高等量子力学讲义 林子敬 2014

高等量子力学连续谱在量子力学中有一些可观测量具有连续的本征值。

于是我们从从本征值方程出发，在连续谱的情况下它被写成：\hat \xi | \xi' \rangle = \xi' | \xi' \rangle \tag{1}其中\hat \xi是一个算符，而\xi' 只是一个数。

也就是说，右矢| \xi'\rangle是算符\hat \xi的一个本征右矢，其本征值为\xi'。

为了类比于分立谱，我们用：狄拉克的\delta函数替代克罗内科符号。

用对连续变量\xi'的积分代替对本征值\{ a_n \}的分立求和。

因此我们有：\langle a_m|a_n\rangle =\delta _{mn}\longrightarrow \langle\xi _p|\xi _q\rangle =\delta \left( \xi _p-\xi _q \right) \tag{2} \sum_n{\left| a_n \right> \left< a_n \right|}=I\longrightarrow\int{d\xi _q\left( \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|\right)}=I \tag{3} \left| \alpha \right> =\sum_n{\left| a_n\right>}\langle a_n|\alpha \rangle \longrightarrow \left| \alpha \right> =\int{d\xi _q\left| \xi _q \right> \langle \xi _q|\alpha \rangle} \tag{4} \sum_n{\left| \langle a_n|\alpha \rangle\right|}^2=1\longrightarrow \int{d\xi _q}\left| \langle \xi_q|\xi \rangle \right|^2=1 \tag{5} \langle \beta |\alpha \rangle =\sum_n{\langle \beta \left| a_n \right> \left< a_n\right|}\alpha \rangle \longrightarrow \langle \beta |\alpha\rangle =\int{d\xi _q\langle \beta \left| \xi _q \right> \left< \xi _q \right|}\alpha \rangle \tag{6} \langlea_m|\hat{A}|a_n\rangle =a_n\delta _{mn}\longrightarrow \langle \xi _q|\hat{A}|\xi _p\rangle =\xi _q\delta \left( \xi _q-\xi _p \right) \tag{7} 。

第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。

它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。

3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。

以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。

《高等量子力学》课程教学大纲《高等量子力学》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：高等量子力学英文名称：Advanced Quantum Mechanics二、课程代码及性质课程编码：课程性质：学科(大类)专业选修课/选修三、学时与学分总学时：64（理论学时：64学时）学分：4四、先修课程先修课程：无五、授课对象本课程面向物理学各专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。

本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。

其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。

第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。

在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。

课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。

七、教学重点与难点：课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点八、教学方法与手段：教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。

课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。

教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。

特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。

高等量子力学(第2版)高级量子力学是一门融合了近代物理中的理论和实验的学科，它提供了一个解释和预测原子和分子物理系统的统一框架。

本书《高等量子力学(第2版)》是一本深入浅出的教材，深入的述及了理论和实验的完整内容，让学生和研究生可以全面了解量子力学的概念和应用。

一、量子力学基础1. 历史背景本书介绍量子力学的理论基础和实验过程，追溯自plank常数的发现；对量子力学的提出有详细介绍，以及Heisenberg不确定性原则，Schrόdinger方程以及杂化原理等重要概念；2. 量子力学模型量子力学模型也会在本书中被提到。

将大自然的运动规律抽象为微观的量子力学形式，能够解释为何物质的特性和行为出现这样那样的现象。

3. 矩阵技术量子力学中矩阵技术的应用，会在本书中被详细描述。

矩阵技术提供了一个量子力学模型的更加精确和深入的理解方式，它们可以让我们更好的理解量子力学。

二、量子力学的实验1. 物理学实验物理学的实验有助于研究和探索量子力学的原理，比如量子隧道效应；拉曼散射、X射线衍射等实验，并可以通过测量分子能级的精确度来检验量子力学的模型正确性。

2. 抽象实验当量子力学的原理无法直接验证时，可以通过抽象实验进行测试推测，比如你仭-杨实验等，他们是用电子粒子进行可靠性实验的奠基人，为量子力学的研究现代化而做出重大贡献。

三、量子力学的应用1. 化学量子力学的应用同样可以在化学中拥有重要的作用，基于量子力学原理可以准确地预测和解释分子结构，特性以及相互作用；比如量子化学，电子学，以及其他电子结构学方面。

2. 核物理学量子力学也可以应用在核物理学中，其概念可以用于探索原子核内部的结构，以及解释核反应，并且可以提出抽象的模型来模拟量子力学在核物理学中的作用。

因此，《高等量子力学(第2版)》深入浅出的展现了量子力学的理论与实验，结合实验的科学，系统的历史背景，基本概念，矩阵技术及其实验应用，让我们对量子力学有初步了解，未来在这个科学领域也有较为充分的准备。

高等量子力学（2014）一、(1)，简要介绍量子力学中Schroedinger图像和Heisenberg图像里的波函数和力学量算符随时间的演化规律；(2)，利用Heisenberg图像中力学量随时间演化的方程ddt ¯A=1i[A,H]，证明对于一维波包，有d dt 2=1m(xp+px)上面公式里力学量算符顶端的横线“−”表示求平均值。

二、耦合谐振子的Hamilton量为ˆH=12m (ˆp21+ˆp22)+12mω2(x21+x22)+λx1x2,其中ˆp1=−i ∂∂x1,ˆp2=−i ∂∂x2。

x1,ˆp1和x2,ˆp2分别属于不同的自由度，设λ<mω2，利用自变量代换将此耦合谐振子的Hamilton量写成两个独立谐振子的Hamilton量之和，并求此耦合谐振子的精确能级。

三、两个自旋为12的定域非全同粒子（不考虑轨道运动）相互作用能为（取 =1）H=A⃗s1·⃗s2t=0时，粒子1自旋“向上”(s1z=12)，粒子2自旋“向下”(s2z=−12)。

求任意t>0时刻(1)，体系的能量本征值和本征态；(2)，体系所处的态χ(t)；(3)，粒子1自旋“向上”的概率；(4)，粒子1和粒子2自旋均“向上”的概率。

四、有质量的Klein-Gordon Lagrangian密度为L KG=12[˙ϕ2−(▽ϕ)2−m2ϕ2](1)，试由Euler-Lagrange方程导出其坐标空间的运动方程：¨ϕ−▽2ϕ+m2ϕ=0(2)，给出上述运动方程在动量空间的表达式。

五、质量为M的初态粒子衰变为质量为m1和m2的两末态粒子，在初态粒子的质心参考系中(1），若m1=m2，请利用M、m1和m2，给出粒子1的E1和p1的表达式；(2），若m1=m2，请利用M、m1和m2，给出粒子1的E1和p1的表示式。