各种等价条件及其应用前人已做了不少很详细的研究．在复变函数中，关于复变函数解析的充要条件除了用导数的定义及公式引出外，还有一个十分重要的柯西—黎曼方程，另外还可以借助很多相关定理，如柯西积分定理及其逆定理，再结合积分、级数等相关知识来刻画．因此，如何灵活应用复变函数解析方面的知识显的至关重要．下面就从解析函数的定义出发来刻画解析函数的各种等价条件．2 解析函数的定义及其相关定理2.1解析函数的定义用复变函数在一点极限的概念，函数连续定义以及函数在一点可微的概念引出解析函数在一点、一个区域和闭域的定义，主要有如下定义定义 1[]()12829P -P 如果函数)(z f 在0z 点及0z 点的某个邻域内处处可微，称函数)(z f在0z 点解析．定义2[]()249P 如果函数)(z f 在区域D 内可微，则称)(z f 为区域D 内的解析函数，或称函数)(z f 在区域D 内解析.定义3[]()343P 若存在区域G ，使闭区域D G ⊂，且函数)(z f 在区域G 内解析，则称)(z f 在闭区域D 上解析．由定义可知，解析函数这一重要概念，是与相伴区域密切联系的，可以这样说，函数在区域内解析与函数在区域内可微是等价的．但须注意，函数在一点处解析和可微是两个不等价的概念，即函数在一点解析必定在这一点可微，反之则不成立．2.2 解析函数的相关定理 定理1[]()42122P -P （柯西-黎曼方程） 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，那么函数)(z f 在点iy x z +=可微的充分与必要条件是：（1）在点iy x z +=，),(y x u 及),(y x v 可微； （2）,u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂．简称..-C R 方程..-C R 方程是判断复变函数解析的必要条件．在哪个区域内不满足它，函数在哪个区域就不解析．而在现行教材中，判断函数解析的等价条件还有如下定理定理2[]()253P 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，且在D 内一点iy x z +=可微，则必有（1）偏导数y x y x v v u u ,,,在点),(y x 存在；（2）),(y x u ，),(y x v 在点),(y x 满足..-C R 方程．定理3[]()256P 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充分条件是（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程．并且()u v v u u u v v f z i i i i x x y y x y y x∂∂∂∂∂∂∂∂'=+=-=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂ 定理4[]()2104P 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析， C 为D 内任一条周线，则⎰=Cdz z f 0)(．称为柯西积分定理．判断单值复变函数)(z f 在区域G 中解析，除了用导数的定义及公式外，还可以借助有关定理，如柯西积分定理的逆定理——摩勒拉定理．定理5[]()2128P 若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有⎰=Cdz z f 0)(，则)(z f 在D 内解析．称为摩勒拉定理．定理6[]()2132P 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为),(y x u 的共轭调和函数．定理7[]()2132133P -P 设),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由()()()00,,,x y x y u uv x y dx dy C y x∂∂=-++∂∂⎰所确定的函数),(y x v ，使()u iv f x +=是D 内的解析函数． 定理8[]()2158159P -P （1）幂级数0()()nn n f z c z a ∞==-∑ （1.1）的和函数)(z f 在其收敛R a z K <-:（0R <≤+∞）内解析． （2）在K 内，幂级数（1.1）可以逐项求导至任意阶，即()()()()1!12p p p fz p c p pc z a +=++-+()()()11n pn n n n p c z a -+--+-+．()1,2,p = （1.2）还有，（1.1）和（1.2）的收敛半径R 相同．(3)()()()0,1,2,!p p f a c p p ==．在研究解析函数时，幂级数之所以重要，还在于定理8的逆命题也是一个重要定理．即有定理9[]()2159162P -P （泰勒定理） 设函数)(z f 在区域D 内解析， D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ．则)(z f 在K 内能展成幂级数0()()nn n f z c z a ∞==-∑，其中系数()11()()2()!n n n f f a c d i a n ρζζπζ+Γ==-⎰ （:a ρζρΓ-=，R <<ρ0；0,1,2,n =）且展式是惟一的．3 解析函数的各种等价条件及其应用3.1 等价条件1及其应用条件1 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是（1）二元函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微； （2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 由定理1和定义2可知该条件成立． 用此条件可以判断函数在某区域是否解析． 例1 判断函数()()322333f z x xy i x y y=-+-的解析性． 解 由()()()()3223,,33f z u x y v x y x xy i x y y =+=-+-得到()()3223,3,,3u x y x xy v x y x y y =-=-在复平面上可微又因为222233,33,6,6u v u vx y x y xy xy x y y x∂∂∂∂=-=-=-=∂∂∂∂显然),(),,(y x v y x u 满足..-C R 方程 由条件1可知，函数)(z f 在复平面上解析例2 证明函数()f z 在0z =处不解析 证明 设iy x z +=，),(),()(y x iv y x u z f += 则()(),,0u x y v x y =在点0z =处()()000,00,00limlim 0x x z u x u u x x x∆→∆→=∆-∂===∂∆∆()()0000,0,00limlim 0y y z u y u u y x y ∆→∆→=∆-∂===∂∆∆0,0z z v v xy==∂∂==∂∂可见函数()f z 在0z =处满足..-C R 方程． 令i z re θ∆=∆ 则()()00000lim lim lim i i z z z f z f f z z e r e θθ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆∆极限随θ的不同而不同，故函数()f z 在0z =不可微． 因此函数()f z 在0z =不解析这个例子也说明了..-C R 方程是函数解析的必要条件而非充分条件． 3.2 等价条件2及其应用二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因此由条件1出发，再应用解析函数的无穷可微性可得到解析函数的等价条件，也就是根据解析函数任意阶导数存在，可以得到应用起来更方便的条件．条件2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 证明 由定理3推出充分性．必要性 由定理2知，条件（2）的必要性成立，再由解析函数的无穷可微性，即解析函数的导数还是解析函数， 可知()f z '必在D 内连续．所以y x y x v v u u ,,,必在D 内连续．证毕由于复变函数的表示法不同，我们可以根据题目中的具体函数而灵活应用．条件2在证明复变函数解析性方面有很广泛的应用，是复变函数论中判断函数是否解析的最重要的方法之一．例3 判断函数zzz f -=1)(的解析性． 解 令θi re z =则r r ir r z f θθθθ2sin sin 2cos cos )(---=又因为()cos cos 2,r u r r θθθ-=，()sin sin 2,r v r rθθθ-=-2cos r u r θ-=，2sin r v r θ=，r r u --=θθθ2sin 2sin ，cos 2cos 2r v rθθθ+=- 四个偏导数处处不满足..-C R 方程，所以)(z f 在z 平面上处处不解析．例4 证明函数)sin (cos )(y i y e z f x-=在z 平面上解析． 证明 因y e y x u x cos ),(=，y e y x v xsin ),(-=故y e u x x cos =，y e v x x sin -=，y e u x y sin -=，y e v xy cos -=在z 平面上处处连续，且x y u v =，y x u v -= 所以)(z f 在z 平面上解析． 3.3 等价条件3及其应用我们知道，复积分的值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关，也就是定理3，这是研究复变函数的钥匙．我们可以利用此定理及其逆定理得出函数解析的一个等价条件．条件3 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是（1）)(z f 在D 内连续；（2）对任一周线C ，只要C 及其内部包含于D 内，就有⎰=Cdz z f 0)(．证明 由定理4可知条件3的必要性成立．充分性 区域ρξ<-0:z K 是D 内任一点0z 的一个邻域．只要ρ充分小． 根据定理5，就知道函数)(z f 在圆K 内解析．又因为0z 为G 内任一点，所以函数)(z f 在G 内解析．证毕由条件3可知，如果函数)(z f 在单连通区域D 内解析，那么函数)(z f 在D 内的任何一条封闭曲线C 的积分值为零．例5 求积分⎰-C z dz3的值，其中C 为正向圆周2=z ．解 因为被积函数1()3f z z =-只有一个奇点3=z ．而3=z 在2=z 的外部，所以)(z f 在2z ≤内解析．由条件3得03C dzz =-⎰．由定理4可知，如果在单连通区域D 内函数)(z f 解析，则沿D 内任一曲线L 的积 分()Lf d ζζ⎰只与其起点和终点有关，而与积分路径无关，因此，结合数学分析中积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式），若()z Φ为函数()f z 在单连通区域D 内的任意一个原函数， 则()()()0zz f d z z ζζ=Φ-Φ⎰ （z ，0zD ∈）例6 计算积分()2sin Czz dz +⎰，其中C 为摆线:()()sin ,1cos x a y a θθθθ=-=-从0θ=到2θπ=的一段．解 因为被积函数()2sin f z z z =+在z 平面上解析，所以积分只与路径的起点、终点有关，而与路径无关．当0θ=时，0z = 当2θπ=时，2z x a π== 故C 可以简化成沿实轴的路径 所以()()222sin sin aCzz dz xx dx π+=+⎰⎰()2333018cos cos 2133ax x a a πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦ 从例题可以看出此条件适合于被积函数实部与虚部的积分比较好计算的情况． 3.4 等价条件4及其应用复变函数中，满足..-C R 方程是函数解析的一个重要条件，而解析函数与共轭调和函数之间也存在很多联系．因此，我们可以根据共轭调和函数的定义及定理推导函数解析的等价条件．定义4[]()2131P 如果二元实函数),(y x H 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程0xx yyH H H ∆=+=，则称),(y x H 为区域D 内的调和函数，其中2222x y∂∂∆≡+∂∂．定义 5[]()2131P 在区域D 内满足..-C R 方程的两个调和函数),(),,(y x v y x u 中，),(y x v 称为),(y x u 在区域D 内的共轭调和函数．在此，u 与v 不可调换顺序．根据定理6和定理7我们可以得出解析函数的又一个等价条件条件4 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数．由条件4及相关定义，可知，如果已知一个调和函数),(y x u ，我们可求得它的共轭调和函数),(y x v ，从而构成一个解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=．同理，如果已知一个调和函数),(y x v ，我们也可以求出它的共轭调和函数),(y x u ，构成一个解析函数．这类问题，一般是用..-C R 方程去求解．我们看下面的例子例7 验证233),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数，求解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=使0)0(=f ．解 2233y x u x -=，xy u y 6-=，x u xx 6=，6yy u x =-因为0xx yy u u +=所以 ),(y x u 是z 平面上的调和函数． 由..-C R 方程．2233y x v u x y ==-得出()()()22,()33x v x y u dy x x y dy x ϕφ=+=-+⎰⎰所以 ()23,3()v x y x y y x ϕ=-+．再由..-C R 方程得'6()6x y v xy x xy u ϕ=+==-23(,)3v x y x y y c =-+ 所以()()3f z i z c =+因此3(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3()f z z =．但有时此方法较多且繁，我们还可以通过下面这种比较简便的方法来解决．解 由于),(y x u 为调和函数． 所以c dy y x xydx dy y x xydx y x v y x x x +-++-+=⎰⎰)33(6)33(6),(),()0,(22)0,()0,0(22c y y x c dy y x y+-=+-=⎰322023)33(．可得3(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3()f z z =．3.5 等价条件5及其应用综合定理8和定理9可得出刻画解析函数的又一等价条件条件5 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是)(z f 在D 内任一点a 的邻域内可展成a z -的幂级数．例8 将ze 展成z 的幂级数，并指明其收敛范围． 解 由于()()1n zzz z ee ====，0,1,2,n=所以211!2!!n z z z z e n =+++++ （*）注意到ze 在整个z 平面上处处解析，故ze 的解析区域的边界为∞， 而原点到∞的距离R =+∞所以（*）式在整个z 平面上处处成立注意任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数．例9将函数3)(z z f ==⎭按1-z 的幂展开，并指明其收敛范围． 解31333)]1(1[1)1(1-+=-+=z z z])1(!)131()131(311[2311n n z n n i -+--++-=∑∞=收敛范围为11<-z4 总结综上所述，解析函数的各种等价条件对我们更深刻地理解复变函数提供了很大的帮助.若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内满足..-C R 方程，而且(),u x y 和(),v x y 具有一阶连续偏导数，那么函数()f z 在D 内解析，也就是利用条件1和条件2可用来判断函数在某区域内的解析性和不解析性；条件3可用来计算某些复变函数的积分，特别是一些被积函数的实部和虚部容易被计算的积分；另外，若已知一个调和函数，求满足特定条件的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的问题，可利用条件4来分析解决；最后条件5则根据函数()f z 在区域D 内任一点是否可以展成z a -形式的幂级数来判断函数的解析性，并根据相关性质为我们求幂级数的收敛区域提供了一种更为简单的方法．在证明和计算过程中，我们可以根据题目的具体要求灵活选择适当的方法解决，使问题简单化．得注意的是，在条件3的应用中都是被积函数在包围积分路径的单连通区域内解析或有一个奇点的情况下进行积分的，解题时应注意．通过刻画解析函数的各种等价条件，使我们知道了解析函数在复变函数中的重要性，它几乎贯穿了复变函数论的始终，因此，更进一步探讨解析函数的各种等价条件是非常必要的．参考文献：[1] 盖云英，包革军．复变函数与积分变换[M] ．北京：科学教育出版社，2001 [2] 钟玉泉．复变函数论[M]（第三版）．北京：高等教育出版社，2004 [3] 杨林生．复变函数[M]．高等教育出版社，2001[4] 余家荣．复变函数[M]（第四版）．北京：高等教育出版社，2004 [5] 马立新．复变函数学习指导[M]．山东：山东大学出版社，2004 [6] 郑建华．复变函数[M]．北京：清华大学出版社，2005[7] 薛以峰，李红英，翟发辉．复变函数与积分变换[M]．华东理工大学出版社，2001 [8] 李建林． 复变函数与积分变换 导教⋅导学⋅导考[M]．西北工业大学出版社，2001 [9] Marsden JE ．1973．Basic Complex Analysis ．San Francisco ：WH Freeman and Company。
