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1.耦合谐振子的Hamilton量为工；）+ AXjX2 H= y-（+ P；）+ ^fna>2（x： +其中- '四=_谕白，P，=_滴白（2）OX A- dx2X|、Pl和名、P2分属于不同的自由度，设/t<〃Z©2,试求这耦合谐振子的能级。
解：如没有耦合项石内，就成为二维各向同性谐振子，Hamilton量为H0 = H l+H2=^-pf + m（o2xf + 土°；+?"1况¥；⑶用分离变量法即可化成两个独立的-•维谐振子问题，能级和本征函数为E* 如=（弓+%+1）上。
（4）% （心易）=%,（而肱（工2）⑸%,仇=°，1，2, ........其中％（》）为一维谐振子的能量本征函数。
对于耦合振子，可以用坐标变换的办法将问题化成两个独立的一维谐振子问题。
令也=±°""）' "=去（凶一）‘2）（6）即"士（…）（&）蚌+云=弁+犬 工内=!（井一乂） a 2 a 2 a 2 伊 --- + --- = -- + ---dxf dx^ dyf dy}因此，Hamilton 量可以表示成容易证明当苴*生+_ 2m[dy ； + oy ； )+ ：〃以2（），《+）'；） + 务2一£）(8)其中+ }网将 +!，g ；y ；=^2 + —,CO ； = CD 1 -—tn」(9)式（8）正是两个独立谐振子（频率田，例）能量算符之和。
因此，能量本征值和本征函数为=（可+?力使膈2(10)on W N、形（凹，v2）=w*（乂）w/ y2）MM=0,l,2,…2. 利用Hermite 多项式的递推关系式和求导公式，证明d"!2-TV W 〃 (x) = %「(x) -(2〃 + \)甲〃(X)+ J(〃 + l)(〃 + 2)“ 心 2 (x)]ax^2 1-J" = 2〃…T （X ）+j 号板，Md （X ）xV ?J (x )= —!- 2aJn(n - l )w"_2(X )4- (2〃 + l)"〃(x) + yj(n +1)(/14- 2)^/J +2(x)]AdU ）- J 旦（X ）々*）=（—1）%尸") = !知“(x)= N“eYS 号H,0)=5* 加")+ 2电再)]=|N*FH Z (g) + (S)=g N n+l后罚…乩其)+ N“_\总次(£) =UP NZf (S) + 也N/S2H.T (§)=，捋(X)+ 由"妇(x)_____ ___________生Wn （X ）=-切"（X ）+ 乂 岑宾… d& d&=- （X ）+ J 号X H（X ）+ N,K"nHi （&）=_（*）+（X ）］ + N“_i y^~e ' 2 2〃H,,_i （S ） =（x ）+（X ）］ + 2*乂（§）必）=5（如牛g 〃（§）d 号皿（，）一 2g, （§） + 2儿％t （Q = OH 〃（号）=（一1）腿必d<S n_I3.求在一维常数虚势一iV(V«E)中运动的粒子的波函数。
量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。
这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。
波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。
叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。
这个原理被称为叠加原理。
量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。
一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。
算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。
在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。
算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。
观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。
不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。
氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。
氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。
能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。
能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。
轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。
轨道角动量用量子数 l 来标记。
磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。
自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。
电子具有自旋角动量。
自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。
自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。
对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。
自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。
总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。
第二章 波函数和薛定谔方程§2-1 波函数（Wave Function ）的统计解释一、微观粒子的波粒二象性1．经典物理学对波粒二象性解释的失败 德布洛意的物质波假设的实质是：所有运动的实物粒子都既具有粒子的性质又表现出波动的性质，就是所谓的实物粒子的波粒两象性。
可惜的是，当时人们的思想还是深受经典物理学的影响，在其非此即彼思想的束缚下，曾经出现如下两种对波粒两象性的解释，它们均以失败而告终。
第一种观点认为：运动电子是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成的一个复波，它可以局限在电子大小的空间（152.810m -⨯）中。
计算表明，该波包的寿命大约只有261.610s -⨯，也就是说在非常短的时间内电子就变成非定域的了，此即所谓波包发散的困难。
这种观点只片面地强调了电子波动性，而忽略了它的粒子性。
另一种观点认为：运动电子的波动性对应于由大量电子分布于空间而形成的疏密波，它类似于空气振动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。
这种看法也与实验矛盾。
实际上，在电子的衍射实验中，不但让多个电子同时通过仪器可以得到衍射图案，即使让电子一个一个地通过仪器，只要实验的时间足够长，仍然可以在底片上得到电子的衍射图案。
这说明运动电子的波动性并不一定是在许多电子同时存在于空间中才会出现，更确切地说，单个电子就具有波动性。
2．波粒二象性的正确解释首先，让我们来回顾一下经典物理学是如何理解粒子的概念的：（1）经典粒子具有确定的大小、质量和电荷，在空间中占据某个确定的位置。
它们在与其它物体相互作用时，是整体地发生作用。
（2）经典粒子运动时，服从牛顿力学定律，具有一条确定的轨道。
（3）经典粒子的状态用相应物理量（能量、动量等）的值来表征，这些物理量可以连续取值。
其次，再来看看经典物理学中波动的概念：（1）经典的波动是可以在整个空间中传播的周期性扰动。
（2）表征经典波动的物理量是频率ν和波矢k。
运动的规律服从相应的波动方程，例如，电磁波遵循麦克斯韦方程。
第二章dinger oSchr &&方程§2.1dinger oSchr &&方程dinger oSchr &&方程是非相对论量子力学的基本方程，是公设，其正确性只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。
下面只是去理解它。
无外场的自由粒子波函数为())Et r p i Ce t r −⋅=rr hr ,ψ由于22p E m=v，这个()t r ,r ψ表达式显然满足下面形式的波动方程()()t r mptt r i ,2ˆ,2r r r hψψ=∂∂这就是自由微观粒子的dinger oSchr &&方程。
我们可以用一种简明的公设性程式，即“一次量子化”的方法直接“得到”这个方程：将经典物理学关于自由粒子能量的等式mp E 22r=，按以下对应替换为量子算符（2.1a ） 并将所得的量子算符方程作用到系统的状态波函数()t r ,rψ上即可。
对于有外场()r V r的情况，按经典物理学，系统的总能量为()r V mp E r r+=22。
为了转换到对应的量子系统，仍采用上述“一次量子化”的程式：（2.1b ） 再将所得到的算符方程作用到波函数()t r ,rψ上，就得到与此经典系统对应的量子系统的dinger oSchr &&方程：(2.2)这里用了方程()()()()t r r V t r r V ,,ˆˆr r r r ψψ=。
通常记()()Hr V mr V m p ˆ2222=+Δ−=+r h r ，称为这个量子系统的哈密顿量算符，简称为系统的哈密顿量。
于是非相对论量子系统dinger oSchr &&方程可写为(2.3) 其中()()r f r vv =0,ψ为给定的初始条件，如果需要再配以适当的边界条件，便是一个完整的非相对论量子力学问题。
这里应当指出三点： 第一， 这里“一次量子化”程式只是一种理解，不是严肃的逻辑论证。
第二章 一维势场中的粒子§2.2 方 势一、一维运动当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为：22[(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m ψψ-∇+=若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式，2212[()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222[()]()()2y d V y Y y E Y y m dy -+= 2232[()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x )x y z E E E E =++二、一维无限深势阱(0)()(0,)x a V x x x a ⎧<<⎪=⎨∞<>⎪⎩ 这是定态问题一维无限深势阱（0~a ）的求解解：（1）列出各势域的 S — 方程222[()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 202222220222()0202()0I I II II III III d m V E dx d mE dx d m V E dx ψψψψψψ⎧--=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩00E V <<0()V →∞，令22mEk =)(0>k ，022()mV E β=-方程可简化为：222222222000I I II II III III d dx d k dxd dxψβψψψψβψ⎧-=⎪⎪⎪⇒+=⎨⎪⎪-=⎪⎩(2). 写出通解 0222=+y a dx y d → sin cos sin()()()iax iax y A ax B ax A ax y Ae Be δ-⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩或束缚态自由态 0222=-y a dxy d → ax ax Be Ae y -+= 11330sin()0x xI II x x III A e B e x A kx x a A e B e x aββββψψδψ--⎧=+≤⎪=+<<⎨⎪=+≥⎩ （3）使用波函数标准条件（单值性一般在球坐标系中考虑）1) 有限性：当-∞→x ，I ψ有限性01=⇒B当∞→x ，III ψ有限性03=⇒A1x I A e βψ∴=3x II B e βψ-=当0V →∞，β→∞0=∴I ψ，0=III ψ则解为 00sin()00I II III x A kx x a x a ψψδψ⎧=≤⎪=+<<⎨⎪=≥⎩ 2) 连续性：000====x II x Iψψ， 0δ⇒=， sin II A kx ψ∴= 0II III x a x aψψ====，sin 0A ka ⇒= sin 0ka =⇒ka n π= n k aπ= 22mE k = 22222n n E ma π=， ,,21=n 能量是量子化的，不连续 00,sin 0n x x a n x A x a a ψπ⎧≤≥⎪=⎨<<⎪⎩ （4）由归一化条件定系数A2220sin 12aA n x A dx a a π=⋅=⎰A =00,0n x x a n x x a a ψπ⎧≤≥=<<标准形式是(0~a )2222,1,2,200,0n n nE n ma x x a n x x a a πψπ⎧==⎪⎪⎪⎧≤≥⎨⎪=⎪<<⎪⎩能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。
讨论00,0n x x a n x x a a ψπ⎧≤≥=<<其能量本征能为：22222n n E ma π=， ,,21=n 1、在无限深势阱中，粒子的能量是分立，不是连续的；1=n 时能量最小，叫基态能量（01≠E ）或零点能。
通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。
一般地说，束缚态所属的能级是分立的。
2、 与x 有n-1个节点。
除端点外,基态波函数无节点,第一激发态有一个节点, 第k 激发态有k 个节点.3、 函数在全空间连续,但微商n ψ'在x=0和a 点不连续。
对无限深势阱，dxd ψ是不连续的；对有限深势阱，dxd ψ是连续的。
如果区域的势为∞，则ψ必为0，今后不必重新解；三、宇称(1)空间反射：空间矢量反向的操作。
r r ⇒- (,)(,)r t r t ψψ⇒-(2)此时如果有： (,)(,)r t r t ψψ-=±(,)(,)r t r t ψψ-=称波函数具有正宇称（或偶宇称）；(,)(,)r t r t ψψ-=-称波函数具有负宇称(或奇宇称)；(3)如果在空间反射下，(,)(,)r t r t ψψ-≠±则波函数没有确定的宇称。
四、有限深对称方势阱0/2()0/2V x a V x x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩ a 为阱宽，V 0为势阱高度。
求束缚态(0<E <V 0)的能级所满足的方程答案：/2ktgka β=- 或 /2kctgka β= 其中22mEk =，022()mV E β=-五、方势垒的反射与透射束缚态：当x →±∞时，ψ→0——其能量是不连续的；自由态：当x →±∞时，ψ不趋于零——其能量是连续的。
典型势垒是方势垒，其定义如下：00()00,V x a V x x x a ⎧<<⎪=⎨<>⎪⎩ 现在的问题是具有一定能量E 的粒子沿x 轴正方向射向方势垒。
i) 考虑E <V 0的情况 解：(1)、三个区域的Schrödinger 方程可写为：21122220222233222002()0020d m E x dx d m V E x a dx d m E x a dx ψψψψψψ⎧+=<⎪⎪⎪--=≤≤⎨⎪⎪+=>⎪⎩因为E <V 0令22mEk =，02()V E β-=221122222222332000d k dx d dxd k dxψψψβψψψ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 解得123(1)0(2)0(3)ikx ikxx x ikx ikx e Re x Ae Bex a Se Ce x aββψψψ---⎧=+<⎪=+≤≤⎨⎪=+>⎩ ikx e ψ=入 、ikx Re ψ-=反、ikx Se ψ=透在III 区域没有反射波，所以须令C =0。
123ikx ikxx x ikx e Re Ae Be Seββψψψ--⎧=+⎪=+⎨⎪=⎩(2)利用波函数标准条件来定系数。
①. 波函数连续0:x = 12(0)(0)ψψ=1R A B ⇒+=+ (4):x a = 23()()a a ψψ=a a ika Ae Be Se ββ-⇒+= (5)②. 波函数导数连续0:x = 12(0)(0)ψψ''= (1)ik R A B β-=- (6):x a = 23()()a a ψψ''= a a ika ik Ae Be Se βββ--= (7) (4)、(6)两式相加减，分别得 1[(1)(1)]21[(1)(1)]2ik ik A R ik ik B R ββββ⎧=++-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩(8) (5)、(7)两式相加减，分别得[1]2[1]2ika a ika a S ik A e S ik B e ββββ-+⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ (9) (8)与(9)消去A 、B ，得 (1)(1)(1)(1)(1)(1)ika a ika aik ik ik R S e ik ik ik R S e ββββββββ-+⎧++-=+⎪⎪⎨⎪-++=-⎪⎩(10)消去R ，得 211/()11/ika a ika a Se ik Se ik ββββ-+--=-+解出，得 22/[1(/)]2ika ik Se k k a i aβββββ-=--sh ch (11)(10)式消去S ，得 21/11/1/11/a ik Rik e ik R ik βββββ--++=++- 22[1(/)][1(/)]2k a R k k a i a ββββββ-=--sh sh ch (3). 透射系数和反射系数①、透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数, 用T 表示；t ij T j = ②、反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数, 用F 表示； fi j F j =几率流密度矢量： **()2i j m ψψψψ=-∇-∇ **()2x i d d j e m dx dx ψψψψ=-- ikx e ψ=入，则入射波几率流密度i j x k e m = ikx Re ψ-=反，反射波几率流密度：2f x k j R e m=- 对透射波ikx Se ψ=透，所以透射波几率流密度：2t x k j S e m= 于是透射系数为:t ij T j =2S =222222224()4k k a k ββββ=++Sh 同理得反射系数：fi j F j =2R =2222222222()()4k a k a k βββββ+=++Sh Sh由以上二式显然有F +T =1，这是粒子数守恒的表现，ii) E > V 0时，不必重新去解 因02()E V k -'=，当E > V 0时，β是虚数，故可令： β=ik'，其中02()V E β-=。
这样把前面公式中的β换成ik'并注意到： sin ik'a = i sinh βa222222224()sin 4k k T k k k a k k '='''-+ 2211[1()sin ]4k k k a k k-''=+-' 2222222222()sin ()sin 4k k k a F k k k a k k ''-='''-+ 由上可知：F ≠0，即有部分反射，这是一种量子效应；当F =0，k a n π'=，即222022n E V ma π=+时，T =1，粒子产生完全透射，没有反射，这种现象称为共振透射，产生共振透射的能量称为共振能量。
隧穿效应 （tunnel effect ） ：粒子能穿透比它动能更高的势垒的现象。
3、讨论(1)、当βa >> 1时2221()24a aa e e sh a e ββββ--∴=≈ 透射系数则变为：2222222241()44a k T k e k ββββ≈++ 2241()44a k e kβββ=++ 当k ≈β（同一数量级）时，1a β>>，24a eβ>>于是： 2216()a T e k k βββ-≈+022(0a m V T e -=0020()16E V E T V -= 粗略估计，认为k ≈β（相当于E ≈V 0/2）,则T 0 = 4是一常数。
