当前位置：文档之家 › 量子力学讲义4-2(最新版)

量子力学讲义4-2(最新版)

  • 格式：pdf
  • 大小：215.41 KB
  • 文档页数：76

下载文档原格式

  / 76

合集下载

量子力学教程-第四章精品PPT课件

量子力学教程-第四章精品PPT课件

a2(t)
a1(t)*
a2(t)*
an(t)*
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
( x, t) an(t)un( x)
n
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
证：
an(t) un *( x)( x.t)dx
No Image
第四章 态和力学量的表象
§4.1 态的表象 §4.2 算符的矩阵表示 §4.3 量子力学公式的矩阵表述 §4.4 么正变换 §4.5 狄拉克符号 §4.6 线性谐振子和占据数表象
量子力学
1
§4. 1 态的表象
到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示：
1）波函数是坐标的函数 2）力学量则用作用于坐标函数的算符表示。
1 * ( x, t )( x, t )dx
组成完备系，任一 状态Ψ可按其展开
展开系数
[ C( p, t) p ( x)dp]*[ C( p, t) p ( x)dp]dx
( x, t ) C ( p, t ) p ( x)dp C( p, t)*C( p, t)dpdp p *( x) p( x)dx
5
（二）力学量表象
推广上述讨论：
x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，
因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力 学量 Q 表象。
问题
那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况

量子力学讲义

量子力学讲义

量子力学的通俗讲座一、粒子和波动我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。

和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。

但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。

1.1 粒子的图像在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。

质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。

为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。

要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。

但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。

有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。

在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。

以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。

按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。

这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2GMm F x（万有引力公式） 来代表牛顿力学。

前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。

需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。

清华大学量子力学讲义

清华大学量子力学讲义

任意矢量：
a
ˆ 算符（对矢量的运算，例如平移，旋转等） ： Ta 基矢： en , n 1, 2,3
基矢完备性： 内积： 矢量模方：

b ，仍然是 3 维空间中的一个矢量。
3 a an en
n 1
a b anbm en em
n ,m
n
写出矩阵形式： 外积： 由于 a b
a b
b Fa
ˆ 的矩阵形式，是一个方阵，矩阵元是 F 。 F 是算符 F mn
c
b
a
b
c ， a b 的作用是把矢量 c 变成了另一个平行于 a 的矢量，故外
积 a b 是一个算符。它的具体表示是一个方阵，矩阵元是
a

mn
ma bn ma nb
类似性： sx , s y , sz 和 Ex ' , E y ' 都可看成二分量矢量 不同： s 是内禀角动量，量子力学量； E 是空间相关力学量，经典力学量。


3
2. 线性矢量空间
从上一节，电子自旋角动量在任意方向的投影 sn 只能取两个值，可看成是一个二维矢量。为了 建立量子力学的矩阵描述方式，先讨论线性矢量空间。 1）3 维矢量空间
量子性质：当 sz 有确定值时， sx 没有确定值。 sz 和 sx 不能同时有确定值！
S N
S Sz+ Sz图b
Sx＋ Sx-
N
再让入射原子束经过 Z，X 和 Z 方向的三个磁场，见图 c。最后观察到 sz 有 sz 和 sz 两个分
量，说明在第三个磁场之前 sz 有两个值 sz 和 sz 两个分量（虽然 sx 有确定值 sx ） 。

量子力学讲义最新版

量子力学讲义最新版

(ω
)
(11)
可把式(10)中
E
2 0
换为 8π
∫ dωρ
(ω)，就得出非偏振自
然光引起的跃迁速率
w k ′k = D k ′k 2 ρ ( ω k ′k )
( ) =
4π 2e 2
32
rk ′k 2 ρ
ω k ′k
(12)
可以看出，跃迁快慢与入射光中角频率为ω k ′k的光
强度ρ (ωk′k )成比例。如入射光中没有这种频率成分，
§11.6.1 光的吸收与受激辐射
为简单起见，先假设入射光为平面单色光，其电磁
场强度为
⎧⎪ E = E 0 c o s (ω t − k ⋅ r )
⎨
(1)
⎪⎩ B = k × E / k
其中 k 为波矢，其方向即光传播方向，ω 为角频率。
在原子中，电子的速度 v c (光速)，磁场对电子
的作用力远小于电场对电子的作用力：
−ω)/ 2)
(8)
而跃迁速率为
wk ′k
=
d dt
Pk ′k
=
π
22
W k ′k
2 δ (ω k ′k
−ω)
=π
22
Dk′k ⋅ E0 2 δ (ωk′k − ω )
=π
22
Dk′k 2 E02 cos2 θδ (ωk′k − ω )
(9)
其中 θ 是 Dk′k 与 E0 的夹角.
如果入射光为非偏振光,光偏振(E0 )的方向是完全 无规的,因此把 cos2θ换为它对空间各方向的平均值,
限制，自发辐射光子相应的辐射波列的长度 ∆x ≈ cτ ，因而光子动量不确定度 ∆p ≈ ∆x ≈ cτ ,

量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）

量子力学讲义IV.表象理论（矩阵表述）

量⼦⼒学讲义IV.表象理论（矩阵表述）IV. 表象理论 ( 矩阵表述 )1．如何⽤矩阵表⽰量⼦态与⼒学量，并说明理由？答：矩阵表⽰⼀般⽤于本征值为离散谱的表象（相应的希尔伯空间维数是可数的）。

具体说，如果⼒学量的本征⽮为，相应本征值分别为。

假定⼀个任意态⽮为，将它展开For personal use only in study and research; not for commercial use则态⽮在表象中波函数便可⽤展开系数的⼀列矩阵表⽰其意义是：在态中，取的概率为，这与表象中波函数意义是类似的。

⼒学量⽤厄⽶⽅阵表⽰，。

显然，⼀列矩阵和⽅阵维数与希尔伯空间维数是相等的。

⽤矩阵表⽰⼒学量，有如下理由：第⼀可以反映⼒学量作⽤于⼀个量⼦态得到另⼀个量⼦态的事实。

设，式中，。

取，两端左乘，取标积得，即第⼆矩阵乘法⼀般不满⾜交换率，这恰好能满⾜两个⼒学量⼀般不对易的要求。

第三厄⽶矩阵的性质能体现⼒学量算符的厄⽶性。

对于本征值为连续谱的表象（希尔伯空间维数不可数），也可形式的运⽤矩阵表⽰，这时可将矩阵元素看成式连续分布的。

2.量⼦⼒学中，不同表象间：基⽮、波函数、⼒学量是如何变换的？答：量⼦⼒学中由⼀个表象到另⼀个表象的变换为⼳正变换，它类似于欧⽒空间中坐标转动。

设表象中的基⽮为表象中的基⽮为(1) 基⽮变换关系为式中，（为⼳正矩阵）。

设有任意态，则态在及表象中波函数分别为矩阵。

(2) 波函数变换规则为：矩阵。

(3) ⼒学量变换规则为：。

（式中与为⼒学量在、表象中矩阵）3.正变换有什么特征？答：⼳正变换特点：(1⼳正变换不改变态⽮的模，这⼀特征相当于坐标旋转变换；(2⼳正变换不改变⼒学量本征值；(3)⼒学量矩阵之迹 TrF与矩阵⾏列式 dgtF亦不因⼳正变换⽽改变．4. 学量在其⾃⾝表象中如何表⽰？其本征⽮是什么 ?答：如果⼒学量本征值为离散谱，那么，它在其⾃⾝表象中表⽰式为对⾓矩阵，为诸本征值。

本征⽮为单元素⼀列矩阵如果⼒学量本征值为连续谱，则它在其⾃⾝表象中为纯变量其本征⽮为函数。

(2021年整理)量子力学讲义4

(2021年整理)量子力学讲义4

（完整）量子力学讲义4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）量子力学讲义4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）量子力学讲义4的全部内容。

第二章 波函数和薛定谔方程§2-1 波函数（Wave Function ）的统计解释一、微观粒子的波粒二象性1．经典物理学对波粒二象性解释的失败德布洛意的物质波假设的实质是：所有运动的实物粒子都既具有粒子的性质又表现出波动的性质，就是所谓的实物粒子的波粒两象性。

可惜的是，当时人们的思想还是深受经典物理学的影响，在其非此即彼思想的束缚下，曾经出现如下两种对波粒两象性的解释，它们均以失败而告终。

第一种观点认为：运动电子是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成的一个复波，它可以局限在电子大小的空间（152.810m -⨯）中.计算表明，该波包的寿命大约只有261.610s -⨯，也就是说在非常短的时间内电子就变成非定域的了,此即所谓波包发散的困难。

这种观点只片面地强调了电子波动性，而忽略了它的粒子性.另一种观点认为:运动电子的波动性对应于由大量电子分布于空间而形成的疏密波，它类似于空气振动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。

这种看法也与实验矛盾.实际上，在电子的衍射实验中,不但让多个电子同时通过仪器可以得到衍射图案，即使让电子一个一个地通过仪器，只要实验的时间足够长，仍然可以在底片上得到电子的衍射图案。

这说明运动电子的波动性并不一定是在许多电子同时存在于空间中才会出现，更确切地说，单个电子就具有波动性。

2．波粒二象性的正确解释首先，让我们来回顾一下经典物理学是如何理解粒子的概念的：(1）经典粒子具有确定的大小、质量和电荷，在空间中占据某个确定的位置。

量子力学4-2

量子力学4-2

F21 F22 - ... F2n ...
................................
0
4.3-6
Fn1 Fn2 ... Fnn - ...
...............................
此式称为久期方程。求解可得到一组解：1,2 ,...n ...,
4.4-12
n
则 态 矢 量u x 在A、B表 象 中 的 表 示 分 别 为
a1 a2
t t
a
ant
b t ux,t xdx
m
x
Sm
u
x
,
t
dx
m
Sm
m
x
u
x,
t
dx
m
Sm am t (S )m am t
m
m
b1 b2
t t
b
b t
即
b S†a
第四章 态和力学量的表象
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
1、平均值公式
x,t ant unx
n
x,t an t un x
n
F
x,t Fˆ
x,
i
x
x, t dx
4.3-1
F
mn
am
t
um
x
Fˆ
x,
i
x
an t un xdx
mn
am
t
um
x Fˆ
x,
i
x
un
x
dxan
Hm1
Hm2
... H mn
...
...............................

4-2大学物理

4-2大学物理

r2 - r1 δ 3,当初相位差为 时, φ = 2π ,当初相位差为0时 = 2π λ λ 合振幅取决于波程差 δ .
L δ = ±2k , k = 0,1,2,L 2
λ
2
λ
相长干涉
δ = ±(2k + 1) , k = 0,1,2,L L 相消干涉
例1,如图所示,A,B两点为同一介质中两相干波 ,如图所示, 两点为同一介质中两相干波 其振幅皆为5 其频率为100Hz,但当 为波 但当A 源,其振幅皆为 cm ,其频率为 其频率为 但当 峰时B为波谷 设波速为10m/s ,试写出由 ,B发 为波谷, 试写出由A, 发 峰时 为波谷,设波速为 出的两列波传播到P点时干涉的结果 点时干涉的结果. 出的两列波传播到 点时干涉的结果. 解: = A
p
r1
s 1 : y 1 = A1 cos( ω t + 1 )
s1
s2
r2
在p点 点
s 2 : y 2 = A 2 cos( ω t + 2 )
λ 2 π r2 y 2 p = A 2 cos( ω t + 2 ) λ 则p点运动方程为 y = A c o s ( ω t + ) 点运动方程为
二,平均能量密度
定义能量密度: 定义能量密度:单位体积内的机械能 能量密度
x dV体积内机械能为: dE = ρdVω A sin [ω( t - )] 体积内机械能为: 体积内机械能为 u dE x 2 2 2 能量密度为: 则能量密度为: w = = ρω A sin [ ω ( t )] dV u
所以AB连线上因干涉而静止的点的位置为: 所以 连线上因干涉而静止的点的位置为: 连线上因干涉而静止的点的位置为 其中

4.2含时散射理论

4.2含时散射理论

ψ I (t ) = U I (t, t ' ) ψ I (t ' ) ，
3
高等量子力学讲义（研究生用）
§4.2 含时散射理论
河北师范大学 刘建军
t1 t t ⎡ i t I ⎤ i i 2 I U I ( t , t ) = P exp ⎢ − ∫ V ( t1 ) dt1 ⎥ = 1 − ∫ dt1V ( t1 ) + ( − ) ∫ dt1 ∫ dt 2V I ( t1 )V I ( t 2 ) + L ， h t' h t' ⎢ h t' ⎥ t' ⎣ ⎦ '
i t −t ' H 0 h
( )
，
( − i Reα + Im α )( t −t ' ) Im α →−∞ ⎤ 考察积分，在 t − t ' > 0 时： ⎡ e → 0⎥ ⎢ Im α < 0 ⎣ ⎦
+∞
−∞
∫
dα
e
− iα t − t '
( )
'
α + iε
=
∫ dα
c
e
− iα t − t '
.. ..
对应的含时格林算符满足的方程为
⎛ ∂ ⎞ ' ' ⎜ ih − H 0 ⎟ G0 ( t − t ) = δ ( t − t ) ， ⎝ ∂t ⎠ ⎛ ∂ ⎞ ' ' ⎜ ih − H ⎟ G ( t − t ) = δ ( t − t ) ， ⎝ ∂t ⎠
可以验证
ψ ( t ) = ϕ ( t ) + ∫ G0 ( t − t ' ) V ( t ' ) ψ ( t ' ) dt '

量子力学讲义第4章

量子力学讲义第4章

第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。

为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。

为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。

最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。

4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。

一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。

1、线性：①c b a =+；②a b λ=。

2、完备性：∑=nn n a a 。

3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。

定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。

1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。

量子力学课件-第4讲

量子力学课件-第4讲

ψ 入＋ψ 反＝eikx + Re −ikx , x < 0 其解为 ψ ( x) = ψ 外 ( x) = ψ 透＝Te ikx , x > a.
r r ih j (r , t ) = − (ψ *∇ψ −ψ∇ψ * )以及p = hk = mv 粒子流密度 2m
j入 = hk / m = v
是薛定格方程 r 在 V (r , t )不显含t时的形式，是我们后 面讨论大多数问题的理论基础。通 r 常将略去ψ E (r ) 中的下标E，这样能 量本征方程为 2 h r r r 2 [− ∇ + V (r )]ψ (r ) = Eψ (r ) 2m
3
r r r ∂ h 2 ih ψ ( r , t ) = [ − ∇ + V (r , t )]ψ (r , t ) ∂t 2m
能量En的概率
更加抽象地说，任何一个量子态都可按任意 一组正交、归一、完备态分解 ψ = ∑ cnψ n 。 n
12
量子力学的基本假设
1、量子态由波函数描写。 2、波函数的模方代表概率，即具有统计解释。 3、力学量用算符表示。 4、波函数的运动满足薛定格方程。 5、态叠加原理：量子态可按任意一组正交、 归一、完备态分解。
8
二、束缚态 对一维无限深方势 阱中的粒子来说:
2 n πx sin( ), 0 < x < a; ψ n ( x) = a a 0, x < 0, x > a.
| ψ n ( x) |2 = 0, x < 0, x > a, | ψ n ( x) |2 ≠ 0 < x < a (除个别节点外）
一、一维无限深方势阱中的能量本征态(1)

量子力学讲义 温伯格

量子力学讲义 温伯格

量子力学讲义引言量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家发展而来，其中最著名的是德国物理学家温伯格（Max Born）。

量子力学革命性地改变了我们对自然界的认识，揭示了微观粒子行为的奇异性质。

本讲义将介绍量子力学的基本原理、数学描述和一些重要的应用。

1. 量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.1 波粒二象性量子力学揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特性。

根据德布罗意（Louis de Broglie）提出的波粒二象性理论，任何物质粒子都具有波动性，其波长与动量相关。

这意味着微观粒子不仅可以被看作是粒子，还可以被看作是波动。

1.2 玻尔原子模型玻尔（Niels Bohr）提出了一种描述原子结构的模型，即玻尔原子模型。

根据这个模型，原子由一个中心的原子核和围绕核旋转的电子组成。

电子只能在特定的能级轨道上运动，而且只能在能级之间跃迁，放出或吸收特定能量的光子。

1.3 不确定性原理海森堡（Werner Heisenberg）提出了著名的不确定性原理，它指出在测量微观粒子的位置和动量时，无法同时精确确定它们的值。

这是由于测量过程中的干扰和微观粒子的波粒二象性导致的。

不确定性原理限制了我们对微观世界的观测和测量。

2. 量子力学的数学描述量子力学使用数学语言来描述微观粒子的行为。

其中最基本的数学工具是波函数（wave function）和算符（operator）。

2.1 波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。

它是时间和空间的函数，可以用来计算粒子的概率分布。

波函数的平方模的积分表示了在特定位置找到粒子的概率。

2.2 算符算符是量子力学中表示物理量的数学对象。

它们作用于波函数上，可以得到物理量的期望值。

例如，位置算符可以得到粒子的位置期望值，动量算符可以得到粒子的动量期望值。

2.3 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。

它是一个偏微分方程，描述了波函数随时间变化的规律。

高等量子力学田光善讲义

高等量子力学田光善讲义

高等量子力学田光善讲义1. 量子力学简介量子力学是描述微观粒子行为的理论，也是现代物理学的基石之一。

它通过波函数描述粒子的状态，并通过算符描述物理量的测量。

量子力学的发展为我们认识微观世界提供了全新的视角。

2. 量子力学的基本原理2.1 波粒二象性根据量子力学的波粒二象性，微观粒子既可以表现为粒子，也可以表现为波动。

这种双重性质使得我们无法准确地确定粒子的位置和动量，而只能得到一定的概率分布。

2.2 波函数和波函数演化波函数是量子力学中描述粒子状态的数学工具，它可以通过薛定谔方程来演化。

波函数的模的平方给出了测量粒子处于某个状态的概率。

2.3 算符和物理量测量算符是量子力学中描述物理量的数学工具，它对波函数进行操作，得到物理量的期望值。

物理量的测量结果是随机的，符合一定的概率分布。

2.4 不确定性原理不确定性原理是量子力学的重要基本原理之一，它指出了我们无法同时准确测量粒子的位置和动量，或者能量和时间。

不确定性原理限制了我们对微观世界的认识。

3. 量子力学的数学形式3.1 希尔伯特空间希尔伯特空间是量子力学中描述波函数的数学空间，它是一个完备的内积空间。

在希尔伯特空间中，我们可以定义态矢量、算符和内积等概念。

3.2 算符和本征值问题算符在希尔伯特空间中是线性算符，它可以对态矢量进行操作。

本征值问题是求解算符的特征值和特征向量，它可以得到物理量的本征值和本征态。

3.3 规范化和正交归一化波函数的规范化是保证概率守恒的重要条件，它要求波函数的模的平方在整个空间上积分为1。

正交归一化是希尔伯特空间中的一组正交基的要求，它使得不同态矢量之间的内积为0或1。

4. 量子力学的应用4.1 原子物理学量子力学在原子物理学中有着广泛的应用，可以解释原子的能级结构、光谱现象等。

通过量子力学的计算，我们可以预测和解释实验结果。

4.2 分子物理学量子力学在分子物理学中的应用也非常丰富。

它可以描述分子的振动、转动和电子结构等性质，为化学反应的理解和控制提供了重要的理论基础。

量子力学课件第四章

量子力学课件第四章

相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
§4.1 态的表象
将Ψ(x,t) 按 Q 的本征函数展开：
( x, t )
a (t )u ( x)
n n n
an (t ) u n * ( x )( x.t )dx

若Ψ, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。
Q的矩阵形式
ˆ Qnm u n * ( x)Qu m ( x)dx Qm u n * ( x)u m ( x)dx Qm nm
结论： 算符在自身表象中是一个对角矩阵，对角元素就是算符 的本征值。


§4.２ 算符的矩阵表示
算符在自身表象中是一个对角矩阵
Q1 0 Q 0
（一）动量表象
动量本征方程:
i p (r ) p p (r )
1 2 e
ipx /
一维动量本征函数： p ( x )
组 成 完 备 系
任一状态Ψ可按其展开
( x, t )

C ( p, t ) p ( x)dp
展开系数
C ( p, t ) p * ( x)( x, t )dx
§4.1 态的表象
1
a
m n
m
* (t )an (t ) mn

n
an * (t )an (t ) 1
由此可知，| an| 2 表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量 Q 得
Qn的概率。 a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
就是Ψ(x,t)所描写的状态在 Q 表象中的表示。
Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数；而 C(p,t) 就是该状态在动量表象中的波函数。

量子力学讲义最新修正版

量子力学讲义最新修正版

（实）
Θ lm (θ ) = ( − ) m
2l + 2
1i
(l (l
− +
m m
) )
! !
Pl
m
(cos
θ
)
m = l , l − 1, ..., − l + 1, − l
(29)
满足
∫π 0
Θlm
(θ
)Θl′m
(θ
)
sin
θ
dθ
= δll′
(30)
于是，(L2, Lz ) 的共同的正交归一的本征态 可以表示为
∂Y
∂θ
)
−
2
sin2
θ
∂2Y
∂ϕ2
=λ
2Y
(17)
代入
Y(θ,ϕ)
= Θ(θ)ψ(ϕ)
,
方程左右乘
(− sin2 θ ), Θψ
可得
sinθ d (sinθ dΘ) +λsin2θ = − 1 d2ψ ≡ μ2
Θ dθ dθ
ψ dϕ2
(18)
其中左边仅与θ有关,右方仅与 ϕ有关, 故
恒等于一常数 μ2,从而可分离成两个方程:
征函数：
Bˆφn = Bnφn
n ↔ λ ; ∑ ∫ ↔ d λ ; δ mn ↔ δ (λ − λ ' ); (33) n
而归一化条件可表示为
∑ ∑ <ψ ,ψ >= 1 = Cm*ϕm* Cnϕn
m
n
∑∑ ∑ =
Cm*Cnδmn = Cn 2
mn
n
(34)
∫ <ψ,ψ >=1= Cλ 2dλ
(35)
若 Aˆ 的本征函数既有分立谱又有连续谱时，
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘 可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)
或者简记为
1 ˆ ˆ ∆ A ⋅ ∆ B ≥ [ A, B ] 2
(11)
此即任意两个力学量A和B在任意量子态下 的涨落必须满足关系式,即不确定度关系.将 这个结果应用于坐标和动量,利 用 [ x, p x ] = i ，则有
,则
2
2
I (ξ ) = ξ A − ξ C + B
2
2
= A (ξ − C
2
) + (B − C )≥0 2 2 2A 4A
2
2
(4)
注意 C , A 均为实数, 不妨令 ξ
2 2
2
= C 2A
2
, 则得
B −C 4A
即
2 2
2
≥0
(5)
1 2 A ⋅B ≥ C 4
(6)
或表示成
A ⋅B
2 2
(29)
故有
* ϕn (r )ϕn (r ' ) = δ (r − r ' ) ∑ n
(30)
这一结果称本征函数系的封闭性关系。
ˆ 利用厄米算符 A 的正交归一完备系，容易给出 在任一态函数 ψ = ∑ Cnϕn 下，力学量A的平均值可 n 表示为 * ˆψ < A >=< ψ , A >= ∫ψ * A dr = ∫ ∑Cmϕm A ψ
利用正交性公式
2 (l + m)! ∫−1 Pl (ξ ) P (ξ )dξ = 2l + 1 ⋅ (l − m)! δ ll′
+1 m m l′
(28)
可以定义一个归一化的 θ 部分的波函数（实）
Θ lm (θ ) = ( − )
m
2 l + 1 (l − m ) ! m i Pl (co s θ ) 2 (l + m ) !
3.厄米算符所有的本征函数组成的函数系构成完备 系统
ˆ 若厄米算符 A 的正交归一本征函数系为
{ϕn(r)} ≡{ϕ1(r),.....,ϕn(r).....}
ψ ( r ) = ∑ C nϕ n ( r )
n
(23)
则任何满足同样边界条件且在同样区间定义 的波函数 ψ (r ) 都可由 {ϕ n } 展开为 (24) 且展开式唯一，其中 Cn 与 r 无关，称本征函 数系 {ϕn (r)} 构成完备函数系，或本征函数系具 有完备性。展开系数 C n 可由下述方法求出
n
而归一化条件可表示为
< ψ ,ψ >= 1 = ∑ C ϕ* m m* m∑C ϕn n
n
= ∑∑C C δ = ∑ Cn
* m n mn m n n
2
(34)
<ψ ,ψ >= 1 = ∫ Cλ dλ
2
(35)
ˆ 若 A 的本征函数既有分立谱又有连续谱时， 完备系为{ϕn , ϕλ } ，则有
此即连带Legendre方程。在 ξ ≤ 1区域中， ξ 方程有两个正则奇点， = ±1 ，其余均为常 点。可以证明仅当
λ = l (l + 1), l = 0,1, 2, ⋅⋅⋅
(26)
时，方程有一个多项式解（另一解为无穷 级数），即连带Legendre多项式
Pl (ξ ),
m
m ≤l
(27)
它在 ξ ≤ 1 区域中是有界的，是物理上可以 接受的解。
4.4共同本征函数
1.不确定度关系的严格证明：
当体系处于力学量A的本征态时,若对它测量A, 则可得到一个确定的值,即相应的本征值,而不会出 现涨落。若在A的这个本征态下测量另一个力学 量B,是否也能得到一个确定的值?不一定。例如, 前面有关章节中, 我们曾分析过, 考虑到波动粒子 两重性, 粒子子的位置和动量不能同时完全确定, 而它们的不确定度 ∆x 与 ∆ p x 必须满足
∆x ⋅ ∆px ≥
注意：均方偏差的定义：
(∆F) = (∆F) = (F − F) = F − 2FF + F = F − F
2 2 2 2 2 2 2
2
(12)
由不确定度关系可以看出,若两个力学量 A和B不对易,一般说来 ∆ A 和 ∆ B 不能同时为 零,即A和B不能同时有确定值,或者说它们不 ˆ ˆ 能有共同本征态。反之, 若两个厄米算符 A和B 对易，则可以找到这样的态, 使得 ∆ A = 0与 ∆ B = 0 同时满足,即可以找出它们的共同 本征态.
因此，量子力学中的力学量以线性厄米 算符来表示，力学量取确定值的态就是力学量 算符的本征态，力学量的数值就是算符的本征 值，力学量算符的本征函数构成正交归一完备 系。
在任意状态 ψ 下，力学量一般不取确定的 值，而是一系列可能值，用力学量本征函数 ψ 展开，其展开系数的模方 Cn 2 则 完备系将 给出力学量在该状态下取 f n 数值的几率，即 力学量测量的数值必是其算符的本征值之一， 而测得该值的几率振幅为 Cn 。这就是量子力 学中有关力学量算符表示的基本原理，由理 论与实验结果的一致性而得以证实。
不确定性原理,是微观粒子运动的基本规 律,是微观粒子波粒二象性和波函数统计解 释导致的必然结果。从这个关系我们可以 看出,它根本不涉及测量,只要有波函数的统 计解释和力学量的平均值公式,就可以导出 不确定原理。过去常有一种误解，似乎粒 子本身具有确定的坐标和动量，只不过我 们不能同时测量它们罢了。实际情况是， 由于波粒二象性和波函数的统计解释，粒 子在客观上不能同时具有确定的坐标和动 量，当然也不可能同时准确地测量它们。
事实上，ˆ 2 的本征函数 Y (θ , ϕ ) 可分离变量,令 l
Y (θ ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ)
代入本征方程
(15)
ˆ2Y (θ ,ϕ) = λ 2Y (θ ,ϕ) l
2 ∂ ∂Y ∂2Y 2 (sin θ ) − 2 − =λ Y 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
(16)
π
= δll′δmm′
L 和L z 的本征值都是量子化的.l 称为轨道 角动量量子数，m称为磁量子数。对于给 2 定的l, L 的本征函数是不确定的，它有 (2l+1)个简并态，分别对应于(2l+1)个不同 的磁量子数m。Ylm 就是用 L z 的本征值m 来对这些简并态进行分类的。
2
3.求共同本征函数的一般原则
m = l , l − 1, ..., − l + 1, − l
(29) (30)
满足
∫
π
0
Θlm (θ )Θl ′m (θ ) sin θ dθ = δ ll ′
于是，L2 , Lz ) 的共同的正交归一的本征态 ( 可以表示为
Ylm (θ , ϕ ) = (−1)
m
2l + 1 (l − m)! m imϕ i Pl (cos θ )e (31) 4π (l + m)!
∆x∆px ≥
下面普遍地分析此问题。
(1)
设有两个任意的力学量A和B。考虑下 列积分不等式
ˆ ˆ I (ξ ) = ∫ ξ Aψ + iBψ dτ ≥ 0
2
(2)
式中ψ 为体系的任意一个波函数, ξ 为任 ˆ ˆ A 与 B 均为厄米算符. 意实参数,
上述不等式可化为
I ( ξ ) = ( ξ Aψ + i Bψ , ξ Aψ + i Bψ )
2. (l , l z ) 的共同本征态,球谐函数
2
在球坐标下, lˆ 2 可表示成
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ2 = − 2 [ l sin θ + 2 ] 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2 ∂ ∂ 1 ˆ2 lz =− + sin θ 2 (13) ∂θ sin θ sin θ ∂θ 2 由于[l , l z ] = 0 ,故 lˆ 2 的本征函数可以同时 也取为 l z 的本征态, 即 1 imϕ ψ m (ϕ ) = e , ( m = 0, ± 1, ± 2, ⋅ ⋅ ⋅) 2π (14) l zψ m (ϕ ) = m ψ m (ϕ )