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苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter3 Relativistic Quantum Mechanics

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量子力学答案（第二版）苏汝铿第三章课后答案3.8-31（精品pdf）

量子力学答案（第二版）苏汝铿第三章课后答案3.8-31（精品pdf）

3.8 一维运动的粒子处在()x ψ={0x Axe λ-(0)(0)x x ≥<当当(0)λ>求()2x ∆()2p ∆.解：我们知道，()2x ∆=2x -2xx *x dx ψψ=⎰2320xAx e dx λ∞-=⎰2438A λ=于是，22243()8xA λ=48964A λ=而2x*2x dx ψψ=⎰2420xAx edx λ∞-=⎰2534A λ=另外，由归一化条件可得A 与λ的关系：2220xAx edx λ∞-⎰234A λ=1=∴()2x ∆=2x-2x245839464A A λλ=-22394λλ=-234λ=p *i dx x ψψ∂=-∂⎰()222x i A x x e dx λλ-=--⎰22331242i A λλλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭0=2p22*2dx x ψψ∂=-∂⎰()22202x x xA xe e xe dx λλλλλ∞---=--+⎰224A λ= 于是()2p ∆22224A λλ==所以()()22234x p ∆∆=3.9 粒子处在lm Y 态，求：(i) ˆx L 和ˆy L 的平均值x L ，yL ； （ii ）()2x L ∆，()2y L ∆．解：（1）设ˆˆˆx yL L iL +≡+，ˆˆˆx y L L iL -≡-则()1ˆˆˆ2xL L L +-=+，()ˆˆˆ2y i L L L -+=-则ˆˆL L +++ˆˆL L -+=()ˆˆˆˆ()x y x y L iL L iL =-+()22ˆˆˆˆˆˆx y x y y x L L i L L L L =++-222ˆˆˆz zL L i L =-+22ˆˆˆz zL L L =-- 类似的，22ˆˆˆˆˆˆˆz z L L L L L L L +--+-==-+按角动量理论可得： ˆ,1),1L l m l m +=+ˆ,1),1L l m l m -=- 又，ˆ,,l m L l m +,1),1l m =+0= ˆ,,l m L l m -,1),1l m =-0=于是，x L ˆ,,x m L l m =()1ˆˆ,,2l m L L l m +-=+0=y L ˆ,,ym L l m =()ˆˆ,,2imLL l m -+=-0= （2）()2x L ∆ ()221ˆˆˆ,,,,4xl m L l m l mLL l m +-==+()1ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,4l mL L L L L L L L l m ++--+--+=+++)()1,1)()(1),24l ml m l m l m =-+++)()1,1)()(1),24l m l m l m l m ++-+-)()1,1)()(1),114l m l m l m l m +-+++-)()1,1)()(1),114l m l m l m l m ++-+-+2211(1)()(1)()44l m l m l m l m =++-+-++()2222214l l m m l l m m =+--++-+ ()22212l l m =+-由对称性，()2x L ∆也应等于()22212l l m +-。

复旦量子力学讲义qmapter-PPT精品

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2020/2/16
§3.4 Dirac equation in the central force field
s(18m h2 2c2 2)(18m p2 2 c2)
2020/2/16
§3.4 Dirac equation in the central force field
Es (18m p22c2) V2pm 2 4Em'2pc224m12c2(rpr)V(rpr)(18m p22c2)s
§3.1 Klein – Gordon equation
➢Non-relativistic limit: K-G eq Sch eq
2020/2/16
§3.1 Klein – Gordon equation
2020/2/16
§3.1 Klein – Gordon equation
2m ihc2['( t'im hc2')'*( t'im hc2')] '*'*
Chapter 3 Relativistic Quantum Mechanics
2020/2/16
2020/2/16
Introduction
➢Non-relativistic quantum mechanics relativistic quantum mechanics
➢Schrödinger equation ➢Klein-Gordon equation S ~ integer ➢Dirac equation S ~ half integer ➢Spin is automatically contained in Dirac
2020/2/16
§3.1 Klein – Gordon equation

复旦量子力学讲义qmapter

复旦量子力学讲义qmapter

§3.4 Dirac equation in the central force field K , H , H c , p c L , p c , p
3 † † i i c k k mc 2 t x i 1
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
§3.3 solutions of the free particle
§3.3 solutions of the free particle
Discussion Positive energy state (λ=+1) Negative energy state (λ=-1) Eigenstates of momentum p
[, ] 0, [i , i ] 0
[x , y ] 2i z , [x , z ] 2i x , [z , x ] 2i y
§3.3 solutions of the free particle
[ x , H ] [ x , c p] c[ x , y p y z pz ] 2ic( z p y y pz ) 2ic( p) x
Chapter 3 Relativistic Quantum Mechanics
Introduction
Non-relativistic quantum mechanics relativistic quantum mechanics Schrödinger equation Klein-Gordon equation S ~ integer Dirac equation S ~ half integer Spin is automatically contained in Dirac equation

苏汝铿量子力学讲义波函数和Schroinger方程课件

苏汝铿量子力学讲义波函数和Schroinger方程课件

§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
§2.7 势垒贯穿
▪ 在非相对论情况下,粒子不可能穿透无限高位垒
§2.7 势垒贯穿
▪ 如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
▪ 共振透射的条件和共振能量
➢ 对称性: 若U(x)=U(-x) 则波函数可具有确定的宇称
➢ 正交归一性
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 上述结论均可用 的性质证明
• 一维薛定谔方程的所有性质都与其相应的 Wronskian行列式有关
§2.7 势垒贯穿
➢ 经典图象:眼前无路好回头 量子图象:眼前无路穿着走
➢ 势阱有无穿透? ➢ 什么条件下全透射无反射? ➢ 势垒高度和宽度的影响?
具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(2)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(1)
具有相同的深度 但是宽度不同的方势阱(2)
§2.4 一维方势阱
➢ 思考题: 半壁无限势阱时的解如何?
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 物理上: • 势场在平衡位置附近展开 U(x)~k(x-x0)^2 • 任何连续谐振子体系无穷多个谐振子集合 • 辐射场简谐波的叠加 • 原子核表面振动,理想固体(无穷个振子) • 真正可以严格求解的物理势(不是间断势) • 描述全同粒子体系产生,湮灭算符
§2.5 一维谐振子
➢ Motivation: 数学上: • 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 • 通过数学,看物理
§2.5 一维谐振子
§2.5 一维谐振子
➢ 求解1D Schrodinger Eq with harmonic oscillator

量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答

量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答

.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
.
基态能量应取 的最小值,由
得
,
此时，
，即 在
处取得最小值
.
（优化解法）氢原子中有一个电子，电荷为 ，核电荷为 ，总能量算符为
(1)
设原子的最概然半径为 ,则式（1）的基态平均值中可取
(2)
根据不确定度关系，可取
(3)
因此，基态能量约为
(4)
的取值应使 为极小，由极值条件
7
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
当 时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
;
当
时，解本征方程
.由
得归一化本征函数
.
即 的本征函数是

苏汝铿高等量子力学讲义

苏汝铿高等量子力学讲义

§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter ”

p , T ,
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?

§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory

苏汝铿量子力学讲义 第三章 矩阵力学基础

不同力学量同时有确定值的条件
若[F, G] = 0 必有共同本征函数系 • 充要条件 • 有简并时可重新组合
§3.5 量子力学中力学量的测量值
• 注意： 如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不 排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如
Lx和Ly不对易，但在 得到零 中测量Lx,Ly均
§3.5 量子力学中力学量的测量值
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的性质 • 厄米算符的平均值是实数(充分性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
线性厄米算符的本征函数示例
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
连续谱本征函数归一化 • 无穷空间：归delta函数，连续谱 • 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱
§3.4 连续谱本征函数
• 周期性边界条件
§3.4 连续谱本征函数
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
讨论： • 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否 测量无关 • 单缝衍射实验 • 零点能
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 角动量算符
§3.6 不确定性原理
• 互补原理及其哲学探讨
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P
• 直角坐标 x-x, y-y, z-z • 球坐标 r不变, θπ-θ, φ-φ • 宇称算符既是厄米的，又是么正的

量子力学讲义 第三章 3.5、3.6、3.7、3.8



ˆ |2 d | F
0
可把常数记为Fn，把状态 记为ψn，于是得：
（2）力学量的本征方程
若体系处于一种特殊状态， 在此状态下测量F所得结果 是唯一确定的，即：
(F) 0
2
则称这种 状态为力 学量 F 的 本征态。
ˆ F ) (F 0 或 ˆ 常 数 F
ˆ n Fn n F
m m m
m
ˆm )*nd Fm m *nd (F
二式相 减 得：
(Fm Fn ) m *nd 0
若Fm≠Fn， 则必有：
ˆm )*nd m * F (F ˆnd Fn m *nd
（2）分立谱、连续谱正交归一表示式
1. 分立谱正 交归一条 件分别为： 3. 正交归一系
Ylm ( ,) Nlm Pl (cos ) eim
m
构成正交归 一函数系

0

2
0
* Ylm ( ,)Ylm ( ,)sindd ll
ˆ 的本征函数 （4）氢原子能量算符H
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm (,) 组成正交归一函数系
i 1
方程的归一化条件有 f 个，正交条 件有f(f-1)/2 个，所以共有独立方 程数为二者之和等于 f(f+1)/2 。
Fn A jini
i 1

nj
* nj ji A j i ni * ni d jj
构成正交归一系



m(x) n(x)dx mn
ˆ z 的本征函数 （2）角动量分量算符 L
1 i m m() e (m 0, 1, 2, ) 2

苏汝铿量子力学课后习题及答案

Exercises for the Course of Quantum Mechanics, 2007
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.

苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter4 Path Integral


§4.2 Path integral
§4.2 Path integral
§4.2 Path integral

Normalization factor
§4.2 Path integral
§4.2 Path integral
§4.3 Gauss integration

A type of functional integration which can easily be calculated
Chapter 4 Path Integral
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics



Introduction: how to quantize? Wave mechanics h Schrödinger equ. Matrix mechanics h commutator Classical Poisson bracket Q. P. B. Path integral h wave function
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
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§3.4 Dirac equation in the central force field
§3.4 Dirac equation in the central force field
§3.4 Dirac equation in the central force field
Noting: up to the order Normalization condition must be ensured
Thomas term
Darwin term
§3.4 Dirac equation in the central force field
§3.4 Dirac equation in the central force field
Quantum number K
§3.4 Dirac equation in the central force field
r r cσ ⋅ p χ= ϕ 2 2mc + E '− V
§3.4 Dirac equation in the central force field
In non-relativistic approximation
E '− V 2mc 2
r r cσ ⋅ p x= ϕ 2 2mc + E '− V
§3.1 Klein – Gordon equation
Lorentz transormation the same weight K – G equation time, space are of
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.4 Dirac equation in the central force field
1 E '− V r r χ≈ 1 − 2mc 2 σ ⋅ pϕ 2mc
1 r r r r E' r r r r (σ ⋅ p )(σ ⋅ p )ϕ − (σ ⋅ p )(σ ⋅ p )ϕ 2 2 2m 4m c 1 r r r r + (σ ⋅ p )V (σ ⋅ p )ϕ + V ϕ = E 'ϕ 2 2 4m c
§3.4 Dirac equation in the central force field
By using
§3.4 Dirac equation in the central force field
Relativistic correction of kinetic energy
§3.4 Dirac equation in the central force field
ih ∂ψ ' imc 2 ∂ψ ' imc 2 ρ= [ψ '⋅ ( ψ ') −ψ '* ⋅ ( ψ ')] − + 2 2mc ∂t h ∂t h ≈ ψ '* ψ ' = ψ *ψ
§3.1 Klein – Gordon equation
With electromagnetic field
§3.1 Klein – Gordon equation
Chapter 3 Relativistic Quantum Mechanics
Introduction
Non-relativistic quantum mechanics relativistic quantum mechanics Schrödinger equation Klein-Gordon equation S ~ integer Dirac equation S ~ half integer Spin is automatically contained in Dirac equation
p2 Eϕ s = (1 + 2 2 ) × 8m c p2 E ' p2 1 p2 r r r r V + 2m − 4m 2 c 2 + 4m 2 c 2 (σ ⋅ p )V (σ ⋅ p ) (1 − 8m 2 c 2 )ϕ s
§3.4 Dirac equation in the central force field
§3.3 solutions of the free particle
Dirac hole theory Dirac sea Hole: (+Ep>0, +m>0, +e>0) (positron) 1932, Anderson discovered positron from cosmic ray using cloud chamber
{
}
r r r dL = c(α × p) dt
§3.3 solutions of the free particle
Spin angular momentum
r σ 0 Σ= r 0 σ r
σ i 0 Σi = (i = x, y, z ) 0 σi
Or
§3.3 solutions of the free particle
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.1 Klein – Gordon equation
Non-relativistic limit: K-G eq Sch eq
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.1 Klein – Gordon equation
Covariant form
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.1 Klein – Gordon equation
§3.2 Dirac equation
§3.3 solutions of the free particle
r If p = {0, 0, p} ,we find
Eigenvalues:
±h / 2
§3.3 solutions of the free particle
Eigenstates:
§3.3 solutions of the free particle
How to overcome the negative probability difficulty
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
The condition for α and β
§3.2 Dirac equation
3 ∂ ∂ ih (ψψ ) = −ihc ∑ k (ψα kψ ) ∂t i =1 ∂x
ρ = ψ †ψ ,
j k = cψ †α kψ
§3.3 soபைடு நூலகம்utions of the free particle
§3.3 solutions of the free particle
§3.4 Dirac equation in the central force field
Equation in non-relativistic limit
§3.4 Dirac equation in the central force field
§3.4 Dirac equation in the central force field
r r h [ Σ, H ] = −ihc(α × p ) 2
§3.3 solutions of the free particle
§3.3 solutions of the free particle
Helicity operator
§3.3 solutions of the free particle
1) They must follow the relation
E =c p +m c
2 2 2
2 4
2) Operator H must be Hermitian 3) Lorentz invariance
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
dLx 1 = [ Lx , H ] dt ih c = Lx , α x px + α y p y + α z pz ih c = α x [ Lx , px ] + α x Ly , p y + α z [ Lx , pz ] ih r r = c α y pz − α z p y = c(α × p ) x ≠ 0
§3.3 solutions of the free particle
§3.3 solutions of the free particle
§3.3 solutions of the free particle
§3.3 solutions of the free particle
§3.3 solutions of the free particle
§3.4 Dirac equation in the central force field
§3.4 Dirac equation in the central force field
h2 p2 ϕ s = (1 − 2 2 ∇ 2 )ϕ = (1 + 2 2 )ϕ 8m c 8m c
§3.4 Dirac equation in the central force field
§3.2 Dirac equation