量子力学辅导讲义

量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。

量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。

综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。

它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。

⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。

量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。

因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。

三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。

1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。

2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。

但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。

四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。

2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。

五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。

⼒学量可以不连续地取值，且不确定。

2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。

它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。

六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。

2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。

3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。

量子力学的通俗讲座一、粒子和波动我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。

和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。

但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。

1.1 粒子的图像在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。

质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。

为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。

要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。

但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。

有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。

在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。

以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。

按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。

这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2GMm F x（万有引力公式） 来代表牛顿力学。

前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。

需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。

第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。

它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。

3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。

以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。

第10章 微扰论到现在为止，我们利用薛定谔方程求出了六大体系的本征值和本征函数 1、一维自由粒子体系：2ˆˆ2x p H m=， x p ip x x ex ⋅=πψ21)(， 22xp E m= )(∞<<-∞x p ， 1=f2、一维无限深势阱222,0ˆ200a x x d H m dx x a ⎧∞<>⎪=-+⎨≤≤⎪⎩ ， x an a n πψsin 2=，22222n n E ma π= ,3,2,1=n ，1=f3、一维线性谐振子体系：2222021ˆ,22d H m x dx ωμ=-+ ，)()(2221x H e N x n x n n αψα-=，α=ω )21(+=n E n ， ,3,2,1,0=n ，1=f4、平面刚性转子2ˆˆ2z l H I=， ϕπϕim m e21)(=Φ， Im E m 222 =，,2,1,0±±=m ，5、空间刚性转子2ˆˆ2l H I=， ϕθϕθim n l lm lm e P N Y )(cos ),(=， I l l E l 2)1(2 +=，,2,1,0=l ， l m ±±±=,,2,1,0 ，12+=l f6、氢原子与类氢原子222ˆ2ze H r μ=-∇-， ),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =， 242222222n z e z e E n a μμ=-=- ， ,3,2,1=n ，1,,2,1,0-=n l ，l m ±±±=,,2,1,0 ，2n f =微扰论是从简单问题的精确解出发来求较复杂问题的近似解。

一般分为两大类：一类是体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况),ˆ,ˆ(ˆˆt p r H H=，这叫含时微扰，可以用来解释有关跃迁的问题；另一类是体系的哈密顿算符不是时间的显函数，)ˆ,ˆ(ˆˆp r H H=，这叫定态微扰，用来决定体系的定态能级和相应的波函数至所需要的精确度。

第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。

为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。

为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。

最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。

4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。

一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。

1、线性：①c b a =+；②a b λ=。

2、完备性：∑=nn n a a 。

3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。

定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。

1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。

量子力学讲义引言量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家发展而来，其中最著名的是德国物理学家温伯格（Max Born）。

量子力学革命性地改变了我们对自然界的认识，揭示了微观粒子行为的奇异性质。

本讲义将介绍量子力学的基本原理、数学描述和一些重要的应用。

1. 量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.1 波粒二象性量子力学揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特性。

根据德布罗意（Louis de Broglie）提出的波粒二象性理论，任何物质粒子都具有波动性，其波长与动量相关。

这意味着微观粒子不仅可以被看作是粒子，还可以被看作是波动。

1.2 玻尔原子模型玻尔（Niels Bohr）提出了一种描述原子结构的模型，即玻尔原子模型。

根据这个模型，原子由一个中心的原子核和围绕核旋转的电子组成。

电子只能在特定的能级轨道上运动，而且只能在能级之间跃迁，放出或吸收特定能量的光子。

1.3 不确定性原理海森堡（Werner Heisenberg）提出了著名的不确定性原理，它指出在测量微观粒子的位置和动量时，无法同时精确确定它们的值。

这是由于测量过程中的干扰和微观粒子的波粒二象性导致的。

不确定性原理限制了我们对微观世界的观测和测量。

2. 量子力学的数学描述量子力学使用数学语言来描述微观粒子的行为。

其中最基本的数学工具是波函数（wave function）和算符（operator）。

2.1 波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。

它是时间和空间的函数，可以用来计算粒子的概率分布。

波函数的平方模的积分表示了在特定位置找到粒子的概率。

2.2 算符算符是量子力学中表示物理量的数学对象。

它们作用于波函数上，可以得到物理量的期望值。

例如，位置算符可以得到粒子的位置期望值，动量算符可以得到粒子的动量期望值。

2.3 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。

它是一个偏微分方程，描述了波函数随时间变化的规律。

量子力学讲义8-1(最新版)量子力学11第八章自旋§8。

1电子自旋1、电子自旋存在的实验依据大量的实验事实证明电子具有自旋。

我们已经知道，与电子轨道角动量L相应地存在一个轨道磁矩µL=gLL,µL=gLLz,zgL≡e2µc量子力学11其中gL为电子的轨道回转磁比率。

由于轨道角动量的模量(大小)是量子化的L2=l(l+1)2,且具有空间量子化Lz=m,因此相应的轨道磁矩也具有模量µL以及空间µLZ的量子化，即µL=µL=gLl(l+1),l=0,1,2,。

,n1zµL=gLm,m=0,±1,±2,±3,。

,±l,m对同一l,可取fl=2l+1个值，即对同一个µL,它在空间可有2l+1种取向，而由量子力学11于l只能为零及正整数，fl总是奇数。

可以通过与轨道磁矩有关的实验现象来检验轨道角动量的量子化性质。

例如对氢原子基态(n=1,l=m=0),其L=0,µL=0,即无轨道角动量与轨道磁矩，但著名的施特恩-盖拉赫实验表明，原子具有不同于轨道磁矩的一个新的磁矩。

S—G实验如下图所示，由K源射出的处于S态(基态)的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场照射到底片上，结果发现射线束方向发生偏转，分裂成两条分立的线，这说明氢原子有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生偏转。

量子力学11zNBBS(8。

1)SternGerlach实量子力学11由于这是处于基态的氢原子，轨道角动量为零，基态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生，故是一种新的磁矩。

此外，由于实验上发现只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中只有两种取向，是空间量子化的，而且只取两个值。

若原子具有磁矩µ,它在z方向上的外磁场B中的势能为θ(3)为外磁场B与原子磁矩µ之间的夹角。

U=µB=µBzcoθ量子力学11而原子因磁矩µ的存在，在Z方向上受到的力为BzU=µcoθFz=(4)zz实验表明，这时分裂出来的两条谱线分别对应于coθ=+1和coθ=1两个值。

第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。

ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。

为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。

但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。

二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。

例如：动量算符ˆpi =-∇ ， 单位算符I 是线性算符。

2、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。

3、算符之和若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()AB A BC ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。

ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。

一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。

5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。

例如：算符x , ˆx pi x ∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。