二次量子化
说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；
相同粒子时不可分辨的。而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n代表N个相同粒子得表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。因而波函数只能改变亦个 常数因子。即121212,......,......nn
121
俩此交换这对粒子，得2121 故121
1213141.........n
可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是
12.........n
这个波函数表示任意N个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N粒子B值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B值为b得粒子。
产生算符和消灭算符
由于12.....NN得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....NN，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12NN时各个算符得本征值。设1n，2n是这样得算符，于是 1212..........iinNNNNN
第六章二次量子化
§6.1 粒子数表象
§6.2 二次量子化方法
§6.3 自旋系统的二次量子化
§6.4 电磁场的二次量子化§6.1 粒子数表象
一、粒子数表象的引入
二、产生与湮灭算符的例算
一、粒子数表象的引入
一维谐振子的哈密顿量：
222
21
21
ˆ
xmp
mHω
+=
作线性变换：
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
−=
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
+=+
p
mi
xm
ap
mi
xm
a
ωω
ωω
hh2,
2
以上两个算符互为厄米，称为谐振子的一对升降算符。
（也称为粒子的湮灭算符与产生算符）
逆变换为：
()()
++
−−=+=aam
ipaa
mx
2,
2ω
ωhh对易关系
[]
1,=+
aa
代入哈密顿量表达式，有
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
+=+
21
ˆ
aaHω
h
引入算符粒子数算符N：
aaN+
=ˆ
则:
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
+=
21
ˆˆ
NHω
h
显然，H的本征态也同时必然是N 的本征态，反之亦然。所
以，只要求解了N 的本征方程，也就解决了谐振子问题。
设
λλλλ
==+
aaNˆ
注意到对易关系：
++
=−=aaNaaN],ˆ
[,],ˆ
[
也就是：
)1ˆ
(ˆ
,)1ˆ
(ˆ
+=−=++
NaaNNaaN
由：λλλλλλ
==+
aa而且
0))((≥=++λλλλ
aaaa
可知：本征值一定满足：
0≥λ
再从
λλλλλλλλ
aNaaNaNaaN
)1()1ˆ
(ˆ)1()1ˆ
(ˆ
−=−=+=+=+++
可以发现：
。和是的本征态，本征值分别也是和11ˆ
−++λλλλ
Naa既然本征值0≥λ
，假设它有个下限
0λ
应有
0
0=λ
a
而
0000ˆ
λλλλ
==+
Naa
两者比较，结论：
0
0=λ
称为谐振子的基态。0
根据升降算符的作用，推知N的其它本征值可取1,2,3,…
结论：谐振子的所有本征态矢可写作，其中n可取
所有自然数。n
由可推得：nnnN=ˆ
nnnHω
h
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
+=
21
ˆ
这就是能级：
...2,1,0,
21
=
⎟
⎠⎞
⎜
⎝⎛
+=nnE
nω
h)(
mnnmδ
=
设
1,1−=+=+
ndnancna
nn
不难推得：
ndnc
nn=+=,1
所以：
1,11−=++=+
nnnannna
二次量子化理论
“一次量子化”
（1） 把经典系统的正则坐标ixt和正则动量ipt看成是海森伯绘景中
的算符()HiXt和HiPt；
（2） 赋予它们对易关系,HHijijXtPti等等，认为哈密顿正则方
程对于算符仍然有效；
（3） 给这些算符找一些作用对象，用来描写系统的量子状态。
通过一次量子化的手续，就从经典力学建立起了单粒子（以及非全同的多粒子）的量子理论。
“二次量子化”就是从单粒子的量子理论出发，经过与上述类似的手续建立全同粒子系统的量子理论的手续。它的方法如下：
（1）把薛定谔绘景中位置表象的单粒子态函数,Sxt和它的轭量*,Sxt看成是海森伯绘景中位置为x的粒子的消灭算符,xt和产生算符†,xt：
,,Sxtxt * ,,Sxtxt
而它们仍满足原来的薛定谔方程，即（36.20）式。
（2）赋予这些算符以同时对易关系式：
†' ,,,,,xtxtxtxtxx
（3）给†,xt和,xt找一个作用的对象，即定义一个没有粒子的态0，使
††'',00,02,xxxxxx
从而建立起一个巨希尔伯特空间。
通过这三个步骤，把本章所讲的理论倒过来推理，也可以建立起全同粒子系统的理论。可以认为，全同粒子系统的理论，是将单粒子的量子力学经过“量子化”而来，所以通常把以产生算符和消灭算符为主要特点的这一套理论称为二次量子化理论。
一次量子化的对象是系统的正则坐标()ixt，若系统是（非全同的）n粒子系统，则1,2,3in；而二次量子化的对象是一个复标量场,xt，如果把,xt和*,xt看成独立的广义坐标，则其中的x与前者的i相当，由于x可取
《二次量子化推导：走进量子世界的奇妙之旅》
嘿，朋友们！今天咱们要来唠唠这个听起来就特别高大上的“二次量子化推导”。你可别一听就觉得头疼，咱就像讲故事一样慢慢把它弄明白。
首先呢，咱们得知道为啥要有二次量子化这玩意儿。在量子的世界里啊，那些小粒子可不像咱们平常看到的东西那么听话。当我们研究的系统里有好多好多粒子的时候，比如说一群电子在一块儿，那情况就变得超级复杂。传统的量子力学描述方法就有点不够用了，就像你用小勺子去舀大海里的水，效率低还容易搞混。这时候二次量子化就闪亮登场了。
那二次量子化是怎么个思路呢？它呀，不再像以前那样一个一个粒子去看，而是去看每个量子态上有多少个粒子。这就好比我们不关心每一个单独的苹果，而是关心每个篮子里有几个苹果。这里面有两个超级重要的家伙，产生算符和湮灭算符。这俩名字听起来就很科幻对吧？
咱们先从简单的开始理解。想象有一个房间，这个房间代表一个量子态。如果这个房间里没有粒子，那就是空的。现在，产生算符就像是一个小魔法棒，一挥，就给这个房间里送进来一个粒子。而湮灭算符呢，就像是一个小吸尘器，一下子把房间里的一个粒子给吸走了。
咱们开始推导的时候啊，得先从经典的情况入手。就像盖房子得先打地基一样。我们先选择一些广义坐标，这些坐标就像是描述这个量子系统的一些特殊的标签。比如说在研究一个粒子的运动时，它的位置或者动量就可以是这种广义坐标。然后呢，我们用这些坐标来构造一个拉格朗日量。这个拉格朗日量就像是这个量子系统的一个特殊的说明书，它告诉我们这个系统是怎么动的，怎么变化的。
有了这个拉格朗日量之后呢，我们就可以求出正则动量。这正则动量啊，就像是和广义坐标配套的另一个重要的东西。你可以把它们想象成是一对好搭档，在量子的舞台上一起跳舞。
接下来就是一个很关键的步骤啦。在经典力学里有个泊松括号，这东西在量子力学里就变成了对易关系。这个对易关系就像是一种规则，规定了产生算符和湮灭算符之间怎么相处。就好比在一个游戏里，每个角色都有自己的规则，不能乱来。
