利用状态空间法对一类非线性振动系统的数值方法研究_王建平

利用状态空间法对一类非线性振动系统的

数值方法研究

王建平1,2　刘宏昭2　原大宁2　苏志霄3

(1同济大学机械学院　上海,200092)(2西安理工大学机仪学院　西安,710048)

(3国电电力建设研究所　北京,100055)

摘　要　提出了一类非线性振动系统的隐式解,导出了相应的数值计算方法,并对该数值方法的收敛性、误差和稳定性进行了研究。与传统的非线性振动系统的数值求解方法如:Ho ubo lt法、Wilson-θ法、New mar k-β法以及考虑高阶余项的连续线性化模型及其T ay lo r变换法相比,该方法具有更高的求解精度和效率。将该数值方法应用到结晶器四偏心式振动机构这样复杂的弹性机构非线性振动系统的研究中,取得了良好的效果,说明该方法具有一定的工程实用价值。

关键词:非线性振动;数值方法;隐式解;状态空间法

中图分类号:T H113.5;O322

目前,对于线性振动系统的理论研究已经发展得相当完善,但是对于非线性振动系统,特别是强非线性系统和非线性高阶系统,解的形式究竟有几种,至今还没有完全搞清楚[1]。然而对于部分弱非线性振动系统,目前已经发展了多种有效的近似解法,如Lindstedt-Poincaré(L-P)法、平均法、多尺度法、KBM法(三级数法)、谐波平衡法等[2]。对于一般的强非线性系统,近年来国内外学者在这一方面也开展了一系列理论研究工作,取得了不少成果。如S E Jones用参数变换法研究了大参数Duffing方程的自由振动问题[3];T D Burto n等提出了一种改进的多尺度法,分析了大参数强非线性系统的自由振动和强迫振动[4];S Brav o Yuste提出一种带有Jaco bi 椭圆函数的谐波平衡法[5]。但是无论是弱非线性问题,还是强非线性问题,所有的近似解法都有各自的特点,都是针对某一类特定的振动问题提出的近似解法。由于求解非线性方程本身的复杂性,目前还没有一种适应各种不同类型方程的通用解析法,仅有极少数非线性振动方程可以求得其精确解[1]。

因此,对于非线性系统的研究通常是首先利用数值计算方法得到系统的数值解,再采用点映射、胞映射等方法进行全局分析[6]。目前常用的数值方法有Houbo lt法、Wilso n-θ法和New mark-β法等,这些方法首先是将非线性微分方程化为对每一时间步长Δt内的线性方程(或称为线性化方程),然后按中心差分法等递推算法及各种修正形式计算非线性方程的数值解[2]。由于基于系统线性化的各种算法本身存在着一定的模型误差,即忽略线性化后高阶余项带来的误差,而中心差分法等各种算法及其修正形式只能提高线性化方程的计算精度,不能从根本上改进或修正这类模型误差[6]。另外,针对局部非线性动力系统的分块Ho ubolt法、分块Wilso n-θ和分块New mark-U法及其周期解方法也存在着同样的问题[8,9]。本文从非线性振动系统的物理空间出发,导出了一类非线性振动系统改进的状态空间模型,基于此模型提出了该类非线性振动系统的隐式解析解,给出了相应的数值计算格式,并对数值计算方法的收敛性、误差和稳定性进行了分析。与现有的非线性振动系统数值计算方法如:Houbo lt法、Wilson-θ法和New mark-U法相比,本文提出的数值计算方法具有更高的计算精度和效率。

1　非线性振动方程状态空间模型

对于自然界广泛存在的非线性振动问题,可以用下面的二阶非线性方程进行描述

第17卷第2期2004年6月

振　动　工　程　学　报

Jo urnal o f Vibra tion Engineering

V ol.17No.2　

Jun.2004　

国家自然科学基金资助项目(编号:50075068)、陕西省教育厅科研基金资助项目(编号:O O JK181)、中国博士后基金资助项目(编号:200303321)

收稿日期:2002-06-24;修改稿收到日期:2003-11-27

DOI:10.16385/https://www.doczj.com/doc/a911052024.html, k i.i ssn.1004-4523.2004.02.023

M U +CU +KU =Q (1)式中　U ,U 和U 为n 维广义坐标列阵及其对时间t

的一阶、二阶导数;M =M (t ),C =C [U (t ),U (t ),t ],K =K [U (t ),U

(t ),t ]为n ×n 维方阵,分别表示系统的质量、阻尼和刚度矩阵,n 维列向量Q =Q

[U (t ),U

(t ),t ]为系统的外激励。对于式(1),其广义坐标数为n ,引入2n 阶状态变量列出Z

Z ={Z 1,Z 2,…,Z n ,Z n +1,…,Z 2n }T

(2)

式中　Z i =U i ,Z n +i =U

i ,(i =1,2,…,n )。于是Z ={U U }T ,Z ={U U }T 。如果系统的质量矩阵M 可逆,将M -1左乘式(1)并整理可得系统的状态方程

Z =FZ +GQ (3)式中　F =

0I -M -1K

-M -1C

,G =

M

-1

,I 为n

阶单位阵,0为n 阶零阵。显然F =F [U (t ),U

(t ),t ],G =G [U (t ),U

(t ),t ]。2　数值计算方法

在式(3)中,如果F ,G ,Q 在[0,T ]上连续可积,

设t ∈[0,T ],可得在[0,T ]上式(3)的隐式解为

Z (t )=e ∫t 0F (t )d t Z (0)+

∫

t

e ∫t

f F (t )d t

G (f )Q (f )d f (4)

设Δt 为一足够小的时间步长,[t 0,T ]区间上的时间结点表示为t n +1=t 0+(n +1)Δt ,根据式(4)有

Z (t n +1)=e ∫t

n +1t n F (t )d t

Z (t n )+

∫

t

n +1

t

n

e

∫

t n +1

t n

F (t )d t

G (f )Q (f )d f

(5)

根据式(5),可以构造出多种数值计算格式,如按照左矩形公式计算上式为

Z n +

1

=e F (Z n ,t n )Δt

Z n + e F (Z n

,t n

)Δt

G (Z n ,t n )Q (Z n ,t n )Δt

(6)

按照梯形公式计算为

Z n +

1

=e

[F (Z n

,t n

)+F (Z

n +1,t n +1

)]Δt /2

Z n +

　[e F (Z n ,t n

)Δt

G (Z n ,t n )Q (Z n ,t n )+

　e

F (Z

n +1,t

n +1

)Δt

G (Z n +1,t n +1)Q (Z n +1,t n +1)]Δt /2

(7)

由式(7)知,梯形法给出的是一个关于Z n +1的隐式方程,需要借助求解非线性方程的其它方法如左矩形公式首先求其初值,例如零激励条件下利用梯=e F (t n ,Z n )Δt

Z n

1

=e

[F (t n

,Z n

)+F (t

n +1

,Z m

n +1

)]Δt /2

Z n

(m =0,1,2,…)

(8)

3　数值方法收敛性、误差和稳定性

在状态空间中,对式(3)的求解,实际上就是对如下常微分方程的数值求解

Z

=S (Z ,t ), Z (t 0)=Z 0(9)

式中　S (Z ,t )=F (Z ,t )Z +G (Z ,t )Q (Z ,t ),为t 和Z 的已知函数,Z 0为给定的初值。若S (Z ,t )在区域t 0≤t ≤T 、‖Z ‖<∞内连续;并且对Z 满足Lipschitz 条件,即存在常数L ,对所有t ∈[t 0,T ]和Z 1,Z 2有

‖S (Z 1,t )-S (Z 2,t )‖≤L ‖Z 1-Z 2‖(10) 由常微分方程理论知,在上述假设下式(10)在区间[t 0,T ]上有唯一的解Z (t ),并且Z (t )是连续可微的。当Q (Z ,t )=0时,对应为零激励的情况。此时S (Z ,t )=F (Z ,t )Z ,假定F (Z ,t )对Z 和t 均满足Lipschitz 条件,Lipschitz 常数分别为K ,L t ,S k

(Z ,t )对Z 也满足Lipschitz 条件,Lipschitz 常数为L k 。根据式(5)和式(7)有

Z (t n +1)=e ∫t

n +

1t n

F (t ,Z (t ))d t

Z (t n )

(11)Z n +1=e [F (t n ,Z n )+F (t n +1,Z n +

1

)]Δt /2

Z n

(12)

在式(11)中,若按梯形法计算右端的积分项,并设R ′

n

为相应的局部截断误差,则有Z (t n +1)=e

[F (t n

,Z (t n

))+F (t

n +1

,Z (t

n +1

))]Δt /2+R ′

n

Z (t n )=

e [F (t n ,Z (t n ))+F (t n +1,Z (t n +1))]Δt /2Z (t n )+R n (13)

式中

R n =(e R ′

n -I )e [F (t n ,Z (t n

))+F (t

n +

1

,Z (t

n +1

))]Δt /2

Z (t n )(14)

R ′n =

∫t n +1t

n

F (t ,Z (t ))d t -[F (t n ,Z (t n ))+F (t n +1,Z (t n +1))]Δt /2

(15)于是得到R ′

n 的上界为‖R ′n ‖≤R =Δt 2

(L t +K M )/2

(16)

式中　M =max t 0

≤t

‖F (t ,Z (t ))‖。从而根据式(14)得到局部截断误差R n 的上界为

‖R n ‖≤(e Δt 2(L t

+K M )/2

-1)

‖e

[F (t n

,Z (t n

))+F (t

n +1

,Z (t n +1

))]Δt /2

Z (t n )‖ (17)

式(13)减去式(12)得整体截断误差εn +1=εn +

∑

∞

k =1

1k !

[S k (t n ,Z (t n ))-S k

(t n ,Z n )+S k (t n +1,Z (t n +1))-S k (t n +1,Z n +1)]Δt k /2k

+R n

(18)

当Δt 足够小时,1-ΔtL >0,于是由式(18)得

‖εn +1‖≤(1+ΔtA )‖εn ‖+

R n

1-ΔtL

(19)

239

第2期王建平等:利用状态空间法对一类非线性振动系统的数值方法研究

式中　A =2L

1-ΔtL ,L =

∑∞

k =1

Δt k -1L k

2k k !。于是‖εn ‖≤e A (T -t 0

)‖ε0‖+e A (T -t 0)-14L

。

(L t -K )M Δt +1

4

(L t -K )2M 2Δt 3+

…

‖e

[F (t n

,Z (t n

))+F (t

n +1

,Z (t

n +1

))]Δt /2

Z (t n )‖(20)

式中　T =n Δt 。式(20)表明当Δt →0时,‖X n ‖→

‖X 0‖=0,数值计算结果逼近于理论解Z (t ),因此按梯形公式计算得到的数值解Z n 在区间[t 0,T ]上收敛于式(3)的真解Z (t )。

关于该数值方法稳定性,在此仅考虑初值的误差,而不考虑计算中的误差。设Z 01和Z 02为任意两个初值,按照式(12)计算得到的数值解分别为Z n 1和Z n 2,于是

Z n 1+1=e

[F (t n

,Z

n 1

)+F (t

n +1

,Z n 1+1)]Δt /2Z n 1(21)Z n 2+1=e [F (t n ,Z n 2)+F (t n +

1

,Z

n 2+1

)]Δt /2

Z n 2

(22)

设c n =Z n 2-Z n 1,则

‖c n +1‖≤(1+Δt A )‖c n ‖≤(1+Δt A )n +1‖c 0‖

(23)从而

‖c n ‖≤e A (T -t 0)‖c 0‖

(24)

由此可见,当按梯形公式进行数值计算时,数值解连续地依赖于初值。因此当初值误差足够小时,以后各步计算结果的误差也会充分小。

4　计算实例

4.1　非线性单摆

非线性单摆的振动方程为

θ +k 20sin θ=0

(25)

式中　θ为单摆的摆角,k

2

=g /l ,g 为重力加速度,l 为摆长。其状态方程为

θ θ

=0

1

-k 20

sin θθ

0θ

θ (26)

取参数及初始条件为g =9.8m /s 2

,l =1,

θ

(0)=0,θ (0)=0.3,计算时间为10s 。单摆振动的理论最大摆角可以由能量守恒原理得到θ

max =0.09586819289916435。表1列出的两种时间步长下采用H o ubolt 法、

w ilson -θ法、New mark -U 法、瞬时线性递推算法[6]

、Taylo r 变换法以及按本文方法计算得到的非线性单摆最大摆角[7]

、计算误差和计算时间。由表1看

到,瞬时线性递推算法和Taylo r 变换法较传统的

Houbo lt 法、Wilso n-θ法和New mark-U 法在计算精

度方面有较大的提高,但计算效率提高不多。本文的方法与计算精度最高的瞬时线性递推算法相比,精度提高约25%。在时间步长Δt =0.001s 时,计算时间只是Houbolt 法的1/2;是Tay lor 变换法的1/4;是瞬时线性递推算法的1/8。由此可见,采用本文介绍的非线性振动方程状态空间模型及其数值计算方法,显著地提高了计算精度,且明显地缩短了计算时间,极大地提高了计算效率。

表1　非线性单摆最大摆角计算结果

时间步长Δt /s 0.010.001Houbolt 法

θmax 误差/%机时0.09592217140.05630.600.09586877630.00060947.84W ilson-θ法

θmax 误差/%机时0.09592651970.06081.320.09586861870.000444104.96N ew ma rk -U 法

θmax 误差/%机时0.09586799540.00021.270.09586819120.000002103.92瞬时线性递推算法

θmax 误差/%机时0.09586812180.00007410.380.09586819200.00000089171.80Tay lo r 变换法

θmax 误差/%机时0.09586811700.0000791.810.09586819200.0000009585.46本文

方法

θmax 误差/%机时

0.09586814050.00005460.83

0.09586819220.0000006821.40

4.2　工程应用实例

以在现代连铸机中广泛应用的结晶器四偏心式振动机构为例,运用上述方法对其弹性振动特性进行分析,研究该机构的动态位移、应力、固有频率等参数随设备运转速度和结构参数的变化规律,以便合理地设计该机构和确定设备的运行条件。

首先建立机构的动力学分析模型,该机构是由多个构件组成的一个复杂机械系统,其运转过程中受到电机驱动力、惯性力、方向随结晶器运转方向而改变的拉坯力、重力、平衡弹簧的非线性弹性力的作用。另外,导向板弹簧由于尺寸较长还会产生大位移、小变形引起的几何非线性。在这些力系和因数的影响下,各构件在运动过程中将产生复杂弹性振动。从而使振动台上结晶器中心点仿弧运动产生误差、各弹性构件产生附加的动应力。

240

振　动　工　程　学　报

第17卷

图1　子结构和广义坐标(mm )

对该弹性机械系统建立了如图1所示的力学模型[10]

。按照振动台机构的组成,将其划分为六个子结构:外弧传动及偏心轴1,振动台及结晶器2,内弧传动及偏心轴3,外弧连杆4、内弧连杆5、导向板弹簧6。根据机构各个构件之间的连接关系,选取13个广义坐标(U 1～U 13)对机构的动力学特性进行分析。U 1,U 13分别表示两个传动轴的弹性转角;U 2、U 3分别为外弧连杆4的D 和E 节点的弹性转角;U 11、U 12分别为内弧连杆5的H 和F 节点的弹性转角;U 4、U 5与U 6分别表示振动台质心的移动和转动;U 7为导向板弹簧G 点处的弹性转角;U 8,U 9和U 10分别为导向板弹簧中间节点的弹性位移和转角。

分别建立这六个子结构的运动微分方程,根据这些子结构之间的联接关系,写出广义坐标之间的协调关系,应用有限元理论的系统方程装配方法,将该机构的弹性振动方程装配为具有13个广义坐标的振动微分方程

MU +CU +KU =F +Q (27)

式中　M ,C 和K 分别表示该系统的质量、阻尼和刚度矩阵;F 和Q 分别为系统的刚体惯性力列阵和非线性项列阵,广义坐标列阵U ={U 1　U 2　…　U 13}T 。

表2　曲柄长度(mm )

曲柄长度组号1234曲柄B H (内) 2.445 2.853 3.260 4.075曲柄AD (外)

3.366

3.928

4.488

5.610

方程(27)是一个耦合的变系数二阶非线性微分方程组。应用本文算法对表2所列的4组不同曲柄长

度条件下的机构动力学性能进行仿真。得到了该机

构在多种结构参数和运转条件下,在一个运动周期中各个广义坐标方向的弹性振动曲线,图2给出了结晶器中心点y 方向弹性线位移和转角位移随曲柄转角的变化曲线。可以看出,转角位移振动曲线比较平滑,而y 方向即垂直方向的振动曲线,在以偏心轴转角θ变化为基本周期的曲线上还叠加有小振幅的高频振动。产生该现象的原因是沿y 轴方向由符号函数决定正负的铸坯摩擦力时域波形为方波,而方波含有幅值依次衰减的高频分量,从而在y 方向位移曲线上激励出了微幅高频分量,该高频微幅振动是有利于脱模的。

图2　部分计算结果

5　结　论

本文从非线性振动系统的物理空间出发,导出了一类非线性振动系统改进的状态空间模型,基于此模型提出了非线性振动系统的隐式解析解,给出了相应的数值计算格式,并对数值方法的收敛性、误差和稳定性进行了分析。数值计算实例表明,本文提出的一类非线性振动系统数值计算方法是切实可行的。通过与传统的非线性数值计算方法:Houbo lt 法、Wilso n-θ法和New mark-U 法的对比研究,说明

本文方法无论是计算精度还是计算效率都有显著的

241

第2期王建平等:利用状态空间法对一类非线性振动系统的数值方法研究

提高。文中将该方法应用到结晶器四偏心式振动机构这样复杂的弹性机构非线性振动系统的研究中,取得了良好的效果,说明该方法具有一定的工程实用价值。

参　考　文　献

1　周纪卿,朱因远.非线性振动.西安:西安交通大学出版社,1998

2　奈弗A H,穆克D T著.非线性振动(上、下册).北京:高等教育出版社,1990

3　J o nes S E.Rema rks o n the pertur ba tio n process fo r cer tain conserv atio n sy stems.Int.J.N onl.M ech, 1978;13(2):125—128

4　Burto n T D,Rah man Z.O n th e multi-scale ana ly sis o f str ong ly nonlinear fo rce o scillato rs.Int.J.No nl.M ech, 1986;21(2):135—146

5　Bravo Yuste https://www.doczj.com/doc/a911052024.html,ments on the m eth od o f ha rmo nic balance in w hich Jacobi elliptic functio ns a re use.J.S.

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6　Zheng Zhao cha ng,Su Zhixiao,Price W G,e t al.A new Appro ach fo r the numerical integ ration of no n-Linea r dy na mic systems co nsidering remainder.4th Inter na tional ICSC Sympo sia o n So sf t Co mputing and Intellig ent systems fo r industry J une26-29,2001, Paisley,Scotland,U.K

7　Zhe ng Zha ochang,Su Zhixiao,Ray P S Ha n,e t al.A new a ppro ach for the numerica l integr atio n of no nlinea r dy na mic sy stems.ASM E Dynamics,Acoustics and Simula tio n,2000;108:1—7

8　李　立,许庆余,郑铁生.非线性转子-轴承系统瞬态响应求解的分块直接积分法.振动工程学报,1996;9(1):64—68

9　张家忠,许庆余,郑铁生.具有局部非线性动力系统周期解及稳定性方法.力学学报,1998;30(5):572—578

10刘宏昭,王建平,原大宁,等.连铸机振动系统动态性能分析及其谐振现象研究.机械工程学报,2002;38(3):79—82

Numerical Method Research for a Class of Nonlinear Oscillation Systems

Using the State-Space Approach

Wang J ianping1,2　Liu Hongzhao2　Yuan Daning2　Su Zhix iao3

(1Depar tment o f M echa nical Enginee ring,To ng ji U niv ersity　Shanghai,200092)

(2Depa rtme nt o f M echanica l Engineering,Xi’a n U niv er sity o f Technolog y　Xi’a n,710048)

(3SP Elec tric Pow er Co nstructio n Resea rch Institute　Beijing,100055)

Abstract　A sta te space mo del fo r a class o f non-linear oscilla tio n sy stems is put for wa rd.T he model is an im pr ov ement on the t raditio na l no n-linea r o scillatio n equa tio ns in state space.An implicit analytical so lutio n fo r the systems is derived;also a numerical metho d is pr ese nted based o n the a nalysis of the st ruc ture pr oper ty of the mo del a nd the implicit ana ly tical so lutio n. Calculatio n pr ecisio ns ar e g reatly improv ed using ite rativ e metho d.the co nv erg ency,e rro r and stability o f the numerical method a re studied.Co mpa red with the traditio nal numerical me tho ds such as Ho ubo lt me tho d,wilso n-θme tho d,New mar k-U method and the continuous linea ri zatio n mo del a nd its numerical calculatio n metho d by using T aylo r tra nsfo rmation,the presented numerical method has higher ca lcula tio n pr ecision and efficiency.Finally as a multi-deg rees o f fr eedo m system ex ample,the dy na mic equatio n of an o scillatio n mechanism with4-eccentric ax es fo r continuo us casting machine is a na ly zed. Key words:non-linear v ibr atio n;numerical method;implicit analy tical solutio n;state-space appr oach

第一作者　王建平　男,博士,1970年生。电话:(021)-65984185;E-mail:wanga oao@https://www.doczj.com/doc/a911052024.html,

242振　动　工　程　学　报第17卷

状态空间分析法的应用与特点

状态空间分析法的主要特点及其应用 课程：现代控制工程 教师： 学生： 班级：机电研班 学号：

状态空间分析法的主要特点及其应用 机电研班 摘要：现代控制理论是建立在状态空间法基础上的一种控制理论，是自动控制理论的一个主要组成部分。在现代控制理论中，对控制系统的分析和设计主要是通过对系统的状态变量的描述来进行的，基本的方法是时域分析方法。现代控制理论比经典控制理论所能处理的控制问题要广泛得多，包括线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统，单变量系统和多变量系统。现代控制理论还为设计和构造具有指定的性能指标的最优控制系统提供了可能性。 本文通过分析比较经典控制理论在多输入多输出方面存在的不足，阐述了现代控制理论中的一种方法——状态空间分析法。本文以线性系统的状态空间表达式为基础对状态空间分析法的特点和应用方面作了一些阐述和论证，并结合现实生活中的一些实际工程问题的分析，论证了此种方法的实用性和先进性。 关键词：现代控制；状态空间分析法；汽轮机；调节系统；动态分析 1引言 经典控制理论主要以传递函数为基础，采用复域分析方法，由此建立起来的频率特性和根轨迹等图解解析设计法，对于单输入——单输出系统极为有效，至今仍在广泛成功地使用。但传递函数只能描述线性定常系统的外部特征，并不能反映其全部内部变量变化情况，且忽略了初始条件的影响，其控制系统的设计建立在试探的基础之上，通常得不到最优控制。复域分析法对于控制过程来说是间接的。 现代控制理论由于可利用数字计算机进行分析设计和实时控制，因此可处理时变、非线性、多输入——多输出系统的问题。现代控制理论主要以状态空间法为基础，采用时域分析方法，对于控制过程来说是直接的。它一方面能使设计者针对给定的性能指标设计出最优控制系统；另一方面还可以用更一般的输入函数代替特殊的所谓“典型输入函数”来实现最优控制系统设计。随着控制系统的高性能发展，最优控制、最佳滤波、系统辨识，自适应控制等理论都是这一领域研究的主要课题。 在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成的一阶微分方程组来描述的。已能反映系统的全部独立变量的变化，从而能同时确定系统的全部运动状态，而且可以方便地处理初始条件。

状态空间法教案

一、问题引入 结合一些典型问题（分油问题）提出问题： 我们是怎样解决这些问题的？在人工智能领域又可以通过怎样的方法去解决呢？（状态空间法） 2、引导学生思考问题，并得出结论。 二、讲授新课 （一）基础知识部分 1、什么是状态空间法？ 许多问题求解方法是采用试探搜索方法的。也就是说，这些方法是通过在某个可能的解空间内寻找一个解来求解问题的。这种基于解答空间的问题表示和求解方法就是状态空间法，它是以状态和算符(operator)为基础来表示和求解问题的。 2、状态空间法三要点 1) 状态（state）：表示问题解法中每一步问题状况的数据结构； 2) 算符（operator）：把问题从一种状态变换为另一种状态的手段； 3) 状态空间方法：基于解答空间的问题表示和求解方法，它是以状态和算符为基础来表示和求解问题的。

由上可知，对一个问题的状态描述，必须确定3件事： 1) 该状态描述方式，特别是初始状态描述； 2) 操作符集合及其对状态描述的作用； 3) 目标状态描述的特性。 问题的状态空间可用一个三元序组来表示： S：问题的全部初始状态的集合 F：操作的集合 G：目标状态的集合 4、用状态空间表示问题的步骤： 1）定义状态的描述形式 2）用所定义的状态描述形式把问题所有可能的状态都表示出来，并确定初始状态和目标状态的集合描述 3）定义一组算符，使得利用这些算符可以把问题由一个状态转为另一个状态。 4）利用状态空间图表示求解过程。 （二）实践应用部分

【分油问题】有A、B、C三个不带刻度的瓶子，分别能装8kg, 5kg和3kg油。如果A瓶装满油，B和C是空瓶，怎样操作三个瓶，使A中的油平分两份？(假设分油过程中不耗油) 解：第一步：定义问题状态的描述形式： 设Sk=(b,c)表示B瓶和C瓶中的油量的状态。 其中： b表示B瓶中的油量。 c表示C瓶中的油量。 初始状态集：S={(0,0)} 目标状态集：G={(4,0)} 第二步：定义操作符： 操作：把瓶子倒满油，或把瓶子的油倒空。 f1：从A瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f2：从C瓶往B瓶倒油，把B瓶倒满。 f3：从A瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。 f4：从B瓶往C瓶倒油，把C瓶倒满。

第三章 知识的状态空间表示法

第三章知识的状态空间表示法 1 课前思考： 人类的思维过程，可以看作是一个搜索的过程。 某个方案所用的步骤是否最少？也就是说它是最优的吗？如果不是，如何才能找到最优的方案？在计算机上又如何实现这样的搜索？这些问题实际上就是本章我们要介绍的搜索问题。 2 学习目标： 掌握回溯搜索算法、深度优先搜索算法、宽度优先搜索算法和A搜索算法，对典型问题，掌握启发式函数的定义方法。 3 学习指南： 了解算法的每一个过程和细节问题，掌握一些重要的定理和结论，在有条件的情况下，程序实现每一个算法，求解一些典型的问题。 4 难重点： 回溯搜索算法、算法及其性质、改进的Ａ＊算法。 5 知识点： 本章所要的讨论的问题如下： 有哪些常用的搜索算法。 问题有解时能否找到解。 找到的解是最佳的吗？ 什么情况下可以找到最佳解？ 求解的效率如何。 3.1 状态空间表示知识 一、状态空间表示知识要点 1．状态 状态（State）用于描述叙述性知识的一组变量或数组，也可以说成是描述问题求解过程中任意时刻的数据结构。通常表示成： Q={q1，q2，……，qn} 当给每一个分量以确定的值时，就得到一个具体的状态，每一个状态都是一个结点（节点）。

实际上任何一种类型的数据结构都可以用来描述状态，只要它有利于问题求解，就可以选用。 2．操作（规则或算符） 操作（Operator）是把问题从一种状态变成为另一种状态的手段。当对一个问题状态使用某个可用操作时，它将引起该状态中某一些分量发生变化，从而使问题由一个具体状态变成另一个具体状态。操作可以是一个机械步骤、一个运算、一条规则或一个过程。操作可理解为状态集合上的一个函数，它描述了状态之间的关系。通常可表示为： F={ f1 , f2,……… fm} 3．状态空间 状态空间（State Space）是由问题的全部及一切可用算符（操作）所构成的集合称为问题的状态空间。用三元组表示为： （{Qs}，{F}，{Qg}） Qs：初始状态，Qg：目标状态，F：操作（或规则）。 4．状态空间（转换）图 状态空间也可以用一个赋值的有向图来表示，该有向图称为状态空间图，在状态空间图中包含了操作和状态之间的转换关系，节点表示问题的状态，有向边表示操作。 二、状态图搜索 1.搜索方式 用计算机来实现状态图的搜索，有两种最基本的方式：树式搜索和线式搜索。 2.搜索策略 大体可分为盲目搜索和启发式（heuristic）搜索两大类。 搜索空间示意图 例3.1 钱币翻转问题 设有三枚硬币，其初始状态为（反，正，反），允许每次翻转一个硬币（只翻一个硬币，必须翻一个硬币）。必须连翻三次。问是否可以达到目标状态（正，正，正）或（反，反，反）。问题求解过程如下： 用数组表示的话，显然每一硬币需占一维空间，则用三维数组状态变量表示这个知识： Q=（q1 , q2 , q3） 取q=0 表示钱币的正面q=1 表示钱币的反面 构成的问题状态空间显然为： Q0=（0，0，0），Q1=（0，0，1），Q2=（0，1，0），Q3=（0，1，1）

状态空间分析法

第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x & (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：

i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ ==& iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1 t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )ex p()ex p(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ΛΛ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述

状态空间分析法的特点及其应用

状态空间法分析及其应用的特点 摘要 基于为寻求便于分析系统的性能的相应状态变量以及探究状态空间变量线性变换对系统性能的影响，来阐述状态空间分析法的特点。通过应用状态空间法到绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构进行数值模拟分析中来进一步阐述其特点，将结构控制理论中的结构状态空间法应用到该复合支座隔震结构的数值模拟分析中。建立了普通框架、安装叠层橡胶支座和安装绞线一叠层橡胶复合支座框架的结构状态方程，应用MATLAB/SIMULINK工具箱建立结构仿真模型，得出不同条件下框架结构的时程反应曲线。通过对比分析可以看出绞线一叠层橡胶复合支座能很好地改变结构的隔震效果，应用状态空间法进行绞线一叠层橡胶复合支座隔震结构的数值模拟分析简单准确。 关键词：系统、传递函数、线性变换、状态空间变量

一、引言 状态空间分析从实质上说并不是什么新颖的东西，其关键思想起源予19世纪到拉格朗日、哈密顿等人在研究经典力学时提出的广义坐标与变分法。当然，由高斯等人奠定的古典概率、估计理论以及线性代数等也具有同样的重要性。上世纪40年代以来，布利斯、庞德里亚金和别尔曼关于极大值原理，卡尔曼、布西与巴丁等人提出的卡尔曼滤波理论，以及许许多多的学者完成的并不具有里程碑意义的研究成果，积累起来却对算法及分析结果产生了决定性意义的贡献。这些便是状态空间方法发展的历史概况。状态空间分析是对线性代数、微分方程、数值方法、变分法、随机过程以及控制理论等应用数学各学科的综台。对动态系统的性能分析，特别是对扰动的响应、稳定性的特性、估计与误差分析以及对控制律的设计及性能评估，这些便构成状态空间分析的内容。这主要表现在利用向量、矩阵等一整套数学符合，把大量资料加以整理与综合，形成了观念上统一的体系——60年代中期之后出现了现代控制理论。 状态空间分析随着动力学与控制问题维数的增加(其中包括坐标、敏感器、执行机构以及其它装置的数量)而越发显得重要。另一方面亦由于计算机软件的不断完善，特别在可靠性及用户接口方面的改善与进展，使得计算工作比以前任何时候都易于进行，使状态空间分析越发显得有生命力。它具有的特性使得在设计控制系统时，不在只局限于输入量、输出量和误差量，为提高系统性能提供了有力的工具，加之可以利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性系统、时变系统、多输入—多输出系统以及随机过程等。

状态空间描述的概念

1.1状态空间描述的概念 系统一般可用常微分方程在时域内描述，对复杂系统要求解高阶微分方程，这是相当困难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统，得到联系输入－输出关系的传递函数，基于传递函数设计单输入－单输出系统极为有效，可从传递函数的零点、极点分布得出系统定性特性，并已建立起一整套图解分析设计法，至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述，它不能描述处于系统内部的运动变量；且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。由于六十年代以来，控制工程向复杂化、高性能方向发展，所需利用的信息不局限于输入量、输出量、误差等，还需要利用系统内部的状态变化规律，加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制，因而可能处理复杂的时变、非线性、多输入－多输出系统的问题，但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法－状态空间分析法

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要保证从信号抽样后的离散时间信号无失真地恢复原始时间连续信号，必须满足： （1）信号是频带受限的； （2）采样率至少是信号最高频率的两倍 那么理想采样频谱中，基带频谱以及各次谐波调制频谱彼此是不重迭的，用一个带宽为 s/2的理想低通滤波器，可以将各次谐波调制频谱滤除，保留不失真的基带频谱，从而不失真地还原出原来的连续信

号 1.PID的参数对系统性能的影响 （1）比例系数K P对系统性能的影响增大比例系数K P一般将加快系统的响应，在有静差的情况下有利于减小静差。但过大的比例系数会使系统有较大的超 调，并产生振荡，使稳定性变坏。 （2）积分时间T I对系统性能的影响：增大积分时间T I有利于减小超调，减小 振荡，使系统更加稳定，但系统静差的消除将随之减慢。 （3）微分时间T D对系统性能的影响：增大微分时间T D，也有利于加快系统响应，使超调量减小，稳定性增加，但系统对扰动的抑制能力减弱。

状态空间分解法计算公式分析

同批工件间同时到达的耦合关系？ 工件本来是一个个到达，如C-C+1-C+2，但考虑为批次同时到达，C 可以直接到C+2; 基于更新过程的关键更新定理，将小车与B2、B4间的耦合关系用节点间的批量到达速率、批量离开速率变化替代？B2的输出与B4的输入之间相互依赖 节点二： 两次小车装载之间通常会有多个工件到达B2，在小车两次到达的间隔中B2内的工件数量曲线是单调非减的。因此，实际上小车回到B2时B2拥有的工件数量的期望（锯齿的上尖点）远远比稳态后（稳态后不变，中间水平线）计算的期望要大 节点四： 实际上小车来到B4时B4拥有的工件数量的期望远远比稳态后计算的期望要小，当小车容量C 越大、小车速度越慢（保持当量运载能力不变）的时候这个偏差越明显，这样将提高小车由于阻塞停留在B4处的计算概率（实际堵塞概率比计算值要小），降低前环节的处理能力。 平均在制品数量： ()()()() ()121112223331122334444444441112123 ,,,01 01 11 11C 4,,201 1 WIP=; N N C S w b S w b S w b b w b w b w N i S w b S w b w w P w P w P w P w P N +======+===?+?+?+?+?∑∑∑∑∑∑∑ ∑∑ 第4项改为乘以W4;第五项(节点四在制品数期望)就是小车阻塞的概率乘以节点4的个数 （N4+1） 状态之间的转换速率：存在概率路径，则用概率路径乘以速率，不存在概率路径，则直接用速率。实际上概率路径之和一定=1 1 i b =-0 i b =1 i b =2 i b = B2 B4 节点3：2C+2个状态对应2C+2个方程 右边第一项：上标为W3，漏了V ，第二项是只可能是从小车上只有一个变为空车返回状态

答案控制系统的状态空间描述习题解答

第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答 2.5 系统的结构如图P2.5所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。 图P2.5系统结构图 解 图P2.5给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个 积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。 着眼于求和点①、②、③，则有 ①：2111x x x +=α ②： 3222x x x +=α ③：u x x +=333α 输出y 为1y x du =+，得 11 12223331000100 1x a x x a x u x a x ???????? ????????=+???????????????????????? []123100x y x du x ?? ??=+?? ???? 2.8 已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++ ；(2) u u y y -=+ 32； (3) u u y y y y 75532+=+++ 。试列写出它们的状态空间表达式。

(1) 解 选择状态变量1y x =，2y x =，3y x =，则有： 1223 31231 543x x x x x x x x u y x =??=?? =---+??=? 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ????????????????=+????????????????---???????? ????=?????? (2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件 下取拉氏变换得： 3222332()3()()() 11()1223()232 s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s +=---== ++ 由公式(2.14)、(2.15)可直接求得系统状态空间表达式为 1122330100001031002x x x x u x x ?? ????????????????=+? ?????????????????????-?? ?? 123110 2 2x y x x ?????? =- ?????????? (3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件 下取拉氏变换得：

(word完整版)状态空间平均法建模总结,推荐文档

7.1 状态空间平均法 151109，状态空间平均法是平均法的一阶近似，其实质为：根据线性RLC 元件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，以电容电压、电感电流为状态变量，按照功率开关器件的“ON ”和“OFF ”两种状态，利用时间平均技术，得到一个周期内平均状态变量，将一个非线性电路转变为一个等效的线性电路，建立状态空间平均模型。 对于不考虑寄生参数的理想 PWM 变换器，在连续工作模式（CCM ）下一个开关周期有两个开关状态相对应的状态方程为： 11i x A x B v =+& 0t dT ≤≤ (7-1) 22i x A x B v =+& dT t T ≤≤ (7-2) 式中d 为功率开关管导通占空比，/on d t T =，on t 为导通时间，T 为开关周 期；[] v L C x i =，x 是状态变量，x &是状态变量的导数，L i 是电感电流C v 是电容电压，i V 是开关变换器的输入电压；1A ,2A ,1B ,2B 是系数矩阵与电路的结构参数有关。 对式（7.1）和（7.2）进行平均得到状态平均方程为 x Ax Bv =+& 0t T ≤≤ (7-3) 式中，12(1)A dA d A =+-，12(1)B dB d B =+-，这就是著名的状态空间平均法。可此式可见，时变电路变成了非时变电路，若d 为常数，则这个方程描述的系统是线性系统，所以状态空间平均法的贡献是把一个开关电路用一个线性电路来替代。 对状态平均方程进行小扰动线性化，令瞬时值?d D d =+、'?'d D d =-、'1D D +=、?vg Vg vg =+、?x X x =+。其中?d 、?vg 、?x 是相应D 、vg 、X 的扰动量，将之代入到式（7-3）为： ????()()i i X x A X x B V v +=+++& (7-4) ''1212????????()()()()()()i i i A X x B V v Ax Bx D d A D d A X D d B D d B V ????+++=++++-+++-??? ? (7-5) 将其中的扰动参数变量分离就得到了动态的小信号模型式。 1212????[()()]i i x Ax Bv A A X B B V d =++-+-& (7-6)

第三章 知识得状态空间表示法

第三章知识得状态空间表示法 1 课前思考: 人类得思维过程,可以瞧作就是一个搜索得过程。 某个方案所用得步骤就是否最少？也就就是说它就是最优得吗？如果不就是,如何才能找到最优得方案？在计算机上又如何实现这样得搜索？这些问题实际上就就是本章我们要介绍得搜索问题。 2 学习目标: 掌握回溯搜索算法、深度优先搜索算法、宽度优先搜索算法与A搜索算法,对典型问题,掌握启发式函数得定义方法。 3 学习指南: 了解算法得每一个过程与细节问题,掌握一些重要得定理与结论,在有条件得情况下,程序实现每一个算法,求解一些典型得问题。 4 难重点: 回溯搜索算法、算法及其性质、改进得Ａ＊算法。 5 知识点: 本章所要得讨论得问题如下: 有哪些常用得搜索算法。

问题有解时能否找到解。 找到得解就是最佳得吗？ 什么情况下可以找到最佳解？ 求解得效率如何。 3、1 状态空间表示知识 一、状态空间表示知识要点 1.状态 状态(State)用于描述叙述性知识得一组变量或数组,也可以说成就是描述问题求解过程中任意时刻得数据结构。通常表示成: Q={q1,q2,……,qn} 当给每一个分量以确定得值时,就得到一个具体得状态,每一个状态都就是一个结点(节点)。实际上任何一种类型得数据结构都可以用来描述状态,只要它有利于问题求解,就可以选用。 2.操作(规则或算符) 操作(Operator)就是把问题从一种状态变成为另一种状态得手段。当对一个问题状态使用某个可用操作时,它将引起该状态中某一些分量发生变化,从而使问题由一个具体状态变成另一个具体状态。操作可以就是一个机械步骤、一个运算、一条规则或一个过程。操作可理解为状态集合上得一个函数,它描述了状态之间得关系。通常可表示为: F={ f1 , f2,……… fm} 3.状态空间 状态空间(State Space)就是由问题得全部及一切可用算符(操作)所构成得集合称为问题得状态空间。用三元组表示为: ({Qs},{F},{Qg}) Qs:初始状态,Qg:目标状态,F:操作(或规则)。 4.状态空间(转换)图 状态空间也可以用一个赋值得有向图来表示,该有向图称为状态空间图,在状态空间图中包含了操作与状态之间得转换关系,节点表示问题得状态,有向边表示操作。 二、状态图搜索

状态空间模型

状态空间模型概述 状态空间模型是动态时域模型，以隐含着的时间为自变量。状态空间模型在经济时间序列分析中的应用正在迅速增加。其中应用较为普遍的状态空间模型是由Akaike提出并由Mehra进一步发展而成的典型相关(canonical correlation)方法。由Aoki等人提出的估计向量值状态空间模型的新方法能得到所谓内部平衡的状态空间模型，只要去掉系统矩阵中的相应元素就可以得到任何低阶近似模型而不必重新估计，而且只要原来的模型是稳定的，则得到的低阶近似模型也是稳定的。 状态空间模型起源于平稳时间序列分析。当用于非平稳时间序列分析时需要将非平稳时间序列分解为随机游走成分(趋势)和弱平稳成分两个部分分别建模。含有随机游走成分的时间序列又称积分时间序列，因为随机游走成分是弱平稳成分的和或积分。当一个向量值积分序列中的某些序列的线性组合变成弱平稳时就称这些序列构成了协调积分(cointegrated)过程。非平稳时间序列的线性组合可能产生平稳时间序列这一思想可以追溯到回归分析，Granger提出的协调积分概念使这一思想得到了科学的论证。Aoki和Cochrane等人的研究表明：很多非平稳多变量时间序列中的随机游走成分比以前人们认为的要小得多，有时甚至完全消失。 协调积分概念的提出具有两方面的意义：

①如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，就有可能同时考察他们之间的长期稳定关系和短期关系的变化； ②如果一组非平稳时间序列是协调积分过程，则只要将协调回归误差代入系统状态方程即可纠正系统下一时刻状态的估计值，形成所谓误差纠正模型。 Aoki的向量值状态空间模型在处理积分时间序列时，引入了协调积分概念和与之相关的误差纠正方法，因此向量值状态空间模型也是误差纠正模型。一个向量值时间序列是否为积分序列需判断其是否含有单位根，即状态空间模型的动态矩阵是否含有量值为1的特征值。根据动态矩阵的特征值即可将时间序列分解成两个部分，其中特征值为1的部分(包括接近1的“近积分”部分)表示随机游走趋势，其余为弱平稳部分，两部分分别建模就得到了两步建模法中的趋势模型和周期模型。 状态空间模型的假设条件是动态系统符号马尔科夫特性，即给定系统的现在状态，则系统的将来与其过去独立。 [编辑] 状态空间模型的分类 状态空间模型包括两个模型：一是状态方程模型，反映动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；二是输出或量

状态空间法

状态空间法 对于下列的单自由度系统，其相关参数如下： 1kg m =，100N/m k =，0.2N.s/m c = 系统的运动方程： [M]X +[C]X +[K]X =[P] 对于单自由度系统，其运动方程为： mx cx kx p ++= 0.2100x x x p ++= 对于多自由度系统，其状态空间方程为： x =Ax +Bu y =Cx +Du 式中，A —状态矩阵； B —输入形状矩阵； C —输出形状矩阵； 其具体表达式如下： -1-122-n n ???=????0I A -[M][K][M][C] -12n n ???=????0B -[M] []2n n ?=C I 0 []n n ?=D 0 对于上述单自由度系统，其状态矩阵为： 011000.2x x x x ??????=??????--?????? 011000.2??=??--?? A 求解状态矩阵的特征值与特征向量：

0λ-=A I {}{}φλφ=A 得到的特征值为： 10.110j λ≈-+，20.110j λ≈-- 11{}0.110j φ??=??-+??，21{}0.110j φ??=??--?? 同时可以看出： {}{}(2)1 1(1)1 =0.110j φλφ=-+，{}{}(2)22(1)2=0.110j φλφ=-- 取虚部为正的特征值求系统的特征参数。 系统的固有频率： 110/n rad s ωλ===≈ 阻尼比： 11Re() 0.01λξλ-==≈ 根据其阵型图可以看出，其位于左半平面（即负半平面），因此系统是稳定的。系统阻尼是正值，阻尼起到耗能效果；若阻尼为负值，将位于右半平面，系统将变得不稳定，此时阻尼起到吸收能量的作用。

状态空间分析法

第9章 线性系统的状态空间分析与综合 ?重点与难点 —、基本概念 1. 线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动 状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上 的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是 关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空 间表达式一般用矩阵形式表示： x y （2） 状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、 传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3） 状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数） 是 确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作 为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性 变换的目的在于使系统矩阵 A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性 变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵 A 化为三种规范形式: 对角形、约当形和模式矩阵。 （4） 线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵 Bu Du （9.1） Ax Cx 结构 图、 （t ）（即矩阵指数e At ）及其性质:

x(k) 1 UkT )) Dkk)G(T)u(k) (9.8) i . (0) I ii . (t) A (t) (t)A iii . (t 1 t 2 ) (t 1 ) ( t 2) (t 2)(t 1) iv. 1 (t) ( t) v. [(t)]k (kt) vi. exp(At) exp(Bt) exp[( A B)t] (AB B vii . exp(P 1APt) P 1 exo( At)P (P 非奇异) 求状态转移矩阵 (t)的常用方法: 拉氏变换法 (t) L[(sl A)1] 级数展开法 At , ", 1 A 2 2 1"k,k e I At A t A t k! 齐次状态方程求解 x(t) (t)x(0) 非齐次状态方程式(9.1)求解 t x(t) (t)x(0) 0 (t )Bu( )d (5) 传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵G(s):输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 1 G(s) C(sl A) 1B D (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵 G(s)，找一个系统｛代B,C, D ｝使式(9.6) 成立，则将系统｛A, B,C,D ｝称为G(s)的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数 时，称该系统为 G(s)的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标 准形实现、对角形实现和约当形实现等。 (6) 线性定常连续系统的离散化及其求解 对式(9.1)表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述 为 其中 (T) (t)tT T (9.2) (9.3) (9.4) (9.5)

考研必备之自动化专业自控原理第九章状态空间分析法答案-计算题

9.3.5 计算和证明题 9.3.5.1 已知机械系统如图9-7所示，21,m m 为质量块，1m 受外力)(t F 作用。弹簧的弹性系数如图示，如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。 图9-7 题9.3.5.1图 提示：设中间变量质量块1m 的位移为z ，根据牛顿定律有 z m y z k t F 11)()( ① 同理对质量块2m 有 y m y k y z k 221)( ② 设状态变量 z x 1 12x z x y x 3 34x y x 由式① 1 3111112) (m t F x m k x m k z x 由式② 32 211214x m k k x m k y x 因此有 )(00100010 0000 00 1 1432 12 2 1 2 11 1 1143 2 1t F m x x x x m k k m k m k m k x x x x 43210100x x x x y 9.3.5.2 已知系统结构图如图9-8所示。试写出系统的状态方程和输出方程（要求写成矢量形式）。 y 图 9-8 题9.3.5.2图 提示： x y u x x 01101212

9.3.5.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。 （1）u u u y y y y 86375 （2）u u u y y y y 23375 提示：（1） x u x x 168100573100010 y ，状态结构图略 （2） u x u x x 541 10057310 001 y ，状态结构图略。 9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。 （1） t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(Φ （2） t t e e t 220 )1(2 11)(Φ 提示：（1）不是状态转移矩阵，因为I )0(Φ。 （2）是。 2010) (0 t t A Φ 9.3.5.5 线性系统u x x 101000 ， 11)0(x ，在单位阶跃输入时系统的响应x (t)。 提示： t e t 001)(Φ， )(t x d e e t t t )(110001110010 121t e 9.3.5.6 已知状态空间描述为 x y u x x 02102010 ，试求： （1）根据状态空间描述画出系统状态结构图； （2）判断系统的能控性和能观测性； （3）求系统的传递函数； （4）求系统状态转移矩阵； （5）求该系统的特征方程。 提示：（1）状态结构图略（2）能控且能观测 （3） b A I c 1 )()(s s G ) 2(2 s s （4） t t e e t 220)1(2 11 )(Φ （5）022 s s s A I

第1章 “控制系统的状态空间模型”练习题及答案

第1章 “控制系统的状态空间模型”练习题及答案 1.1有电路如图P1.1所示，设输入为1u ，输出为2u ，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。 图P1.1 解 此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采样机理分析法。 设1C 两端电压为1c u ，2C 两端的电压为2c u ，则 2 12 221c c c du u C R u u dt ++= (1) 1121 21c c c du u du C C dt R dt += (2) 选择状态变量为11c x u =，22c x u =，由式(1)和(2)得： 11211211212121 11c c c du R R C u u u dt R R C R C R C +=--+ 2121222222 111 c c c du u u u dt R C R C R C =--+ 状态空间表达式为：

1211 1211212121 212 1222222 21111111R R C x x x u R R C R C R C x x x u R C R C R C y u u x +?=--+?? ? =--+?? ?==-?? 即: 1212112121111222222221111 1R R C R C R R C R C x x u x x R C R C R C +???? -???? ?? ??? ???=+???????????? --???????? []11210x y u x ?? =-+???? 1.2 建立图P12所示系统的状态空间表达式。 1 图P1.2 解 这是一个物理系统，采用机理分析法求状态空间表达式会更为方便。令()f t 为输入量，即u f =，1M ，2M 的位移量1y ，2y 为输出量， 选择状态变量1x =1y ，2x = 2y ，3x =1 dy dt ，24dy x dt =。 根据牛顿定律对1M 有： 211311 () d x x M x Kx B dt -=--

离散时间系统的状态空间描述

燕山大学 课程设计说明书题目：离散时间系统的状态空间描述 学院(系）：电气工程学院 年级专业：_11级精仪1班 学号： 110103020058 学生姓名： 指导教师： 教师职称：

电气工程学院《课程设计》任务书 课程名称：数字信号处理课程设计 说明：1、此表一式四份，系、指导教师、学生各一份，报送院教务科一份。 2、学生那份任务书要求装订到课程设计报告前面。 电气工程学院教务科

摘要 摘要：线性时不变离散时间系统是最基本的数字系统，差分方程和系统函数是描述系统的常用数学模型，单位脉冲响应和频率响应是描述系统特性的主要特征参数，零状态响应和因果稳定性是系统分析的重要内容。文章从系统的分析流程、系统模型的创建、时域分析、频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍了线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举了MATLAB实现程序。 关键词：MATLAB；离散时间系统；系统分析；传输函数

目录 第一章离散时间系统与状态空间描述 (1) 1.1 离散时间系统 (1) 1.2 状态空间描述 (3) 1.3 LSI系统的求解方法 (5) 第二章软件仿真设计 (5) 2.1状态方程 (5) 2.2输出方程 (6) 2.3 LSI系统的单位冲击响应 (7) 第三章仿真结果分析 (10) 3.1状态方程 (10) 3.2 输出方程 (10) 3.3 LSI系统的单位冲击响应 (11) 第四章学习心得 (11) 第五章设计与实验过程中遇到的问题和分析 (12)

第一章相关离散时间系统的知识 1.1离散时间系统 离散时间系统离散时间系统是将一个序列变换成另一序列的系统，它有多种类型，其中线性时不变离散时间系统是最基本、最重要的系统。差分方程反映了系统输入与输出的运动状态，是在时域描述系统的通用数学模型；系统函数是零状态下系统输出与输入的Z变换之比，在时域与频域之间起桥梁作用。分析系统就是在已知系统结构或系统模型条件下，从时域和频域两方面分析系统输入与输出的关系，前者重点研究系统的时间特性，后者主要研究系统的频率特性。下面从系统分析流程、系统模型创建、系统时域分析、系统频域分析和因果稳定性分析等方面，介绍线性时不变离散时间系统的基本分析方法，并以实例形式列举MATLAB在系统分析过程中的具体应用。 二、单位脉冲响应的计算根据差分方程求解单位脉冲激励下系统的零状态响应，或将系统函数进行Z反变换都可算出系统的单位脉冲响应，具体算法可参见参考文献[3]。在MATLAB中描述系统的差分方程或系统函数都是用系数向量表示，调用impz函数就可直接算出系统的单位脉冲响应。如实例1描述的系统，其单位脉冲响应的计算及显示程序如下：b=[0.3,0.06,0,0]; %系数向量不齐后面补0 a=[1,-1.1,0.55,-0.125]; %系数向量不齐后面补0 [hn,n]=impz(b,a,16), %列向求出16点单位脉冲响应 stem(n,hn,'.'); grid; %绘制点状图并加网格 xlabel('n');ylabel('hn');title('单位脉冲响应'); 若要写出闭环形式，可调用residuez函数将系统函数展开成部分分式形式，再通过查表求Z反变换即可。 三、系统输出的时域计算 在时域上计算离散时间系统的输出，实际上就是直接求解差分方程或作卷积运算。参考文献[3]列举了迭代法、时域经典法、卷积法等常用方法及应用实例。考虑到分析系统的目的在于综合，系统设计时不存在初始问题，因此，分析系统响应重点分析零状态响应。只要掌握了分析系统的概念、原理和方法，繁杂的计算可由MATLAB完成。 实例2：试计算实例1中，当输入序列分别为单位脉冲、单位阶跃和一般序列时，系统的输出响应。 方法1：调用filter函数实现 b=[0.3,0.06,0,0]; a=[1,-1.1,0.55,-0.125];

状态空间分析法

·258· 第9章 线性系统的状态空间分析与综合 重点与难点 一、基本概念 1．线性系统的状态空间描述 （1）状态空间概念 状态 反映系统运动状况，并可用以确定系统未来行为的信息集合。 状态变量 确定系统状态的一组独立（数目最少）变量，它对于确定系统的运动状态是必需的，也是充分的。 状态向量 以状态变量为元素构成的向量。 状态空间 以状态变量为坐标所张成的空间。系统某时刻的状态可用状态空间上的点来表示。 状态方程 状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量之间的数学关系，一般是关于系统的一阶微分（或差分）方程组。 输出方程 输出变量与状态变量、输入变量之间的数学关系。 状态方程与输出方程合称为状态空间描述或状态空间表达式。线性定常系统状态空间表达式一般用矩阵形式表示： ???+=+=Du Cx y Bu Ax x (9.1) （2）状态空间表达式的建立。系统状态空间表达式可以由系统微分方程、结构图、传递函数等其他形式的数学模型导出。 （3）状态空间表达式的线性变换及规范化。描述某一系统的状态变量个数（维数）是确定的，但状态变量的选择并不唯一。某一状态向量经任意满秩线性变换后，仍可作为状态向量来描述系统。状态变量选择不同，状态空间表达式形式也不一样。利用线性变换的目的在于使系统矩阵A 规范化，以便于揭示系统特性，利于分析计算。满秩线性变换不改变系统的固有特性。 根据矩阵A 的特征根及相应的独立特征向量情况，可将矩阵A 化为三种规范形式：对角形、约当形和模式矩阵。 （4）线性定常系统状态方程解。状态转移矩阵)(t φ（即矩阵指数At e ）及其性质：

·259· (9.8) i ． I =)0(φ ii ．A t t A t )()()(φφφ == iii. )()()()()(122121t t t t t t φφφφφ±=±=+ iv. )()(1t t -=-φφ v. )()]([kt t k φφ= vi. )( ])exp[()exp()exp(BA AB t B A Bt At =+= vii. )( )exp()exp(11非奇异P P At P APt P --= 求状态转移矩阵)(t φ的常用方法： 拉氏变换法 =)(t φL －1])[(1--A sI （9.2） 级数展开法 ++++ +=k k At t A k t A At I e ! 12122 （9.3） 齐次状态方程求解 )0()()(x t t x φ= （9.4） 非齐次状态方程式（9.1）求解 ?-+=t Bu t x t t x 0d )()()0()()(τττφφ （9.5） （5）传递函数矩阵及其实现 传递函数矩阵)(s G ：输出向量拉氏变换式与输入向量拉氏变换式之间的传递关系 D B A sI C s G +-=-1)()( (9.6) 传递函数矩阵的实现：已知传递函数矩阵)(s G ，找一个系统},,,{D C B A 使式（9.6）成立，则将系统},,,{D C B A 称为)(s G 的一个实现。当系统阶数等于传递函数矩阵阶数时，称该系统为)(s G 的最小实现。 传递函数矩阵的实现并不唯一。实现的常用标准形式有可控标准形实现、可观测标准形实现、对角形实现和约当形实现等。 （6）线性定常连续系统的离散化及其求解 对式（9.1）表示的线性定常数连续系统进行离散化，导出的系统离散状态空间描述为 ???+=+=+ )()()( )()()()()1(k D k Cx k y k u T G k x T k x φ